Trægheds moment for bjælkens tværsnit?
List of second moments of area
Beskrivelse
Figur
Arealets inertimoment
Kommentar
Et fyldt cirkelformet område med radius r
I
x
=
π
4
r
4
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}}r^{4}}}
I
y
=
π
4
r
4
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}}r^{4}}}
I
z
=
π
2
r
4
{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}}r^{4}}}
 
I
z
{\displaystyle I_{z}}
 er det polære inertimoment.
En ring med en indre radius r1 og en ydre radius r2
I
x
=
π
4
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}}\left({r_{2}}}^{4}-{r_{1}}}^{4}\right)}
I
y
=
π
4
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}}\left({r_{2}}}^{4}-{r_{1}}}^{4}\right)}
I
z
=
π
2
(
r
2
4
-
r
1
4
)
{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}}^{4}\right)}
For tynde rør,
r
≡
r
1
≈
r
2
{\displaystyle r\equiv r_{1}\approx r_{2}}}
 og
r
2
≡
r
1
+
t
{\displaystyle r_{2}\equiv r_{1}+t}
. Så for et tyndt rør,
I
x
=
I
y
≈
π
r
3
t
{\displaystyle I_{x}=I_{y}\approx \pi {r}^{3}{t}}
.
I
z
{\displaystyle I_{z}}
 er det polære inertimoment.
En fyldt cirkulær sektor med vinkel θ i radianer og radius r i forhold til en akse gennem sektorens midtpunkt og cirklens centrum
I
x
=
(
θ
-
sin

θ
)
r
4
8
{\displaystyle I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \theta \right){\frac {r^{4}}}{8}}}}
Denne formel er kun gyldig for 0 ≤
θ
{\displaystyle \theta }
 ≤
π
{\displaystyle \pi }
En fyldt halvcirkel med radius r i forhold til en vandret linje, der går gennem områdets midtpunkt
I
x
=
(
π
8
-
8
9
π
)
r
4
≈
0.1098
r
4
{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{8}}}-{\frac {8}{9\pi }}}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}}}
I
y
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}}{8}}}}
 
En fyldt halvcirkel som ovenfor, men med hensyn til en akse, der er kollineær med basen
I
x
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}}{8}}}}
I
y
=
π
r
4
8
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}}{8}}}}
 
I
x
{\displaystyle I_{x}}
: Dette er en konsekvens af teoremet om parallelle akser og det faktum, at afstanden mellem x-akserne i den foregående og denne er
4
r
3
π
{\displaystyle {\frac {\frac {4r}{3\pi }}}
En fyldt kvartcirkel med radius r, hvis akser går gennem baserne
I
x
=
π
r
4
16
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}}{16}}}}
I
y
=
π
r
4
16
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}}{16}}}}
 
En fyldt kvartcirkel med radius r, hvis akser går gennem centrum
I
x
=
(
π
16
-
4
9
π
)
r
4
≈
0.0549
r
4
{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{16}}}-{\frac {4}{9\pi }}}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}}
I
y
=
(
π
16
-
4
9
π
)
r
4
≈
0.0549
r
4
{\displaystyle I_{y}=\left({\frac {\pi }{16}}}-{\frac {4}{9\pi }}}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}}
 
Dette er en konsekvens af teoremet om parallelle akser og det faktum, at afstanden mellem disse to akser er
4
r
3
π
{\displaystyle {\frac {\frac {4r}{3\pi }}}
En fyldt ellipse, hvis radius langs x-aksen er a, og hvis radius langs y-aksen er b
I
x
=
π
4
a
b
3
{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}}ab^{3}}}
I
y
=
π
4
a
3
b
{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}}a^{3}b}
Et fyldt rektangulært område med en bredde b og en højde h
I
x
=
b
h
3
12
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{12}}}}
I
y
=
b
3
h
12
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}}
 
Et fyldt rektangulært område som ovenfor, men med hensyn til en akse, der er kollineær med basen
I
x
=
b
h
3
3
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{3}}}}
I
y
=
b
3
h
3
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{3}}}}
 
Dette er et resultat af teoremet om parallelle akser
Et fyldt trekantet område med en basisbredde på b og en højde h i forhold til en akse gennem centroidet
I
x
=
b
h
3
36
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{36}}}}
I
y
=
b
3
h
36
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{36}}}}
 
Et fyldt trekantet område som ovenfor, men i forhold til en akse, der er kollineær med basen
I
x
=
b
h
3
12
{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}}{12}}}}
I
y
=
b
3
h
12
{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}}
 
Dette er en konsekvens af teoremet om parallelle akser
En vinkel med lige ben, som almindeligvis findes i tekniske anvendelser
I
x
=
I
y
=
t
(
5
L
2
-
5
L
t
+
t
2
)
(
L
2
-
L
t
+
t
2
)
12
(
2
L
-
t
)
{\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}}
I
(
x
y
)
=
L
2
t
(
L
-
t
)
2
4
(
t
-
2
L
)
{\displaystyle I_{(xy)}={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}}{4(t-2L)}}}}
I
a
=
t
(
2
L
-
t
)
(
2
L
2
-
2
L
t
+
t
2
)
12
{\displaystyle I_{a}={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}}
I
b
=
t
(
2
L
4
-
4
L
3
t
+
8
L
2
t
2
-
6
L
t
3
+
t
4
)
12
(
2
L
-
t
)
{\displaystyle I_{b}={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}}
I
(
x
y
)
{\displaystyle I_{(xy)}}
 er det ofte ubrugte inertiprodukt, der bruges til at definere inerti med en roteret akse
En fyldt regelmæssig sekskant med en sidelængde på a
I
x
=
5
3
16
a
4
{\displaystyle I_{x}={\frac {5{\sqrt {3}}}}{16}}}a^{4}}}
I
y
=
5
3
16
a
4
{\displaystyle I_{y}={\frac {5{\sqrt {3}}}}{16}}}a^{4}}}
Resultatet gælder både for en horisontal og en vertikal akse gennem centroiden og gælder derfor også for en akse med vilkårlig retning, der går gennem oprindelsen.
List of second moments of area
Description
Figure
Area moment of inertia
Comment


A filled circular area of radius r






I

x


=


π
4



r

4




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}r^{4}}








I

y


=


π
4



r

4




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}r^{4}}








I

z


=


π
2



r

4




{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}r^{4}}

 





I

z




{\displaystyle I_{z}}

 is the Polar moment of inertia.


An annulus of inner radius r1 and outer radius r2






I

x


=


π
4



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}








I

y


=


π
4



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}








I

z


=


π
2



(




r

2




4


−



r

1




4



)



{\displaystyle I_{z}={\frac {\pi }{2}}\left({r_{2}}^{4}-{r_{1}}^{4}\right)}


For thin tubes, 



r
≡

r

1


≈

r

2




{\displaystyle r\equiv r_{1}\approx r_{2}}

 and 




r

2


≡

r

1


+
t


{\displaystyle r_{2}\equiv r_{1}+t}

. So, for a thin tube, 




I

x


=

I

y


≈
π


r


3



t



{\displaystyle I_{x}=I_{y}\approx \pi {r}^{3}{t}}

.






I

z




{\displaystyle I_{z}}

 is the Polar moment of inertia.


A filled circular sector of angle θ in radians and radius r with respect to an axis through the centroid of the sector and the center of the circle






I

x


=

(

θ
−
sin
⁡
θ

)




r

4


8




{\displaystyle I_{x}=\left(\theta -\sin \theta \right){\frac {r^{4}}{8}}}


This formula is valid only for 0 ≤ 



θ


{\displaystyle \theta }

 ≤ 



π


{\displaystyle \pi }




A filled semicircle with radius r with respect to a horizontal line passing through the centroid of the area






I

x


=

(



π
8


−


8

9
π




)


r

4


≈
0.1098

r

4




{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{8}}-{\frac {8}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.1098r^{4}}








I

y


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}

 



A filled semicircle as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}








I

y


=



π

r

4



8




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{8}}}

 





I

x




{\displaystyle I_{x}}

: This is a consequence of the parallel axis theorem and the fact that the distance between the x axes of the previous one and this one is 






4
r


3
π





{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}




A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the bases






I

x


=



π

r

4



16




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}








I

y


=



π

r

4



16




{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi r^{4}}{16}}}

 



A filled quarter circle with radius r with the axes passing through the centroid






I

x


=

(



π
16


−


4

9
π




)


r

4


≈
0.0549

r

4




{\displaystyle I_{x}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}








I

y


=

(



π
16


−


4

9
π




)


r

4


≈
0.0549

r

4




{\displaystyle I_{y}=\left({\frac {\pi }{16}}-{\frac {4}{9\pi }}\right)r^{4}\approx 0.0549r^{4}}

 
This is a consequence of the parallel axis theorem and the fact that the distance between these two axes is 






4
r


3
π





{\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}




A filled ellipse whose radius along the x-axis is a and whose radius along the y-axis is b






I

x


=


π
4


a

b

3




{\displaystyle I_{x}={\frac {\pi }{4}}ab^{3}}








I

y


=


π
4



a

3


b


{\displaystyle I_{y}={\frac {\pi }{4}}a^{3}b}





A filled rectangular area with a base width of b and height h






I

x


=



b

h

3



12




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}}








I

y


=




b

3


h

12




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}

 



A filled rectangular area as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



b

h

3



3




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{3}}}








I

y


=




b

3


h

3




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{3}}}

 
This is a result from the parallel axis theorem


A filled triangular area with a base width of b and height h with respect to an axis through the centroid






I

x


=



b

h

3



36




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{36}}}








I

y


=




b

3


h

36




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{36}}}

 



A filled triangular area as above but with respect to an axis collinear with the base






I

x


=



b

h

3



12




{\displaystyle I_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}}








I

y


=




b

3


h

12




{\displaystyle I_{y}={\frac {b^{3}h}{12}}}

 
This is a consequence of the parallel axis theorem


An equal legged angle, commonly found in engineering applications






I

x


=

I

y


=



t
(
5

L

2


−
5
L
t
+

t

2


)
(

L

2


−
L
t
+

t

2


)


12
(
2
L
−
t
)





{\displaystyle I_{x}=I_{y}={\frac {t(5L^{2}-5Lt+t^{2})(L^{2}-Lt+t^{2})}{12(2L-t)}}}








I

(
x
y
)


=




L

2


t
(
L
−
t

)

2




4
(
t
−
2
L
)





{\displaystyle I_{(xy)}={\frac {L^{2}t(L-t)^{2}}{4(t-2L)}}}








I

a


=



t
(
2
L
−
t
)
(
2

L

2


−
2
L
t
+

t

2


)

12




{\displaystyle I_{a}={\frac {t(2L-t)(2L^{2}-2Lt+t^{2})}{12}}}








I

b


=



t
(
2

L

4


−
4

L

3


t
+
8

L

2



t

2


−
6
L

t

3


+

t

4


)


12
(
2
L
−
t
)





{\displaystyle I_{b}={\frac {t(2L^{4}-4L^{3}t+8L^{2}t^{2}-6Lt^{3}+t^{4})}{12(2L-t)}}}







I

(
x
y
)




{\displaystyle I_{(xy)}}

 is the often unused product of inertia, used to define inertia with a rotated axis



A filled regular hexagon with a side length of a






I

x


=



5


3



16



a

4




{\displaystyle I_{x}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}}








I

y


=



5


3



16



a

4




{\displaystyle I_{y}={\frac {5{\sqrt {3}}}{16}}a^{4}}


The result is valid for both a horizontal and a vertical axis through the centroid, and therefore is also valid for an axis with arbitrary direction that passes through the origin.
List of second moments of area