موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نواصل سيكشن تسعة تلاتة وهي
Properties of Laplace Transforms المرة اللي فاتت
ذكرنا خواص Laplace Transform وشرحنا هذه الخواص وهي
الخواص كتبتها قدامكوا على اللوح بالاضافة الخاصية
الأولى هي خاصية ال linearity والخاصية السادسة وهي
خاصية Laplace La differentiationهذه المقالات
ذكرتها في قسم قبله يبقى لا داعي لإعادة كتابتها
الآن سأحاول كيف أستخدم هذه الخواص سأخد أمثلة على
كيفية استخدام هذه الخواص بيقول المثل هو find a
place to transform لكل من الدوال التالي واحنا الآن
سناخد بدل دل عشر دوالوالله تسعة نوجد لبلاس
ترانسفورم لهم بس كل دالة مختلفة عن مين عن الدالة a
الثانية إذا بدي أخد لبلاس ترانسفورم لدالة F of T
أول خاصية خاصية ال linear تبقى linear للابلاسلا
الأول زي دابلاسلا ثانى زي دابلاسلا ثانى مضروبة في
كونصة تبقى كونصة بتطلعها برا تبقى للخاصية الأولى
يبقى هذا بتسوى تلاتة Laplace transform لل Eostنقص
اتنين لبلاس ترانسفورم لإيه سالب T زائد اربعة لبلاس
ترانسفورم لصين تلاتة T هذه لبلاس ال F of T قولنا
بنعطيها رمز capital F of S هذه تساوي تلاتة فيه ال
exponential E of T لبلاس ترانسفورم واحد على S ناقص
المعامل تبعتي اللي هو جداشواحد صحيح هنا ناقص اتنين
وهنا واحد على اس ناقص ناقص واحد يبقى بيصير جداش
زائد واحد وهنا زائد اربعة فيه ل plus ل sin تلاتة
تين وقولنا هو عبارة عن تلاتة على اس تربيع زائد
مربع التلاتة اليومين اللي هو تسعةيبقى يجب ان انا
اخد عوامل مشتركة و اجمع بهمنيتش هذا كل شغل تحصيل
حاصل شغل رابع ابتدائي يبقى جمع زي ما بدك ماعندكش
مشكلة ابنجي الان للمثال اللذي يليه المثال اللذي
يليه نمره اتنين بيقول ال HRT بدها تساوي ال E أس
اتنين T في Sin تلاتة Tبدي احسب لبلاس ال transform
لها فبجي بقول لبلاس لل H of T او بقول capital H of
T يبقى هو عبارة عن capital H of T H of S capital H
of S بال D7بدأت أطلع على الدالة اللي عندناها دي
بدلا plus inها exponential في sign بقى دي بطلع في
هدول كلهم فش exponential في sign لكن في عندي
exponentialفى الـ function مين ما يكون شكلها يكون
تمام؟ يبقى الـ function عندي مهم اللى هى الـ sine
ايش بيقولى؟ بيقولى بدك اللى هى ال F of S ناقص الـC
يعنى بدي اجيب لل F of T اجيب لها plus ال transform
لها و بعدها اعمل لها shift بمقدار من؟ بمقدار الـC
إذا أنا هذه بدي أجيب لابلاس ترانسفورم لها على شجة
لو جيت قولت هذا لابلاس ترانسفورم أو هذا capital F
of S و الله بدي أخد مين؟بدي اخد ال F of T اللي
عندى ال F of T اللي هي من صين تلاتة T يبجى capital
F of S اللي هو من تلاتة على اس تربيه زائد تسعة
مظبوط الان هذه
هههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههههه
يبقى هذا الكلام بده يساوي تلاتة على S ناقص اتنين
الكل تربية زي التسعة انت هنا من المثلة يبقى أنا
بمسك القاعدة و بطبق القاعدة حرفيا
السؤال الرقم تلاتة بيقول ال H of T بيساوي E أص
ناقص تلاتة T في من في T أص أربعةبدي لبلاس
ترانسفورم لهذه الدالة باجي بتطلع exponential
بالسلب ماعنديش ماني ماشترطش ل C تكون هادي موجبة
يعني ممكن تكون موجبة و ممكن تكون سالبة يبقى هاي ال
exponential موجود غطيت ال exponential مين بيظل ال
F of T؟توس أربعة يبقى انا عند ال F of T بده ساوي T
أس أربعة لو جبتلها Laplace transform اللي هو
capital F of S اللي هبدي Laplace transform ل T أس
أربعة اعطيتها لك المرة اللي فاتت في الجدول، مظبوط؟
اتطلع عندك في الجدول اللي هو أبو التسع نقاطباجي
باطل على الجدول أبو تسعة نقاط، بلاقي عند النقطة
الأولىاللي T to the power N مكتوب عندك عنوان some
basic Laplace transform اللي همين عندك T to the
power N طبعا احنا في الامتحان هتجيك الورقة هذه
مصورة تمنتاشر دالة و Laplace transform لمين لهذه
الدولة يبقى بتوجب الدولة زي ما احنا بندور هيك الآن
أنا عندي T to the power N مش بتروح أحسبها من أول و
جديد لأ بروح على الجدول بلاقي ال place transform
اللي مكتوب معاكي المرة اللي فاتت أول واحدة فيهم
اللي هو N factorial على S أس N زائد واحد يبقى هنا
جديش ال N عندي يا بناتيبقى هاي أربعة factorial على
S أس أربعة زائد واحد يعني أربعة factorial على S أس
خمسة تمام؟ الحين نيجي هادي لل exponential في ال F
of T بيقول ال F of S ناقص ال C هادي ال F of Sإذا
بدي أشيل كل S و أكتب مدالها مين S ناقص الـC S ناقص
ناقص ثلاثة يعني S زائد تلاتة يبقى هذا الكلام بده
يساوي أربعة factorial على S زائد تلاتة كله to the
power five بالشكل اللي عندنا هذا
الان بدنا نيجي ل ال exercises رقم اللي هو تلاتة
أربعة بدنا لو كانت ال H of T هي عبارة عن T في E أس
ثلاثة T في Cos تربيع T هذا السؤال أجي في امتحان
2005
طبعا سؤال مش بسيط و بدنا لبلاس ترانسوفار لانه تمسك
ال list من أولها لأخرها بتلاقيش اللي هو الشكل اللي
عندي انا لكن دبر حالك باجي بقولك وصين تربيه انا
بدي حاول اتخلص منهاماذا يعني كوصين تربية؟ هي عبارة
عن T في E أس ثلاثة T في نص في واحد زائد كوصين
اتنين T الشكل اللي عندنا هذا أو ان شئتم فقولوا هي
نص في T في E أس ثلاثة Tزائد كمان نص T E أس تلاتة T
في main في cos اتنين T طب إن Laplace transform
لهذه الدالة يبقى هذه H of S بده يساوي نص في
Laplace transform لT في E أس تلاتة Tزائد كمان نص
في Laplace transform لT في E أس 3T في Cos 2T بهذا
الشكليبقى انا بدي لبلاس ال transfer لمجموع دالتين
و ليس لدلة واحدة، اذا اول خاصية خاصية main ال
linearity يبقى all constant في لبلاس الا زي ال
constant في لبلاس الثانية، اذا هي نص في لبلاس
الأولى زي نص في لبلاس الثانيةبالدالي هذه التي في
ال exponential لازلت مع مين؟ مع الأولى هذا ال
exponential في مين؟ في ال F of T يبقى F of T هنا
بمين يا بنات؟الـ T وهي الـ exponential يبقى هنا ال
F of T اللي هي الدالة اللي عندنا هذه يبقى للجزء
الأول هدهها لبلاس ترانسفورم اللي همين؟ واحد
factorial على استربيعطالع عندك برضه من أول خاصية
من الخواص T to the power N هنا ال N بجدهش واحد
يبقى بطبق اللي هو التسعة بعد الست خواص اللي هو sum
basic ل place transform أول واحدة فيهميبقى ال N
بواحد يبقى واحد factorial على مين على S تربيع
مضروبة في ال exponential يبقى بدي اكتف هايلا plus
للدالة ال F of T جبته بدي اشيل كل S و اكتف مكانها
ال S ناقص ال C ال C عندي قداش؟ بتلاتةيبقى هذا
الكلام بده يساوي نص في مين؟ في واحد factorial اللي
هو بواحد على S ناقص تلاتة لكل تربيع خلصنا منه زاد
نص واستنى شويةهذه ليست دلتين، هي تلت دوال لكن واضح
خد ال exponential على الشجة اللي بيظل هو من؟ هو ال
F of T يبقى ال F of T عندي في ال H مش هيك F of T
اللي هي T في cosine اتنين T بظبط؟ T في cosine
اتنين Tنعود للجدول لانه يوجد هنا T to the power of
N في X بوننشيل ولا لا
T في ال cosine يبقى T في ال cosine بتطلع في الجودة
اللي احنا كتبنا فيها ان ال cosine صحيح بس مافيش
فيها T ولا exponential ولا غيره لكن لو روحت
للخاصية رقم 4سابت التسعة نقاط و راحت للخاصية الرقم
أربعة الخاصية الرقم أربعة اللي بتقول لي T to the
power N في ال F of T مش ينطبق عليها هذه ولا لا؟T
to the power of N في F of
T
يبقى ما تصير هذه هي ال F of T مظبوط؟ يبقى لما أجي
أقول هذه هي ال F of T بدي ال F of S يبقى ال F of S
في هذه الحالة ال F of S يساوي ال cosine اللي عبارة
عن S على S تربيع زائد 4مظبوط؟ طب هذا إيش بيقوللي؟
بيقول إن أقص واحد to the power n في مشتقة ال F of
S يبقى أنا لما نبدي ال G of S بده يساويبدي اجعل
هذه و اقول سلب واحد to the power n يبقى هذا سلب
واحد أس كده واحد في مشتقة مين هذه؟ في D على DS
لمن؟ لل S على S تربيع زائد أربعةهذه بدأت تساوي هي
السالب برا وهذه المقام في مشتقة البصد ناقص البصد
في مشتقة المقام على مربع المقام الأصلي الشكل اللي
عندنا هنا
طيب نيجي نكمل، خلي بالكوا هنا هذه يا بنات ناقص
اتنين استربيع و استربيع بيظل كده؟ ناقص استربيع،
وعندي ناقص برا، بيظل استربيع بالموجة هذه الأربعة
في الشغل، لو في ناقص برا، بيصير ناقص أربعة المقام
اللي هو الاستربيعزائد أربعة لكل تاربيع يبقى هذا G
of S يبقى Laplace transform لهذه الدالة طيب نرجع
لمين لمسألتنا مسألتنا قلنا ال G of T اللي هي T في
Cos T يعني كأن المسألة هذه زائد نص Laplace
transform لل E أس تلاتة Tفى T فى cosine اتنين T
كاينة هذه كلها اللى هى main الـG of T يبقى صارت
هذه كلها G of T وهذه E أس ثلاثة T برجع للخاصية
اللى exponential فى function يبقى اللى اللى بده
يجيب Laplace transform لهذه ال function وقد اتيته
بيه يبقى ده اللى عمله بس ايشبكون حصلت على المطلوب
يبقى هذا بدي أعمله shift بمقدار كده؟ بمقدار تلاتة
يبقى هذا الكلام زائد نص في ال S ناقص تلاتة لكل
تربيع ناقص أربعة على S ناقص تلاتة لكل تربيع زائد
أربعة لكل تربيع بالشكل اللي عندنا هنا
يبقى هذا الـ placid transform لهذه الدالة، اه دي
لبالك يعني، هذا مش سؤال أجيب، بس مش أنا اللي جبته،
حط السؤال لدكتور هشام مادى، قال ليه؟ أما كنتش أنا
شريك كل حاله في المساق، فقام حط السؤال هذا في
الامتحان النهائي
ننتقل للنقطة الرقم 4 والنقطة الرقم 5يبقى النقطة
رقم خمسة أو السؤال المثال رقم خمسة بيقول لمين؟
بيقول الدالة K of T بدها سوى تكامل من Zero إلى T
لصين اتنين U دي U علي
بالك هناالان انا لدي K of T بدي أسوي تكامل من 0
إلى T لصيني 2U DU بدي لبلاس ترانسفورم لهذه الدالة
برجع لخواصة اللي عندنا تكامل من 0 إلى T ل F of U
DUبتقول 1 على S في capital F of S يعني انت بتاخد
ال F of U بتروح تجيبلها ل plus transform و تضرب
فاهمين 1 على S يبقى احنا الدالة اللي عندنا ال F of
T هي ال F of U او بيدي اسمها ال F of T لصيني 2T
اذا باجي بقوله في الهامش هنا F of T بده يساوي صيني
2Tبدي capital F of S اللي هو Laplace transform لها
يساوي هذه محسوبة معانا وموجودة في التسعة يبقى هذه
اتنين على S تربيع زائد اربعطب هنا ايش بيقولي؟
بيقولي بتخليها زي ما هي بس بتضرب في جداش في واحد
على اس اذا capital K of S اللي هو ال plus
transform لهذه الدالة يسوى واحد على اس في اتنين
على اس تربيع زائد اربع انت هنا من المثالة
نماذج الامتحانات اللى صورناهم لكوا في نهاية كل
نموذج في الورقة المصورة هذه وستأتيكوا ان شاء الله
يقولوا لكوا تمنتعشر دالة و تمنتعشر لبلاس ترانسفورم
لهم وبالتالي كل شىء بيجيكي معاكوا بس تعرفوا الدور
نيات منهم زى ما احنا قاعدين ندور الحينطيب هذه نمرة
ست نمرة خمسة بدنا نروح لنمرة ستة يبقى نمرة ستة
بيقول ال K of T يسوى تكامل من Zero إلى T لل X
تربية E أس X كله منين؟ كله ل DX
بنجيب لابلس ترانسفورم لهذه الدالة يبقى باجي بقوله
capital K of S بديه ساوي اللي هو من لابلس
ترانسفورم لتكامل من zero إلى T لل X تربية E أس X
كله بالنسبة لمين إلى DX وإن التكامل ماعنديش اللي
هذايبقى هذا بقول واحد على S لمين للدالة F of S لكن
أنا عندي هنا من اللي هو الدالة لل X تربيع في من؟
في E أوس X يعني كأن النتيجة هذه هي واحد على S في
لبلاس ترانسفورم لمين؟ هذه بقدر أقوله T تربيع E أوس
T بصبوط؟طلع هنا بيقول بتاخدي الدالة هذه و
بتجيبليها لبلاس ترانسفورم تضربها في واحد علي اسم
يبقى هاي ضربت في واحد علي اسم وهي لبلاس ترانسفورم
لهذه الدالة الشكل الآن أنا بتضربه وحاح اسمهيبقى
هذا T to the power N في ال exponential باجي بطلع
عندي T to the power في ال exponential ماعنديش T to
the power N في ال exponential لكن لو روحنا على
الجدول اللي أعطاناكوا ياه المرة اللي فاتت T to the
power N في ال exponential رقم 9مظبوط يبقى T to the
power N في ال exponential اللي هي main N factorial
على S ناقص A to the power N plus one وال N قولنا
is a positive integer طبعا هذه رقمهاT to the power
inflex هو رقمها في الجدولة رقم 11 في الجدولة هيوزع
عليكم هذه لكن احنا في الخواصة رقم 9 بهمنيش ان
الرقم بهمني الدالة وين الاقي الدالة وكيف اطبقها
يبقى باجي هذه هه هذا الكلام بده يساوي واحد على اس
لبلاس ترانسوفر من T to the power يبقى N factorial
جدش ال N عندنا منهايبقى اتنين factorial على مين
على S ناقص ال A يبقى ال S ناقص ال A اللي هو
المعامل تبع ال T يبقى اللي هو واحد وهنا بقول اس
كده اس تلاتة بالشكل اللي عندنا هذا او ان شئتوا
فبقولوا مضروب اتنين اللي هو اتنين في واحد باتنين
على S في S ناقص واحد لكل
النقطة السابعة
النقطة السابعة بدنا ال F of T بدنا نغيرلكوا الشكل
شوية بد يعطيني يا إما Zero لما T أكبر من Zero أقل
من Pi يا إما ال Sin T ناقص ال Pi لما ال T greater
than Piبدي لبلاس ترانسفورم لهذه الدالة المجزقة إلى
جزءين بدي بطلع فيه عندى، اه فيه هي موجودةمعمول لها
shift يبقى
هذه الصورة طبق الأصل من المثلة اللي عندنا هذه يبقى
باجي على الخاصية اللي عندنا هذه يبقى باجي على
الخاصية اللي عندنا هذه و بدي أخد لبلاس ترانسفورم
لها يبقى لبلاس ترانسفورم لل F of TF of S بالشكل
اللي عندنا هذا نيجي لبلاس لهذه ال exponential
quiet يبقى ايش بيقولي بتقولي ال exponential في ال
F of S يعني بتيجي على الدالة هذه و بتجردها من ال C
و بضلب اسمين F of T يبقى بالداجي اقوله هذه تساوي
اقص ناقص ال C عندي بقدراشبي باي و هاد ال S و بدي ل
place transform ل sign ال Tأنا بطبق الخاصية رقم
خمسة دالة مجزاة بالشكل هذا يبقى exponential
المعامل تبع ال S اللي هو مقدار ال shift اللي عندنا
مقدار ال C يبقى هذا E أوس ناقص by S في ال F of S
بتجيب Laplace لدالة هذه بدون C يبقى هي Laplace هذه
لدالة بدون Shiftتمام؟ إذن النتيجة تساوي EOS ناقص
by S لبلاسترانسفورم للصين اللي هو واحد على S تربيه
زائد واحد لأن المعامل تبع ال T هنا واحد يبقى
انتهينا منها أو إن حبيت تقولي EOS ناقص by S على S
تربيه زائد واحد مافي مشكلة دي والله دي نفس الشيء
لكن يا بنات احيانا في المسألة بيجي ال shift زيك
انت بدك تخلق shift في المسألة انت لوحدك مش هنقدر
نطبق منهم هذه الخاصية زي ايش مثلا خديلك السؤال رقم
8يبقى تمانية بيقول ال F of T بدي سوى أحد أمرين، يا
إما Zero لما T أكبر من Zero أقل من واحد، يا إما T
تربيع لما T greater than one
مشكلة ان دالة مجزئة لجزئين مثل ما هي عندنا بس هذه
معمولة لها shift وهذه مش معمولة لها shift عند
الواحديبقى مشان اقدر اطبق هذه القصة يبقى انا بدى
اعمل الهاشفت عند الواحد هقول كويس هدى مشان اعمل
الهاشفت بدها تبقى T ناقص واحد لكل تربية طب T ناقص
واحد لكل تربية ليه T تربية ناقص اتنين T زائد واحد
يعني بقدر أقول هذه على صيغة zero لما T أكبر من
zero أقل من واحد T تربيع ناقص اتنين T زائد واحد
هذه الدالة هي هذه الدالة؟ لأاللي روح اضفته بدك
تروح تطرحه يبقى باجي بقوله زائد اتنين T ناقص واحد
وT اكبر من الواحد عملت حاجة؟ لأ يبقى ناقص اتنين T
هي زائد اتنين T زائد واحد هي ناقص واحد يبقى اضفت
Zero يبقى انا مغيرتش ولا حاجة من هنا فضلي
عن ال shift عندى شايف الواحد هذا مظبوط سألت قولتلك
هذه مشان يكون لها shift عند الواحد بتبقى T ناقص
واحد لكل تربية تي ناقص واحد لكل تربية مين هى اللى
تي تربية ناقص اتنين T زائد واحد يبقى بالزمن ناقص
اتنين T زائد الواحد يبقى روحت اضافت ناقص اتنين T
زائد واحد اللى اضافته بدي اروح اطرحهيبقى بصير زائد
اتنين T ناقص الواحد، واضحة؟ طيب، حد بتسأل تاني؟
لسه ماكملناش، لسه فيكمال لعبة تاني، مش على جد هيك
T تربية
لحال ناقص واحد بتكون جبتي صيغة ال shift اللي عندك
هذا؟أنا بدي T تربيع ناقص اتنين T زي واحد لأن هذي
عبارة عن T ناقص واحد لكل تربيع مش T تربيع ناقص
واحد بدي T ناقص واحد لكل تربيع تصير كلام صحيح بكون
فعلا عملنا shift لمين لدالة اللي عندنا هذا مش T
تربيع ناقص واحد هذا هو ال shift لأ مش هيك هذي
بتكون T ناقص واحد لكل تربيع تمام؟طيب يبقى المثال
هذه صارت على الشكل التالي ال F of T لازالت تساوي
يا اما Zero لما T اكبر من Zero اقل من واحد هذه يا
بنات اللي هي مين اللي هي T ناقص واحد لكل تربية
بيظلوا هدول هل هدول جابولي shift؟
هذه شفت تماما وهذه لا تزال فيها مشكلة اه لكن لو
كانت هذه اتنين لصرت قصتي محلولة يبقى معناته بدي
اطرح واحد واضيف واحد انتبه ان حلت المشكلة صحيح ولا
لا يبقى هذه ايش بيصير يبقى زائد اتنين T ناقص اتنين
زائد واحديبقى شامل ضفت واحد سالب واحد موجب
وبالتالي مشكلة انحلت وبالتالي هذا الكلام لم تي
اكبر من الواحد يبقى الشكل الجديد للدالة هو zero
وهنا لما T أكبر من Zero أقل من واحد هذا T ناقص
واحد لكل تربية هنا لو أخدت اتنين عامل مشترك بيظل
عندي T ناقص واحد وهنا زائد واحد وهنا T أكبر من
الواحديبقى هذه الدالة معمولة لها shift الآن،
مظبوط، يبقى صار الدالة هذه تكافئ الدالة الأصلية،
بس معمولة لها ال shift تماما و بدون أي مشكلة، كلام
سليم مئة بالمئةيبقى الدالة مش معمولة لها shift انت
بدك تعمليها shift طب shift علي اعمل بمزاجي؟ لأ انت
مقيد بالرقم اللي عندك يعني انا بده اطلع الرقم اللي
عندى يكون وين في المثلة او ال shift بمقدار هذا
الرقم يبقى عملنا هذا shift اذابرجع بقول هاي الدالة
ومعمولة لها shift يبقى ال exponential في Laplace
ال transform للدالة إذا بيداجي للدالة الأصلية اللي
عندنا مين تقدر تقولي مين هي الدالة الأصلية اللي
عندنا هنا يا بنات G of T تساوي إيش الدالة هذه قبل
ال shift مين الدالة هذه قبل ال shift T تربيع أي
واحدزائدي اتنين T زائد واحد يعني ال shift اللي
عندي يبقى هذه تضالة بدي لبلاس ترانسفورم لها بروح
بقوله يبقى ال G of S يساوي T تربية اللي هي اتنين
factorial على S تكعيبمظبوط؟ وهنا زائد اتنين في
واحد factorial على كده اش؟ على T على S تربيع على S
تربيع وهذه واحد الواحد على Sطبعا 1 على S بالشكل
اللي قلنا عنه يبقى هاي جيب G of S ايش بيقوللي هاي
الدالة exponential في ال F of S يبقى هذه بتضروفها
بس في ال exponential ال exponential قداش مقدار ال
C في مسألة هذه1 يبقى بصير أن هنا capital F of S
بده يساوي اللي هو مين؟ اللي هو E أس سالب S لإن ال
C عندي بده يشبه 1 في مين؟ في 2 على S تكيب زائد 2
على S تربيع زائد 1 على S
أه يعني القضية مش سهلة مش تطلع بس قرص مرسم لكن
شغلي مخك حتى توصل لنصيغة و من ثم ترسم رسم
عشان هذا هو السؤال الثامن بدنا نروح لسؤال التاسع
سؤال التاسع بيقول ما يأتي find Laplace
غالبهم أسلة في الكتاب دي ريبالك هدول يعني ماجيبش
انهم غالبهم أسلة من أسلة التمرين يبقى find Laplace
transform
four المشتق الرابع ل F إذا
كان ال
F of zero بدي ساوي اتنينالـ F of 0 بده يساوي 2
والـ F prime of 0 بده يساوي الـ F double prime of
0 بده يساوي الـ F triple prime of 0 بده يساوي قداش
بده يساوي 0 طيب
خدي بالك هنا الأن أنا بدي solutionبدي لبلاس
transform لمن؟ للمشتقة الرابعة as a function of T
بدالي
لخاصية السادسة اللي عندنا لبعد هذه يبقى باجي بقول
هذه تساوي S أس كدهش؟ S و أس أربع طلع عندك خاصية
السادسةطبعا هذه في الملزمة مناطق الصورة موجودة اخر
واحدة رقم 18 تعالىيعني هتجيك في الامتحان جاهزة
معاكي يبقى هذه S أُس أربعة في مين؟ في capital F of
S ناقص استكيب في ال F of Zero ناقص استربيع في ال F
prime of Zero ناقص S في ال F double prime of Zero
نقص ال F triple prime
of 0 هيك مكتوب معاكي؟أصبح رقم ستة مظبوط يبقى احنا
طبقنا حرفيا النتيجة تساوي S أس أربعة زي ما هي في
capital F of S ناقص استكيب ال F of Zero مطاب قداش
باتنين اظن الباقى ناقص Zero ناقص Zero ناقص Zero
كله مرة واحدةيبقى النتيجة تساوي S أُس أربعة في F
of S ناقص اتنين S تكيب بالشكل اللي عندنا هذا
طبعا لو كنت بعرف ما هو شكل ال F كان حسب تاني ما
بعرفش خلاص خلّيها زي ما هي هكذا على هيك انتهى هذا
ال section اللي هيكون أرقام المسائل يبقى هيها بده
اكتبها لك فوق يبقى بالدالي ل exercises تسعة تلاتة
المسائل اللي هو اتنينوتلاتة تلاتة تلاتة
تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
بدا نتابر الان الى section 9-4 اللى هو معكوس ل
place transform اللى هو ال inverse transforms
بقدروا
اعطيها definition ونشوف كيف بدنا نطبق هذا اللى هو
ال definition
يبقى ال definition بيقول ما يأتي definition if
Laplace transform لل F of T بده يساوي capital F of
S then Laplace inverse ل F of SLaplace inverse لل
F of S بده ساوي اللي هو F of T is called هذا اللي
هو بنسمي the inverse Laplace transform Laplace
transform
of L and we writeAnd we write بروح نكتب أنه ل plus
inverse لل F لل F of SLaplace inverse لل F of S
بدي ساوي F of T F and only F Laplace لل F of T بدي
ساوي مين اللي هو ال F of S نطرح السؤال التالي How
to findكيف بدنا نوجد ل plus inverse لمين لل
capital F of S هذا هو السؤال الإجابة الخطوة
التالية answer بدنا نعمل الخطوة الأولى use partial
fractions
استخدم الكثور الجزية نمر اتنين use the table
الجدول اللي اعطاناك فيها المرة اللي فاتت of some
basic some basic Laplace transforms
transforms in section تسعة تلاتة نمرة تلاتة use
the linear property linear
property ofالإنفرس يعني زي ما الابلاس ترانسفورم لو
خاصية ال linearity فجذلك معكوسه لو خاصية ال
linearity يبقى example one find the function f of
t that isfor if its
Laplace transform is
ال
F of Sبتساوي واحد على اس في اس زائد اتنين لكل
تربيع
مرة تانية مانا اقعد تعريف ال inverse Laplace
transform Laplace transform لو كان الدالة f of t
يساوي f of s يعني exist يبقى then Laplace inverse
لهذه الدالة كذلك exist وشكله بيعطيني يعني الدالة
الأصلية قبل ما ناخد لها Laplace transform هذا اللي
هو بيسميه ال inverse Laplace transformبصيغ السطرين
مرة تانية بقول لبلاس inverse لل F of S بدي ساوي F
of T إذا كان لبلاس لل F of T عبارة عن main F of S
بهمنا التطبيق اللي عمله كيف بدي أحسب اللي هو معكوس
لبلاس ال transform لدا اللي تمها يعنيلو ماعطيني
الدالة بدللة F of S يعني ماعطيني لبلاس ترانسفورم
لدالة ما هل بنقدر نجيب الأصل ولا لأ هو هذا الموضوع
تبع هذا ال section بقول مش هنجيب الأصل بدك تتبع
ثلاث خطواتالخطوة اللى بيجي تعمل partial fractions
ممكن ماجدرش تعمل partial fractions أحيانا يبقى
تدبر حالك من خلال المثال اللى قدامك وسأعطيك بدل
المثال اتنين على ذلك بعد قليل ان شاء اللهالتانى
يستخدم الاسم الـ table of values اذا كنت مابدي
ارجع للجدول اللي قلنا بيجيك في الامتحان النمرة
التلاتة بدي استخدم خاصية او الخاصية الخطية ل
Laplace transform و معاكوس Laplace transform اول
مثال قال لي هاتلي الدالة F of D ل Laplace
transform اللي همواطعة بقولكوا يا أسباجي بتطلع لو
روحت على الجدول مالاجيش ولا واحدة بالشكل هذايبقى
أول خطش بدي ايه؟ بدي أفصلهم عن بعض، مشان أفصلهم عن
بعض، بدي أجي أقول هذا الكلام يساوي، بدي أعمله
Laplace Transform تبع Calculus بيه، يبقى باجي
بقوله هذا جوس اللي هو S وهذا مين؟ جوس تاني، اه هذا
الجوس مكرر جديشمرتين إذا بدي أقول S زائد اتنين و
بدي أعمل كمان جوة S S زائد اتنين الكل تربيع هذا من
الدرجة الأولى بقول A هذا من الدرجة الأولى بقول B
هذا من الدرجة الأولى و مكرر بقول Cطيب إذا بروح
اوجد ال a و ال b و ال c مش هان اوجد ال a و ال b و
ال c باجي على ال term اللي عندنا هذا هك كله من
الأول للآخر بضربه في هذا الرقم مش هان اتخلص من
مين؟ من الكثور يبقى لو ضربت في هذا الرقم بضلي
الشمال كده؟واليمين AS زائد اتنين لكل تربيع وهنا
زائد BS في S زائد اتنين وهنا زائد C في Sمظبوط؟
يبقى هذه لو جيت فكيتها بدى تصير على الشكل التالي
واحد تساوي اللي قول A S ترميع زائد أربعة A S زائد
أربعة A فكيت الجثه و ضربت في A زائد B S ترميع
بستربية زائد اتنين باس واخد
term زائد CS يبقى هذا الكلام بده يساوي هدى عندك
تربية و هنا تربية يبقى A زائد B في ال S تربيةهو
عندك هنا زائد 4A في ال S وهذا كله في S وهذا كله في
S يبقى 4A زائد 2B زائد C كله في ال S ولم يقطع عندك
إلا من 4Aكله يبدو يساوي واحد، بنقعد مقارنة ما بين
الطرفين يبقى الـA زائد الـB يساوي جداش Zero لإن
ماعنديش على الشمال استربيع كذلك عندي أربعة A زائد
اتنين B زائد C يساوي Zero ماعنديش S ال constant
هذا هو ال constant هذا يبقى أربعة A يساوي واحد
يبقى ال A تساوي ربعلما الـ A تساوي ربع يبقى B
تساوي سالب ربع ناخد المعلومات هذه و نعوض بها في
المعادلة هذه يبقى لما أضرب أربعة في ربع يبقى هنا
كده؟ واحدوهنا ناقص اتنين في ربع اللي هو بنص وزائد
C يبجى هذا بده يعطيك انه C يساوي واحد ناقص نص بيظل
زائد نص وديه على الشجة التانية بصير سالب نص يبجى
أصبح شكل ال F of S على الشكل التالي ال A بربععلى S
تمام و ال B بسالب ربع يبقى سالب و هذا الربع على S
زائد 2 و ال C اللي هو بالنص يبقى ناقص نص على S
زائد 2 لكل تربيعتعالى نشوف هذه بقدر اقول ربع في
واحد على اس ناقص ربع في واحد على اس زائد اتنين و
هنا ناقص نص في واحد على اس زائد اتنين لكل تربيع
الواحد هذه يا بنات بقدر اقول هي واحد factorialفي
مشكلة واحد واحد factorial ما هي واحد يبقى هذه واحد
factorial بالشكل اللي عندنا الان انا بدي الدالة
الاصلية يبقى F of T دالة اللي بديها هي ل plus
inverse لمين ل capital F of Sالـ F of T هي Laplace
inverse للـ F of S يعني معناته ياخد Laplace
inverse لكل طرف من هذه الأعطراف الثلاثة يبقى هذا
الرابع في Laplace inverse للواحد على S ناقص رابع
في Laplace inverse للواحد على S زائد اتنيننقص نص
في Laplace inverse للواحد factorial على S زائد
اتنين لكل تربيع يبقى ال F of T اللي انا بديها بدي
ساوي ربع بيداجي لواحد عليه السادس ل Laplace تبعت
مين اذا Laplace inverse اللي واحدة لسه بدي رجعها
لاصلها اصلها مينواحد صحيح يبقى هذه في واحد صحيح
وهنا ناقص ربع واحد علاش زي اتنين هذه plus تبع
اتمين
طلع في الجدول اللي عندك يبقى ناقص اتنين T يبقى هذه
ال A أس ناقص اتنين T وهنا ناقص نص نجي للي عندنا
هذه اطلعيلي في الجدول اللي عندك انا في الجدول اللي
عندي هذه في الجدول اللي عندي اللي هي من factorial
اللي هي رقم 11 اعتقد عندك رقم 9
أخر واحدة التاسعة اللي هو عندك N factorial على S
ناقص A to the power M زائد واحد نميه T أس N E أس
ATيبقى T أس N بقوله هاي T ال N عندي بقداش واحد
يبقى T فقط لغيره وال exponential E وال E هنا بقداش
بناقص اتنين T يبقى هذه شكل الدالة ال همين اللي هو
بده يعني تمام؟