موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نعود إلى محاضرة الفترة
الصباحية طبعا ما بدأنا بالinverse Laplace
transform عطينا تعريف لـ inverse Laplace transform
وعطينا على ذلك مثالا واحدا وهذا هو المثال رقم 2
يبقى المثال اللي بقول find the function that has
Laplace transform F of S يساوي S على S زائد واحد
لكل تربيع زائد أربعة بالشكل اللي قدامنا هنا
اللي هو بيعطيه هنا هذا أو اللي بيجينا في قائمة فيه
مع أسئلة الامتحان تمام طب بقول لك كويس هذا لو في
عندي S زائد واحد في الـ bus ليش؟ لأن عندي هنا S
زائد واحد كان قضيتي محلولة ومنتهية تماما إذا أنا
بروح أخلك في الـ bus S زائد واحد والله ناقص واحد
خليني أتأكد هذه S وين راحت؟ S زائد واحد يبقى بدي S
زائد واحد يبقى بناء عليه مشان هيك ما عنديش partial
fraction حتى أقول partial fraction و أنا قلت الصبح
أول خطوة بدي أعمل partial fraction مش كل مثل بقدر
أعمله partial هدف فيه لـ partial fraction ما لهاش
يبقى هذه جاهزة وخالصة تمام؟ إذا أنا بدي أحول هذه
إلى شكل من الأشكال اللي موجودة في الجدول إذا بقدر
أقول الـ F of S اللي هي تساوي لو روحت قلت S زائد
واحد ناقص واحد على S زائد واحد لكل تربيع زائد
أربعة عملت حاجة؟ أضفت واحد و طرحت واحد بدي أفصل هذا
إلى مقدارين يبقى المقدار الأول هو S زائد واحد على
S زائد واحد لكل تربيع زائد أربعة ناقص واحد على S
زائد واحد لكل تربيع زائد أربعة الترم الأول صار
ما عنديش مشكلة لو روحت للجدول بلاقي عند وين في
الجدول هذا لسه لا يزال فيه مشكلة المشكلة أنه بده
اتنين هنا مدام هذه أربعة بدي الجذر تبعها يكون وين
فور إذا بقدر أقول الـ F of S بده يساوي الـ S زائد
واحد على S زائد واحد لكل تربيع زائد أربعة ناقص نصف
في اتنين على S زائد واحد لكل تربيع زائد أربعة
هيك الكلام صحيح الآن أنا بدي الـ F of T F of T هي لـ
plus inverse لـ F of S يبقى الـ F of T اللي أنا بدور
عليها الـ F of T هي لـ plus inverse لـ capital F of S
واللي هي بدها تساوي لـ plus inverse لمين؟ لـ S plus
one على الـ S plus one square plus four ناقص نصف في
الـ plus inverse لـ الإتنين على S plus one لكل
square plus four بالشكل اللي عندنا هنا يبقى الـ F
of T تساوي بدي آجي على الـ dialogue هادي و باجي على
الجدول اللي عندنا يبقى الجدول بدي أدور على الشكل
اللي الـ S زائد واحد S زائد واحد لكل تربيع زائد
تربيع
طبعا لو جيت نظرت لهذا الجدول بلاحظ أن عندي هذا
الكلام موجود في النقطة رقم عشرة النقطة رقم عشرة
بتقول ليس نقص الـ A على S نقص الـ A لكل تربيع زي B
تربيع يعني بيفرق بس بإشارة مين؟ إشارة السالف لكن هذه
لو رجعت للأصل تبعها بلاقي E أس A T Cos بت يبقى
معناه هذا الكلام أن الـ a اللي عندي هنا بإشارة بس a
سالبة يبقى لو جيت على الجدول من part عشرة هذا
الكلام بدي أساوي a أس الـ a عندي هنا بقداش؟ بواحد
يبقى E أس ناقص T في cosine بت هذا بي تربيع يبقى
بيه بقداش؟ باتنين لأن بي تربيع تساوي 4 وأنت بي
باتنين يبقى E أس ناقص T في من؟ في Cos 2T اللي بعدها
ناقص نصف بدي آجي لهذه لو رجعت لخط و لجاب الخلف اللي
هو النقطة التاسعة بلاقي عندي P على S ناقص L كل
تربيع زائد P تربيع يبقى هذه بي هيب اتنين هي بي
تربيع بـ 4 زائد يبقى الـ a بس بمين؟ بسالب واحد
يبقى باجي بناقص نصف في E أس سالب T لـ sin اتنين T
انتهت مسألتنا يبقى كله اعتماد على الجدول كيف أطلع
من الجدول Laplace transform للدوال المختلفة مثال
ثلاثة
مثال ثلاثة بيقول ما يأتي بدنا
نجد مفعول
f of t with
اللي هو it's a type with Laplace transform
اللي لابلاس ترانسفورم إلها اللي هو capital F of S
بده يساوي تلاتة S ناقص اتنين على S تربيع ناقص
اتنين S زائد عشرة
بقول كويس اللي قال لو روحت على الجدول تابعنا هذا و
بلاقيش ولا term بهالشكل هذا لكن بده إعادة ايه؟ ترتيب
هذا الterm كيف نعمل ترتيبه؟ بده أشوف المقام،
ما عنديش شغمة زي هيك كله بلاقي S زي واحد الكل تربيع
S نقص اتنين الكل تربيع زي رقم هنا رقم هنا S إلى
آخرين إذا بدي أعيد كتابة هذه الـ function بطريقة
ثانية إذا بقدر أقول هذا الكلام يساوي تلاتة S ناقص
اتنين على هذا S تربيع ناقص اتنين S إذا هذا لازم
أعمله ايه؟ مربع كامل مشان أعمل هذا مربع كامل قديش
بده S تربيع ازيد اتنين S قديش بده رقم مشان يصير مربع
كامل 2S ناقص
معامل X على أربع أمثال معامل X تربيع يبقى هنا بقول
زائد 2S يبقى مش هين أحول بذكر مرتين و تلتة و عشرين
بدي أعمل اكمال المربع بضيف للطرفين و بطرح مربع
معامل X على اربع امثال معامل X تربيع أعطيتها لكم
في calculus P و يا محل نبع يبقى مربع معامل X على
اربع امثال معامل X تربيع يعني مربع معامل F على
اربع امثال معامل S تربيع يبقى هنا بيبقى قديش؟ بواحد
يبقى زائد اتنين اس زائد واحد الواحد موجود عند
الجيران عشرة باخد منها واحد بيبقى تسعة يبقى زائد
تسعة يبقى هذا الكلام يساوي المقام اللي عندنا هذا
الآنصار مربع كامل صح؟ يبقى هذا بقدر أقول اللي هو الـ
S ناقص واحد لكل تربيع زائد تسعة أيوة إذن الـ bus هذا
بيدخلك في مين؟ S ناقص واحد بيدخلك في كاف S ناقص أما
هو تلاتة S ناقص اتنين الجثة بسيطة خالص بضيف سالب
واحد و بطرح واحد يعني بضيف واحد و بطرح سالب واحد
يبقى هذا لو حطيت سالب واحد كده بصير؟ بقدر آخد تلاتة
عامل مشترك و بظل S ناقص واحد بيكون خلصت مسألة اتنين
إذا البسط هذا بقدر أكتب تلاتة S ناقص تلاتة زائد
واحد يبقى أضفت سالب واحد وكذلك واحد يعني أضفت صفر
ما غيرتش ولا حاجة يبقى بناء عليه أصبح شكل الـ F of S
على الشكل التالي هذه تلاتة في S ناقص واحد خدته
معامل مشترك و هنا زائد واحد على مين؟ على S على S
ناقص واحد لكل تربيع زائد تسعة ممكن هذه أفصلها إلى
جزئين من الجزئين هاي تلاتة في S ناقص واحد S ناقص
واحد لكل تربيع زائد تسعة ضال عندي زائد واحد على S
ناقص واحد لكل تربيع زائد تسعة أظن صارت شبيهة
بمسألة هذه قبل قليل صح؟ و هذه شبيهة ابها بالضبط
تماماً يبقى تعال نشوف كيف نسوي يبقى أنا هذه هاه
بدها بس فوق كده شمنها قديش؟ تلاتة ممتاز يبقى بدي
اضرب في تلاتة و اجسم على تلاتة إذا بقدر أقول هذا
الكلام تلاتة في اس ناقص واحد على من؟ على اس ناقص
واحد الكل تربيع زائد تسعة زائد تلت في تلاتة على اس
ناقص واحد الكل تربيع زائد تسعة يبقى الـ F of T هي
Laplace inverse للطرفين يبقى تلاتة في Laplace
inverse لـ S ناقص واحد S ناقص واحد لكل تربيع زائد
تسعة زائد تلت Laplace inverse لتلاتة S ناقص واحد
لكل تربيع زائد تسعة يبقى أصبح شكل الـ F of T بيساوي
ثلاثة فيه نرجع بالذاكرة الوراء للجدول قبل قليل
كذلك إلى النقطة العاشرة بلاحظ عندي S ناقص A S ناقص
A لكل تربيع زائد B تربيع يبقى الأصل تبعها E أس AT
Cos BT قديش الـ A عندي هنا؟ الـ A بواحد طب و الـ B؟ تلاتة
لأن هذه بي تربيع يبقى بناء عليه تلاتة E of T بدون
زائد تمام فاهمين في cosine تلاتة T هذا الterm
الأول زائد طول هذه بنفس الطريقة E of T sine تلاتة
T يبقى هذه الـ function اللي مطلوبة اللي عندنا
بنعطي كمان مثال مثال
تلاتة أو example أربعة
بيقول لي نفس القصة capital F of S بده يساوي E أس
ناقص S على S ناقص اتنين لكل تربيع و بده مين؟ بده
نوجد لنا place transform اللي هالمعكوز تبعه بقول له
بسيطة جدا قبل ما توجد لبلاس ترانسفورم حاول ترتبها
بقول له يعني هذه لو كتبتها E أس ناقص S في واحد على
S ناقص اتنين لكل تربيع عملنا حاجة طيب ايش رأيك
الواحد هذا لو كتبت واحد factorial الشكل اللي عندنا
هذا
يبقى باجي بقول الـ F of T اللي أنا بدور عليها هي
Laplace transform بالمعكوس تبعها لـ capital F of S
و يساوي Laplace transform لـ E أص ناقص S
يبقى الـ F of T تساوي
طيب من فوق لتحت exponential exponential عندي رقم
اتنين exponential على اس أنا عندي على اس ناقص كذا
طيب أنا بلاحظ عندي الرقم تلاتة الرقم تلاتة اللي هو
E أس ناقص CS في capital F of S capital F of S هذا
الأصل تبعها الأصل تبعها ده الـ step function u C of
T فالـ F of T ناقص من؟ ناقص الـ C لكن لو رجعنا
للخاصية رقم 5 من section 9 3 تحيلي section 9 3
الخاصية رقم 5
يعني إذا عرفت تجيبيها من الجدول و كرمها و ما عرفتش
برجع للأصل هذه تبعها طلع لي مشان أكتب هذه الدالة
باجي للدالة بين القوسين هذه هي الـ F of S قولي G
of S يساوي واحد factorial على S ناقص اتنين لكل
تربيع بقدر أجيب الأصل تبعها مين الأصل تبعها يا بنات
G of T يساوي هذه لو روحت جبت الأصل تبعها يبقى
الأصل تبعها هو عبارة عن T في E أس اتنين T طبعا
من الجدول T في E أس اتنين T لو روحت للخاصية رقم
خمسة اللي عندك بدي أعمل لهذه الدالة shift بمقدار
قديش؟ اتنين مش عندك هنا اتنين هذا اتنين أنت بقى
الـ exponential يبقى بدي أعمله shift بمقدار عفوا
بمقدار اللي هو الاتنين بمقدار الواحد
و ليس الاتنين طيب كيف ده؟ جت كالتالي فباجي بقول يبقى
الـ plus inverse لها يساوي أحد أمرين يا إما صفر لما
الـ T أكبر من الـ 0 أقل من واحد يا إما T ناقص
واحد E أس اتنين في T ناقص واحد والـ T أكبر من
الواحد
خاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة من سكتشن تسعة تلاتة
خاصية رقم خمسة اللي بيقول لي small q of t بدي أساوي
صفر لما t محصورة بين الـ 0 و الـ c أو f of t
ناقص الـ c لما t أكبر من الـ c يبقى لبلاي الـ
transform اللي هي E اص ناقص CS في capital F of S
يعني بدنا نجيب الـ F of S للدلة اللي عندنا وين الـ F
of S هي مظ
مثال
معرفة مفهوم f*)g
كمفهوم من f
الـ F of T بدها تساوي الـ E أس T والـ G of T بدها تساوي E أس
اتنين T
بنجي لتعريف الـ convolution لـ الـ two functions ايش
بيقول دي؟ الـ function f star g as a function of t
بنسميها الـ convolution of الـ function اللي هي الـ
main of الـ function f and g convolution في اللغة
العربية معناه التفاف يعني كأنه بيعمل التفاف يعني
لـ دالة f ممكن اعمل لـ دالة g والتانية تظهر
زي ما هي بدون مشاكل من هنا سمينا convolution لـ مين
لـ تو functions بهمني هذا جدّاش بيساوي لإن أنا هذا هو
اللي بشتغل عليه إذا بدي أقول لـ دالة f star g أو f
convolution g as a function of t يتكوّن من zero إلى
T يا باجي على الـ F اللي عنها دي بكتبها أو بشيل كل
T بحط بدلها T ناقص U , U real number ها يبقى F of T
ناقص الـ U في الـ G of U في الـ DU يبقى كوني الآن أخدت
الـ DU يعني U هي اشتقاق وكأن الـ T أنا ثبتها كأنه
خليت الـ T مقدار ثابت لأن أنا كامل بالنسبة لـ U إذا
الـ T ايش تعتبر مقدارا ثابتا أريد أن أثبت الـ U
فأقول F of U يبقى الـ G فأقول G of T ناقص الـ U في
الـ DU وحسب الـ Definition هذه ستساوي عملت لهذه G
وهذه ثبتت فأقول G star F يبقى بناء عليه الـ F star
G هو G star F كلها as a function of T كلها كدالة
في T يبقى هذه والله هذه عملت للدالة الأولى والله
الدالة التانية الاتنين are the same طب لو بدّه يجيب
Laplace transform لل convolution بقول Laplace
لـ دالة الأولى ضرب ضرب عادية Laplace لـ دالة التانية
هيها dot مضروبة ضرب فيها دي تمام؟ بدنا نروح نطبق
هذا الكلام بمثال جالي هاتلي الدالة هادي إذا كانت الـ
F of T بدها تساوي الـ E of T والـ G of T بدها تساوي من
الـ E أس اتنين T إذا لما بداجي أحل بداجي أقوله الـ F
star G كله as a function of T يساوي الـ F of T يا
بنات اللي هي من E أس T الـ G of T اللي هي E أس
اتنين T وها هم function في T طبقا للتعريف اللي فوق
يبقى تكامل من zero إلى T تمام عندك هذه الصيغة أو
هذه سيّان يبقى الـ F اللي هي الدالة الأولى بدي اعمل
لها shift بمقدار جدّاش الـ U يبقى E أس T ناقص الـ U
الـ G أبدا بدي أشيل الـ T بس وأكتب مكانها جدّاش U يوم
دي U يوم تمام طيب إذا هذا بنيت بقدر أقول تساوي تكامل
من zero إلى T لـ مين؟ للـ E أس T ناقص U E أس
اتنين U أظن الـ E أس T مالهاش دعوة بالتكامل لإنّه
بيشتقّ بالنسبة لـ مين؟ يبقى بقدر أطلعها برا التكامل
يبقى هذه تساوي E أس T تكامل من Zero إلى T للـ E بجمع
الأسس لإنّ الأساسات زي بعض يبقى UDU
تمام؟ طيب هذا بيصير E أس T فيه تكامل الـ E أس U بالـ
E أس U itself يبقى هذه الـ E أس U من وين لوين؟ من
Zero لغاية T يبقى هذا الكلام بدّه يساوي اهه اللي هو
مين؟ E أس T في مين؟ في الـ E أس T ناقص E أس Zero E 0
بيبقى 1 يبقى صار E of T في E of T ناقص 1
يبقى E of 2T ناقص E of T إذا الـ convolution اللي
حصل لـ two functions F and G يساوي الدالة الأولى
الدالة الثانية ناقص الدالة الأولى بالمثل لو أخذت
هذه الـ T عملت لها T ناقص الـ U وهذه خليت الـ U
كامل فهو بيطلع نفس النتيجة اللي عندنا لحد هنا stop
and turn section إلى يكون أرقام المسائل يبقى
exercises تسعة أربعة المسائل 1 و 2 و 4 بدأ
أخذ الـ A والـ C وسؤال 5 بدي الـ A والـ B الـ A والـ
B والـ A والـ F طيب
نيجي لآخر section اللي هو 9 5 يبقى 9 5 اللي هو الـ
applications
applications to differential equations
تطبيقات على المعادلات التفاضلية ايش يعني المقصود
فيها المقصود استخدام Laplace transform لحل
المعادلة التفاضلية أظن حلينالكوا بدل المعادلة التنين
مظبوط يبقى أنا باعتمر ما اشتغلتش بالمرة وبدي اشتغل
من جديد يبقى هنا بدي أقول to use السؤال بيجي كتابة
example توضيحي example use Laplace transform to
solve
the
initial value problem
اللي هي الـ x double prime زائد أربعة x بدها تساوي
ثمانية sin الـ T والـ x عند الـ zero بدها تساوي zero
والـ x prime عند الـ zero بدها تساوي اثنين solution
يبقى مدام أعطاني السؤال من هذا القبيل هو قيدني
بطريقة الحل أنا هذه معادلة من الرتبة الثانية إذا
لو بدي أرجع للي قبل المعاملات ثوابت ودالة بالـ sin
ممكن إذا بحلها بالـ undetermined coefficients بس هو
بدّه إياي أحلها بالـ undetermined coefficients بدي
إياي أحلها بالـ Laplace transform ويبقى أنا مقيد إذا
بالـ Laplace transform إذا بروح آخذ لبلاس ترانسفورم
للطرفين يبقى باجي بقول لبلاس ترانسفورم للـ X'' زائد
أربعة لبلاس ترانسفورم للـ X بدها تساوي ثمانية لبلاس
ترانسفورم لـ sin الـ T؟ إنّ Laplace Transform is a linear
function أو linear operator يبقى الـ ثمانية بقدر
أطلعها برا بدي أطبق النظرية على هذه يبقى هذه S² X S
ناقص S في X عند 0 ناقص X' عند 0 زائد 4X S بدها تساوي
8 sin الـ T مظبوط sin الـ T ولا sin 2T يبقى
sin الـ T مدام sin الـ T إذا هذه Laplace Transform
حسبناها عمليًا يبقى هذا بقدّاش يا بناات بواحد على S²
زائد واحد مظبوط طيب يبقى هنيجي طلعيلي لهذه
وهذه بقدر آخذ X of S عامل مشترك بيظلّ عندي S²
زائد 4 في capital X of S الآن الـ X عندي
Zero يبقى
ناقص Zero الـ X Prime باثنين يبقى ناقص اثنين يساوي
ثمانية على S² زائد واحد أو إن شئتم فقولوا إنّ
الـ S² زائد أربعة في capital X of S بدها تساوي
ثمانية على S² plus one plus two بدّه واحد
المقامات يبقى بيصير S² زائد أربعة في capital
X of S يساوي كله على S² plus one وهي ثمانية زي
دي اثنين S² زي دي اثنين تمام يبقى بيصير
عندنا مين بيصير عندنا S² plus four في
capital X of S يساوي اثنين S² زائد عشرة
مقسوما على S² plus one طب أنا بدي X of S
يبقى الـ X of S بدّه يساوي اثنين S² زائد عشرة
على S² plus one في S² plus four لو رحت
على الجدول بلاقي شغلة زي هذه في الشمكانية طب كيف
نسوي؟ بقول لك بسيطة الـ bus من الدرجة الثانية والـ
مقام من الدرجة partial fraction والحمد لله جاهزة
يبقى بس أحطها على شكل ايه؟ شكل كسور يبقى هذا الكلام
بدّه يساوي هذا كسر وهذا الـ S² plus one وهذا
كسر ثاني S² plus four المعادلة من الدرجة
الثانية كل واحدة فيهم ولا يمكن تحليلها إذا بدّه أحط
فوق معادلة من الدرجة الأولى يبقى باجي بقوله AS زائد
B وهنا CS زائد D وبعد هيك بروح أحسب الـ partial
fractions يبقى بقوله اثنين S² زائد عشرة بدّه
يساوي AS زائد الـ B في مين؟ في الـ S² زائد 4
زائد CS زائد دي في الـ S² plus one طبعًا بنفك
ونقرر مش هضيع وقت فيها هعطيك النتيجة مباشرة يبقى
بتطلع عندك هنا الـ A تساوي Zero الـ A تساوي Zero و
الـ B تساوي ناقص تلتين والـ C بتطلع عندك بـ Zero و
الـ D بتطلع عندي بـ 8 على 3 بناء عليه أصبحت المسألة
على الشكل التالي
يبقى أصبحت الـ X of S , X as a function of S على
الشكل التالي طلعيها هنا كويسة يبقى بدأت دي أشيل الـ A
وأحط مكانها Zero طارت الـ B بدأت أحط بدل سالب تلتين
يبقى هاي سالب تلتين ضالّ واحد على S² زائد
واحد انتهينا منها الآن الـ C بـ Zero طارت يبقى الـ D بـ
ثمانية على ثلاثة زائد ثمانية على ثلاثة في جدّاش؟ في
واحد على S² زائد أربعة إذا أنا بدي الـ X as a
function of T هي Laplace inverse لـ capital X of S
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا بدّه يساوي سالب
تلتين Laplace inverse للواحد على S² plus
one زائد ثمانية على ثلاثة وهنا لابلاس inverse لواحد
على S² زائد أربعة يبقى شكل الـ X of T يساوي
سالب تلتين مين هذا يا بناات؟ هي مين هذّي؟ الـ sin
t يبقى سالب تلتين في sin t زائد ثمانية
على ثلاثة في مين كمان هذّي؟ sin 2t هذا ليس ضبط
فقط اضرب في 2 واقسم على 2 يبقى بيصير هنا ثمانية
على ثلاثة لـ Laplace inverse لـ نصف وهنا اثنين على S
² زائد أربعة يعني بدك تظبط مسألتك دائماً وأبداً
بيعتمد تكون ما فعلاً لها في صورة الجدول يبقى النتيجة
ناقص تلتين sin t النصف بيطلع برا وضَلّ قدّاش عندي؟ أربعة
على ثلاثة وهذه اللي هي مين؟ sin 2T هذا هو الحل
تبع المعادلة X as a function of T نعطي كمان مثال
آخر مثال
اثنين بيقول الـ X double prime ناقص X بدها تساوي الـ
F of T والـ T أكبر من أو يساوي الـ Zero والـ X عند
الـ Zero بدها تساوي واحد والـ X' عند الـ Zero بدّه
يساوي Zero وواحد حيث مين هي الـ F of T هذه الـ F of
T بدها تساوي يا إما Zero لما T أكبر من Zero أقل من
واحد يا إما T ناقص واحد لما T greater than
one طيب
نبدأ نأخذ Laplace transform للطرفين يبقى solution
واضح
إنّه ما أقدر أحلها بالـ undetermined coefficients
مظبوط؟ بس بدّه إياي ما جاليش قال استخدم Laplace transform
لحل هذه المعادلة
إذا بدرّح آخذ Laplace للطرفين يبقى Laplace
transform للـ X'' as a function of T ناقص
Laplace transform للـ X of T بدها تساوي Laplace للـ F
of T نعود لهذه الاختصار هذّي S² في capital X of S
ناقص S في مين؟ في الـ X عند Zero ناقص X prime of
Zero ناقص capital X of S يساوي نحتاج لـ Laplace
للدالة هذه تمام؟ نعود لـ مين؟ للخصائص اللي عندنا؟ تبع
الـ section تسعة ثلاثة
الخاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة
371 00:42:04,180
زائد واحد، تمام؟ زائد S أو خلّي هذه S ناقص S
زي ما هي و بيبقى عندي واحد على S تربيع في S ناقص
واحد في S زائد واحد بالشكل اللي عندنا اه بدنا
partial fraction هذه ولا لأ يبقى بدنا نبدأ نحسب ال
part في ال fraction يبقى أخر ما توصلنا إليه هو ال
X of S يساوي S على S تربيع ناقص ال one وديك S
تربيع مظبوط تمام مئة مية المية طب خلّينا نشوف هذه
اللي هي الأولى نعمل ال partial fraction وبعدين
بنشوف التاني نشوف الكبيرة هذه يبقى واحد على S
تربيع في S ناقص ال one في S زائد one يساوي S
تربيع يجب لزمنا A S زائد B زائد S ناقص واحد C
زائد S زائد واحد يبقى D أحسنت أو الواحد بده يساوي AS
زائد ال B ال AS زائد ال B في مين؟ في ال S تربيع
ناقص ال one اللي هو حاصل ضربهما زائد C S تربيع
في S زائد one زائد D S تربيع في S ناقص ال one طيب
هذا الواحد يساوي A تكعيب ناقص ال A S تربيع زائد B
تربيع ناقص ال B زائد C تكعيب زائد C تربيع
زائد D تكعيب ناقص D تربيع نجمع يبقى هذه فيها
تكعيب وهذه تكعيب وهذه تكعيب يبقى A زائد C زائد D
كله في ال S تكعيب زائد تعين التربيع يبقى هذه B وهنا
C وهنا ناقص D كله في ال S تربيع نجلي فيهم S هنا
كله ماعنديش S ماعنديش اللي هاد يتيمة ناقص AS وهنا
ناقص B زيهتمام يبقى نعمل مقارنة بين الطرفين يبقى a
زيدي ال c زيدي ال d بده يساوي 0 و b زيدي ال c ناقص
ال d بده يساوي 0 و ناقص ال a بده يساوي 0 و ناقص ال
b يساوي 1 يبقى الاتنين هدول اشباطون يا بنات ان ال a
تساوي zero و ال b تساوي سالب واحد يبقى
هدف بده يعطينا لو أخدت ال a ب zero بيظل قداش c
زائد d يساوي zero و لو أخدت ال b بسالب واحد بيصير
ال c ناقص d ساوي واحدمظبوط؟ اجمع هدول مع السلامة
يبقى 2C يساوي 1 يبقى C يساوي نص لما C يساوي نص و A
ب 0 يبقى D بسالب نص يبقى هيو C بنص يبقى D يساوي
سالب نص إذا أصبح ال term اللي عندنا هذا جاهز أيوة
بدنا نشوف التاني كمان للتاني على أي حال بدي اكتب
النتيجة دغري وانت بدك تروح تعملي partial fraction
بسيط انا سويتلك الصعب وخليت البسيط يبقى لو روحنا
عملنا بيكون على الشكل التالي يبقى ال X of S بده
يساوي ال S على S²-1 هذه لا نريد أن نعملها لها
خلّيها زي ما هي مش مشكلة يبقى S على S²-1 مافيهاش
مشكلة وهذه زائد E أس ناقص S في قداش في سالب واحد
على S² زائد نص في واحد على S ناقص واحد وهنا يبقى
هذا ال exponential اللي عندنا طيب اروح نجمع و نشوف
وين بدنا نوصلهذه سأتركها كذلك لأنها سهلة و لا يوجد
فيها مشكلة يبقى هذه S على S²-1 هذه زائد E أس ناقص S
هذه سالب واحد على S تربيع هذول بقدر اخد مين؟ زائد نص
عامل مشترك بظل عندنا مين؟ S ناقص واحد في S زائد
واحد بصير عندنا هنا S زائد واحد ناقص S زائد واحد
شكل لأن هذا أظن هذا كله مش لازم الآن
طيب يبقى أصبح شكل ال X as a function of S يساوي
هذه البنات بتروح سالب S وموجب S مع السلامة بيظل
واحد وواحد اتنين مع المص الله سهل عليه يبقى بيظل
عندي قداش بس واحد على S تربيع ناقص واحد يبقى بيظل
عندي هنا اللي هو ناقص واحد على S تربيع و هنا زائد
واحد على S تربيع ناقص واحد
يبقى صرتي النتيجة S على S تربيع ناقص واحد ناقص E
أس ناقص S في واحد على S تربيع وهنا زائد E أس ناقص
S في واحد على S تربيع ناقص الواحد الآن بقدر اجيب
Laplace ل plus المعكوس تبعهم و اشوف كده بده يساوي هذا
بيصير ال X of .. بدي ال X of T ال solution X of T
يساوي ل plus inverse ل Laplace ل capital X of S و
يساوي ل plus inverse ل ال Sعلى S تربيع ناقص واحد
ناقص Laplace inverse لمين؟ لل E أس ناقص S في واحد
على S تربيع وهنا زائد Laplace inverse لل E أس ناقص
S في واحد على S تربيع ناقص واحد بالشكل اللي عندنا
هعطيك الجواب النهائي وانت تجيبيه لحالك ها طيب
مالكيش بلاش يبقى هذا الكلام يساوي بدالي الآن لل S
على S تربيع ناقص واحد حد ممكن تقولي مين هي؟ مين
قالك ان ال cosine بالزائد المقام هذا منها cos cos
ati و ال a بقدراش بواحد يبقى هذا بقدر اقول هذا t
فقط
لا غير نيجي لناقص بدي ل plus inverse لل E أُس ناقص
S واحد على S تربيع يالا شوفيلي