Babası asker Zeki Bey, annesi ise Polis Nihal Hanım’dır. Özge isminde bir kız kız kardeşi vardır.
Özgür Çevik anne ve babasının meslekleri ve tayinleri nedeni ile eğitim hayatını farklı illerde tamamlamak zorunda kalmıştır. İlköğretimi Amasya, Ortaokulu Lüleburgaz, Liseyi Bingöl ve İzmit Kocaeli Anadolu Lisesi’nde tamamlamıştır.
Eğitim hayatına 1999 senesinde İstanbul Üniversitesi Edebiyat Fakültesi Felsefe bölümünü’nde devam etmiş ve 2007 yılında mezun olmuştur.
Akademi Türkiye yarışmasına katılmış ve orada tanınmış ardından Yabancı Damat adlı dizide Niko karakteri ile ekran severlerin büyük beğenisini kazanmayı başarmıştır. Daha sonra Avrupa Yakası dizisinde, Kavak Yelleri dizisinde, Gece Sesleri ve Balkan Düğünü’nde rol almıştır. Özgür Çevik aslen Ankara’lıdır.
2015 yılının yaz sezonu dizilerinden Atv kanalında yayınlanan Kırgın Çiçekler oyuncuları kadrosunda yer almış ve Toprak karakterini canlandırmıştır.