
kasimir moolakam

ganita saastramlo, kasimir moolakam (kasimir inavariant ledhaa kasimir operator anie kooda pilustaaru) anedi abaddham beejaganitam yokka saarvatrika enveloping beejaganitam yokka kendram yokka pratyaekamaina moolakam. oka namuunaa udaaharana chadarapu koneeya momentum operator, idhi trimiteeya bhramana samuuhamloo oka kasimir moolakam.
marinta saadhaaranamgaa, casimer muulakaalanu saarvatrika aavarana beejaganitam yokka kendram yokka "edainaa" muulakaanni suuchimchadaaniki upayoginchavacchu. harish-chandra isomorphism dwara eee muulakaala beejaganitam bahupadi beejaganitanki isomorphicga untundi.
1931loe thana drudamaina shareera gatiseelata vivaranalo vaatini gurtinchina hendrick kasimir paeru meeda kasimir muulakaaniki paeru pettaru.
nirvachanam.
atyanta saadhaaranamgaa upayoginche kasimir asthirata anedi chaturasraakaara asthirata. idhi nirvachinchadaaniki sulabhamainadi, kabatti modata ivvabadutundi. ayithe, okadaanilo adhika kramam yokka kasimir asthiratalu kooda undavacchu, ivi adhika kramam yokka sajatiya samaruupata bahupadaalaku anugunamgaa untaayi.
quadratic kasimir moolakam.
aaa suutram _ 1 anedi suutram _ 2 dimensional lye beejaganitam anie anukundam. b" anedi suutram _ 1 yokka prakka charya krinda asthiramgaa unde suutram _ 1 paie nandigenerate dwiparshwa roopam anukundam, antey suutram _ 1 looni anni "x", "y", "z" laku suutram _ 5. (suutram _ 1 semee simple ayithe "b" yokka atyanta vilakshanhamaina empika champe roopam.)
veelu.
suutram _ 1 kii edainaa aadharam ayi undaali, mariyu
b" kii sambandhinchi suutram _ 1 yokka dwandwa aadharam. bii" kosam kasimir moolakam suutram _ 12 anedi suutram dwara ivvabadina saarvatrika enveloping beejaganitam suutram _ 13 yokka moolakam. 
nirvachanam abaddham beejaganitaaniki aadhaaramgaa empikapai aadhaarapadinappatiki, "ω" eee empika nundi swatantramgaa undani choopinchadam sulabham. marovaipu, "ω" anedi "b" anae dwiparshwa roopam meeda aadharapadi untundi. b" yokka asthirata anedi kasimir moolakam abaddham beejaganitam suutram _ 1 yokka anni muulakaalatoe prayaanistundani suuchistumdi, anduvalla idhi saarvatrika aavarana beejaganitam suutram _ 13 madhyalo untundi.
oka sarala praatinidhyam mariyu sunnitamaina charya yokka chaturasraakaara kasimir asthirata.
vector space "v" paie suutram _ 1 yokka "ρ" praatinidhyam ichinatlayithe, bahusha ananta-dimensional, "ρ" yokka kasimir inavariant "ρ" (ω) gaa nirvachinchabadindi, suutram dwara ivvabadina "v" paie leanier operator.
eee nirmaanam yokka oka nirdishta roopam avakalana jyaamiti mariyu prapancha vislaeshanhaloo mukhyamaina paatra poeshistumdi. abaddham beejaganitam suutram _ 1 thoo anusandhaaninchabadina abaddham samuuham "g" differentiable manifold "m" paie panichestundani anukundam. m paie smooth functionla sthalamlo "g" yokka sambandhita praatinidhyaanni pariganinchandi. appudu suutram _ 1 yokka muulakaalu m paie modati arder avakalana operatorlache suuchimchabadataayi. eee paristhitiloo, ρ yokka kasimir asthirata anedi paina perkonna suutram dwara nirvachinchabadina "m" paie g-invariant rendava arder avakalana operator.
marinta pratyaekatatoe, "m" oka remanian metriknu kaligi unte, daanipai "g" isometryla dwara parivartanagaa panichestundi, mariyu oka binduvu yokka stabilizer upa samuuham "g" x "" x "vadda" m "yokka sparsha sthalampai irreduciblega panichestundi, appudu" ρ "yokka kasimir inneverant metrik nundi vachhe laplasian operator yokka scalar multiple.
marinta saadhaarana kasimir asthiratalanu kooda nirvachinchavacchu, saadhaaranamgaa fredhome siddhaantamlo suudoe-differential operatorla adhyayanamlo sambhavistundi.
unnata kramam yokka kasimir amsaalu.
saarvatrika kavacham algibralapy vyaasam kasimir operatorla yokka vivaranaatmaka, khachitamaina nirvachananni mariyu vaati lakshanaalalo konnintini vivaristundi. anni kasimir operatorlu prakkane praatinidhya suutram _ 21 yokka cemetric beejaganitamlo cemetric sajatiya bahupadaalaku anugunamgaa untayih
cemetric tensor formula _ 23 yokka kramam ekkada undhi mariyu formula _ 24 formula _ 25 yokka vector space besnu yerparustundi, idhi cemetric sajatiya bahupadaaniki anugunamgaa untundi.
oka kshetrampai bahupadi beejaganitam suutram _ 28 looni anischita chararaasula suutram _ 27 loe samaruupataku kaaranam pbw siddhaantam nundi anusaristundi mariyu saarvatrika kavacham algibralapy vyaasamlo chaalaa vivaramgaa charchinchabadindi.
antekakunda, oka kasimir moolakam saarvatrika kavacham beejaganitam, i yokka kendraaniki chendinadi ayi undaali.ii. adhi paatinchaali
anni aadhara muulakaala suutram _ 30 
sambandhita cemetric tensor suutram _ 23 paramgaa, eee paristhiti tensor asthiramgaa undataaniki samanam
ikkada suutram _ 33 anedi lye beejaganitam yokka nirmaana sthiraamkaalu.ii. suutram _ 34.
aastulu.
quadratic kasimir moolakam yokka pratyekata.
oka saadhaarana abaddham beejaganitam kosam prati asthira dwiparshwa roopam champe roopaaniki bahulam kabatti, sambandhita kasimir moolakam sthiraamkam varaku pratyaekamgaa nirvachinchabadutundi. saadhaarana ardha saralamaina abaddham beejaganitam kosam, asthira dvimukha roopaala sthalam prati saadhaarana bhaagaaniki oka aadhara vektarnu kaligi untundi, anduvalla sambandhita kasimir operatorla sthalaaniki kooda idhi vartistundi.
g" paie laplasianku sambandham.
suutram _ 35 anedi abaddham beejaganitam suutram _ 1 thoo kuudina abaddham samuuham ayithe, suutram _ 1 paie nandigenerate invariant dwiparshwa roopam yokka empika suutram _ 35 paie dvi-invariant remanian metrik empikaku anugunamgaa untundi. appudu suutram _ 35 paie edama asthira avakalana operatorlatho suutram _ 1 yokka saarvatrika enveloping beejaganitam gurtimpulo, suutram _ 1 paie dwiparshwa roopam yokka kasimir moolakam suutram _ 35 yokka laplasianku (sambandhita dvi-invariant metrikku sambandhinchi).
kasimir amsaalu mariyu praatinidhya siddhaantam.
raca siddhaantam prakaram, oka ardha saralamaina abaddham beejaganitam kosam saarvatrika aavarana beejaganitam yokka kendram yokka parimaanam daani shreniki samanamga untundi. kasimir operator saadhaarana semee simple lye groupupai laplasian bhavananu istaadu; conny rank> 1 kosam laplasian yokka pratyaekamaina analog ledhu.
nirvachanam prakaram, saarvatrika aavarana beejaganitam yokka kendramloni yea sabhyudaina beejaganitamloni anni itara muulakaalatoe prayaanistaaru. shur yokka lemma dwara, abaddham beejaganitam yokka edainaa irreducible praatinidhyamlo, edainaa kasimir moolakam gurtimpuku anulomaanupaatamlo untundi. anni kasimir muulakaala aigen viluvalanu abaddham beejaganitam (anduvalla, daani abaddham samuuham) yokka praatinidhyaalanu vargeekarinchadaaniki upayoginchavacchu. 
bhouthika dravyarashi mariyu spin eee aigen viluvalaku udaaharanalu, alaage quantum mechanicslo kanipinche aneka itara quantum sankhyalu. uparitalamgaa, sthalavignaana quantum sankhyalu eee namuunaaku minahaayimpugaa untaayi; ayithe lothaina siddhaantaalu ivi oke drugvishayaaniki rendu koonaalu anie suuchistunnaayi..
suutram _ 43 anedi baruvu suutram _ 44 yokka parimita dimensional atyadhika baruvu modulega undanivvandi. appudu quadratic kasimir moolakam suutram _ 12 sthiraamkam dwara suutram _ 43 paie panichestundi. 
ikkada suutram _ 48 anedi saanukuula muulaala mottamlo sagam dwara nirvachinchabadina baruvu. 
suutram _ 43 chinnadi kakapothe (i.ii. suutram _ 50) ayithe, eee sthiraamkam sunna kaanidi. annintikante, suutram _ 44 prabalamgaa unnanduna, suutram _ 50 ayithe, suutram _ 53 mariyu suutram _ 54, aaa suutram _ 55 nii chooputundi. eee pariseelana puurti taggimpupai wheel siddhaantam yokka rujuvulo mukhyamaina paatra poeshistumdi. carton yokka pramaanaanni upayoginchi-aigen viluvaku spashtamaina suutraanni upayoginchakundaa-aigen viluva yokka adrushyam kaadani marinta nairoopya maargamlo niroopinchadam kooda saadhyamavutundi; humphries pustakamloni 4.3 mariyu 6.2 vibhaagaalanu chudandi.
saralamaina algibrala yokka cemetric invariant tensorlu.
arder formula _ 56 yokka kasimir moolakam formula _ 57 dwara adhe kramamlo unna cemetric invariant tensorku anugunamgaa untundi. kasimir muulakaalanu nirminchadam mariyu sambandhitaparachadam anedi cemetric invariant tensorlaku adhe vidhamgaa cheyadaaniki samanam.
cemetric invariant tensorla nirmaanam.
nirvachinche praatinidhyamlo cemetric invariant tensorlanu cemetrised tracega nirminchavacchu. 
ikkada suuchikalu champe roopam dwara penchabadataayi mariyu tagginchabadataayi mariyu anni prastaaranala krinda samaruupata chendutaayi.
eee rakaniki chendina antisemetric invariant tensorla nundi cemetric invariant tensorlanu nirminchadam kooda saadhyame. 
cemetric invariant tensor 
suutram _ 61kii idhi traceless. atuvanti asthira tensorlu suutram _ 63 ayithe suutram _ 62 anae ardhamlo okadaanikokati artogonalga untaayi.
saralamaina abaddham beejaganitam suutram _ 64 vishayamlo, 
nirvachinche praatinidhyamlo, moodu suutraala yokka puurti cemetric tensornu parichayam cheddam. 
appudu sudbury cemetric invariant tensorlu 
cemetric invariant tensorla madhya sambandhaalu.
rank formula _ 71 yokka saadhaarana abaddham beejaganitam kosam, suutram _ 71 beejaganitaparamgaa swatantra cemetric inavariant tensorlu unnaayi. anduvalla, atuvanti tensorlanu icchina tensorla suutram _ 71 paramgaa vyakteekarinchavachhu. cemetric invariant tensorla madhya puurti gurtimpu samitulanu pondadaaniki oka kramabaddhamaina paddhati undhi.
abaddham beejaganitam suutram _ 74 vishayamlo, cemetric invariant tensors suutram _ 75 suutram _ 76kii kattubadi untundi. 
formula _ 77 ledhaa formula _ 78 vanti itara kutumbaala paramgaa eee tensorlanu tirigi vyakteekarinchadam eee itara kutumbaalalo chinnapati sambandhaalaku daariteestundi. udaaharanaku, sudbury tensors formula _ 79 nuu formula _ 80 paramgaa, rakam sambandhaalato vyakteekarinchavachhu. 
udaaharanaku, nirmaana sthiraamkaalu kooda cemetric invariant tenserlatho neerugaa sambandham laeni gurtimpulaku kattubadi untaayi.
udaaharanalu.
kesu.
abaddham beejaganitam suutram _ 85 sunna jaadato rendu-dwara-rendu sanklishta maatrikalanu kaligi untundi. suutram _ 86, suutram _ 87, suutram _ 88 anae moodu praamaanika aadhara muulakaalu unnaayi.
commutatorlu
kasimir moolakam anie chuupavachchu
suutram _ 91
kesu.
abaddham beejaganitam suutram _ 92 anedi trimiteeya euclidean space kosam bhramana samuuham ayina soe (3) yokka abaddham beejaganitam. idhi rank 1 kii saralamainadi, kabatti dheeniki oke swatantra kasimir undhi. bhramana samuuhaaniki champe roopam kevalam kronekar delta, kabatti kasimir asthirata anedi kevalam beejaganitam yokka generator suutram _ 93 yokka vargaala mottam. antey, kasimir asthirata dwara ivvabadutundi
suutram _ 92 yokka irreducible praatinidhyaanni pariganinchandi, dheenilo suutram _ 96 yokka atipedda aigen value suutram _ 97, ikkada suutram _ 97 yokka saadhyamayye viluvalu suutram _ 99. kasimir operator yokka invarians idhi gurtimpu operator suutram _ 100 yokka gunakam anie suuchistumdi. eee sthiraamkaanni spashtamgaa lekkinchavacchu, eee krindi phalitaanni istundi.
quantum mechanicslo, scalar viluva suutram _ 97 nuu mottam koneeya momentum anie pilustaaru. bhramana samuuham yokka parimita-dimensional matricks-viluva gala praatinidhyaala kosam, suutram _ 97 ellappuduu puurnaanka viluvalanu (bosonic praatinidhyaala kosam) ledhaa sagam-puurnaanka viluvalanu (fermionic praatinidhyaala kosam) teesukuntundi.
suutram _ 97 yokka icchina viluvaku, maatrika praatinidhyam suutram _ 105-dimensional. anduvalla, udaaharanaku, suutram _ 92 kosam trimiteeya praatinidhyam suutram _ 107kii anugunamgaa untundi, mariyu generatorla dwara ivvabadutundi.
ikkada generatorlu vakra-sweeya-anubandha operatorluga undaalani bhouthika shaastra sampradaayam (ikkada upayoginchabadindi) thoo oppandam kudurchukovadaniki suutram _ 109 yokka karakalu avasaram.
quadratic kasimir inavariantnu sulabhamgaa chethitho lekkinchavacchu, phalitamgaa
suutram _ 107 unnappudu suutram _ 111 gaa.
kasimir operator yokka aigen viluvalu abaddham beejaganitam (mariyu anubandha abaddham samuuham abaddham samuuham) yokka irreducible praatinidhyaalanu vargeekarinchadaaniki upayoginchabadatayani cheppinappudu dheeni ardham emitante abaddham beejaganitam yokka rendu irreducible praatinidhyaalu vaati kasimir moolakam oke aigen viluvanu kaligi unte matrame samanamga untaayi. eee sandarbhamlo, suutram _ 92 yokka irraplu puurtigaa suutram _ 97 viluva dwara ledhaa samanamga, suutram _ 115 viluva dwara nirnayinchabadataayi.
adevidhamgaa, dvi-miteeya praatinidhyam pauli maatrikalu icchina aadharaanni kaligi untundi, idhi spinku anugunamgaa untundi, mariyu pratyaksha ganana dwara kasimir suutraanni mallee tanikhi cheyavachu.

