بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى نهاية
المحاضرة الماضية بدأنا بموضوع ال
diagonalization وكيف نعمل الـ diagonalize للمصفوفة
بمعنى خليها مصفوفة قطرية ابتدأنا بتعريف الـ similar
matrix فقلنا أن الـ similar matrix بإذ جدرت لأجي
مصفوفة ثانية K بحيث الـ K هذه non zero matrix يعني أو
non singular matrix ايش يعني؟ يعني المعكوس تبعها
موجود بحيث اللي بيبدأ يسوي الـ K inverse في الـ A في
الـ K تمام؟ وأخدنا على ذلك مثالا واحدا بعد ما
أثبتنا أن إذا كانت الـ A similar لـ B فإن B similar لـ
A وفي نفس اللغة وفي نفس الوقت A is similar to
itself تمام؟ يبقى هذا اللي أخدناه المحاضرة الماضية و
الآن بدنا نضيق .. أخدنا طبعا مثال واحد لسه ياما
ناخد أمثلة فبدنا نبدأ نحط بعض المعلومات النظرية
الأساسية أو العمود الفقري في هذا الـ section بيقول لي
to show that the given n by n matrix is a is
similar to a diagonal matrix و الـ diagonal matrix
هي بكتبها بالشكل هذا من حد ما تشوفيها دي يعني
مصفوفة قطرية جميع عناصرها أصفار معادة عناصر القطر
الرئيسي نأخذ النظرية التالية طبعا من اللمدات هذول
اللمدة واحد واللمدة اثنين واللمدة إن هي الـ eigen
values مش حياله مش أي أرقام يبقى أرقام محددة طيب
النظرية بتقول ايه؟ the n by n matrix A is similar
to a diagonal matrix ملاحظي المرة اللي فاتت بدينا
canvas A K طلعت عندي مصفوفة قطرية في الآخر، مصبوط
ولا لأ؟ المصروف القطرية العمودي الفقري قيمة الـ two
landers اللي طلعت عندي بالضبط يبقى هنا لما أقول الـ
A is similar to a diagonal matrix if and only if
it has a set of linearly independent eigenvectors
K1 و K2 لغاية Km الكلام هذا بدي أعيد صياغته مرة
ثانية باجي بقول that is لو كان عند المصوفة K هذه
مصفوفة K K1 هو العمود الأول K2 العمود الثاني Kn
العمود رقم M وكل eigen vector هذا مناظر لمن؟ مناظر
للـ eigen value اللي هي lambda واحد والثاني lambda
اثنين والثالث lambda ثلاثة والآخر lambda in them الـ
K inverse A في الـ K بده يساوي المصفوفة اللي عندها
دي يعني بده يساوي المصفوفة لجميع عناصرها أصفار ما
عدا عناصر قطر الرئيسي بيكونوا على أسرها هو من؟ هذه
النظرية بتحكي بالكارشاكل أنها دي يبقى لو أعطاني
مصفوفة A بدي أجيب الـ diagonal matrix بتاعها بحيث
العناصر تبع الـ diagonal matrix يكونوا هم الـ eigen
values يبقى بدي أحاول أجيب الـ Eigenvectors اللي
عندنا والـ Eigenvectors بس بيشرّنوا كلهم linearly
independent لأن جالي linearly independent ولو
واحد يعتمد على الثاني كلهم مستقلات عن بعض تمام
الاستقلال يبقى بحصل العالمين على الـ diagonal matrix
الآن بدا أجي للعنوان اللي أنا رافعه المرة اللي فاتت
كنا بنتكلم عن الـ similar matrix فقط ولم نتكلم عن
الـ diagonalization تمام؟ هذا الكلام اللي احنا
بنحكي هو الـ diagonalization واحنا مش ذارين طلع
التريفش بقول
التعريف اللي جابله if a is a similar to a diagonal
matrix يعني هالكلام هذا صحيح then a is said to be
diagonalizable يبقى المصفوفة A بنقدر نعملها على
شكل مصفوفة قطرية يبقى لو كانت المصفوفة similar to a
diagonal matrix automatically بقول أن الـ A دي
diagonalizable طيب التعريف الثاني بيقول لو كانت الـ
A diagonalizable matrix then it possesses يتفترض
in linearly independent eigenvectors يبقى الـ
eigenvectors اللي عندنا عددهم يساوي n بدهم يكونوا
linearly independent وهذه الـ set نسميها complete set
of eigenvectors يبقى هذه المجموعة الكاملة لمين؟ للـ
eigenvectors اللي عندنا على أي حال التعريف
الأولاني دقيق جدا لأنه هيقول لك كيف بدك تخلي المصفوفة
دي diagonal matrix صح؟ السؤال ممكن يطلع هنا نطرح حدث
ونحاول الإجابة عليه نمشي خطوات محددة الآن بعد
قليل فتجي تجي معايا بقول how to diagonalize an n by
n matrix أنا بعطيك مصفوفة لما أعطيك مصفوفة كيف
المصفوفة دي بتكتب عليها على شكل قطري فقط وبحيث
عناصر القطر الرئيسي هما الـ Eigenvalues فقط لا غير
بقول لها بدي أمشي ثلاث خطوات اللي عندنا خطوة الأولى
Find n linearly independent eigenvectors of the
matrix A, C, K1, K2 لغاية Kn وهذا الكلام بيجي احنا
بنوجده في الأمثلة السابقة كل أربع section واحد كان
الـ eigenvalues و الـ eigenvectors إذا الخطوة الأولى
تحصيل حاصل في كل الأمثلة اللي فاتت سواء كانت
complex اللي اللي عنها كانت complex أو real صحيح
ولا لا؟ يجب الخطوة الأولى لم نأتي بجديد نجي الخطوة
الثانية finally matrix K اللي هي عناصرها هم اللي عمود
الأول K واحد K اثنين K ام يبقى هذه برضه كنا بنكتبها
اللي هو العناصر اللي عندنا هذه تبعت الـ
eigenvectors لما نقول الست هذه تسمى الـ bases للـ
eigen spaces تمام؟ يبقى، ايه المصفوفة في هذه؟ Where
العمودات هذول are called eigenvectors يبقى جبنا له
المصفوفة تحصيل حاصل كمان هذه يعني الـ eigenvectors
اللي جبناهم بدك تكتبهم بس على شكل المصفوفة هي اللي
بتقوله منهم الخطوة الثانية يبقى الخطوة الأولى بدي
أجيب الـ eigenvalues و الـ eigenvectors الخطوة
الثانية بدي أكتب الـ eigenvectors على شكل مصفوفة
الخطوة الثالثة دي matrix المصفوفة K إنفرس A K والبـ
A ديAGONAL matrix حديها الرمز D يبقى بتطلع عندك
الـ diagonal يعني بدي أضرب معكوس المصفوفة K اللي
طلعت هنا هنا في اثنين في المصفوفة A الأصلي اللي
عندي في المصفوفة K النتج لازم يطلع المصفوفة اللي
عندنا هذه where lambda I the eigenvector the
eigenvalue corresponding to Ki والـ I من واحد لغاية
مين؟ لغاية الـ N طب حد فيكم بيحب يسأل أي سؤال في
الكلمتين أنا أضغطيك قبل أن نذهب للتطبيق العملي
لهذا الكلام حد فيكوا بيحب يسألوا أي سؤال؟ جاهزين؟
طيب طبعا تعرفوا الامتحان وجه اليوم 24 اللي هو يوم
الثلاثاء مش بكرا الثلاثاء اللي بعدها الأربعة ولا
الثلاثة؟ الأربعة الأربعة ما فيش مشكلة عادي جدا يبقى
الامتحان يوم الأربعاء اللي هو القادم ساعة قد ايش؟
ساعتين ثانية بعد ما نخلص المحاضرة بس عند الطلاب مش
عندكم. طيب على أي حال ما علينا يبقى الامتحان كما
هو في chapter 3 وباقي chapter 2 مش هنضيف زيادة
للامتحان انطبع جاهز. هذا هو المثال اللي عندنا بيقول
خذ المصفوفة نظامها اثنين في اثنين زي ما أنت شايف
هات الـ eigen value و الـ eigen vectors يبقى هذا
اللي كنا بنجيبه المرة الماضية في الـ section أربعة
واحد بعدين تبين إن الـ A is diagonalizable يبقى
بعدين تبين أن المصفوفة A بقدر أستبدلها بمصفوفة
قطرية عناصرها هما عناصر من الـ eigenvalues إذا بدي
أبدأ زي ما كنت ببدأ هناك بدي آخذ lambda I ناقص
المصفوفة A وتساوي I lambda وهنا Zero Zero lambda
ناقص المصفوفة A
بالشكل اللي عندنا هذا هذي بتصبح على الشكل التالي
هنا lambda ما فيش غيرها وهنا ناقص واحد وهنا ناقص
اثنين وهنا lambda ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا
بعد ذلك سأحصل على determinant من خلال الـ
determinant أو المحدد سأحصل على قيم الـ
eigenvalues يبقى سأحصل على determinant لمن؟ لـ
lambda I ناقص الـ A وأساوي بالزيرو يبقى هذا معناه
أن المحدد lambda سالب واحد سالب اثنين lambda سالب
واحد سيساوي بتفك هذا يبقى lambda في lambda ناقص واحد
ناقص اثنين يساوي مين؟ يساوي Zero يبقى المحدد هذا
في lambda تربيع ناقص lambda ناقص اثنين يساوي Zero
بدي أحلل هذا كحاصل ضرب قوسين يبقى أو حاصل ضرب عاملين
يساوي Zero هنا lambda هنا lambda هنا واحد هنا اثنين
هنا ناقص هنا زائد يبقى زائد lambda أو ناقص اثنين
lambda بيبقى ناقص lambda واحدة هي موجودة عندنا
يبقى تحليلنا سليم يبقى بناء عليه lambda تساوي سالب
واحد و lambda تساوي اثنين من هذول البنات
يبقى هذول are the eigenvalues
of the matrix A يبقى هذول اللي هم الـ eigenvalues
بعد ذلك نجيب الـ Eigenvectors يبقى احنا حتى الآن في
الخطوة الأولى لسه جبنا الـ Eigenvalues وبعد ذلك
نجيب الـ Eigenvectors
يبقى بالدّي دي للمصفوفة أو لحاصل الضرب اللي هو مين
هذا كله من أول ومبتدأ الحلقة تعتبر النقطة الأولى
نمرة a احنا أننا lambda I ناقص الـ a في الـ X بيساوي
zero هذه المعادلة الأصلية اللي بنشتغل عليها
ابتدائها من section 4-1 هي هي ما غيرناش هذا معناه
lambda I ناقص اثنين هي هي جازة المصفوفة لأنها ناقص
واحد lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص واحد lambda I
ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين
lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص
اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين
lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص
اثنين lambda I ناقص اثنين lambda I ناقص اثنين
بتأخذ الحالة الأولى لو كانت lambda تساوي سالب واحد
ما فيش اللي بده يصير يبقى بده أشيل كل lambda وأحط
مكانها سالب واحد يبقى بيصير عن هنا سالب واحد سالب
واحد وهنا سالب اثنين سالب اثنين في X واحد X اثنين
كله بده يساوي من Zero و Zero هذا المعادل يجب أن
أفكر المعادلة هذه وأحولها إلى معادلات يعني
المعادلة المصفوفية يجب أن أضربها وأحولها إلى
معادلتين فأقول له ناقص X1 ناقص X2 سيكون Zero وهنا
ناقص 2 X1 ناقص 2 X2 سيكون Zero هذه كانت معادلة يا
بنات معادلة واحدة تنتهي لك في الحقيقة معادلة واحدة
إذا هذه المعادلة الواحدة X1 زائد X2 بده يساوي Zero
ومنها X1 بده يساوي من سالب X2 أو X2 بده يساوي سالب
X1 يبقى باجي بقول له لو كانت الـ X2 بدي أساويها A then X1
بدي مين؟ سالب A هذا بدي يعطيني the eigen vectors
are in the form على الشكل التالي اللي هما من X1 X2
بده يساوي X1 اللي هي ناقص A و X2 اللي هي A بالشكل
اللي عندنا أو A في سالب واحد واحد
يبقى طالع عندي هذا هو يمثل mean bases للـ eigen
vector space المناظر للـ eigen value لمن؟ lambda
تساوي سالب واحد
الآن بدنا نجي لمين؟ نأخذ lambda الثانية يبقى باجي
بقول له هنا F lambda الثانية طلعت معانا اثنين
يبقى then لما طلعت lambda تساوي اثنين يبقى المعادلة
المصفوفية هتكون على الشكل التالي هشيل كل lambda وأحط 1
الخطوة الثالثة هي المطلوب أن نمر به من المسألة التي
أن a is diagonalizable يعني احنا حتى اللي هن جبناه
ال eigenvalues وال eigenvectors اللي عندنا و
حطناهم على شكل مصفوفة إذا بيداجي لنمر به من
السؤال مش هن جب نمرة به بدي أجي للمصفوفة K و أجيب
من المعكوس سبعها مش هن جب المعكوس سبعها بدي أعرف
قداش ال determinant لل K تمام يبقى المحدد سالب
واحد واحد اثنين ويساوي سالب اثنين سالب واحد ويساوي
قداش سالب ثلاثة وزي ما أنتم شايفين لا يساوي zero
يعني هذه المصفوفة non singular matrix يبقى هذا
معناه أن k is a non singular matrix
ما دام non singular matrix إذا إيه اللي هي معكوس
بدنا نروح نجيب المعكوس تبع هذه المصفوفة ونضربه في
المصفوفة A وكذلك في المصفوفة K تسلم يبقى الآن K
inverse AK إيش بدها تعمل إيش الناتج يا بنات حتى
بتجري تقولي قد ايش الناتج
هما المصفوفة نظام اثنين في اثنين بحيث القطر الرئيسي
هو ناقص واحد واثنين والقطر الرئيسي الثانوي يبقى
أصفار يعني جاب المبدأ لأن هذه المصفوفة هي اللي
بتعملي ال diagonalization للميم للمصفوفة A وبالتالي
بقول ال A is diagonalizable طيب هذا معناه طبعاً
هتعرفيش مين يا بنات؟ الناتج المصفوفة اللي بتطلع لكِ
بقول عليها similar to a مش هتعرف ال similar وكأنه
ال similar هي من؟ هي ال diagonalization هي نفس
العملية بس هنا حطنا لها شغل وكده هناك ما كناش
بنعرف هذا الكلام في المثال اللي طرحناه المحاضرة
الماضية يبقى هذا الكلام يساوي بالداخل لمعكوس
المصفوفة K بنبدل عناصر القطر الرئيسي مكان بعض
وبنغير إشارات عناصر القطر الثانوي وبنجسم على محدد
هذه المصفوفة المحدد هذا كده؟ سالب ثلاثة يبقى هاي
واحد على سالب ثلاثة بتدجي هنا هذا اثنين وهنا سالب
واحد وهنا سالب واحد وهنا سالب واحد غيرت إشارات
عناصر القطر الثانوي وبدلت عناصر القطر الرئيسي مكان
بعض ال a باجي بنزلها كما كانت لها zero واحد اثنين
واحد مصفوفة K كما هي واحد اثنين ويساوي سالب تلت
خليك برا تمام؟ بيضل لأن هنا بدي أضرب المصفوفتين
مثلاً هذا اثنين سالب واحد سالب واحد سالب واحد فيه
بدي أضرب هدول المصفوفتين في بعض يبقى Zero واحد اللي
هو بواحد يبقى Zero واثنين يبقى في اثنين يبقى سالب
اثنين و واحد يبقى سالب واحد اثنين و اثنين يبقى كده
إيش؟ أربعة بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا الكلام
بدّه يساوي سالب طول فيه نضرب المصفوفتين هدول في بعض
يبقى هنا اثنين وهنا واحد يبقى ثلاثة هنا أربعة
وناقص أربعة يبقى Zero تمام هنا صف ثاني سالب واحد
وموجب واحد يبقى Zero الصف الثاني في العمود الثاني
سالب اثنين وسالب أربعة يبقى سالب ستة بالشكل اللي
عندنا ده بدي أضرب كل العناصر في سالب طول يبقى هذا
بيعطيكوا قد ايش؟ سالب واحد وهنا Zero وهنا Zero سالب
مع سالب موجب وهنا باثنين اطلع لي عناصر القطر
الرئيسي سالب واحد واثنين هي قيم main ال eigen value
المعنى هذا الكلام أن ال a is diagonalizable يبقى
هنا الـ A is diagonalizable
وهو المطلوب
نأخذ الملاحظة هذه remark it
should be noted that it should be noted that يجب
ملاحظة أن not every square matrix not every
square matrix مش كل مصفوفة مربعة is similar to
a diagonal matrix
because السبب
بسبب أن ليس كل مقاطع كل مجموعة
لديها
مجموعة كاملة كمجموعة
complete set of eigenvectors
example
is
the matrix A تساوي
اثنين ثلاثة صفر اثنين Similar to
a diagonal matrix
العمود هذا لازم خلاص خلي
بالكم الملاحظة اللي كتبناها المثال اللي جاب لو كان
هنا مصفوفة مربعة نظام اثنين في اثنين لقيناها
diagonalizable لما نسأل هل المصفوفة دي
diagonalizable ولا لا أنا بفهم منها شغلتين الشغل
الأولى قد تكون diagonalizable وقد لا تكون
diagonalizable إذا ما بنقدر نقول مش كل مصفوفة
similar to أي مصفوفة أخرى ليس بالضرورة أو بمعنى
آخر مش كل مصفوفة بتكون diagonalizable طيب كيف بدنا
نثبت صحة هذا الكلام أو كيف بدنا نبين هذا الكلام؟
إيش بقول لي هنا في الملاحظة دي؟
مش كل مصفوفة مربعة مشكلة مش كل مصفوفة
مربعة مشكلة
مش كل
square matrix المصفوفة المربعة و complete set of
eigenvalues تعالَ نترجم هذا الكلام على أرض الواقع
المعطيني المصفوفة وجالي يشوف لي هل هذه
diagonalizable ولا not diagonalizable إذا بدي أمشي
مثل ما مشيت في المثال اللي طوى شوف حالي إلى وين
بدي أوصل هل بقدر أكمل ولا بقدرش أكمل إذا ما قدرش
أكمل إيش الشيء اللي خلاني ما قدرش أكمل الحكي تبعي
بقول له بسيطة إذا أنا بدي أبدأ ب lambda I ناقص ال a
يبقى اللي هي mean lambda 00 lambda ناقص ال a 2302
ويساوي هنا lambda ناقص اثنين وهنا ناقص ثلاثة و Zero
كزي ما هو وهنا lambda ناقص اثنين بشكل اللي عندنا
هذا بدي آخذ المحدد يبقى determinant لـ lambda I ناقص
ال a ويساوي المحدد lambda ناقص اثنين ناقص ثلاثة Zero
lambda ناقص اثنين يبقى هذا lambda ناقص اثنين لكل
تربيع ناقص ال Zero هذا الكلام بدّه يساوي Zero يبقى
هذا معناه أن ال lambda ناقص اثنين لكل تربيع يساوي
Zero هذه معادلة من أي درجة؟ من درجة اثنين يبقى لها كم
حل؟ حلين يبقى هذه المعادلة لها حلين
يبقى هذا الكلام بناء عليه أن lambda واحد تساوي
lambda اثنين تساوي اثنين بناء عليه سأحصل على
ال eigenvectors المناظرة لمن؟ لـ lambda تساوي اثنين
يبقى باجي بقول هنا لو أخذنا lambda واحد تساوي اثنين
تمام؟ بدي أروح آخذ من؟ lambda I ناقص الـ A في الـ X
كل هذا الكلام بدّه يساوي Zero هذا بدّه يعطيني lambda
اي ناقص لها هذه المصفوفة هشيل lambda هذه وأكتب
مكانها قد ايش؟ وأكتب مكانها اثنين بيصير هايها هاي
lambda ناقص اثنين ولا شيء تقولي من وين اجت وهنا
ناقص ثلاثة وهنا Zero وهنا lambda ناقص اثنين وهاد
ال X واحد X اثنين بدها تساوي Zero و Zero بالشكل
اللي عندنا هنا يبقى لما lambda تساوي اثنين بيصير
المصفوفة لأنها تبقى كم؟ Zero وهذه سالب ثلاثة وهذه
Zero وهذه Zero في X واحد X اثنين بدها تساوي Zero و
Zero يبقى الصف الأول في العمود الأول بيعطينا مين؟
بيعطينا سالب ثلاثة X اثنين يساوي Zero في غير هي
كده؟ ما أعطانيش إلا معادلة واحدة بمجهول واحد كل
اللي بقدر أقوله من هذه المعادلة أن ال X2 بدها تساوي
قد ايش؟ طب وال X1 أي رقم؟ مين مكان يكون يبقى باجي
بقول له and X اثنين بدها تساوي ال A say مثلاً يعني اه
وقع كيف؟ بسمع
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1
يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1 يبقى X1
يبقى X1 يبقى
تو lambda واحد تساوي اثنين are in the form على
الشكل التالي X واحد X اثنين يساوي X واحد اللي هو بـ
A و X اثنين اللي هو بقد ايش؟ ب Zero اللي يساوي A في
واحد Zero طب
lambda مكررة يبقى الثانية زيها صح ولا لأ؟ يبقى also
the eigenvectors
corresponding to
lambda اثنين تساوي اثنين are in the four
يبقى أصبحت على الشكل التالي اللي هو بي مثلاً لكن هي
هي نفسها ما تغيرتش يبقى ليس بي وإنما إيه؟ في واحد
صفر
طيب تعالَ نشوف في هذه الحالة شو شكل المصفوفة K
المصفوفة K بحط فيها ال Eigen vectors مظبوطة ولا لأ؟
يبقى بناء عليه المصفوفة K بدها تساوي 1 0 1 0
تمام
لو رجعنا لـ a similar to b يقول لنا if there exists a
non singular matrix K such that تمام؟ بدنا نشوف هل
هذه singular ولا non singular
يبقى احنا بنات هنا طلعنا المصفوفة K تبعت ال
eigenvectors على الشكل اللي عندنا هذا جينا أخذنا
المحدد اللي لها وجينا المحدد اللي يساوي مين؟ Zero
مدام المحدد Zero يعني ال K inverse does not exist
لأن المصفوفة اللي لها معكوس هي المصفوفة اللي محددها
لا يساوي Zero تمام؟ يساوي زيرو يبقى جهدي مش موجودة،
مدن مش موجودة، إذا لا يمكن تبقى المصفوفة similar to
a diagonal matrix أو المصفوفة بقول عنها هي
diagonalizable يعطيكم العافية