Ögonblick av tröghet i tvärsnittet i en stråle?
List of second moments of area
Beskrivning
Figur
Områdets tröghetsmoment
Kommentar
En fylld cirkulär yta med radie r
I
x
=
π
4
r
4
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}}r^{4}}}
I
y
=
π
4
r
4
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}}r^{4}}}
I
z
=
π
2
r
4
{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}}r^{4}}
 
I
z
{\displaystyle I_{z}}
 är det polära tröghetsmomentet.
En ring med inre radie r1 och yttre radie r2
I
x
=
π
4
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}
I
y
=
π
4
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}
I
z
=
π
2
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}
För tunna rör,
r
≡
r
1
≈
r
2
{\displaystyle r\equiv r_{1}\approx r_{2}}
 och
r
2
≡
r
1
+
t
{\displaystyle r_{2}\equiv r_{1}+t}
. Så för ett tunt rör,
I
x
=
I
y
≈
π
r
3
t
{\displaystyle I_{x}=I_{y}\approx \pi {r}^{3}{t}}
.
I
z
{\displaystyle I_{z}}
 är det polära tröghetsmomentet.
En fylld cirkulär sektor med vinkeln θ i radianer och radien r med avseende på en axel genom sektorns mittpunkt och cirkelns centrum.
I
x
=
(
θ
-
sin

θ
)
r
4
8
{\displaystyle I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}}{8}}}}
Denna formel gäller endast för 0 ≤
θ
{\\displaystyle \theta }
 ≤
π
{\displaystyle \pi }
En fylld halvcirkel med radie r i förhållande till en horisontell linje som går genom områdets mittpunkt.
I
x
=
(
π
8
-
8
9
π
)
r
4
≈
0.1098
r
4
{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}}}
I
y
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}}
 
En fylld halvcirkel som ovan men med avseende på en axel som är kollinjär med basen.
I
x
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}}
I
y
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}}
 
I
x
{\displaystyle I_{x}}
: Detta är en följd av teoremet om parallella axlar och det faktum att avståndet mellan x-axlarna i den föregående och den här axeln är
4
r
3
π
{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}
En fylld kvartscirkel med radie r vars axlar går genom baserna.
I
x
=
π
r
4
16
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}}
I
y
=
π
r
4
16
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}}
 
En fylld kvartscirkel med radie r vars axlar passerar genom mittpunkten.
I
x
=
(
π
16
-
4
9
π
)
r
4
≈
0.0549
r
4
{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}}
I
y
=
(
π
16
-
4
9
π
)
r
4
≈
0.0549
r
4
{\displaystyle I_{y}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}}
 
Detta är en följd av teoremet om parallella axlar och det faktum att avståndet mellan dessa två axlar är
4
r
3
π
{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}
En fylld ellips vars radie längs x-axeln är a och vars radie längs y-axeln är b.
I
x
=
π
4
a
b
3
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}}ab^{3}}
I
y
=
π
4
a
3
b
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}}a^{3}b}
En fylld rektangulär yta med basbredden b och höjden h
I
x
=
b
h
3
12
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{12}}}}
I
y
=
b
3
h
12
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}
 
En fylld rektangulär yta som ovan men med avseende på en axel som är kollinjär med basen.
I
x
=
b
h
3
3
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{3}}}}
I
y
=
b
3
h
3
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{3}}}}
 
Detta är ett resultat från teoremet om parallellaxeln.
En fylld triangulär yta med en basbredd b och en höjd h med avseende på en axel genom mittpunkten
I
x
=
b
h
3
36
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{36}}}
I
y
=
b
3
h
36
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{36}}}
 
En fylld triangulär yta som ovan men med avseende på en axel som är kollinjär med basen.
I
x
=
b
h
3
12
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{12}}}}
I
y
=
b
3
h
12
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}
 
Detta är en följd av teoremet om parallellaxeln.
En vinkel med lika långa ben, som ofta förekommer i tekniska tillämpningar.
I
x
=
I
y
=
t
(
5
L
2
-
5
L
t
+
t
2
)
(
L
2
-
L
t
+
t
2
)
12
(
2
L
-
t
)
{\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}}
I
(
x
y
)
=
L
2
t
(
L
-
t
)
2
4
(
t
-
2
L
)
{\displaystyle I_{(xy)}={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}{4(t-2L)}}}}
I
a
=
t
(
2
L
-
t
)
(
2
L
2
-
2
L
t
+
t
2
)
12
{\displaystyle I_{a}={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}}
I
b
=
t
(
2
L
4
-
4
L
3
t
+
8
L
2
t
2
-
6
L
t
3
+
t
4
)
12
(
2
L
-
t
)
{\displaystyle I_{b}={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}}
I
(
x
y
)
{\displaystyle I_{(xy)}}
 är den ofta oanvända tröghetsprodukten, som används för att definiera tröghet med en roterad axel.
En fylld regelbunden hexagon med en sidlängd på a
I
x
=
5
3
16
a
4
{\displaystyle I_{x}={\frac {5{\sqrt {3}}}}{16}}}a^{4}}}
I
y
=
5
3
16
a
4
{\displaystyle I_{y}={\frac {5{\sqrt {3}}}}{16}}}a^{4}}}
Resultatet gäller både för en horisontell och en vertikal axel genom mittpunkten, och gäller därför också för en axel med godtycklig riktning som går genom origo.
List of second moments of area
Description
Figure
Area moment of inertia
Comment


A filled circular area of radius r






I

x


=


π
4



r

4




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}r^{4}}








I

y


=


π
4



r

4




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}r^{4}}








I

z


=


π
2



r

4




{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}r^{4}}

 





I

z




{\displaystyle I_{z}}

 is the Polar moment of inertia.


An annulus of inner radius r1 and outer radius r2






I

x


=


π
4



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}








I

y


=


π
4



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}








I

z


=


π
2



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}


For thin tubes, 



r
≡

r

1


≈

r

2




{\displaystyle r\equiv r_{1}\approx r_{2}}

 and 




r

2


≡

r

1


+
t


{\displaystyle r_{2}\equiv r_{1}+t}

. So, for a thin tube, 




I

x


=

I

y


≈
π


r


3



t



{\displaystyle I_{x}=I_{y}\approx \pi {r}^{3}{t}}

.






I

z




{\displaystyle I_{z}}

 is the Polar moment of inertia.


A filled circular sector of angle θ in radians and radius r with respect to an axis through the centroid of the sector and the center of the circle






I

x


=

(

θ
−
sin
⁡
θ

)




r

4


8




{\displaystyle I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}}


This formula is valid only for 0 ≤ 



θ


{\displaystyle \theta }

 ≤ 



π


{\displaystyle \pi }




A filled semicircle with radius r with respect to a horizontal line passing through the centroid of the area






I

x


=

(



π
8


−


8

9
π




)


r

4


≈
0.1098

r

4




{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}}








I

y


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}

 



A filled semicircle as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}








I

y


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}

 





I

x




{\displaystyle I_{x}}

: This is a consequence of the parallel axis theorem and the fact that the distance between the x axes of the previous one and this one is 






4
r


3
π





{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}




A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the bases






I

x


=



π

r

4



16




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}








I

y


=



π

r

4



16




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}

 



A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the centroid






I

x


=

(



π
16


−


4

9
π




)


r

4


≈
0.0549

r

4




{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}








I

y


=

(



π
16


−


4

9
π




)


r

4


≈
0.0549

r

4




{\displaystyle I_{y}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}

 
This is a consequence of the parallel axis theorem and the fact that the distance between these two axes is 






4
r


3
π





{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}




A filled ellipse whose radius along the x-axis is a and whose radius along the y-axis is b






I

x


=


π
4


a

b

3




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}ab^{3}}








I

y


=


π
4



a

3


b


{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}a^{3}b}





A filled rectangular area with a base width of b and height h






I

x


=



b

h

3



12




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}}








I

y


=




b

3


h

12




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}

 



A filled rectangular area as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



b

h

3



3




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{3}}}








I

y


=




b

3


h

3




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{3}}}

 
This is a result from the parallel axis theorem


A filled triangular area with a base width of b and height h with respect to an axis through the centroid






I

x


=



b

h

3



36




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{36}}}








I

y


=




b

3


h

36




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{36}}}

 



A filled triangular area as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



b

h

3



12




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}}








I

y


=




b

3


h

12




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}

 
This is a consequence of the parallel axis theorem


An equal legged angle, commonly found in engineering applications






I

x


=

I

y


=



t
(
5

L

2


−
5
L
t
+

t

2


)
(

L

2


−
L
t
+

t

2


)


12
(
2
L
−
t
)





{\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}}








I

(
x
y
)


=




L

2


t
(
L
−
t

)

2




4
(
t
−
2
L
)





{\displaystyle I_{(xy)}={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}{4(t-2L)}}}








I

a


=



t
(
2
L
−
t
)
(
2

L

2


−
2
L
t
+

t

2


)

12




{\displaystyle I_{a}={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}}








I

b


=



t
(
2

L

4


−
4

L

3


t
+
8

L

2



t

2


−
6
L

t

3


+

t

4


)


12
(
2
L
−
t
)





{\displaystyle I_{b}={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}}







I

(
x
y
)




{\displaystyle I_{(xy)}}

 is the often unused product of inertia, used to define inertia with a rotated axis



A filled regular hexagon with a side length of a






I

x


=



5


3



16



a

4




{\displaystyle I_{x}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}}








I

y


=



5


3



16



a

4




{\displaystyle I_{y}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}}


The result is valid for both a horizontal and a vertical axis through the centroid, and therefore is also valid for an axis with arbitrary direction that passes through the origin.
List of second moments of area