Yazıya başlamadan önce sizleri uyarmak isterim. Evet, bu yazıda matematik ve optimizasyon ile ilgili öğeler bulacaksınız. Ancak, bu yazı belli bir soruya matematiksel cevaplar vermek yerine, daha ziyade sorular sorup sizi o sorularla baş başa bırakacak. Zira, benim kendi kafamda bu soruların cevapları yokken size doyurucu bir cevap sunmam da mümkün değil. Öte yandan, iddia ediyorum ki aslında bu sorular sizin için hiç de yeni değil! Eminim siz de aynı soruları kendinize sordunuz, ancak cevap bulamadıkça unutmayı tercih ettiniz. Hadi başlayalım…
Tuvalet kağıdı rulosunun çocukların elişi çalışmalarında çok sık kullanılan bir malzeme olduğunu biliyoruz. Evde biriktirilen tuvalet kağıdı ruloları okula gider, ve hiç beklemediğiniz, son derece yaratıcı fikirler uygulanmış bir şekilde size sürpriz olarak geri döner. Favorilerimden bazıları şöyle:
Çocuklar, haklı olarak, ne zaman dalgınlığa düşüp de tuvalet kağıdı rulosunu biriktirme kutusuna değil de geri dönüşüme atsanız, çatılmış kaşlarla bakarlar. Tabi sadece bununla da kalmazlar, o tuvalet kağıtları bir an önce bitsin de rulolar bir an önce biriksin diye ellerinden geleni yaparlar. Diğer bir deyişle, çocukların maksimize etmeye çalıştıkları fonksiyon, tuvalet kağıdı rulosu sayısıdır. Evde böyle bir tuvalet kağıdı bitirme merakı varken, siz de bir yandan ebeveyn olarak tuvalet kağıdını en ekonomik şekilde kullanmak gibi bir yükümlülükle karşı karşıyasınızdır.
Bu problemin zorluğu ilk olarak şuradan geliyor: Sadece tek bir amaç fonksiyonu yok, bir çeşit çok amaçlı optimizasyon problemi ile karşı karşıyayız. Çocukları en mutlu edecek çözüm en çok sayıda tuvalet kağıdı bitirmek iken, ebeveynlerin amacı masrafları minimize etmek. Üstüne üstlük, çocukların amaç fonksiyonu ile ebeveynlerinki çatışıyor: yani birini iyileştirirken, diğerini daha kötü hale getiriyorsunuz. Öyleyse, herkesin kabul edebileceği bir çözüm bulmak için iki tarafın da ödün vermesi ve bir dengeleme yapması (trade-off) gerekir. Hayatın birçok alanında olduğu gibi, yine bir ara yol bulmanız gerekiyor. Çocukların elişi hevesini kırmak istemiyorsunuz, ama tuvalet kağıdına gereğinden fazla para vermek de istemiyorsunuz. Peki dengeyi nasıl tutturacağız?
Şöyle bir analizle başlayalım. Çocuğun mutluluğunun tuvalet kağıdı sayısı ile doğru orantılı olduğunu varsayalım. Diğer bir deyişle, marjinal mutluluğun, yani her bir ek tuvalet kağıdı rulosunun çocuğa verdiği mutluluğun, tuvalet kağıdı sayısı arttıkça düşmediğini, hep sabit kaldığını varsayalım. Buna karşılık, biliyoruz ki bir paketteki rulo sayısı artıkça, bir rulonun birim maliyeti düşüyor. Yani örneğin 8 ruloluk paket 10 TL iken, aynı özelliklere sahip tuvalet kağıdının 16 rulosu $2\times 10= 20$ TL değil, mesela 18 TL oluyor.
Bu gözlemlere dayanarak, farklı tuvalet kağıdı paketi seçeneklerini, bir aksında fiyat diğer aksında mutluluk (yani tuvalet kağıdı sayısı) olan bir düzlemde gösterelim. Marketteki tüm seçenekleri gösterdiğimizde şuna benzer bir şekille karşılaşırız:
Bu düzlemde gösterilen her bir nokta bir tuvalet kağıdı paketi seçeneğini gösteriyor. Ancak bazı noktalar, tam olarak kırmızı noktalar, diğerlerine göre bariz bir şekilde daha ‘‘iyi’’. Bu noktalardan birindeyken çocukların mutluluğunu azaltmadan fiyatı daha da düşüremiyoruz. Benzer şekilde, bu noktalardayken, fiyatı arttırmadan çocukların mutluluğunu da arttıramıyoruz. İşte bu noktalar pareto optimal seçenekleri gösteriyor. Pareto optimal bir çözüm, diğer çözümlere göre baskındır; yani, her bir kriter açısından en az pareto optimal bir çözüm kadar iyi başka bir çözüm yoktur. Çocukların memnuniyeti ile fiyat açısından Pareto optimal seçenekler arasından bir tuvalet kağıdı satın almak son derece mantıklı görünüyor. Böyle bir kararı her iki taraf da anlayışla karşılayacaktır.
Ne büyüklükte bir paket alacağınıza karar verdikten sonra, en ucuz tuvalet kağıdını almak bu çatışmanın her iki tarafını da bir miktar rahatlatabilir ve kabul edilebilir bir çözümde anlaşmalarına yardımcı olabilir elbet. Burada ‘‘en ucuz’’dan kastedilen birim fiyatı en ucuz olan tuvalet kağıdıdır. Bunu bir ilkokul çocuğu bile hesaplayabilir:
Birim fiyat = paketteki tuvalet kağıdı sayısı / paketin fiyatı
Ancak, siz de burada küçük bir sorun görmüyor musunuz? Birim fiyatı minimize eden tuvalet kağıdı gerçekten de en hesaplısı mıdır? En hesaplı tam olarak ne demek? En hesaplı tuvalet kağıdını birim fiyatı en ucuz olan diye algılamak biraz fazla indirgeyici bir yaklaşım değil mi? Birim fiyatı en düşük olan tuvalet kağıdını aldığınızda kalitesinden memnun kalmama ihtimaliniz hiç de az değil. Ya da çabucak bitti diye hayıflanma. Aslında hesaplı kelimesinden kasıt ucuz değil, verimli. İşte şimdi işler karışmaya başladı çünkü ‘‘ucuz’’ kriterinin gayet bariz bir ölçütü vardı: fiyat. Peki verimi nasıl ölçeceğiz? Bu biraz daha karmaşık bir optimizasyon sorusu. Üstüne üstlük hepimiz endüstri mühendisliği ve optimizasyon dersleri almadık.
Peki, en hesaplı tuvalet kağıdı hangisi gerçekten? Hele de bazı ekonomik analizlere göre COVID19 döneminde Türkiye’de en çok fiyat artışı görülen üç üründen birisi tuvalet kağıdı iken, evde tuvalet kağıdı rulosuna meraklı bir çocuk olsun ya da olmasın, herkesin kendine sorduğu bir sorudur bu. Markete gittiniz, tuvalet kağıdı reyonunda karşınızda onlarca farklı markada ve boyutta tuvalet kağıdı paketi duruyor. Herhalde o noktada dakikalarca paketlere bakakalan bir tek ben değilim, öyle değil mi? Bu sefer hangisini almalıyım? Kolay olsun diye bir önceki aldığım paketten alayım diyorum, ama tuvalet kağıdı mafyası yakamı o kadar kolay bırakmıyor. Bazı paketlerde indirim var! Hadi bakalım, indirimleri de hesaba katarak bu sefer hangisini almalıyım? İndirime girmişlerden bir tanesi pekala her zaman aldığım tuvalet kağıdından daha hesaplı olabilir. Zaten o anda fark ediyorum ki, ‘‘her zaman aldığım tuvalet kağıdı’’ diye bir şey de yok, hiç olmamış. Hadi bakalım, baştan hesap yapmalıyım. Peki ama ne hesabı tam olarak? Nasıl bulacağım hangisinin daha hesaplı olduğunu?
Paketlere daha yakından bakınca, tuvalet kağıtlarının farklı özellikleri göze çarpıyor. En önemlilerinden birisi, kağıdın kaç katlı olduğu. Bir, iki ya da üç katlı olabiliyor. Peki o zaman, tek katlı bir tuvalet kağıdının 4 bölmesi ile çift katlı bir tuvalet kağıdının 2 bölmesi birbirine denk midir? Ayrıca, denk ne demek? Tuvalet kağıdından beklenen diğer bir özellik emicilik. Peki emiciliğin ölçütü nedir? Bir parçanın yırtılmadan emebildiği sıvı miktarı olsa gerek. Bir de yumuşaklık var tabi, ki onun ölçütü nedir hiç bir fikrim yok. En azından ‘‘az yumuşak’’, ‘‘orta yumuşak’’, ‘‘çok yumuşak’’ gibi niteliksel kategoriler olsa fena olmazdı. Oysa her marka kendisinin ‘‘çok yumuşak’’ olduğunu iddia ediyor. Doğru düzgün nesnel bir ölçütü dahi olmayan tüm bu etkenleri verimlilik hesabımıza nasıl dahil edeceğiz? Hiç de kolay olmayan bir mühendislik sorusuyla karşı karşıyayız.
En başta da söylediğim gibi, bu konuda soru işaretim çok, cevabım ise az. Tek bildiğim, tuvalet kağıdı optimizasyonunda tüketicilere biraz daha yardımcı olacak bir bilgilendirme sistemine ihtiyacımız olduğu. Örneğin, nasıl çamaşır ya da bulaşık makinesi deterjanlarının üzerinde ‘‘36 yıkamalık’’ gibi ibareler varsa, tuvalet kağıdı paketlerinin üzerinde de benzer şekilde bir bilgilendirme olabilir! Burada önemli olan, tüm markaların aynı şekilde hesaplama yapıp, aynı ölçüm birimini kullanması. Öte yandan, şunu da bilmek gerekir ki, yukarıda yaptığımız küçük fikir jimnastiğinde henüz hesaba katmadığımız daha birçok başka etken de var. Örneğin, farklı renklerde tuvalet kağıdı seçenekleri sunarak banyonuzu daha havalı hale getiren ürünler mevcut(muş). Ya da, geri dönüşümlü kağıt kullanarak çevre duyarlılığınıza hitap eden ürünler öneren markalar var. Bunların yukarıdaki hesaplara sayısal olarak yansıtılmasının ne kadar zor olduğu ortada. Merakla bekliyorum, yakın zamanda tuvalet kağıdı mühendisleri tüketicilere biraz daha yardımcı olacak bir bilgilendirme sistematiği getirebilecekler mi acaba?
Teşekkür: Bir öğle yemeğinde ayaküstü ‘‘tuvalet kağıdı ve matematik’’ konusundan bahsettiğimde bana bu yazının fikrini veren sevgili arkadaşım Özge Özden’e teşekkürler.