Altman 1960 yılında Massachusetts Institute of Technology'den mezun oldu ve doktorasını aldı. Colorado Üniversitesi'nden moleküler biyoloji derecesi. 1969 yılında, Cambridge, İngiltere'deki Tıbbi Araştırma Konseyi Moleküler Biyoloji Laboratuvarı'nda çalışacak bir burs elde etti ve burada onun çığır açan RNA keşiflerine yol açacak deneylere başladı. 1971'de Altman, Yale Üniversitesi'nde bir fakülte görevini kabul etti. 1985 - 1989 yılları arasında Yale'de lisans eğitimi veren Yale Koleji'nin dekanı olarak çalıştı.
1989 yılında kimyada Nobel Ödülü'nü kazanmanın yanı sıra Altman, o yıl Temel Biyomedikal Araştırma için Rosentiel Ödülü'nü aldı. Ulusal Bilimler Akademisi üyesidir.
Altman ve karısı Ann Korner, iki çocuğu var.