Merhaba arkadaşlar dönme dönüşümleri ile ilgili birkaç örnek daha çözeceğiz bu videomuzda.
Analitik düzlemde A noktası B noktası etrafında pozitif yönde 180 derece döndürüldüğünde elde edilen noktanın koordinatlar toplamı.
Öncelikle noktalarımızı bir yerleştirelim.
Koordinat düzleminde tek tek yerine yazmanıza gerek yok.
A noktası bu tarafta olsun.
(2,-4) noktası.
B noktamız şurası (1,3).
Şimdi A'yı B etrafında normalde formüllerimizde kosinüslü sinüslü falan bir formül vermiştik.
O formül de neydi?
Pozitif yönde ve orijin etrafında çeviriyorduk.
Bu sefer orijin değil de farklı bir nokta etrafında çeviriyoruz formülü kullanmayın burada.
Evet, 180 derece B etrafında çevirdiğinde 180 derece bir doğru açıdır.
Şu şekilde bir doğru oluşmaz mı o zaman arkadaşlar ve bu doğru parçasını şunlardan kestiğimde bu doğru parçasının orta noktası B noktasıdır.
Yani A üssü ile A'nın orta noktası, B ise orta nokta nasıl bulunuyordu buna da A, B diyelim.
Apsisleri toplayıp ikiye bölünce orta noktanın apsisi ordinatları toplayıp ikiye bölünce de orta noktanın ordinatını buluyorduk.
2+a, apsisleri topladım ikiye böldüm, orta noktanın apsisine eşitledim.
2+a içler dışları çarptım ikidir buradan a eşittir sıfırdır arkadaşlar.
Ordinatlar için de aynı şeyi yapalım.
b-4 bölü iki eşittir üç olmalıdır içler dışlar b-4 eşittir altıdır dörde attınız sağ tarafa artı 4 olarak b'miz de on yaptı.
Yani yeni simetriği elde ettiğimiz nokta (0,10) noktasıdır.
Koordinatlar toplamı soruldu bize.
Cevabımız 10'dur arkadaşlar.
Evet, yeni örneğimizde dik koordinat düzlemde A noktası orijin etrafında negatif yönde 90 derece döndürüldükten sonra X doğrultusunda pozitif yönde iki birim, Y doğrultusunda negatif yönde bir birim öteleniyor.
A noktasının bu işlemler sonundaki yeni yerinin koordinatlarını bulunuz demişiz.
Şimdi A noktasının koordinatları verildi bize, negatif yönde 90 derece çevirin dedi.
Bu ne demek arkadaşlar?
Size verdiğimiz formülde o cosinüslü sinüslü formülü kullanacaksanız eğer, o pozitif yönde çevrilmiş formüldü değil mi bize negatif yönde dedi.
Böyle durumlarda ne yaparız mesela negatif yönde 30 derece çevirin diyorsa bu aslında pozitif yönde 330 derece çevirmek demek değil midir?
Yani negatif yönde 90 derece dedi.
Siz bunu pozitif yönde 270 derece olarak formülle yapabilirsiniz.
Bize 90 falan verdiğinde eşlik kullanmak daha kolay oluyordu değil mi?
Formülde sinüsle kosinüsle uğraşmadan.
Formül de çok zor değil ama benzerlikte daha güzel oluyordu.
Eksi bir daha kolaydı.
Dört noktamız burası.
Şimdi şöyle bir orijin ile birleştiriyoruz biz bunu.
90 derece çevirin diyorsa ve negatif yönde, negatif yönde şöyle doksan derece çevirelim.
Çevirdiğimde yeni oluşan nokta budur arkadaşlar.
Ve şu ikisi birbirine eşitti, çevirdiniz.
Sadece uzunluk aynı kaldı ve bunlara a, b açıları dersem burası 90 oluyordu.
Bu da 90 derece çevirdim zaten.
Dolayısıyla buraya a kalır.
Burası 90, burası da b kalırdı.
Hipotenüsleri aynı.
O zaman bu iki üçgen eş üçgendi.
Burada b'nin karşısında 4 varsa burada da b'nin karşısında 4 burada a'nın karşısı bir birim ise burada a'nın karşısı bir birimdi.
Yani A noktasının simetriği dönme dönüşümüyle elde ettiğim yeni nokta A üssü (4,1) noktasıdır.
Arkadaşlar apsisi 4, koordinatı bir evet A üssü noktamızı bulduk.
Bunu x ekseni doğrultusunda pozitif yönde iki birim ötelediğimize pozitif yönde diyorsa apsisini iki birim arttırıyorduk arkadaşlar pozitif dediğinde dörttü.
Iki artacak apsisimiz, y ekseni doğrultusunda negatif yönde bir birim.
O halde ordinatınız bir azalacak değil mi?
Neydi?
Ordinatımız birdi.
Bir eksi bir.
O zaman yeni noktamız arkadaşlar (6,0) noktasıdır.
A noktasının bu işlemler sonucundaki yeni yerinin koordinatları 6'ya 0'mış arkadaşlar.
Bir tanım daha vereceğiz.
Bir şekil merkezi etrafında 360 derece döndürüldüğünde yine aynı şekil elde edilir mi?
360 zaten dönüp aynı yere gelmek demek.
Eğer 360 dereceden daha küçük bir alfa açısıyla merkezi etrafında döndürüldüğünde kendisi ile çakışıyorsa yani illa 360 döndürdüğümde aynı şekil elde edilmez diyor.
Başka da 360'tan daha küçük açılarla çevirdiğinizde de aynı şekli ilk baştaki şekli elde edebilirsiniz diyor.
Böyle bir durum olduğunda bu şeklin dönme simetrisi vardır diyormuşuz ve alfa kadar döndürdünüz ya alfa açısına da dönme simetri açısı diyormuş.
Ne demektir bu?
Mesela bir üçgen eşkenar üçgen.
Biz bu eşkenar üçgeni ne kadar çevirirsek yine aynı üçgeni elde ederiz arkadaşlar?
Şöyle düşünün eşkenar üçgende şu açılar eşitti ve 120'şer dereceydi di mi?
Bunlar 120 derece ise siz bu şekli 120 derece çevirdiğinizde şekil aynı şekil olmaz mı?
Demek ki 360 çevirmeye gerek kalmadan 120 çevirdiğinizde de aynı şekli elde edebiliyoruz.
O halde eşkenar üçgenin dönme simetrisi vardır deriz ve alfa açısına da dönme simetri açısı yani 120'ye de dönme simetri açısı diyoruz arkadaşlar.
Karede mesela bu açı nedir?
Karede dönme simetri açımız şöyle diyelim.
Karede köşegenlerimiz zaten şu şekilde dik kesişiyor.
Bu noktayı çevirdiniz 90 derece çevirdiniz buraya.
Bu da buraya geldi, bu da buraya geldi.
Yani noktalar yine aynı yerlere geldi mi?
Yine bir kare oluştu değil mi?
Bunu da 90 derece çevirdiğinizde aynı şekil elde edilir.
Bunun simetri açısı da 90 derecedir arkadaşlar.