
ganana kaatinyam ooha

ganana sanklishtata siddhaantamlo, ganana kaatinyam ooha anedi oka nirdishta samasyanu samarthavantamgaa parishkarinchalemu anae parikalpana (ikkada "samarthavantamgaa" antey "bahupadi samayamlo"). edainaa upayogakaramaina samasyaku (besharatugaa) kaatinyaanni elaa niroopinchaalo teliyadu. badulugaa, computer saastravettalu kotta ledhaa sanklishtamaina samasya yokka kaatinyaanni baga ardham chesukunna samasya gurinchi ganana kaathinya bhaavanatho adhikarikamga anusandhaaninchadaaniki taggimpulapai aadhaarapadataaru.
guudha lipi saastramlo ganana kaatinyam anchanaalu pratyeka praamukhyata kaligi untaayi. cryptography pradhana lakshyam niroopinchadagina bhadratatho cryptographic primitivelanu srushtinchadam. konni sandarbhaallo, guudha lipi shaastra niyamaavalulu samachara siddhaantaparamaina bhadratanu kaligi unnatlu kanugonabadindi; oka saari pyaad anedi oka saadhaarana udaaharana. ayithe, samachara siddhaantaparamaina bhadratanu ellappuduu saadhinchalemu; atuvanti sandarbhaallo, guudha lipi saastravettalu ganana bhadrataku tirigi vastaaru. sthuulamgaa cheppalante, anni pratyarthulu aacharanalo unnanduna, eee vyavasthalu "evaina pratyarthulu gananaparamgaa parimitam anie bhaavinchi" surakshitamgaa unnayani dheeni ardham.
algorithm roopakartalaku maarganirdesam cheyadaaniki ganana kaatinyam anchanaalu kooda upayogapadataayih oka saadhaarana algorithm p shna np vanti baga adhyayanam cheyabadina ganana kaatinyam oohanu khandinche avakaasam ledhu.
kaatinyam oohalanu polchadam.
computer saastravettalu yea kathinatva anchanaalu marinta nammadaginavo anchanaa vaeyadaaniki vividha maargaalanu kaligi unnaaru.
kaatinyam oohala balam.
suutram _ 1 suutram _ 2 nii suuchimchinappudu ooha suutram _ 1 ooha suutram _ 2 kante "balamgaa" undani memu chebutamu (mariyu converse tappu ledhaa teliyadu).
maroe maatalo cheppalante, ooha suutram _ 1 tappu ayinappatikee, ooha suutram _ 2 ippatikee nijam kaavacchu, mariyu ooha suutram _ 2 aadhaaramgaa guudha lipi shaastra protocols ippatikee upayoginchadaaniki surakshitamgaa undavacchu.
anduvalla guudha lipi shaastra niyamaavalini roopondinchetappudu, saadhyamainanta balaheenamaina oohalanu upayoginchi bhadratanu niroopinchagalamani aasistaaru.
sagatu kesu verses. chettha-kesu anchanaalu.
sagatu-kesu ooha konni spashtamaina pampinhee nundi chaalaa sandarbhaalalo oka nirdishta samasya kashtamani chebutundi, ayithe chettha-kesu ooha "konni" sandarbhaallo samasya kashtamani matrame chebutundi. icchina samasyaku, sagatu-kesu kaatinyam chettha-kesu kaatinyaanni suuchistumdi, kabatti sagatu-kesu kaatinyam ooha adhe samasyaku chettha-kesu kaatinyam ooha kante balamgaa untundi. 
inca, saatileni samasyalaku kooda, ghaataanka samaya parikalpana vanti ooha tarachugaa pariganinchabadutundi. 
naatina click ooha vanti sagatu-cases ooha kante manchidi.
ayithe, chaalaa guudha lipi shaastra anuvartanaallo, oka samasyaku kontha kathinamaina udaaharana undani telusukovadam gamaninchandi (i.ii. oka samasya kathinamainadi) chettha vishayamlo) panikiraadu endukante idhi kathinamaina sandarbhaalanu srushtinche marganni maaku andinchadu. adrushtavasaattuu, guudha lipi saastramlo upayoginche aneka sagatu-cases anchanaalu (rsa, vivikta logg mariyu konni jaalaka samasyalatho sahaa) chettha-cases-tuu-average-cases taggimpula dwara chettha-cases anchanaalapai aadharapadi undavacchu.
abaddhalu.
ganana kaatinyam ooha yokka kaavalasina lakshanam abaddhalu, i.ii. aaa ooha abaddham ayithe, daanini niroopinchadam saadhyamavutundi.
mukhyamgaa, guudha lipi shaastram yokka tappudu avagahana yokka adhikaarika bhavananu pravesapettindi.
sthuulamgaa, oka ganana kaatinyam oohanu savaalu paramgaa roopondinchagaligithe adhi abaddhamani cheppabadutundih 
pratyarthi mariyu samarthavanthamaina dhruvikarana madhya paraspara protocol,
ikkada samarthavanthamaina pratyarthi, ooha tappu ayithe matrame, dhruveekarinchevaarini angeekarinchamani oppinchagaladu.
saadhaarana guudha lipi shaastra kaatinyam anchanaalu.
aneka guudha lipi shaastra kaatinyam anchanaalu upayogamlo unnaayi. idhi atyanta saadhaaranamaina vaati jabita, mariyu vaatini upayoginche konni guudha lipi shaastra niyamaavali.
puurnaanka kaarakatvam.
mishrama sankhya suutram _ 8 ichinatlayithe, mariyu mukhyamgaa rendu pedda prime suutram _ 9 yokka utpatti ayina okadaanilo, puurnaanka kaaraka samasya suutram _ 10 mariyu suutram _ 11 nuu kanugonadam (marinta saadhaaranamgaa, suutram _ 13 vanti prime suutram _ 12 nuu kanugonandi).
praatinidhyam yokka parimaanamlo (suutram _ 14) samaya bahupadamlo nadiche puurnaanka kaarakatvam kosam oka algorithamnu kanugonadam oka pradhana bahiranga samasya.
aneka guudha lipi shaastra niyamaavali yokka bhadrata puurnaanka kaarakatvam kashtam anae oohapai aadharapadi untundi (i.ii. bahupadi samayamlo parishkarinchalemu). 
eee oohaku samaanamaina bhadrata kaligina guudha lipi vyavasthalalo rabin guudha lipi vyavastha mariyu okaamoto-uchiyama guudha lipi vyavastha unnaayi.
chaalaa ekkuva guudha lipi vyavasthalu rsa, avashesha samasyalu mariyu phai-hiding vanti balamaina oohalapai aadhaarapadataayi.
rsa samasya.
mishrama sankhya suutram _ 8, ghaataanka suutram _ 16 mariyu sankhya suutram _ 17 ichinatlayithe, rSA samasya suutram _ 18 nii kanugonadam.
samasya katinamainadigaa oohinchabadindi, conny suutram _ 8 yokka kaarakatvam icchinappudu sulabham avutundi. 
rSA guudha lipi vyavasthalo, suutram _ 20 anedi public kii, suutram _ 21 anedi sandesha suutram _ 18 yokka gupteekarana, mariyu suutram _ 8 yokka kaarakatvam anedi decryption kosam upayoginche rahasya kii.
avashesha samasyalu.
mishrama sankhya suutram _ 8 mariyu puurnaanka suutram _ 25 ichinatlayithe, avashesha samasya emitante, (pratyamnaayamgaa, oka) suutram _ 26 undaa anie nirnayinchadam.
mukhyamaina pratyeka sandarbhaalalo quadratic residucity samasya mariyu nirnayaatmaka mishrama residucity samasya unnaayi.
rSA vishayamlo vale, eee samasya (mariyu daani pratyeka sandarbhaalu) kathinamgaa untundani oohinchabadindi, conny suutram _ 8 yokka kaarakatvam icchinappudu sulabham avutundi.
avashesha samasyala kaatinyampai aadhaarapade konni guudha lipi vyavasthaluh
phai-hiding ooha.
mishrama sankhya suutram _ 18 kosam, daani euler yokka tuttient function suutram _ 30 nuu samarthavantamgaa elaa lekkinchaalo teliyadu. phai-hiding ooha suutram _ 30 nuu lekkinchadam kashtamani, inca suutram _ 30 yokka edainaa pradhana kaarakaalanu ganinchadam kooda kashtamani perkondi. eee ooha kachin-mikali-stadler peer protocallo upayoginchabadutundi.
vivikta logg samasya (dii. ell. pii).
samuuha suutram 35 nundi suutram _ 33 mariyu suutram _ 34 ichinatlayithe, vivikta logg samasya suutram _ 37 vanti puurnaanka suutram _ 36 kosam adugutundi.
vivikta logg samasyanu puurnaanka kaarakatvamto polchalemu, conny vaati ganana sanklishtatalu daggari sambandham kaligi untaayi.
vivikta logg samasyaku sambandhinchina chaalaa guudha lipi shaastra niyamaavalulu vaastavaaniki balamaina defy-hellman oohapai aadhaarapadataayih icchina samuuha muulakaala suutram _ 38, ikkada suutram _ 39 generator mariyu suutram _ 40 yaadruchchika puurnaamkaalu, suutram _ 41 nuu kanugonadam kashtam. eee oohanu upayoginche niyamaavalula udaaharanalalo asalu defy-hellman kii marpidi, alaage elgamal encryption (idhi inca balamaina nirnayaatmaka defy-hellman (ddh) roopaantaram) unnaayi.
bahula rekheeya pataalu.
multilinear mapp anedi function formula _ 42 (ikkada formula _ 43 samuuhaalu), antey edainaa formula _ 44 mariyu formula _ 45 kosam, 
guudha lipi shaastra anuvartanaala kosam, samuuha suutram _ 43 mariyu oka pata suutram _ 16 nuu nirminchalanukuntaru, tadwara suutram _ 43 paie patam mariyu samuuha karyakalapalanu samarthavantamgaa lekkinchavacchu, conny suutram _ 50 paie vivikta logg samasya ippatikee kashtam.
konni anuvartanaalaku balamaina anchanaalu avasaram, udhaa.zii. defy-hellman anchanaala yokka bahula-rekheeya saaruupyatalu.
formula _ 51 yokka pratyeka kesu kosam, nammadagina bhadratatho kuudina dwiparshwa pataalu wheel jatha mariyu tate jatanu upayoginchi nirminchabaddaayi.
formula kosam iteevali samvatsaraalalo aneka nirmaanaalu pratipaadinchabaddaayi, conny vaatilo chaalaa varaku kooda vicchinnamayyaayi, mariyu prastutam surakshitamaina abhyardhi gurinchi ekaabhipraayam ledhu.
bahula rekheeya kaatinyam oohalapai aadhaarapade konni guudha lipi vyavasthaluh
jaalaka samasyalu.
jalakalapai atyanta praathamika ganana samasya athi chinna vector samasya (ess. vii. pii): jaalaka suutram _ 53 ichinatlayithe, athi chinna sunna kaani vector suutraanni _ 54 kanugonandi.
chaalaa guudha lipi vyavasthalaku athi chinna swatantra vahakalu samasya (sivipi), gaps vipi ledhaa pratyaekamaina-eswipi vanti eswipi yokka vaividhyaalapai balamaina anchanaalu avasaram.
guudha lipi saastramlo atyanta upayogakaramaina jaalaka kaatinyam ooha lopaalu (lwe) samasyatho nerchukovadaaniki suutram _ 55kii namuunaalanu icchinappudu, ikkada konni leanier function suutram _ 57kii suutram _ 56, leanier beejaganitam upayoginchi suutram _ 57 neerchukoevadam sulabham. lwe samasyalo, algorithanku input lopaalu unnaayi, i.ii. prati jatha suutram kosam _ 59 kontha chinna sambhaavyatatoo. eee lopaalu samasyanu parishkarinchalenidigaa chestayani nammutaaru (tagina paaraamitula kosam); mukhyamgaa, ess. vii. pii yokka vaividhyaala nundi chettha-kesu nundi sagatu-kesu taggimpulu telisinavi.
quantum computerlaku, karakalu mariyu vivikta logg samasyalu sulabham, conny jaalaka samasyalu kashtamgaa untaayani anchanaa veyabadindi.
idhi post-quantum guudha lipi shaastram kosam konni jaalaka-aadhaarita guudha lipi vyavasthalanu abhyardhulugaa chestundi.
jaalaka samasyala kaatinyampai aadhaarapade konni guudha lipi vyavasthaluh
naan-cryptographic kaatinyam anchanaalu.
vaari guudha lipi shaastra anuvartanaalato paatu, kathinatva anchanaalu ganana sanklishtata siddhaantamlo besharatugaa niroopinchadam kashtamaina ganita prakatanalaku sakshyalanu andinchadaaniki upayoginchabadataayi. eee anuvartanaallo, kathinatvam ooha anedi prakatana nijamani niroopinchadaaniki badulugaa, kontha kaavalasina sanklishtata-siddhaantaparamaina prakatnanu suuchistumdani rujuvu chestundi. eee rakaniki chendina atyanta prasiddha ooha p ≤ np anae ooha, conny itarulu ghaataanka samaya parikalpana, naatina click ooha mariyu pratyaekamaina aata oohanu kaligi untaaru.
"sii"-kathinamaina samasyalu.
chaalaa chettha-cases ganana samasyalu konni sanklishtata taragati suutram _ 60 kosam kathinamainavi ledhaa puurti anie kooda pilustaaru, pratyekinchi np-haard (conny tarachugaa pspace-haard, pad-haard modalainavi kooda.). antey avi kaneesam taragati suutram _ 60 looni edainaa samasya vale kathinamgaa untaayi. 
oka samasya suutram _ 60-haard ayithe (bahupadi samaya taggimpulaku sambandhinchi), ganana kaatinyam ooha suutram _ 63 tappu ayithe tappa daanini bahupadi-samaya algorithm dwara parishkarinchalemu.
ghaataanka samaya parikalpana (eth) mariyu vaividhyaalu.
ghaataanka samaya parikalpana (eth) anedi suutram _ 64 kaatinyam oohanu balopetam cheyadam, idhi booliyan santruptikara samasyaku bahupadi samaya algorithm undadani matrame kakunda, dheeniki ghaataanka samayam (suutram _ 65) kooda avasaramani anchanaa vestundi. 
balamaina ghaataanka samaya parikalpana (seth) anie piluvabade marinta balamaina ooha, suutram _ 36-saatku suutram _ 67 samayam avasaramani oohistundi, ikkada suutram _ 68 untundi. 
eth, seth mariyu sambandhita ganana kaatinyam anchanaalu chakkati-grained sanklishtata phalitaalanu anchanaa vaeyadaaniki anumatistaayi, udhaa.zii. bahupadi samayam mariyu pakshika-bahupadi samayanni vaeru chese phalitaalu, ledhaa suutram _ 69 verses suutram _ 70 kooda.
atuvanti anchanaalu paraamita sanklishtatalo kooda upayogapadataayi.
sagatu-cases kaatinyam anchanaalu.
konni ganana samasyalu oka nirdishta udaaharanala pampinhee kante sagatuna kashtamgaa untaayani bhaavistaaru.
udaaharanaku, naatina click samasyalo, input anedi yaadruchchika graph namuunaa, oka erdos-raenee yaadruchchika graphnu namuunaa cheyadam dwara, aapai yaadruchchika suutram _ 36-click, i.ii. suutram _ 36nii ekareeti yaadruchchika nodlanu anusandhaaninchadam (ikkada suutram _ 73), mariyu naatina suutram _ 36-clike (idhi pratyaekamaina doubleu.hetch.pii.).
maroka mukhyamaina udaaharana pheej yokka parikalpana, idhi 3-saat yokka yaadruchchika sandarbhaala gurinchi ganana kaatinyam ooha (chararaasulaku upavaakyaalu yokka nirdishta nishpattini nirvahinchadaaniki namuunaa).
gananala vanti anuvartanaallo sagatu-cases ganana kaatinyaanni niroopinchadaaniki sagatu-cases ganana kaathinya anchanaalu upayogapadataayi, ikkada inputlapai sahaja pampinhee untundi.
adanamgaa, naatina click kaatinyam ooha itara samasyala bahupadi mariyu pakshika-bahupadi chettha-sandarbham samaya sanklishtata madhya thedaanu gurtinchadaaniki kooda upayoginchabadindi.
adevidhamgaa ghaataanka samaya parikalpana.
pratyaekamaina atalu.
pratyaekamaina label cover samasya anedi oka addanki santrupti samasya, ikkada prati addanki suutram _ 60loe rendu chararaasula suutram _ 76 untundi, mariyu suutram _ 26 yokka prati viluvaku suutram _ 78 yokka "pratyaekamaina" viluva untundi, idhi suutram _ 60nii santruptiparustundi.
anni addamkulanu santrupti parachagalama anie nirnayinchadam sulabham, conny pratyaekamaina aata ooha (yujisi) daadaapu anni addamkulanu (formula _ 80-fraction, edainaa sthiramaina formula _ 81 kosam) santrupti parachagaladaa ledhaa vaatilo daadaapu edhee (formula _ 82-fraction) santrupti parachaleda anie nirnayistundi.
sumaru samasyalu tarachugaa yujisi anie anukoni enpi-haard anie pilustaaru; atuvanti samasyalanu yuji-haard anie pilustaaru. 
mukhyamgaa, yujisi aneka mukhyamaina samasyalaku saraina ujjaayimpu haameelanu saadhinche semifinite prograaming algorithm undani bhaavinchi.
chinna vistarana.
pratyaekamaina label cover samasyaku daggari sambandham chinna sett vistarana (sse) samasyah graph suutram _ 83 ichinatlayithe, anchu vistarana takkuvagaa unna chinna sheershaalanu (parimaana suutram _ 84) kanugonandi. 
sseni anchanaa veyadam kashtamaite, adhe vidhamgaa pratyaekamaina label cover anie telusu. anduvalla, "chinna sett vistarana parikalpana", idhi sseni anchanaa veyadam kashtam anie pratipaadistundi, idhi pratyaekamaina aata ooha kante balamaina (conny daggari sambandham) ooha.
konni ujjaayimpu samasyalu kathinamainavi (i.ii. kaneesam sumaruga sse).
3samm ooha.
suutram _ 8 sankhyala samitini ichinatlayithe, 3samm samasya sunna mottam unna sankhyala moodu retlu unnaya anie adugutundi.
3samm kosam quadratic-time algorithm undhi, mariyu yea algorithm "nijamaina sub-quadratic time" loe 3samnu parishkarinchadani oohinchabadindih 
3samm ooha anedi 3samm kosam suutram _ 86-samaya algorithamlu levani ganana kaatinyam ooha (edainaa sthiramaina suutram _ 87 kosam).
eee ooha aneka samasyalaku, ekkuvagaa ganana jyaamiti nundi, daadaapu-asthira diguva sarihaddulanu niroopinchadaaniki upayogapadutundi.

