
sahayaka praamaanika sthalam

kriyaatmaka vislaeshanhaloo, nuclear operatorlu mariyu nuclear spacelanu nirvachinchadaaniki alegzander grothendic discla nundi praamaanika pradaesaalanu nirminchadaaniki rendu paddhatulanu kramapaddhatilo upayoginchaaru. 
disk suutram _ 1 parimitamaite oka paddhati upayoginchabadutundih eee sandarbhamlo, sahayaka praamaanika sthalam suutram _ 2 pramaanamtho untundi. 
suutram _ 3 
disk suutram _ 1 grahistunnatlayite itara paddhati upayoginchabadutundih eee sandarbhamlo, sahayaka praamaanika sthalam coashant space suutram _ 5. 
disk parimitamai mariyu grahinchinatlayithe, rendu sahayaka praamaanika khaaliilu canonicalga isomorphic (topological vector khaaliilu mariyu praamaanika khaaliilu) gaa untaayi.
oka parimita disk-banach discla dwara prerepinchabadindi.
eee vyaasam antataa, suutram _ 6 anedi nijamaina ledhaa sanklishtamaina vector space avutundi (tvlu avasaram ledhu, inca) mariyu suutram _ 1 suutram _ 8 looni disk avutundi.
disk dwara prerepinchabadina seminormed space.
suutram _ 6 anedi nijamaina ledhaa sanklishtamaina vector space avutundi. suutram _ 11 yokka edainaa upasamiti suutram _ 1 kosam suutram _ 1 yokka "minkovsky functional" nirvachinchabadindih
suutram _ 6 anedi nijamaina ledhaa sanklishtamaina vector space avutundi. suutram _ 6 yokka edainaa upasamiti suutram _ 1 kosam, minkovsky kriyaatmaka suutram _ 28 suutram _ 29 paie oka seminarm, suutram _ 30 suuchistumdi. 
suutram _ 31
dheenini "suutram _ 32 dwara prerepinchabadina seminormed space" anie pilustaaru, ikkada suutram _ 28 oka pramaanam ayithe daanini "suutram _ 34 dwara prerepinchabadina praamaanika sthalam" anie pilustaaru."
ooha (topology): suutram _ 35 suutram _ 36 dwara prerepinchabadina seminarm topologytho nindi untundi, idhi suutram _ 37 ledhaa suutram _ 38 dwara suuchimchabadutumdi.
mukhyamgaa, eee topology sett formula _ 32 nundi, formula _ 11 yokka beejaganita nirmaanam mariyu formula _ 41 paie saadhaarana topology nundi "puurtigaa" udbhavinchindi (formula _ 28 sett formula _ 1 mariyu scalar gunakaaram upayoginchi nirvachinchabadindi). idhi bananach discla adhyayananni samarthistundi mariyu anhu operatorlu mariyu anhu pradaesaala siddhaantamlo avi mukhyamaina paatra pooshinchadaaniki kaaranam.
inclusion mapp formula _ 44 nuu "canonical mapp" antaaru.
aaa suutram _ 1 oka disk anie anukundam. 
appudu suutram _ 46, tadwara suutram _ 1 suutram _ 29 loe suutram _ 34 yokka sarala vyavadhini grahistundi. 
suutram _ 1 yokka anni saanukuula scalar gunakaala yokka sett suutram _ 50 suutram _ 53 paie sthaanikamgaa kumbhakara sthalavignaana vector space topology suutram _ 37 kosam muulam vadda porugu praantaala aadhaaramgaa erpadutundi. 
suutram _ 2 looni disk suutram _ 1 yokka minkovsky functional suutram _ 28 baga nirvachinchabadindani mariyu suutram _ 53 paie seminarmnu yerparustundani haamii istundi. 
eee seminarm dwara prerepinchabadina sthaanikamgaa kumbhakara topology anedi intaku mundu nirvachinchabadina topology suutram _ 37.
banach disk nirvachanam.
oka topological vector space formula _ 6 looni parimita disk formula _ 1, antey formula _ 61 anedi banach space, dheenini banach disk, infra complete ledhaa formula _ 8 loe parimita completant antaaru.
suutram _ 63 oka banach space anie choopinchinatlayithe, suutram _ 1 anedi parimita upasamitigaa suutram _ 1 nuu kaligi unna tvlalo banach disk avutundi.
endukante minkovsky functional formula _ 28 puurtigaa beejaganita padaalaloo nirvachinchabadindi. 
tatphalitamgaa, formula _ 61 oka bananach spacenu yerparustunda ledhaa anae prasna disk formula _ 1 mariyu minkovsky functional formula _ 36paie matrame aadharapadi untundi mariyu formula _ 6 kaligi unde yea nirdishta tvs topologypy kaadu. 
anduvalla tvs formula _ 6 looni banach disk formula _ 6 yokka parimita upasamitigaa undaalsina avasaram, banach disk yokka topologyni tvs formula _ 8 kaligi unna topologytho anusandhaaninche ekaika lakshanam.
disk prerita seminormed spacela lakshanaalu.
parimita diskulu
banach disclu enduku kattubadi undaalsina avasaram undho eee krindi phalitam vivaristundi.
dusthithilo undatam
formula _ 28 oka pramaanam ayithe matrame space formula _ 61 anedi hasdorff avutundi, idhi formula _ 1 yea chinna vector sub spacenu kaligi undakapothe matrame jarugutundi. 
mukhyamgaa, suutram _ 6 paie suutram _ 1 suutram _ 6 loe parimitamai unnatlugaa oka hasdorf tvs topology unte suutram _ 28 oka pramaanam. 
suutram _ 30 anedi hasdorff kaani udaaharana suutram _ 82nii ivvadam dwara mariyu suutram _ 1 suutram _ 84-akshamgaa undataaniki anumatinchadam dwara pondabadutundi.
valala kalayika
suutram _ 1 suutram _ 6 looni disk anie anukundam, suutram _ 30 anedi hasdorff mariyu suutram _ 88 suutram _ 89 loe nikaramgaa undanivvandi. 
appudu suutram _ 90 suutram _ 30 loe, vaastava sankhyala yokka nikara suutram _ 92 unte, aaa suutram _ 93 mariyu suutram _ 94 anni suutram _ 95 kosam; 
antekakunda, eee sandarbhamlo saadhaaranatanu kolpokunda suutram _ 96 anedi anni suutraalaku _ 97 anie bhaavinchabadutundi.
disk-prerita pradaesaala madhya sambandham
suutram 98 ayithe suutram 101paie suutram 99 mariyu suutram 100 unte eee krindi nirantara sarala pataanni nirvachinchandih
suutram _ 102 mariyu suutram _ 1 suutram _ 105 thoo suutram _ 6 looni diskulu ayithe, cherika mapp suutraanni _ 106 anie pilustaaru, suutram _ 107 yokka "canonical cherika" suutram _ 89 loki
mukhyamgaa, 109 suutram 61 suutram nundi vaarasatvamgaa pondina upa-sthala sthalavignaanam suutram 111 yokka seminarm topology kante balaheenamgaa untundi.
disk closed unit baall gaa
suutram _ 1 anedi seminarm suutram _ 28 yokka closed unit banthi ayithe matrame disk suutram _ 1 anedi suutram _ 61 yokka closed upasamiti; antey, 
suutram _ 116 
suutram _ 1 anedi vector space formula _ 6 looni disk ayithe mariyu suutram _ 2 paie oka tvs topology formula _ 119 unte, aaa suutram _ 1 anedi suutram _ 122 yokka closed mariyu bounded upasamiti ayithe suutram _ 1 anedi suutram _ 61 yokka closed unit banthi (antey, suutram _ 125) (rujuvu kosam futnote chudandi).
banach disk kosam taginanta paristhitulu.
suutram _ 61 anedi oka bananach space anie sthaapinchadaaniki eee krindi siddhaantaanni upayoginchavacchu. 
idhi sthaapinchabadina tarvaata, formula _ 1 anedi formula _ 1 parimitamaina yea tvlonaina banach disk avutundi.
 dii.</ganitam>
idhi edainaa suutram kosam _ 129 anie suuchistumdi.
suutram _ 130
tadwara mukhyamgaa, suutram _ 131 nuu teesukovadam dwara suutram _ 132 suutram _ 133 loe untundi. 
suutram _ 37 suutram _ 135 suutram kante chakkaga untundi kabatti suutram _ 137 loe suutram _ 132 anedi oka kaachii kramam. 
anni suutraalaku _ 138 suutram _ 139 anedi suutram _ 137 yokka varusa puurti upasamiti. 
mukhyamgaa, idhi suutram _ 141kii vartistundi kabatti suutram _ 137loe suutram _ 143 vanti konni suutram _ 142 undhi.
anni suutraalaku suutram _ 145 nundi suutram _ 147 nii nirnayinchadam dwara mariyu parimitini (suutram _ 148 loe) suutram _ 149 gaa teesukovadam dwara prati suutraaniki suutram _ 150 nuu anusaristundi. 
idhi suutram _ 152 nuu suutram _ 153 gaa suuchistumdi, idhi suutram _ 155 loe sarigga suutram _ 143 anie chebutundi. 
idhi suutram _ 156 puurtayindani choopistundi.
± eee ooha anumatinchabadutundi endukante suutram _ 132 anedi metrik pradaesamloe oka kaachii kramam (kabatti anni tadupari parimitulu samanamga untaayi) mariyu prati tadupari bhaagamlo oka upa-tadupari unte matrame metrik pradaesamloe oka kramam kalustundi.
formula _ 1 anedi edainaa hasdorf teeveela yokka parimita mariyu varusa puurti upasamiti kakapoyina, eee siddhaantaanni konni disk formula _ 160 santruptikaramgaa vartimpajeyadam dwara formula _ 61 anedi banach space anie nirdhaarinchagalarani gamaninchandi. 
suutram _ 161
endukante suutram _ 162
paina perkonna siddhaantam yokka parinaamaalu eee krindi vidhamgaa unnaih
aaa suutram _ 1 anedi tvs suutram _ 8 looni parimita disk anie anukundam.
banach discla lakshanaalu.
suutram _ 6 oka tvluga undanivvandi mariyu suutram _ 1 suutram _ 8 loe parimita diskga undanivvandi.
formula _ 1 anedi sthaanikamgaa kumbhakara antariksha suutram _ 6 looni parimita bananach disk ayithe mariyu formula _ 175 anedi formula _ 6 looni baarel ayithe formula _ 175 formula _ 1 nii grahistundi (antey, formula _ 180 vanti sankhya suutram _ 179 undhi).
suutram _ 181 suutram _ 6 loe muulam yokka kumbhakara samatulya closed parisaraalu ayithe, suutram _ 179 saanukuula vaastava sankhyalapai unde anni parisara suutraala sekarana, suutram _ 6 eee topologyni kaligi unnappudu suutram _ 8 paie topological vector space topologyni prerepistundi, idhi suutram _ 187 dwara suuchimchabadutumdi endukante eee topology tappanisarigaa hasdorff ledhaa puurti kaadu, hasdorff space formula _ 188 puurti kavadanni suutram _ 189 dwara suuchistaaru, tadwara suutram _ 189 anedi puurti hasdorff space mariyu suutram _ 191 anedi eee sthalamlo suutram _ 189 nuu bananach spacega chese pramaanam. suutram _ 193 suutram _ 194 yokka dhruvam suutram _ 195 loe balaheenamgaa compact parimita samasheetoshna disk mariyu kabatti idhi aparipoornamainadi.
suutram _ 6 anedi sthaanikamgaa kolavagala kumbhakara tvlu ayithe, suutram _ 11 yokka prati parimita upasamiti suutram _ 197kii suutram _ 6loe parimita disk suutram _ 1 untundi, antey suutram _ 201 mariyu suutram _ 6 mariyu suutram _ 30 rendoo suutram _ 204paie oke upa-sthala sthala saastraanni prerepistaayi.
radial disk-coashant dwara prerepinchabadindi.
suutram _ 6 anedi topological vector space mariyu suutram _ 206 anedi kumbhakara samatulya mariyu radial samiti anie anukundam. 
appudu suutram _ 207 anedi suutram _ 8 paie konni sthaanikamgaa kumbhakara topology suutram _ 208 yokka muulam vadda unna porugu aadharam. 
eee tvs topology formula _ 208 suutram _ 211 formula _ 212 dwara erpadina minkovsky functional dwara ivvabadutundi, idhi suutram _ 214 dwara nirvachinchabadina suutram _ 6 paie oka seminarm. 
suutram _ 216 oka pramaanam ayithe, ledhaa samanamga, suutram _ 217 ledhaa samanamga unte, suutram _ 206 suutram _ 8 loe parimitamai untene topology suutram _ 208 anedi hasdorff avutundi. 
topology suutram _ 208 anedi hasdorff kanavasaram ledhu conny suutram _ 221 anedi hasdorff. 
suutram _ 221 paie oka pramaanam suutram _ 223 dwara ivvabadutundi, ikkada eee viluva vaastavaaniki enchukunna samaanatvam taragati suutram _ 224 yokka pratinidhi nundi swatantramgaa untundi. 
praamaanika antariksha suutram _ 225 suutram _ 226 dwara suuchimchabadutumdi mariyu daani puurti suutram _ 227 dwara suuchimchabadutumdi.
adanamgaa suutram _ 206 suutram _ 6 loe parimitamaite, seminarm suutram _ 230 oka pramaanam kabatti mukhyamgaa, suutram _ 239 
eee sandarbhamlo, suutram _ 226 nuu suutram _ 234 kii badulugaa vector space formula _ 6 gaa teesukuntamu, tadwara sangnaamaana suutram _ 226 nissandehamgaa untundi (suutram _ 226 anedi radial disk dwara prerepinchabadina sthalaanni suuchistumdaa ledhaa parimita disk dwara prerepinchabadina sthalaanni suuchistumdaa).
suutram _ 221 (suutram _ 6 yokka asalu topology nundi vaarasatvamgaa) paie coashant topology suutram _ 237 praamaanika topology kante chakkaga (saadhaaranamgaa, khachitamgaa chakkaga) untundi.
canonical maplu.
canonical mapp" anedi coashant mapp formula _ 240, idhi formula _ 226 praamaanika topology ledhaa coashant topologyni kaligi unnappudu nirantaramgaa untundi.
suutram _ 181 mariyu suutram _ 206 radial disclu ayithe suutram _ 244 appudu suutram _ 245 kabatti nirantara sarala surjective "canonical mapp" suutram _ 246 pampadam dwara nirvachinchabadindi. 
samaanatvam taragati suutram _ 247kii suutram _ 248, ikkada nirvachanam enchukunna samaanatvam taragati suutram _ 249 yokka pratinidhi meeda aadharapadi ledani dhruveekarinchavachu. 
eee canonical mapp praamaanika suutram _ 250 nuu kaligi undhi mariyu idhi suutram _ 189 kii pratyaekamaina nirantara sarala canonical podigimpunu kaligi undhi, idhi suutram _ 252 dwara suuchimchabadutumdi.
adanamgaa suutram _ 253 mariyu suutram _ 102 suutram _ 256 thoo suutram _ 6 loe parimita diskulu anie anukundam, tadwara suutram _ 257 mariyu cherika suutram _ 258 anedi nirantara sarala patam. 
suutram _ 259 suutram _ 260 mariyu suutram _ 258 canonical mapluga undanivvandi. 
appudu suutram _ 262 mariyu suutram _ 263
parimita radial disk dwara prerepinchabadindi.
aaa suutram _ 264 oka parimita radial disk anie anukundam. 
formula _ 264 anedi parimita disk kabatti, formula _ 266 ayithe, manamu saadhaarana formula _ 268 thoo sahayaka praamaanika space formula _ 35 nii srushtinchavachu; formula _ 264 radial, formula _ 270 kabatti 
formula _ 264 anedi radial disk kabatti, formula _ 272 ayithe, manamu seminarm formula _ 274 thoo sahayaka seminormed space formula _ 221 nuu srushtinchavachu; endukante formula _ 264 parimitamai untundi, eee seminarm oka pramaanam mariyu formula _ 276 kabatti formula _ 277 
anduvalla, eee sandarbhamlo eee rendu ververu paddhatula dwara utpatti cheyabadina rendu sahayaka praamaanika sthalaalu oke praamaanika sthalaaniki daariteestaayi.
dvandvatvam.
aaa suutram _ 278 anedi suutram _ 195 loe balaheenamgaa moosiveyabadina samasheetoshna disk anie anukundam (idhi suutram _ 278 balaheenamgaa kudinchabadinatlu suuchistumdi) mariyu
suutram _ 281
suutram yokka dhruvamgaa undandi _ 282 
endukante bipolar siddhaantam dwara suutram _ 283, suutram _ 284 suutram _ 287 yokka nirantara dwandwa sthalaaniki chendinatlayithe mariyu suutram _ 288 suutram _ 290 dwara nirvachinchabadina suutram _ 181 yokka minkovsky kriyaatmaka suutram ayithe matrame nirantara sarala kriyaatmaka suutram _ 284 suutram _ 285 kii chendinadani idhi anusaristundi.
sambandhita bhavanalu.
tvlloni disk anni bananach disclanu grahinchinatlayithe daanini "infraborniverus" anie pilustaaru.
banach disclanu sarihaddu disclaku mapp chesthe rendu tvs la madhya sarala myapnu "infrabound" antaaru.
vegavantamaina kalayika.
oka tvs suutram _ 6 looni krama suutram _ 291 anedi oka binduvu suutram _ 293 kii "vegavantamaina convergent" anie cheppabadutundi, okavela oka banach disk suutram _ 1 unte, suutram _ 84 mariyu kramam rendoo suutram _ 2 mariyu suutram _ 298 loe suutram _ 297 loe untaayi.
prati vegavantamaina convergent kramam maakii convergent.

