
monad (varga siddhaantam)

varga siddhaantamlo, ganita shaastram yokka oka saakha, oka monad (triple, tride, praamaanika nirmaanam mariyu praathamika nirmaanam kooda) anedi endfunkers vibhaagamlo oka monoid. endofunctor anedi oka varganni mapping chese functor, mariyu oka monad anedi konni pondika paristhitulanu neraverchadaaniki avasaramaina rendu sahaja parivartanalatho kalisi endofunctor. monadlu jatha anubandha functorla siddhaantamlo upayoginchabadataayi, mariyu avi paakshikamgaa arder cheyabadina setlalo closure operatorlanu ekapaksha vargaalaku saadhaaraneekaristaayi. monads datatypes siddhaantamlo, imperative prograaming longuages yokka denotational semantics, mariyu functional prograaming longuages loe kooda upayogapadataayi, ivi naan-matable statesto unna languagesnu loops kosam anukarinchadam vanti panulanu cheyadaaniki anumatistaayi; monad (functional prograaming) chudandi.
parichayam mariyu nirvachanam.
monad anedi oka nirdishta rakam endofunctor. udaaharanaku, suutram _ 1 mariyu suutram _ 2 anevi suutram _ 2kii prakka prakka prakkana unna suutram _ 1 thoo anubandha functorla jatha ayithe, appudu kuurpu suutram _ 5 oka monad avutundi. suutram _ 1 mariyu suutram _ 2 viloma functorlu ayithe, sambandhita monad anedi gurtimpu functor. saadhaaranamgaa, anubandhalu samaanatvaalu kaavu-avi vividha swabhaavaala vargaalaku sambandhinchinavi. monad siddhaantam anedi anubandhalu 'samrakshinche' vaatini sangrahinche prayatnamlo bhaagamgaa mukhyamainadi. suutram _ 8 yokka pariseelana nundi adevidhamgaa neerchukoogala siddhaantam yokka migilina sagam, "comonades" yokka dwandwa siddhaantam krinda charchinchabadindi.
adhikaarika nirvachanam.
eee vyaasam antataa suutram _ 9 oka varganni suuchistumdi. suutram _ 9 paie oka "monad" rendu sahaja parivartanalatho kalisi endofunctor suutram _ 11 nuu kaligi untundih suutram _ 12 (ikkada suutram _ 13 suutram _ 9 paie gurtimpu functornu suuchistumdi) mariyu suutram _ 15 (ikkada suutram _ 16 suutram _ 9 nundi suutram _ 9 varaku functor suutram _ 17). eee krindi sharatulanu neraverchadaaniki ivi avasaram (konnisaarlu pondika paristhitulu anie pilustaaru):
eee krindi commutative rekhaachitraalanu upayoginchi manam eee paristhitulanu tirigi vraayavachuhu
sangnaamaana suutram _ 22 mariyu suutram _ 23 yokka vivarana kosam sahaja parivartanalapai kathanaanni chudandi, ledhaa eee bhaavanalanu upayoginchani commutative rekhaachitraala krinda chudandi
suutram _ 31nii monoid yokka binary operationga bhaavisthe modati suutram monoidlalo anubandhataku samanamga untundi, mariyu rendava suutram oka gurtimpu moolakam yokka unikiki samanamga untundi (idhi suutram _ 32 dwara ivvabadindani manam bhaavistaamu). vaastavaaniki, suutram _ 9 paie oka monadnu pratyamnaayamgaa suutram _ 34 vargamlooni monaidga nirvachinchavacchu, dheeni vastuvulu suutram _ 9 yokka endofunkerlu mariyu dheeni morphisms vaati madhya sahaja parivartanalu, endofunkerla kuurpu dwara prerepinchabadina monoid nirmaanamtho.
power sett monad.
power sett monad" anedi varga suutram _ 37 paie oka monad suutram _ 36: oka sett suutram _ 38 kosam suutram _ 39 suutram _ 38 yokka shakti samitigaa undanivvandi mariyu oka function suutram _ 41 kosam suutram _ 43 kinda pratyaksha chitraalanu teesukovadam dwara prerepinchabadina shakti setla madhya suutram _ 42 gaa undanivvandi. prati sett suutram _ 38 kosam, manaku mapp suutram _ 45 undhi, idhi prati suutram _ 46kii singleton suutram _ 47. function.
daani unionku setla samitini teesukuntundi. eee dayta oka monadnu vivaristundi.
vyaakhyalu.
monad yokka suutraalu adhikarikamga monoid suutraalanu pooli untaayi. vaastavaaniki, monads anevi monoidla yokka pratyeka sandarbhaalu, avi khachitamgaa endofunkers formula _ 49 madhya monoids, ivi endofunkers kuurpu dwara ivvabadina gunakaaramtho amarchabadi untaayi.
monads kuurpu saadhaaranamgaa monad kaadu. udaaharanaku, double power sett functor formula _ 50 yea monad nirmaanaanni angeekarinchadu.
comonades.
vargeekarana dwandwa nirvachanam anedi "komonad" (ledhaa "cottriple") yokka adhikaarika nirvachanam; dheenini oka vargam suutram _ 9 kosam oka komonad anedi vyatiraeka vargam suutram _ 52 kosam oka monad anie padaalaloo twaragaa cheppavacchu. anduvalla idhi suutram _ 9 nundi daaniki oka functor suutram _ 53, "countit" mariyu "comultiplication" kosam suutraala samititoe, idhi kevalam icchina nirvachanamlo pratichota baanaalanu tippadam nundi vastundi.
monads anevi "comonoids" kuu comonades gaa untaayi. prati samiti oka pratyaekamaina maargamlo oka comonoid, kabatti comonoidlu monoidla kante nairoopya beejaganitamlo takkuvagaa suparichitam; ayithe, vector spacela vibhaagamlo daani saadhaarana tensor utpattitoe comonoidlu mukhyamainavi mariyu colzebras paerutoe vistrutamgaa adhyayanam cheyabadataayi.
paribhaashaatmaka charitra.
monad anae bhavananu 1958loe roser gadement "praamaanika nirmaanam" paerutoe kanugonnaru. monadnu "dual standard construction", "triple", "monoid" mariyu "tride" anie pilustaaru. monad" anae padaanni iteevala 1967loe zeane benabou upayoginchaaru.
udaaharanalu.
gurtimpu.
vargam suutram _ 9 looni gurtimpu functor oka monad. daani gunakaaram mariyu unit suutram _ 9 yokka vastuvulapai gurtimpu function.
anubandhaala nundi utpannamayye monads.
edainaa anubandham
idhi "sii" paie oka monad kuu daariteestundi. eee chaalaa vistrutamaina nirmaanam eee krindi vidhamgaa panichestundihi endofunker anedi misramam
eee endofunctor twaragaa oka monadga kanipistundi, ikkada unit mapp anubandham yokka unit mapp formula _ 59 nundi udbhavistundi, mariyu gunakaaram mapp anubandham yokka county myapnu upayoginchi nirminchabadindih
vaastavaaniki, edainaa monadnu eelenberg-moor vargam suutram _ 61 (suutram _ 27-alzebras vargam) nuu upayoginchi functorla yokka spashtamaina anubandhamgaa kanugonavacchu.
double dual.
double dualization monad", oka sthira kshetram kosam "k" anubandham nundi utpannamavutundi
ikkada rendu functorlu daani dual vector space formula _ 64kii vector space "v" nuu pampadam dwara ivvabadataayi. anubandha monad daani double dual formula _ 65kii vector space "v" nuu pamputundi. eee monad gurinchi chaalaa ekkuva saadhaaraneekaranalo charchinchabadutundi.
paakshikamgaa arder chesina setlalo operatorlu moosiveyandi.
paakshikamgaa arder cheyabadina setla formula _ 66 nundi utpannamayye vargaalaku (formula _ 67 nundi formula _ 68 varaku oke maarfijamtho formula _ 69 ayithe matrame), appudu formalism chaalaa saralamgaa marutundihi prakka jatalalo galoys connections mariyu monads closure operatorlu.
uchita-marchipoleni anubandhalu.
udaaharanaku, samuuhaala vargam grap nundi setla vargam varaku formula _ 2 marchipoleni functorga undanivvandi, mariyu formula _ 1 setla vargam nundi samuuhaala vargam varaku uchita group functorga undanivvandi. appudu suutram _ 1 suutram _ 2 kii pakkane untundi. eee sandarbhamlo, anubandha monad suutram _ 74 oka sett suutram _ 75 nuu teesukuntundi mariyu uchita samuuha suutram _ 76 yokka antarleena samitini andistundi.
eee monad yokka unit mapp myapla dwara ivvabadindi
edainaa sett suutram _ 75 nii sett suutram _ 76 loki sahaja maargamlo, podavu 1 yokka teegalagaa cherchandi. inca, eee monad yokka gunakaaram mapp
sahaja samyogam ledhaa 'teegala teegala' yokka 'chadunaina' nundi tayaaru cheyabadindi. idhi rendu sahaja parivartanalaku samanam.
swatantra samuuhaala gurinchi munupati udaaharananu saarvatrika beejaganitamlo vividha rakaala algibrala ardhamlo yea rakamaina beejaganitaanikainaa saadhaaraneekarinchavachchu. anduvalla, atuvanti prati rakamaina beejaganitam setla vibhaagamlo oka monadku daariteestundi. mukhyamgaa, beejaganitam rakanni monad nundi (eilenberg-moor algibras yokka vargamgaa) tirigi pondavacchu, kabatti monadlanu saarvatrika algibras yokka saadhaaraneekarana rakaluga kooda chudavachu.
oka anubandham nundi utpannamayye maroka monad emitante, vector space vargamlooni endofunctor ayinappudu suutram _ 27 anedi vector space formulanu _ 82 nundi daani tensor beejaganitam suutram _ 83kii mapp chestundi mariyu idhi vaari tensor utpattiki sarala patalanu mapp chestundi. appudu suutram _ 82 nuu daani tensor beejaganitamlo ponduparachadaaniki anugunamgaa sahaja parivartana untundi, mariyu anni tensor utpattulanu vistarinchadam dwara pondina suutram _ 85 nundi suutram _ 83kii anugunamgaa sahaja parivartana untundi.
codensity monads.
telikapati paristhitulalo, edama prakka bhaganni angeekarinchani functorlu kooda codensity monad anie pilavabade monadku daariteestaayi. udaaharanaku, cherika
edama prakka prakkanu angeekarinchadu. daani codensity monad anedi setlaloni monad, idhi "x" paie unna ultrafilterla setku edainaa sett "x" nuu pamputundi. eee mariyu ilanti udaaharanalu charchinchabaddaayi.
denotational semanticslo upayoginche monads.
setla vargaaniki chendina eee krindi monadlu imperative prograaming longuages yokka denotational semanticslo upayoginchabadataayi mariyu analog nirmaanaalu functional prograaminglo upayoginchabadataayi.
bahusha monad.
bahusha ledhaa pakshika monad yokka endfunctor oka asambaddha binduvunu jodistundihi
suutram _ 75 nuu suutram _ 91 loki cherchadam dwara unit ivvabadutundihi
gunakaaram suutram yokka muulakaalanu tamaki taamugaa mapp chestundi, mariyu suutram _ 95 looni rendu vidadeeyabadina paayintlu suutram _ 96 looni okadaaniki.
functional prograaming mariyu denotational semantics rendintiloonuu, bahusha monad namuunaalu pakshika gananalu, antey, viphalamayye gananalu.
rashtra monad.
oka sett suutram _ 97 icchinappudu, state monad yokka endofunctor prati sett suutraanni _ 75 nuu suutram _ 99 yokka samitiki mapp chestundi. suutram _ 75 vadda unna unit yokka bhaagam prati moolakam suutraanni _ 101 nuu functionku mapp chestundi.
gunakaaram function suutraanni _ 104 nuu functionku mapp chestundi
functional prograaming mariyu denotational semanticslo, state monad models stateful computations.
paryaavaranam monad.
oka sett formula _ 107 icchinappudu, reader ledhaa environment monad yokka endofunctor prati sett formulanu _ 75 nuu functionla formula _ 109kii mapp chestundi. anduvalla, eee monad yokka endofunctor sarigga home functor formula _ 110. formula _ 75 vadda unna unit yokka bhaagam prati element formulanu _ 101 nii sthiramaina function formulaku mapp chestundi.
functional prograaming mariyu denotational semanticslo, paryaavarana monad namuunaalu konni chadavadaaniki-matrame daetaaku praapyathatho gananalu chestaayi.
jabita mariyu monads sett cheyandi.
jabita ledhaa nirneetatvam laeni monad parimita shrenula samitiki (i.ii., jaabitaalu) "x" nundi muulakaalatoe. eee unit "x" loe oka muulakaanni singleton jaabitaaku [x] mapp chestundi. gunakaaram jaabitaala jaabitaanu oke jabitaga kaluputundi.
functional prograaminglo, jabita monad anedi nirvachinchani gananala namuunaanu roopondinchadaaniki upayoginchabadutundi. covarient powers monadunu sett monada anie kooda pilustaaru, mariyu idhi naan-deterministic ganananu roopondinchadaaniki kooda upayoginchabadutundi.
monad kosam algibras.
oka vargam suutram _ 9 paie monad suutram _ 114 ichinatlayithe, "suutram _ 27-alzebras", i nuu pariganinchadam sahajam.ii.suutram _ 9 yokka vastuvulu suutram _ 27 dwara monad yokka unit mariyu gunanaaniki anukuulamgaa unde vidhamgaa panicheestaayi. marinta adhikarikamga, suutram _ 27-beejaganitam suutram _ 120 anedi suutram _ 9 yokka oka vastuvu suutram _ 67, suutram _ 9 yokka baanam suutram _ 123 thoo kalisi beejaganitam yokka "structure mapp" anie pilustaaru, tadwara rekhaachitraalu
prayaaninchandi.
27-algibras suutram yokka padanirmaana suutram _ 125 anedi suutram _ 9 yokka baanam suutram _ 127, idhi rekhaachitram prayaanistundi. suutram _ 27-algibras "eilenberg-moor vargam" anie piluvabade varganni yerparustundi mariyu suutram _ 61 dwara suuchimchabadutumdi.
udaaharanalu.
uchita samuuha monad meeda algibras.
udaaharanaku, paina charchinchina uchita samuuha monad kosam, suutram _ 27-beejaganitam anedi suutram _ 75 dwara utpatti cheyabadina uchita samuuham nundi suutram _ 75 vaipu anubandhata mariyu ekatva paristhitulaku lobadi oka patamtho kuudina samiti suutram _ 75. atuvanti nirmaanam suutram _ 75 anedi oka samuuham anie cheppadaniki samanam.
pampinhee monad meeda algibras.
maroka udaaharana setla vargamlooni monad suutram _ 136. idhi parimita maddatutoe functionla suutram _ 138kii sett suutram _ 75nii pampadam dwara nirvachinchabadutundi mariyu vaati mottam suutram _ 139kii samanamga untundi. sett-builder sangnaamaanamlo, idhi nirvachanaala yokka setaformula _ 140 bye tanikhi, pampinhee monadpai algibralu convex setlaku samanamani chuupavachchu, i.ii., euclidean pradaesamloe convex leanier kalayikala formula 143 yokka pravartananu pooli unde suutraalaku lobadi formula _ 142 kosam operation formula _ 141 thoo amarchabadi untundi.
samaroopa monad meeda algibras.
monad yokka maroka upayogakaramaina udaaharana emitante, commutative ring formula_144.formula_146sending kosam suutram _ 144-modules vargamlooni cemetric beejaganitam functor, idhi suutram _ 144-module suutram _ 148 nundi cemetric tensor powers formula _ 149 yokka pratyaksha mottaaniki untundi. udaaharanaku, suutram _ 150, ikkada kudivaipuna unna suutram _ 144-beejaganitam modulega pariganinchabadutundi. appudu, eee monad meeda oka beejaganitam commutative formula _ 144-algibras. pratyaamnaaya tensorla formula _ 154 kosam monadla meeda algibralu kooda unnaayi mariyu mottam tensor functorla formula _ 155 anty-cemetric formula _ 144-algibrassnu istundi, mariyu free formula _ 144-algibras, sofarmula _ 158 ikkada modati ring formula _ 160-generatorlalo formula _ 144 paie free anty-cemetric beejaganitam mariyu rendava ring formula _ 160-generatorlalo formula _ 144 paie free beejaganitam.
ii-infinity ring spectraalo commutative algebralu.
commutative formula _ 163-algibra 113 kosam oka analog nirmaanam undhi, idhi commutative formula _ 163-algibra formula _ 38 kosam commutative formula _ 38-algibralanu istundi. formula _ 167 anedi formula _ 38-modules yokka vargam ayithe, functor formula _ 169 anedi formula _ 170 ware formula _ 171 formula _ 172-saarlu dwara ivvabadina monad. appudu eee monad meeda algibras vargam nundi commutative formula _ 38-algibras yokka anubandha vargam suutram _ 173 undhi.
monads mariyu anubandhalu.
paina paerkonnatlugaa, edainaa anubandham monadku daariteestundi. dheeniki viruddhamgaa, prati monad konni anubandhaala nundi udbhavistundi, avi swechchagaa marchipoye anubandham.
dheeni edama prakka bhaagam oka vastuvunu "x" nuu uchita "t"-beejaganitam "t" ("x") kuu pamputundi. ayithe, saadhaaranamgaa oka monadku daariteese aneka vibhina anubandhalu untayih suutram _ 176 anedi suutram _ 178 vanti anubandha suutram yokka vastuvulu mariyu suutram _ 9 paie gurtimpu unna anubandhaala yokka morphisms ayina baanaalu anae vargamgaa undanivvandi. appudu eelenberg-moor varga suutram _ 61 thoo kuudina paina perkonna free-fergetful anubandham suutram _ 176 loe oka antima vastuvu. oka prarambha vastuvu cleasley vargam, idhi nirvachanam prakaram suutram _ 61 yokka puurti upavargam, idhi uchita "t"-alzebras, i thoo matrame untundi.ii.c" yokka "x" anae vastuvu kosam "t"-suutram yokka algebralu _ 183.
monadic anubandhalu.
edainaa anubandha suutram ichinatlayithe _ 184 thoo anubandhinchabadina monad "t" thoo, functor "g" nuu ilaa karakamga cheyavachu
ii.ii.," g "(" y ") anedi sahajamgaa" d "looni edainaa" y "kosam" t "-beejaganitam nirmaanamtho nindi untundi. modati functor formula _ 186 "d" mariyu eelenberg-moor ketagiri formula _ 61 madhya vargaalaku samaanamaina phalitaanni isthe, anubandhaanni monadic anubandham antaaru. podigimpu dwara, oka functor formula _ 188 anedi oka monadic anubandhaanni yerparustunna edama prakka suutram _ 1 kaligi unte monadic anie cheppabadutundi. udaaharanaku, samuuhaalu mariyu samuuhaala madhya swechchagaa marchipoleni anubandham monadic, endukante paina paerkonnatlugaa, anubandha monad meeda algibralu samuuhaalu. saadhaaranamgaa, oka anubandham monadic anie telusukovadam valla "sii" mariyu "tii"-charyalooni vastuvula nundi "dii" loe vastuvulanu punarnirminchadaaniki veelu kalpistundi.
beck yokka ekatva siddhaantam.
"beck yokka monadicity siddhaantam" oka anubandhaanni monadikga undataaniki avasaramaina mariyu taginanta sharatu istundi. eee siddhaantam yokka saralikruta samskarana prakaram, "g" anedi sampradaayavaadamaite (ledhaa "g" anedi isomorphismlanu pratibimbistumdi, i.ii.g" kinda unna daani chitram "c" loe isomorphism ayithe mariyu "c" kaligi unte mariyu "g" koekvalaijarlanu samrakshiste matrame "d" loe morphism anedi isomorphism avutundi.
udaaharanaku, compact hasdorf pradaesaala nundi setla varaku marchipoleni functor monadic. ayithe anni sthalavignaana pradaesaala nundi setla varaku marchipoleni functor sampradaayabaddhamainadi kaadu, endukante nirantara bijective maplu (compact kaani ledhaa naan-husdorf pradaesaala madhya) homomorphismsga undavu. anduvalla, eee marchipoleni functor monadic kaadu.
beck siddhaantam yokka dwandwa samskarana, comonadic anubandhaalanu vargeekarinchadam, topos siddhaantam mariyu beejaganita jyaamitiloo avarohanaku sambandhinchina amsaala vanti vividha rangaalalo sambandhitamgaa untundi. oka comonadic anubandham yokka modati udaaharana anubandham
commutative ringula madhya ring homomorphism formula _ 191 kosam. b" anedi "a"-modulega nammakamgaa chadunainatlayite matrame, beck siddhaantam dwara eee anubandham comonadic avutundi. idhi "bii"-modulesnu digadaaniki anumatistundi, idhi decent daytum (i.ii., anubandham dwara ivvabadina komonad yokka charya) "a"-modules kuu. vishwaasamtho chadunaina santati yokka phalitamgaa vacchina siddhaantam beejaganita jyaamitiloo vistrutamgaa vartinchabadutundi.
upayoginchandi.
kramabaddhamaina ganana rakalanu (konnisaarlu dushprabhaavaalato) vyakteekarinchadaaniki monadlanu functional prograaminglo upayogistaaru. functional prograaminglo monads, mariyu marinta ganita aadhaarita wikibook module chudandi.
monadsnu asuddhamaina kriyaatmaka mariyu atyavasara prograaming bhashala yokka ardhavivaranalo upayogistaaru.
vargeekarana tarkamlo, monad-komonad siddhaantam mariyu closure operatorlu, antargata algibras dwara modal logic mariyu s4 mariyu antar drushti tarkam yokka namuunaalatoe vaati sambandham madhya oka saaruupyata geeyabadindi.
saadhaaraneekarana.
2-ketagiri formula _ 9 loe monadlanu nirvachinchadam saadhyame. paina vivarinchina monadlu formula _ 193 kosam monadlu.

