Morgan gözleri, önermenin mantığında kullanılan çıkarım kurallarından biridir; bu, bir ayrılığın reddedilmesinin ve önermelerin veya önermesel değişkenlerin birleşiminin reddedilmesinin sonucunu ortaya koyar. Bu yasalar matematikçi Augustus De Morgan tarafından tanımlanmıştır.
Morgan yasaları, matematiksel bir akıl yürütmenin geçerliliğini göstermek için çok faydalı bir araç. Daha sonra matematikçi George Boole tarafından set kavramı içinde genelleştirildi.
Boole tarafından yapılan bu genelleme, Morgan'ın ilk yasalarına tamamen eşdeğerdir, ancak öneriler için değil, kümeler için özel olarak geliştirilmiştir. Bu genelleme aynı zamanda Morgan yasaları olarak da bilinir.
Önerme mantığının gözden geçirilmesi
Morgan'ın yasalarının özel olarak ne olduğuna ve nasıl kullanıldığına bakmadan önce, bazı temel önermeli mantık kavramlarını hatırlamak uygundur. (Daha fazla ayrıntı için önerme mantığı ile ilgili makaleye bakın).
Matematiksel (veya önermeli) mantık alanında, bir çıkarım, bir dizi öncül veya hipotezden yayılan bir sonuçtur. Bu sonuç, yukarıda belirtilen öncüllerle birlikte, matematiksel akıl yürütme olarak bilinen şeye yol açar.
Bu akıl yürütme gösterilmeli veya reddedilmelidir; yani, matematiksel bir akıl yürütmedeki bütün çıkarımlar veya sonuçlar geçerli değildir.
safsata
Doğru olduğu kabul edilen belirli varsayımlardan yayılan yanlış bir çıkarım, yanlışlık olarak bilinir. Yanlışlar, doğru görünen argümanlar olma özelliğine sahiptir, ancak matematiksel olarak değildir.
Öngörüsel mantık, herhangi bir belirsizlik olmadan, matematiksel bir akıl yürütmeyi doğrulayabilen veya çürütebilen yöntemler geliştirmek; yani, tesislerden geçerli bir sonuç çıkar. Bu yöntemler Morgan yasalarının bir parçası olduğu çıkarım kuralları olarak bilinir.
önermeler
Önerme mantığının temel unsurları önermelerdir. Öneriler, birinin geçerli olup olmadığını söyleyebileceği, aynı zamanda doğru veya yanlış olamayacağı ifadeleridir. Bu konuda belirsizlik olmamalıdır.
Rakamlar toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleriyle birleştirilebildiği gibi, önermeler bilinen bağlayıcı (veya bağlayıcılar) mantıksal olarak çalıştırılabilir: olumsuzlama (, "hayır"), ayrılma (V, "O"), birlikte (Ʌ, "ve"), koşullu (→, "eğer ..., sonra ...") ve iki taraflı (↔, "evet ve sadece ise").
Daha genel olarak çalışmak için, belirli önerileri değerlendirmek yerine, önerileri temsil eden önerme değişkenlerini göz önünde bulundururuz ve genellikle küçük harfler p, q, r, s, vb. İle belirtilir.
Önerme formülü, mantıksal bağlayıcının bir kısmı aracılığıyla teklif değişkenlerinin bir birleşimidir. Başka bir deyişle, teklif değişkenlerinin bir bileşimidir. Genellikle Yunanca harflerle belirtilirler.
Bir önermeli formülün, ikincisinin her biri ilk doğru olduğunda doğru olduğu zaman, başka bir ifadeye işaret ettiği söylenir. Bu ile gösterilir:
İki önermeli formül arasındaki mantıksal ifade karşılıklı olduğunda - yani önceki uygulamanın zıt yönde de geçerli olması durumunda - formüllerin mantıksal olarak eşdeğer olduğu söylenir ve
Mantıksal denklik, önermeli formüller arasında bir tür eşitliktir ve gerektiğinde birinin biri tarafından değiştirilmesine izin verir.
Morgan yasaları
Morgan yasaları, iki önerme biçimi arasındaki iki mantıksal eşitlikten oluşur, yani:
Bu yasalar, ilgili değişkenlerin olumsuzlamaları olarak bir ayrılmanın ya da bir bağlantının ihmalinin ayrılmasına izin verir.
Birincisi şu şekilde okunabilir: Bir ayrılmanın ihmali, olumsuzlukların birleşimine eşittir. İkincisi ise şöyle okur: Bir bağlantının ihmali, olumsuzlukların ayrılışıdır.
Başka bir deyişle, iki önermeli değişkenin ayrılmasının inkar edilmesi, her iki değişkenin olumsuzluğunun birleşimiyle eşdeğerdir. Aynı şekilde, iki önerme değişkeninin birleşimini reddetmek, her iki değişkenin olumsuzluğunun ayrılığına eşdeğerdir.
Daha önce de belirtildiği gibi, bu mantıksal denkliğin yerine konması, diğer mevcut çıkarım kuralları ile birlikte, önemli sonuçların gösterilmesine yardımcı olur. Bunlarla birçok önermeli formülü basitleştirebilirsiniz, böylece çalışmak için daha faydalı olurlar.
Aşağıdaki, bu Morgan yasaları arasında, çıkarım kurallarını kullanan matematiksel bir ispat örneğidir. Spesifik olarak, formülün gösterdiği:
eşittir:
İkincisi anlamak ve geliştirmek için basittir.
gösteri
Morgan yasalarının geçerliliğinin matematiksel olarak gösterilebileceğinden söz etmek gerekir. Bir yol, doğruluk tablolarınızı karşılaştırarak.
kümeler
Aynı çıkarım kuralları ve önermelere uygulanan mantık kavramları, kümeler dikkate alınarak geliştirilebilir. Matematikçi George Boole'den sonra Boole cebri olarak bilinen şey budur.
Vakaları farklılaştırmak için, gösterim mantığının halihazırda görülen tüm nosyonlarını, notasyonları değiştirmek ve setlere aktarmak gereklidir.
Küme, nesnelerin koleksiyonudur. Kümeler A, B, C, X, ... büyük harfleriyle, kümenin elemanları ise küçük harf a, b, c, x vb. İle gösterilir. Bir eleman bir X kümesine ait olduğunda, aşağıdakilerle gösterilir:
X'e ait olmadığı zaman, gösterim:
Kümeleri temsil etmenin yolu, elemanlarını tuşların içine yerleştirmektir. Örneğin, doğal sayılar kümesi ile temsil edilir:
Kümeler, öğelerinin açık bir listesini yazmadan da gösterilebilir. {:} Biçiminde ifade edilebilirler. İki nokta "öyle" olarak okunur. Kümenin elemanlarını temsil eden bir değişken iki noktanın soluna yerleştirilir ve sağladıkları özellik veya koşul sağ tarafa yerleştirilir. Bu:
Örneğin, -4'ten büyük tam sayılar kümesi şöyle ifade edilebilir:
Ya da eşdeğerde ve daha fazlası şöyle kısaltılır:
Benzer şekilde, aşağıdaki ifadeler sırasıyla çift ve tek sayı kümelerini temsil eder:
Birlik, kesişme ve kümelerin bütünleşmesi
Daha sonra, kümeler arasındaki temel işlemlerin bir parçası olan kümeler halinde, mantıksal bağlayıcının analoglarını göreceğiz.
Birliği ve kavşak
Birlik ve kümelerin kesişimi sırasıyla şöyle tanımlanır:
Örneğin, kümeleri göz önünde bulundurun:
O zaman yapmanız gerekir:
tamamlayıcı
Bir kümenin tamamlayıcısı, o kümeye ait olmayan öğelerden oluşur (orijinalin temsil ettiği türden). A kümesinin tamamlayıcısı şununla belirtilir:
Örneğin, doğal sayılar içinde, çift sayılar kümesinin tamamlayıcısı tek sayılardır ve bunun tersi de geçerlidir.
Bir kümenin tamamlayıcısını belirlemek için, en başından beri, üzerinde durulması gereken evrensel veya ana öğeler kümesinin açık olması gerekir. Örneğin, rasyonel olanlardaki doğal sayılar üzerindeki bir kümenin tamamlayıcısını düşünmek eşit değildir.
Aşağıdaki tabloda, daha önce tanımlanmış olan kümelerdeki işlemler ve teklif mantığının bağlayıcıları arasındaki ilişki ya da analoji gösterilmektedir:
Kümeler için Morgan Kanunları
Son olarak, Morgan'ın setlerle ilgili yasaları:
Yani: Bir sendikanın tamamlayıcısı, tamamlayıcıların kesiştiği, bir kavşağın tamamlayıcısı, tamamlayıcıların birliğidir.
Birinci eşitliğin matematiksel bir kanıtı şöyle olacaktır:
İkincisinin gösterimi benzerdir.