İçerik Başlıkları
Diferansiyel, 'öncelikle değişim oranlarını hesaplamak için kullanılan bir matematik aracı'dır. Böylece araç, bir grafik üzerinde hızın zamana göre değişim oranını (yani ivme) ve ayrıca x'in y'ye göre değişim oranını (yani eğrinin gradyanı) bulmamızı sağlar.
Bu konu size biraz kafa karıştırıcı geliyorsa bir özel matematik öğretmeninden dersler alarak daha iyi anlayabilirsiniz. O zamana kadar diferansiyeli daha iyi tanımak için yazımızı okumaya devam edin!
Diferansiyeli Ne Zaman ve Nerede Kullanmam Gerekebilir?
Tarihsel olarak diferansiyel, denizciler tarafından Dünya'nın, güneş sistemindeki yıldızların ve gezegenlerin birbirlerine göre nasıl hareket ettiğini daha iyi anlamak için kullanıldı. Peki denizde manuel navigasyonu şimdilik bir kenara koyalım ve şunu soralım, modern toplumda diferansiyelin diğer kullanımları nelerdir?
Diferansiyel ve integral, gerçek dünyadaki birçok sorunu çözmemize yardımcı olabilecek araçlardır.
Örneğin çeşitli sektörler, bir bina yapımında kullanılan malzeme miktarı ve maliyet, kâr, kayıp, dayanıklılık gibi şeylerin minimum ve maksimum değerlerini bulmak için türevlerden yararlanır.
Endüstri dünyasında bu terime optimizasyon denir.
Konu, bilim ve mühendislik alanında çalışanlar için, özellikle hareket eden nesnelerin davranışlarına ve eğilimlerine bakıldığında oldukça düzenli bir şekilde ortaya çıkıyor.
Ancak doğrudan matematik, fen, bilgisayar bilimi veya fizik kullanmayanlar bile bu araçlardan bazılarını bilmeden kullanmaya devam ederler.
Örneğin, iş dünyasından biri gelecekte bir şey olacağını tahmin etmek için yeni bir trend kullandığında veya getirilerinin belirli bir süre içinde ne kadar hızlı artacağını düşündüğünde, optimizasyon yöntemlerini kullanır. Bunlar az önce de bahsettiğimiz gibi doğrudan farklılaşma ve entegrasyon ile ilgilidir.
Ancak bu, birçok insanın bunu iyi yapabileceği anlamına gelmez. Bu ileri düzeyde matematik konusuna çalışarak gelecekte optimizasyon araçlarından yararlanabilmeniz için yukarıdaki teknikleri doğru ve tutarlı bir şekilde nasıl kullanacağınızı öğreneceksiniz.
Temel Diferansiyel Tekniklerine Giriş
Matematikte, y için x cinsinden yazılmış bir denkleminiz olduğunda, türevi bulmak için temel türev tekniklerini kullanmak kolaydır. Bunlar matematikçiler tarafından açık türevleme teknikleri olarak bilinir.
Ancak yeniden düzenlenmesi daha karmaşık olan denklemler için, örneğin y tek başına = işaretinin bir tarafında olduğunda farklı bir yaklaşım gereklidir. Çok değişkenli denklemleri çözmek için kullanılan yöntem, açık türevlemenin nasıl kullanılacağını zaten biliyorsanız kolay olan kapalı türev alma yöntemidir!
Basit Türevlemenin Temel Kuralları
Sabit Kuralı
Bazılarınız temel diferansiyel diye bir şey olup olmadığını merak ediyor olsa da gerçekten böyle bir şey var! Örneğin, aşağıdaki sabit kuralına bakalım:
\[f (x) = 5\] eğimi 0 olan bir doğru, dolayısıyla türevi de 0
Bu nedenle, \[f (x) = c (herhangi bir sayı)\] ise \[f'(x) = 0\]
Kuvvet Kuralı
Eğer \[f(x) = x^4\] ise, türevini bulmak için kuvveti alıp, kuvveti 1 azaltmadan önce x'in önüne getirmelisiniz.
Yani \[f'(x) = 4x^3\ olur.
Bu basit işlemi anladıktan sonra tekrar tekrar pratik yapın. Bu kural, yukarıdaki gibi sabittir ve pozitif, negatif veya kesirli olsun, herhangi bir kuvvette uygulanabilir.
Not: \[x üzeri sıfır kuvvet = 1\]
Sabit Çoklu Kural
Ayırmak için belirlediğiniz fonksiyon bir katsayı ile başlasa bile bunun benimsediğiniz süreç üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Devam edin ve verilen katsayı ile çarparak cevabı basitleştirdiğinizde katsayı son adıma kadar yerinde kalacak şekilde uygun kuralı kullanarak işlevi farklılaştırın. Şöyle ki:
\[y = 5x^3\] görürseniz, \[x^3\] öğesinin türevinin \[3x^2\] olduğunu ve dolayısıyla \[5(x^3)\] öğesinin türevinin \[5(3x^2)\ olduğunu çıkarabilirsiniz. Bu şekilde en son sadeleştirirsiniz: \[5(3x^2)\] eşittir \[15x^2\] yani \[y' = 15x^ 2\].
Toplama Kuralı
Bir terimler toplamı ile karşılaştığınızda, bu gibi her terimin türevini bularak sorunu çözebilirsiniz.
Soru
\[f(x) = x^6 + x^3 + x^2+ x + 10\] ise \[f'(x)\] nedir?
Cevap
\[f'(x) = 6x^5+ 3x^2 + 2x + 1\]
Çıkarma Kuralı
Toplamın tersi olan çıkarmada soruları şöyle çözersiniz.
Soru
\[y =3x^5 – x^4 – 2x^3 + 6x^2+ 5x\] ise
Cevap
\[y'= 15x^4 – 4x^3 – 6x^2 + 12x + 5\]
Kafanız mı karıştı? Neden bir özel matematik öğretmeninden matematik dersleri almıyorsunuz?
İntegral
İntegral, verilen bir f(x) fonksiyonunu türev kabul eden F(x) fonksiyonunun bulunmasıdır. F(x) fonksiyonuna f(x)fonksiyonunun integrali veya ilkeli denir. İntegral, Latince toplam kelimesinin ("ſumma", "summa") baş harfi s'nin evrim geçirmiş ∫ işareti ile gösterilir. Bu işareti tanımlayan Gottfried Wilhelm Leibniz'di.
c bir sabiti gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.
Logaritmanın da püf noktalarını öğrenmeye ne dersiniz?
Neden İntegral Tekniklerini Öğrenmem Gerekiyor?
Artık formülleri basitleştirmek ve çözmek için integral tekniklerini kullanabilen bu kadar çok yazılımımız varken, neden öğrenciler olarak yöntemler hakkında bilgi edinmemiz gerekiyor?
Basit cevap şu ki, hiç kimse gelecekte bu araçları gerçekten kullanıp kullanmayacaklarını gerçekten bilmiyor. Ancak kullandığınız teknolojinin nasıl çalıştığını bilmek ve bilgisayarların çalışmaması durumunda potansiyel olarak insanların işleri yürütebileceğini bilmek güzel, değil mi?
Bazıları bu tekniklerin pratik bir uygulaması olmadığını ve bu nedenle biraz zaman kaybı olduğunu düşünse de, müfredatın arkasındaki profesyonellerin yalnızca karmaşık matematiksel süreçler hakkında entelektüel bir anlayış oluşturmanıza yardımcı olmaya çalıştıklarını kendinize hatırlatmak önemlidir. Ayrıca mantıksal sezgi geliştirmenizi teşvik eder.
Kalkülüse dair daha çok şey öğrenmek ister misiniz?
Online Kaynaklarla Matematik Çalışmak
Online matematik çalışmanın birçok avantajı vardır:
- İstediğiniz zaman matematik testleri çözebilirsiniz
- İstediğiniz yerde konu tekrarı yapabilirsiniz
- Bir özel matematik öğretmeni ile online matematik dersleri alabilirsiniz
Bir öğretmene ayıracak bütçeniz yoksa veya sadece kendi kendinize çalışmak istiyorsanız planlı ve programlı olmalısınız. Matematikte kendinizi geliştirmeye çalışırken şu becerileriniz üstünde de çalışmanız gerekecek:
- Doğru anda doğru teoriyi uygulama
- Mantık yürütme
- Matematik egzersizleriyle hafıza geliştirme
- Rasyonel düşünme
Kendi kendinize matematik çalışmanın bir başka avantajı da ilkokul ve ortaokuldan daha ileri düzeyde matematiğe kadar her seviyede matematik konularına çalışabilecek olmanız. Böylece kendi hızınızı kendiniz belirleyebilir ve seviyenizi aşan derslerle vakit kaybetmezsiniz.
Matematik konularına çalışırken izleyebileceğiniz bir diğer etkili yöntem ise hedef belirlemektir. Kendinize gerçekçi ve ulaşılabilir hedefler koyup motivasyonunuzu artırabilir ve iyi bir çalışma planı oluşturabilirsiniz.
Tüm bunları tek başınıza yapmak istemiyorsanız Superprof'taki bir öğretmenden matematik özel ders alabilirsiniz!
Özel ders öğretmenleri ve öğrencilerini buluşturan platform