İşlev (matematik) - Function (mathematics)
|fonksiyon|
|X ↦ f ( x )|
|Tarafından örnek olarak etki ve değer kümesi|


|Sınıflar / özelliklerini|
|Sabit · Kimlik · Doğrusal · Polinom · Rasyonel · Cebirsel · Analitik · Pürüzsüz · Sürekli · Ölçülebilir · İnjektif · surjective · bijective|
|İnşaat|
|Kısıtlama · Kompozisyon · λ · Ters|
|genellemeler|
|Kısmi · Birden çok değerli · Örtülü|
In matematik , bir fonksiyon başlangıçta değişen miktar başka miktarına bağlıdır nasıl idealleştirilmesiyle oldu. Örneğin, bir konum gezegen a, fonksiyon zaman. Tarihsel olarak , kavram ile eklemeler yapılmış sonsuz hesabın 19. yüzyıla kadar kabul edildi fonksiyonları vardı, 17. yüzyılın sonunda ve türevlenebilir (bunlar düzenlilik yüksek bir kurum olmasıdır). Fonksiyon kavramı açısından 19. yüzyılın sonunda resmiyet küme kuramı ve bu büyük konsepti uygulama alanlarını genişletmiştir.
Bir fonksiyon, bir işlem ya da her eleman ilişkilendiren bir ilişkidir X a grubu , X , alan , tek bir eleman için, fonksiyon y başka bir dizi Y, (muhtemelen aynı grubu), değer kümesi fonksiyonunun. İşlev olarak adlandırılır Eğer f , bu ilişki belirtilmektedir y = f ( x ) (okuma ön ve x elemanı) X olup bağımsız değişken veya giriş fonksiyonunun ve y olan fonksiyon değeri , çıkış ya da görüntü ve x ile f . Giriş temsil edilmesi için kullanılır semboldür değişken fonksiyonunun (bir sık söylüyor f değişken bir fonksiyonudur x ).
Bir fonksiyon benzersiz olarak temsil edilir grafik tüm dizi çiftleri ( x , f ( x )) . Alan ve değer kümesi kümeleridir zaman sayılar , her biri, bir çift olarak değerlendirilebilir Kartezyen koordinatlarında düzleminde bir deliği kapsamaktadır. Genel olarak, bu noktalar da fonksiyon grafiği denir bir eğri oluşturur. Bu, yaygın olarak kullanılan her yerde işlev, yararlı bir temsilidir. Örneğin, fonksiyonların grafikleri yaygın evrimini temsil edilmesi için gazetelerde kullanılan fiyat endekslerinin ve borsa endekslerinde
Fonksiyonlar yaygın olarak kullanılan bilim ve matematiğin en alanlarındaki. Onların rolü onlar matematiğin en alanlarda "soruşturmanın merkez nesneleri" olduğu söylenmiştir çok önemlidir.
içindekiler
- 1 Tanım
- 2 Gösterim
- 3 işlev belirlenir
- 4 Bir işlevi Temsil
- 5 Genel Özellikler
- 6 Çok değişkenli fonksiyon
- 7 calculustan
- 8 Fonksiyon alanı
- 9 genellemeler
- 10 matematik ve set teorisinin temelleri ise
- 11 bilgisayar bilimi
- 12 Ayrıca bakınız
- 13 notlar
- 14 Referanslar
- 15 daha fazla okuma
- 16 Dış bağlantılar
Tanım
Sezgisel olarak, bir işlev, bir setin her elemanına iştirakçi bir süreçtir X bir dizi eşsiz bir unsuru , Y .
Biçimsel olarak, bir işlev f bir seti X bir dizi Y, bir kümesi tarafından tanımlanmaktadır G sıralı çiftlerinin ( x , y ), öyle ki x ∈ X , Y ∈ Y , ve her eleman X sipariş tam olarak bir ilk bileşenidir içerisinde çift G . Diğer bir deyişle, her için x de , X , sadece tek bir elemanı vardır y sıralı ikili şekilde ( X , Y ) işlevi tanımlayan çiftleri setine f . Grubu G olarak adlandırılan fonksiyonu grafiği . Resmi olarak konuşursak, fonksiyonu ile tanımlanan, ancak bu bir süreç olarak bir fonksiyonun zamanki yorumunu gizler olabilir. Bu nedenle, ortak kullanım, fonksiyon genel olarak grafikten ayırt edilir. Fonksiyonlar da denir haritalar veya eşleştirmeleri . Ancak, bazı yazarlar kelime saklıdır eşleştirmeyi değer kümesi davaya Y fonksiyonunun tanımına açıkça aittir. Bu anlamda, haritalama grafik çifti grubu olarak işlev kurtarır.
Fonksiyon tanımında, X ve Y, sırasıyla adlandırılır alan ve değer kümesi fonksiyonu f . Eğer ( x , y ) tanımlayan setine f , o zaman Y bir görüntü ve x altında f , ya da değeri arasında f uygulanan bağımsız değişken x . Özellikle numaraları bağlamında, bir o da söyler y değeridir f için bir değer , x onun değişken hala daha kısa olan, ya da, Y bir değeri f arasında x rakamı ile belirtilen, y = f ( x ) .
Domain ve değer kümesi daima açıkça bazı (muhtemelen zor) hesaplama olmadan, bir alan daha büyük bir sette bulunan tek olduğunu bilir, bir fonksiyon tanımlandığında verilen ve verilmez. Tipik haliyle, bu meydana gelir matematiksel analiz "bir işlev, gelen X ile Y " , genellikle uygun bir alt kümesi olabilir bir fonksiyonu belirtir , X etki alanı. Örneğin, bir "Gerçekten mi üzere reals işlev" Bir anlamlara gelebilir gerçek değerli bir fonksiyonu gerçek değişken ve bu ifade işlevin tanım bütün kümesidir anlamına gelmez gerçek sayılar ama sadece o, etki alanı olmayan bir boş içeren gerçek sayılar kümesidir açık aralık . Örneğin, ön alanı ve değer kümesi gibi gerçek sayılar olduğu bir fonksiyonudur, değer ortaya koyan bir fonksiyonu x değerine bir fonksiyonudur g alan Reals için reals realse grubu olduğu , x , örneğin bu f ( x ) ≠ 0 . Birçok durumda, kesin etki belirlemek zordur, ancak bu nadiren böyle fonksiyonları ile çalışmak için bir sorundur.
Menzil bir fonksiyonun etki alanındaki tüm elemanların görüntüleri kümesidir. Bununla birlikte, aralık zaman genellikle eski ders kitaplarında, değer kümesi bir eş anlamlı olarak kullanılır.
ilişkisel yaklaşım
Bir alan kartezyen ürünün herhangi bir alt grubu ve bir değer kümesi bir tanımlamak için söz konusu olan ikili bir ilişki bu iki set arasında. Keyfi bir ilişki yukarıda belirtilmiş olan bir işlev için gerekli şartları ihlal çiftleri içerebilir hemen.
Bir tek değerlikli bir ilişki bir ilişki şekildedir
Univalant ilişkiler kimin alanı bir alt kümesidir fonksiyonlarına tanımlanabilir X .
Bir sol-toplam ilişki bir ilişki şekildedir
Biçimsel işlevler kesinlikle hem yalınkat ve sol toplam vardır ilişkilere tanımlanabilir. Sol bütünlüğünü ihlal yukarıda açıklandığı gibi, yerine gerçek etki alanının ayarlanmış uygun bir şeyi kapsayan vererek benzer.
Fonksiyonlar ve fonksiyon bileşiminin çeşitli özellikleri ilişkilerinin dilinde yeniden formüle edilebilir. Örneğin, bir fonksiyonudur birebir ise tersi ilişki ters ilişki olarak tanımlanır tek değerli, bir
Gösterim
Fonksiyonlarını gösteren çeşitli standart yolları vardır. En yaygın olarak kullanılan notasyon fonksiyonu ve açık bir şekilde değişken isimleri veren bir denklem kullanılarak işlevi tanımlar işlevsel gösterim vardır. Bu genellikle fonksiyonların temel tedavilerinde geçiştirilmiştir ince bir noktaya, yol açmaktadır: fonksiyonlar onların farklıdır değerler . Bu durumda, bir fonksiyon f değeri ayırt edilmelidir f ( x 0 ) değeri ile x 0 kendi etki. Bir dereceye kadar, hatta çalışan matematikçiler kolaylık resmi olmayan ortamlarda ikisini conflate edecek ve bilgiçlik taslayan dil kullanımını önlemek için. Bununla birlikte, doğruyu söylemek gerekirse, bir bir gösterim kötüye "izin yazma fonksiyonu f ( x ) = x 2 " yana f ( x ) ve x 2 hem de anlaşılmalıdır değer arasında f de x yerine, kendini çalışır. Bunun yerine, bilgiçlik olsa yazma "izin doğrudur denklemi ile tanımlanan fonksiyonu f ( x ) = x 2 , tüm gerçek değerleri için geçerli x ".
Dil ve gösterimde Bu ayrım kendilerini diğer fonksiyonlar için girdi olarak hizmet fonksiyonları durumlarda önem kazanmaktadır. (Bir giriş, bir adlandırılır gibi bir fonksiyon, başka bir fonksiyonu alarak işlevsel .), Aşağıda ayrıntıları gösteren işlevlerine diğer yaklaşımlar, bu sorunu önlemek ancak daha az yaygın olarak kullanılmaktadır.
Fonksiyonel notasyonu
İlk kullandığı Leonhard Euler , 1734 yılında, o bir işlev gösteren bir sembol kullanmak çoğu kez yararlıdır. Bu sembol, genellikle tek bir harfin oluşur italik yazı , çoğunlukla küçük harfler f , g , h . Bazı yaygın olarak kullanılan fonksiyonları (genellikle iki ya da üç kişinin adının genellikle kısaltması) birkaç harften oluşan bir sembol ile temsil edilmektedir. Geleneksel olarak, standart fonksiyonlar için sembol ayarlanır roman türü örneğin "gibi günah için" sinüs fonksiyonu bir tanımlanmış fonksiyonlar aksine, ad hoc esasına.
Gösterimi (okuyun: " y eşittir f ve x ")
çift demektir ( x , y ) fonksiyonu tanımlayan çiftleri setine f . Eğer X, alan adı olan , f , kullanılarak olan ve böylece fonksiyon tanımlama çiftleri grubu set-oluşturucu gösterimde ,
Çoğu zaman, işlevin bir tanımı nedir verilir f açık argüman için yaptığı x. Örneğin, bir fonksiyon f denklem ile tanımlanabilir
tüm gerçek sayılar için x. Bu örnekte, f olarak düşünülebilir kompozit 1 ekleme ve sinüs alarak kare alma: Birkaç basit fonksiyonların. Karesinin alınması ve sonra 1 eklenmesi, polinom ifadesi ile açıklanmıştır Bununla birlikte, sadece bir sinüs fonksiyonu, ortak bir açık sembolü (sin) sahip olmasıdır . Açık bir şekilde (fonksiyon tanımlayarak, örneğin kare alma ya da yeni işlev adları yol açmadan 1 ekleyerek gibi fonksiyonları referans amacıyla g ve h ile ve ) (ok gösterim ya da nokta gösterimi) aşağıdaki yöntemlerden biri kullanılabilir.
Bazen fonksiyonel gösterim parantezler fonksiyonunu gösteren sembol birkaç karakter içerdiğinde atlanmıştır ve hiçbir belirsizlik ortaya çıkabilir. Örneğin, yerine yazılabilir
Ok notasyonu
Açık alan ifade için X ve değer kümesi , Y bir fonksiyonu f , ok gösterim çoğu (: oku kullanılan "fonksiyonu f gelen X ile Y " ya da "fonksiyonu f haritalama elemanları X elemanlarına Y " ):
veya
( "Oku Bu genellikle elemanlar için ok işaretleri ile birlikte ilgili olarak kullanılan ön harita x için f ( x ) "), genellikle hemen işlev simgesi, alan ve değer kümesi veren ok gösterimde alt tarafına yerleştirilmiş:
Bir çarpma bir dizi tanımlanır Örneğin, X , daha sonra kare fonksiyonu ile ilgili X açık bir şekilde tanımlanır (okuyun: "fonksiyonu ile ilgili X için X bu harita X için X ⋅ X ")
İkinci hat daha yaygın yazılıyor
Çoğu zaman, işlev simgesini, domain ve değer kümesi vererek ifade kullanılmaz. Onun değişken açısından fonksiyon değeri ifade eden bir formül ile, çoğu zaman olduğu gibi Böylece, ok gösterimi, tanımlanmış bir işlev için bir simge sokulması önlemek için yararlıdır. Ok gösterimde ortak bir uygulama olarak, varsayalım iki bağımsız değişken fonksiyonudur ve bir başvurmak üzere kısmen uygulanan fonksiyon değeri ikinci bağımsız değişken tespit üretilen t 0 yeni bir fonksiyon adı yol açmadan. Söz konusu harita ifade edilebilir elemanları ok gösterimi kullanılarak. İfade Not : ( "alarak ilk okuma x için sadece bir bağımsız değişken ile, bu yeni bir fonksiyonu temsil eder ifadesi ise") fonksiyonu değerine karşılık gelir f de nokta .
Dizin gösterimi
Dizin notasyonu sık yerine fonksiyonel gösterim kullanılır. Yani yazmak yerine ait olduğu f ( x ) , bir yazar
İndeks gösterimi de sık sık adı verilen bazı değişkenleri ayırmak için kullanılır parametreler "gerçek değişkenler" dan. Aslında, parametreler bir sorun nedeniyle çalışma sırasında tespit edilmiş olarak kabul edilir belirli değişkenlerdir. Örneğin, harita (yukarıya bakınız) ifade edilecektir biz haritaların koleksiyonunu tanımlarsanız, endeks gösterimi kullanarak formülle herkes için .
nokta notasyonu
Gösterimde sembol x herhangi bir değeri temsil etmiyor, sadece bir olan tutucu eğer, yani x ok solda herhangi değeriyle değiştirilir, bu ok sağdaki aynı değerle değiştirilmelidir. Bu nedenle, x genellikle herhangi simgesiyle bir değiştirilebilir interpunct " ⋅ ". Bu fonksiyon, ayırt edilmesi için yararlı olabilir f (⋅) değeri ile ilgili f ( x ) en x .
Örneğin, fonksiyonu temsil edebilir , ve değişken üst sınır ile bir yekpare ile tanımlanan bir fonksiyonu temsil edebilir: .
Uzmanlaşmış gösterimler
Matematiğin alt disiplinlerde işlevler için diğer uzman gösterimler vardır. Örneğin, lineer cebir ve fonksiyonel analiz , doğrusal biçimlerde ve vektörler , üzerinde etkili bir kullanılarak belirtilmiştir çift çifti , arka plandaki göstermek için ikilik . Bu kullanımına benzer sutyen-ket notasyonu kuantum mekaniği. Gelen mantık ve hesaplama teorisinde , işlevi notasyonu lambda hesap açıkça fonksiyon temel kavramlarını ifade etmek için kullanılan soyutlama ve uygulama . Gelen Kategori teorisi ve homolog cebir , fonksiyonların ağların, ve bunların bileşimleri açısından nasıl açıklanmaktadır gidip birbirine kullanarak değişmeli diyagramları uzanan ve yukarıda tarif edilen fonksiyonlar için ok gösterimi generalize.
işlev belirlenir
Bir fonksiyonu tanımına göre, belirli bir fonksiyonu, genel olarak, kendi değer kümesi kendi alan bir elementin her elemana birleştirilmesi ile tanımlanır. Alan ve değer kümesi numaraları kümeleridir, bu ilişki bir hesaplama girdisi olarak etki alanının herhangi bir elemanı alma ve değer kümesi içinde bir çıktı üreten, şeklini alabilir. Bu hesaplama aşağıdaki bir formül ile tarif edilebilir. (Bu, bir başlangıç noktasıdır cebir birçok benzer sayısal hesaplamalar yardımıyla bu hesaplamaları açıklanan tek bir formül ile ikame edilmiş olabilir, değişken belirtilmemiş sayı olarak hesaplama girişi temsil eder). Bir fonksiyonun tarifnamenin Bu tür genellikle daha önce yardımcı işlevler tanımlandığı kullanır.
Örneğin, bu fonksiyon f den reals formül I ile tanımlanan Reals için, yardımcı fonksiyon olarak istihdam kare fonksiyonu (negatif olmayan reals tüm real eşleme), karekök fonksiyonu olmayan negatif reals haritalama ( negatif olmayan reals) ve gerçek sayılar ilavesinden. Reel sayılar tüm resim alanı olarak alınabilir f karekök fonksiyonunun alan negatif olmayan reel sayılar ile sınırlı olsa da,; görüntü f az olmamak olan reals oluşur.
Bir işlevi tanımlayan bir hesaplama genellikle ile tarif edilebilir algoritma ve algoritma her türlü kullanılabilir. Bazı durumlarda, bir fonksiyon tanımlama tanımlanmıştır, ancak hesaplanmadı edilebilir elemanlar veya özellikler içerebilir. Örneğin, bir dizi gördüğü takdirde girdi olarak bir tamsayı almak belirli bir programlama dilinde programlar. Sonlandırma fonksiyonu bir programın 1 döndürür fonksiyonudur ishal sonsuza kadar, belirli bir tamsayı girişi üzerinde çalıştırıldığı zaman, ve değilse 0. Bu temel teoremi olan Hesaplama teorisi bu fonksiyonu hesaplamak için bir algoritma var var olmadığını. Daha genel olarak hesaplanabilirlik teorisi çalışmasıdır hesaplanabilir fonksiyonlar , yani bir algoritma tarafından hesaplanabilir fonksiyonlar.
tanımlayan fonksiyon, yukarıda biçimi, bu, her bir değerin, bağımsız bir şekilde, diğer değerler tanımlanmış olduğu, "noktasal" olarak tanımlar. Bu her zaman doğru değildir.
Fonksiyonun alan negatif olmayan tamsayılar grubu olduğu zaman alan bir zaman ya da, daha genel olarak, iyi düzenlenmiş grubu , bir işlev ile tanımlanabilir indüksiyon veya yineleme , (kabaca) anlamına bu işlevi değeri hesaplanması bazı belirli bir giriş için fonksiyon değerleri gerektiren daha düşük girdi. Örneğin, Fibonacci dizisi (bkz iki hemen önceki tartışmalara tekrar iki çıkış değerleri ile bir formül ile tanımlanır kendi içine doğal sayılar bir fonksiyonudur yukarıda bir fonksiyonun bağımsız değişken için endeksler kullanımı için):
In matematik , kabul zamanki fonksiyonları kapsamlı düzenlilikleri var. Bu bir noktada fonksiyonunun değeri komşu noktalarında fonksiyon değerleri ile ilgilidir vardır. Bu onları tanımlama, fonksiyonel denklem (örneğin, gama fonksiyonu benzersizdir meromorfik fonksiyonu olacak şekilde ve herhangi bir kompleks için z olmayan bir pozitif tamsayı değil) tarafından, diferansiyel denklemler (örneğin, doğal logaritma çözüm diferansiyel denklem bu şekilde ln (1) = 0 ) ile integral denklemler ya ile analitik devamında .
Bir işlevi Temsil
Bir grafik yaygın olarak bir fonksiyonun sezgisel bir resim elde etmek için kullanılır. Bir grafiktir bir işlev anlamalarına yardımcı olur bir örnek olarak, bir işlev artan ya da azalan olup olmadığının araştırılması grafikten görmek kolaydır. Bazı işlevler de temsil edilebilir histogramlar .
grafik
Bir fonksiyon Verilen onun grafiği , resmen kümesidir
Sık durumda X ve Y, alt kümesi olan gerçek sayılar (ya da bu tür alt-gruba tespit edilebilir), bir element koordinatları alanına sahip tanımlanabilir x , y olarak Kartezyen düzlemde . Bu noktalar İşaretleme bir çizim, genel olarak, bir eğri sağlamaktadır, bu da adlandırılır fonksiyonunun grafiğidir . Örneğin grafik kare fonksiyonunun
a, parabol koordinatları tüm noktaları oluşur için
İşlevi yeterli düzenli ise etkin bir fonksiyonu grafiğini çizmek mümkündür yani, her iki fonksiyonu ise türevlenebilir (veya parçalı türevlenebilir) veya alan tamsayı ya da tamsayılar bir alt kümesi ile tespit edilebilir, eğer.
Alanı veya işlev değer kümesi ya ise bir alt grafiğinin bir bir alt kümesidir Kartezyen uzay yüksek boyutun ve çeşitli teknikler (bakınız, çizim boyutları birini temsil eden için renkler kullanılmasını içeren için geliştirilmiştir Alan boyama ).
Histogram
Histogramlar genellikle kimin alanı sonlu fonksiyonlarını temsil etmek için kullanılır, ya da vardır doğal sayılar veya tamsayılar . Bu durumda, bir element X bir alanındaki bir ile temsil edilir aralığı içinde X -Axis ve bir nokta ( x , y ) ile temsil edilir grafiğin dikdörtgen esasına tekabül eden aralık x ve yükseklik y .
Olarak istatistik histogram genellikle çok düzensiz fonksiyonlarını temsil kullanılır. Örneğin, bazı nüfus her bir üyesine ağırlığını ilişkilendiren fonksiyon temsil her biri bir ağırlığa ilişkilendirir ağırlıkları bu aralık ait kişilerin sayısını aralığın fonksiyonunun histogram çizer.
Orada bu yöntemin birçok varyasyonlar şeklindeki bkz Histogram detaylar için.
Genel Özellikler
Bu bölümde etki ve değer kümesi spesifik özelliklerinin bağımsız fonksiyonlarının genel özellikleri açıklanmaktadır.
Kanonik fonksiyonlar
Bazı işlevler benzersiz alan adlarıyla tanımlanan ve değer kümesi ve bazen denir vardır kanonik :
- Her set için X , benzersiz bir işlevi var denilen boş işlevi gelen boş kümesi için X . Bu fonksiyon, Benzer şekilde, tabloların basitleştirmek için tek başına ilginç, ama yararlı değildir boş toplamı (0 eşit) ve boş bir ürün 1 'e eşit.
- Her dizi için X ve her tekil dizi { s } , özel bir işlevi vardır, adı verilen standart örten gelen, X için { s } eşleştiren olan, s her eleman , X . Bu durumu dışında, (aşağıya bakınız) bir örten olduğu X'in boş kümesidir.
- Bir fonksiyonu göz önüne alındığında kanonik örten ve f onun üzerine görüntü ile ilgili bir fonksiyondur X için f ( x ) bu harita X için f ( x )
- Her için alt grup , X bir dizi Y , standart enjeksiyon bölgesinin X içine Y her eleman haritalar birebir (aşağıya bakınız) fonksiyonudur X kendisine.
- Kimlik fonksiyonu arasında X genellikle ile gösterilen, bir standart enjeksiyon X kendi içine.
fonksiyonların Eşitlik
İki fonksiyonları f ve g kendi alan ve değer kümesi kümeler katılıyorum ve onların çıkış değerleri etki alanının tamamında kabul ediyorsanız eşittir. Biçimsel olarak, f = gr ise f ( x ) = g ( x ) için tüm x ∈ X , burada f : X → Y ve g : X → Y .
Fonksiyon kompozisyon
İki işlev verilen ve etki alanı bu tür g arasında değer kümesi olan f , bunların terkip fonksiyonu ile tanımlanan
Yani, değeri birinci uygulama ile elde edilir f için x elde etmek üzere y = f ( x ) ve daha sonra emici g sonuç, y elde edilmesi için gr ( y =) g ( f ( x )) . Gösterimde ilk uygulandığı fonksiyonu daima sağda yazılır.
Bileşim, bir bir işlem birinci fonksiyonun değer kümesi, ikinci bir etki alanı yalnızca tanımlanır fonksiyonları üzerinde. Her iki bile ve bu koşulları yerine bileşim, zorunlu olarak değil değişmeli , yani fonksiyonları ve eşit olmak zorunda değildir, ama aynı değişken için farklı değerler teslim edilebilir. Örneğin, izin f ( x ) = x 2 ve g ( x ) = x + 1 , daha sonra ve sadece için kabul
Fonksiyon bileşimdir birleştirici biri ise, anlamında ve tanımlanmıştır, diğeri de tanımlandığı gibidir, ve bunlar eşittir. Böylece, bir yazar