Cebrail'in Borusu: Sonlu Hacmi Olmasına Rağmen Sonsuz Yüzey Alanı Olan Geometrik Şekil!
Özet
Bu yazıda Cebrail'in borusu olarak adlandırılan ilginç bir yüzeyden bahsedeceğiz, öyle ki bu cismin için ağzına kadar boya dolu olsa dahi dış kısmını boyayamıyor!
Cebrail'in Borusu ("Cebrail'in Sûru" veya "Torricelli'nin Trompeti"), sınırlı/sonlu hacmi olmasına rağmen sonsuz yüzey alanı olan, ilginç bir geometrik şekildir.
Bu geometrik şekil, adını Hristiyan inancının bir parçası olduğu söylenen (ama bu konuda tartışma bulunan), Kıyamet Günü'nde Cebrail'in üfleyeceğine inanılan sûrdan alır.[1] Bu anlatı, İslamiyet'te İsrafil isimli meleğin üfleyeceğine inanılan, ama sûra üfleyecek meleğin adı Kuran'da geçmediği için bu konuda da tartışmalar bulunan sûr olarak karşımıza çıkmaktadır.[2] Sûra üfleme konusundaki benzerlikleri bir yana, İsrafil isimli meleğin Hristiyanlık'taki Cebrail (Gabriel) ile değil, Raphael ile aynı başmelek olduğu düşünülmektedir (ama bu konuda da tartışmalar bulunmaktadır).[3], [4]
Borunun geometrik nitelikleri dini anlatılarda belirlenmemiştir; yani bu boru tasarımı, insanlar tarafından sonradan hayal edilmiştir. Buna rağmen, hayal edilen bu sûr şekli, matematikte çok ilginç bir geometriye karşılık gelmektedir.
Cebrail'in Borusu'nun matematik ve geometri açısından önemi, sonsuz kavramının yüzyıllardır matematikçiler ve fizikçiler arasında kavram tartışmalarında başı çekmesinden ileri gelmektedir: Yukarıda da bahsettiğimiz gibi geometrik olarak Cebrail'in Borusu, sınırlı bir hacme sahip olmasına rağmen sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu sıra dışı matematiksel özellik, ilk olarak 17. yüzyıl matematikçilerinden Evangelista Torricelli tarafından analiz edildiği için, bu şekle kimi zaman "Torricelli'nin Trompeti" de denir. Her hâlükarda, aşağıda, sözünü ettiğimiz "boru" veya "trompet"in şekli görülmektedir:
Bu boru, sonsuz uzunlukta olmasından ötürü, fiziksel dünyada pratik olarak elde edilemez; dolayısıyla sadece matematiksel bir kavramdır. Buna rağmen, çok ilginç özellikleri bulunmaktadır.
Cebrail'in Borusu'nun Matematiği
Bu yapının matematiksel olarak elde etmek için, f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} fonksiyonunun grafiğinin x>1x>1 bölgesi ele alınır. Daha sonra bu eğri x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülür. Ortaya çıkan yüzeye Cebrail'in Borusu adı verilir. Aşağıda, bu borunun nasıl elde edilebileceği gösterilmiştir:
Cebrail'in Borusunun Yüzey Alanı Nasıl Hesaplanır?
Kalkülüs kullanarak bu yüzeyin yüzey alanını hesaplayabiliriz. Biliyoruz ki bir ff fonksiyonunun x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin yüzey alanı şöyle hesaplanır:
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.Kreosus
Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.Patreon
Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.YouTube
YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.Diğer Platformlar
Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.Giriş yapmayı unutmayın!
Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
∫ab2πf(x)1+(f′(x)2dx\displaystyle\int_a^{b}2\pi f(x) \sqrt{1+(f'(x)^2}dx
Cebrail'in borusu için f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} ve f′(x)=−1x2f'(x)=-\frac{1}{x^2} olur. Bu ifadeleri integralde yerine koyacak olursak yüzey alanımız için integral şöyle olacaktır:
∫1∞2πx1+1x4dx\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx
Bu integralin ıraksadığını, yani yanıtının sonlu bir değer olmadığını göstereceğiz. Biz biliyoruz ki x>1x>1 için:
2πx1+1x4>2πx\displaystyle \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}} > \frac{2\pi}{x}
ifadesi doğrudur. Dolayısıyla:
lima→∞∫1a2πx1+1x4dx>lima→∞∫1a2πxdx\displaystyle \lim_{a\rightarrow\infty} \int_1^a \frac{2\pi}{x}\sqrt{1+\frac{1}{x^4}}dx > \lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx
olacaktır. İntegrallerin üst sınırlarını limit biçiminde yazmamızın sebebi, sonsuzu içeren integrallerin hesaplanması için kullanılan metottan kaynaklıdır. Şu ifadenin doğru olduğunu biliyoruz:
lima→∞∫1a2πxdx=lima→∞2πlna=∞\displaystyle\lim_{a\rightarrow\infty}\int_1^a\frac{2\pi}{x}dx =\lim_{a\rightarrow\infty} 2\pi\ln a =\infty
Dolayısıyla yüzey alanımız için yazdığımız integralin değeri de ∞\infty'a ıraksamaktadır. Dolayısıyla Cebrail'in borusunun yüzey alanı, sonlu bir sayı değildir.
Cebrail'in Borusunun Hacmi Nasıl Hesaplanır?
Şimdi, hacmini hesaplayalım. Burada "hacim"den kastımız Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgedir. Kalkülüs'ten bilindiği üzere ff fonksiyonu ile x−x- ekseni arasında kalan bölgenin x−x- ekseni etrafında 360 derece döndürülmesiyle elde edilen katı cismin hacmini şöyle hesaplayabiliriz:
∫abπ(f(x))2dx\displaystyle\int_a^b \pi (f(x))^2dx
Burada f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}'tir. Bu ifadeyi integralde yerine koyarsak:
∫1∞π1x2dx=lima→∞π(1−1a)=π\displaystyle\int_1^{\infty} \pi \frac{1}{x^2}dx=\lim_{a\rightarrow\infty} \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi
sonucuna ulaşırız. Yani Cebrail'in borusunun iç kısmında kalan bölgenin hacmi π br3\pi \ br^3 olarak bulunur. Bu, sonlu bir sayıdır.
Sonuç: Sonlu Hacim, Sonsuz Alan!
Görebileceğiniz gibi Cebrail'in Borusu, geometrik olarak sonlu bir hacme sahip olmasına rağmen, sonsuz bir yüzey alanına sahiptir. Bu, şu demektir: Sonlu hacmi olmasından ötürü, yukarıdaki videoda gösterildiği gibi Cebrail'in borusunun içini boya ile doldurmak mümkündür. Yani bir noktadan sonra boya eklemeye devam ederseniz, boya taşacaktır; çünkü Cebrail'in Borusu sonsuz hacme sahip değildir.
Ne var ki o boyayı kullanarak, Cebrail'in Borusu'nun dış yüzeyini boyamaya çalışacak olsaydınız, boyanın hacmi π br3\pi \ br^3 iken (yani sonlu bir hacme sahipken) dış yüzey ∞\infty olduğu için, boya borunun dış yüzeyini kaplamaya asla yetmezdi. İşte bu nedenle kimi zaman bu probleme Boyacı Problemi de denmektedir.
Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.
İlginizi Çekebilecek Sorular
- Güneş batmaya yakın neden kızıl renge bürünür? Elektromanyetik dalga spektrumları öğlen vaktinden farklı atmosferde nasıl bir değişikliğe uğrar ?
- Gözlük icat edilmeden önce gözü bozulan insanlar ne yapıyordu?
- Tavukların yumurtlama sıklığındaki değişimde insanların uyguladığı seçilim baskısı etkili mi?
- 30
- 9
- 9
- 7
- 5
- 3
- 1
- 1
- 1
- 0
- 0
- 0
- S. V. McCasland. (1941). Gabriel's Trumpet. Journal of Bible and Religion, sf: 159-161. | Arşiv Bağlantısı
- S. Burnham. (2011). A Book Of Angels: Reflections On Angels Past And Present, And True Stories Ofhow They Touch Our Lives. ISBN: 9781101486474. Yayınevi: Tarcher.
- Encyclopedia Britannica. Israfil | Angel, Name, & Hadith. Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: Encyclopedia Britannica | Arşiv Bağlantısı
- JewishEncyclopedia.com. Gabriel. Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: JewishEncyclopedia.com | Arşiv Bağlantısı
- Learning Curve. The Painter's Paradox Or Gabriel's Horn Paradox. (5 Nisan 2020). Alındığı Tarih: 18 Ocak 2022. Alındığı Yer: YouTube | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 18/05/2022 07:36:06 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11357
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.