بسم الله الرحمن الرحيم نعود الآن إلى محاضرة الصباح
بدأنا في محاضرة الصباح بـ Cauchy Euler equation
حطينا الصيغة العامة لها وبعدين خدنا حالة منها
خاصة اللي هو كانت من
المعادلة الأصلية لـ كوشي أن هناك
طريقان للحل، الطريق الأول اللي هو بالتعويض قلنا لو
حطينا التعويضة X يساوي E أُس T، خدنا ln للطرفين فصار
T تساوي ln X، اشتقينا DT على DX يساوي 1 على X، ثم
بعد ذلك روحنا جيبنا Y' و Y'' بدل ما نشتق
بالنسبة لـ X، حولنا الاشتقاق بالنسبة إلى T وبالتالي
عوضنا الـ Variables وسمينا هذه هي الطريقة
الأولى، يعني الطريقة الأولى بواسطه تعويضة بتبعدنا
حولنا المعادلة من معادلة بمعاملات متغيرة إلى
معادلة بمعاملات ثابتة وبالتالي بنروح نحل هذه كما
كنا بنحل في الـ sections الماضية، انتقلنا الآن إلى
الطريقة الثانية اللي كتبناها قبل ساعتين من الآن
طريقة نفترض أن Y يساوي X أُس R عبارة عن solution و
رحنا اشتغلنا مرة مرتين ثلاثة N من المرات وعوضنا
في المعادلة، حصلنا على المعادلة المساعدة
أو المعادلة المميزة للمعادلة الأصلية ورحنا هذه
المعادلة لما جينا نحل هذه المعادلة صار عندي أحد
ثلاثة احتمالات، الاحتمال الأول، الاحتمال الثاني،
الاحتمال الثالث، سميتها ثلاث حالات نجي للحالة
الأولى لو equation double star هذه المعادلة
المميزة has distinct roots يبقى صار عندي R واحد
لا يساوي R اثنين، لا يساوي R ثلاثة، لا يساوي... لا يساوي RN
ولا واحد زي الثاني، ما هو الشكل العام للحل يبقى
الشكل العام للحل C1 في X أُس R1
الحلول يبقى كونصا في الأول، و كونصا في الثاني، و
يمثل الـ general solution إذا الحلول كانوا real and
different، بنجي للحالة الثانية لو equation star has
complex roots، المعادلة طالعة عندما فيها جذور
تخيلية، فعلى سبيل المثال لو أخدنا جذرين منهم ماذا
يكون شكل الحل؟ يبقى باجي بقول الحل بيكون X to the
power إيه؟ ليش؟ لأنه بدي يطلع اللي هو الـ R يساوي A
زائد IB، تمام؟ A زائد و الـ conjugate تبعه A ناقص IB
الحل الأول R واحد A زائد IB والحل الثاني R اثنين
بديه يساوي A ناقص IB، يبقى الـ E الـ X أُس A في مين؟ في
C واحد cos B ln X زائد C اثنين sin B ln
X، يعني يا بنات هنا كنا نقول هناك في الحقيقي في
التخيلة لما كانوا المعاملات حقيقية، بقى نقول C1 Cos
Bx ماعنديش ln لكن هنا جانبين ln X زي C2 Sin B
ln X، الحالة الثالثة، الحالة الثالثة لحالة الـ real
قد يكون real و repeated وقد يكون complex و
repeated، فكيف نسوي في هذه الحالة؟ يبقى باجي للحالة
الأولى الـ equation اثنين has real repeated roots of
multiplicity S، عدد مرات التكرار S والباقي يمكن
يكون real يا إما S ممكن يكون كله complex وتساوي N
بس بشرط أن الـ N عدد زوجي، يبقى بيصير R واحد يساوي R
الثاني يساوي RS يساوي R، يبقى في هذه الحالة شكل الـ
general solution زي شكله with constant
coefficients، ما عدل X بشيله وبحط بداله ln X
والباقي كل شيء زي ما هو، تطلع C1، C2 ln X، C3 ln X
نرويها C4 ln X تكريم لغاية ما وصل لـ CS ln X أُس S
-1 في X أُس R لأن الأُس هذا صار مكرر، تمام؟ طيب لو
كانوا الـ roots are repeated complex conjugate لو
كانوا هذا real لو كانوا complex يبقى بدي يصير الحل
X أُس A زي ما هي تبعيتي تبع الـ complex بس ايش بدي
يصير؟ A واحد زي دي اثنين ln X زي دي A أُس ln
الثوابت المتغيرات C1 وC2 لغاية CS كلها في Sin B ln
X، يبقى هذه بدي أفهمها إنها عبارة عن مين؟ عبارة عن
الحل X أُس A في الـ polynomial الكبير هذا من
الدرجة لأن S ناقص واحد في الـ cosine P ln X زي الـ
polynomial من نفس الدرجة Sin P ln X في حتة الـ
complex لكن في حالتها الـ real لا عندي Cosine ولا
عندي Sin polynomial فقط لغير في X أُس A، هل بتحب تسأل
أي سؤال هنا قبل أن ندخل الأمثلة؟
ماشي، المثال الأول طبعًا احنا حققنا معانا طريقتين يا
بنات أن قيدني بطريقة بدي التزم في انجل يوز the
substitution X يساوي E أُس T، يعني بده مين؟ بده
يحول المعلق، يمكن يقول لي كمان اجيب لي السؤال بطريقة
ثانية يعطي المعلق ويقول لي change او use the
substitution X يساوي E أُس T to change، هذه هي
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار
الاختصار، الاختصار، الاختصار، الاختصار، يبقى أول
مثال يقول Find the general solution of the
differential equation ولم يقيدني، ما قيدنيش، لكن أنا
كونه أول مثال بدي أحله بالطريقتين وبدي أبين أن
الطريقتين ما لهما نفس الشيء، ما بتغيرش فيها ايه ولا
حاجة، يبقى بدي أجي للحل الأول اللي عندنا هذا
يبقى بداجة أقول استخدم التعويضة Put X يساوي E أُس
T، هذا بتعطيك T يساوي ln X، هذا بتعطيك الـ DT على DX
يساوي 1 على X and الـ Y' يا بنات كده ايش طلعت؟ مش 1
على X في الـ DY على DT صح؟ طب والـ Y''
D²Y على DT²، أيوة، ناقص DY على
DT، طب الحمد لله، بس أنت بتفرض التعويضة وتقول إذا
كذا ما عنديش مشكلة، ما عندك تروح تستنتجيها من أول و
جديد، لكن إذا كنت نسيتها بديك تروح تستنتجيها من أول
و جديد، طيب يبقى الآن بدي أمسك المعلومات هذه واعوض
وين؟ في المعادلة اللي هي أصلية اللي هي star يبقى
باجي بقول المعادلة star بصير X تربيع في الـ Y''
هي هي 1 على X تربيع في D²Y على DT² ناقص DY
على DT بالشكل اللي عندنا هنا اللي بعدها ناقص 3X
فيه بدي أشيل الـ Y' وأحط قيمة التالي 1 على X في DY
على DT، خلصنا منها، زائد 4Y، مش غيرها، تمام؟ كل هذا
الكلام يساوي كده؟ Zero، أظن X تربيع مع X تربيع راحت
مع السلامة، يبقى D Square Y على DT Square ناقص DY
على DT ناقص ثلاثة DY على DT زائد أربعة Y بدأت تساوي
Zero، لو روحنا جماعة مهدول بصير D2Y على DT2 ناقص 4DY
على DT زائد 4Y بده يساوي قداش؟ Zero، أطلع في المعادلة
star واطلع في المعادلة بعد التعويض كيف صارت
المعادلة star، المعاملات عندي متغيرات بدلالة الـ X
لكن لما حطيت التعويض هذه حولت إلى معادلة بمعاملات
ثابتة، إذا بتروح أحلّي المعادلة هذه بمين؟ بالمعاملات
الثابتة، كيف بنحلي الحل؟ let Y تساوي E أُس RT، ما عنديش
X هنا بطل يصير عندي X، الشغل نتوهّل من دلالة X إلى
دلالة T، يبقى بداجة أقول له let وسمّيلي هذه
المعادلة رقم Star، let Y تساوي E أُس RT بـ A
solution of إذا كانت المقارنة مربوطة ثم المقارنة
الخاصة هي
R تربيع ناقص أربعة R زائد أربعة يساوي Zero، يعني هذه
مالها R ناقص اثنين لكل تربيع يساوي Zero، يبقى الجذور
حقيقية ومكررة كم مرة؟ مرتين، يبقى هذا معناه أن R
تساوي اثنين of multiplicity، بالإضافة لـ ECT، كررت مرتين
إذا بدأت أقول له The general solution of equation
double star is Y تساوي، مش طبعًا أنا كنت ملاّعب
بدلالة text احنا راهيب نشتغل على T، يبقى شو بدي يصير
تكرار مرتين يبقى C1 زي C2T في قداش؟ في E أُس اثنين T
طب
الجواب ايش طلعناه؟ بدلالة ايش؟ T، والأصل بدرجة أو
بدلالة X، بكون جيب تحليل المعادلة الأصلية اللي هو
star، يبقى باجي بقوله The general solution of
equation A star is الـ Y يساوي C1 زائد C2 قداش؟ الـ
T حطيناها قداش؟ لأن الـ X في E أُس 2T، لأن الـ X مظبوط
يبقى ايه صارت بدل لثمين X هذه؟ هذه يا بنات هي C1
زائد C2 ln X، نجي هذه مش هذه E ln X تربيع اثنين
بدخلها جوا الـ ln الـ E والـ L عكس بعض يبقى صار جداش؟
X تربيع، يبقى هذا الحل بالطريقة الأولى، بدنا نروح
نحله بالطريقة، بالطريقة الثانية، نجربها لأنه ما قال لي
احنا اثنين في الامتحان، أنا أجيب بالي الطريقة
الأولى ورحت حلّ التباهي، أنت اجيب بالي الطريقة
الثانية، بنشوف هل الطريقتين بيعطوني نفس الحل ولا كل
واحد بتعطيني حل شكل الله أعلم، تعالي نشوف، أيوة مين
اللي بتسأل احنا؟ طيب بنفعل الحل اللي هي الـ
differential equation
بايش؟ كيف كنا بنحلها في الشفتر الأول؟ مش هي احنا
قلنا little y ساوي E أُس RT هي طريقة... لأ لأ
هي الـ equation star two stars هذه بنحلها زي ما كنا
نحلها سابقًا، star ولا double star؟ double star، و
double star، ما احنا بنحلها زي قبل، لأ، زي أي هم شفتر
واحد، Second order differential equation أخدنا two
cases special cases T missing و X missing فيش مشكلة
أحديها بأي طريقة، لكن مين اللي أسأله؟ هذه والله
الـ X مسجد والـ T مسجد، هذه بيخليّجي بلها الدورة،
وأنت حر بقى، تروح وترجع، تتعقز في الكلام اللي
عطيك، أنت حر، هذا شأنك، أنا بدي شغل، بس الشغل يكون
صحيح بأي طريقة تشتي، ما لم أقيدك، فيش تقييد،
خلاص، شغل اللي بديكي يعني، ماشي؟ طب لو صار
الـ third order يبقى نفعش الكلام اللي إتيه يبقى
يخليه يتعود كل طريقة بناخدها نتعودها مش نهملها و
نسيبها، طيب بنيجي نكمل، يبقى هذا بالشكل اللي عندنا
هذا وخلي كيس ثلاثة يمكن تلزم، يبقى بالدهجة اللي
أقول الآن a second solution
بعد ذلك أقول let Y تساوي X أُس R بيه solution of the
equation star
بدا أجيب Y' اللي هو مين؟ R X أُس R ناقص الواحد
بعدين بدي أجيب الـ Y'' R في R ناقص الواحد في X
أُس R ناقص الاثنين، بتاخد المعلومات وروح اعوض وين
في هذه المعادلة، يبقى يا بنات ايش بيصير؟ XY''-3XY'
زائد 4Y يساوي
يبقى X تربيع في الـ Y'' هي R في R-1 في X أُس R-2
ناقص ثلاثة X في الـ Y'
هذا أول مثال له سؤال 6 من الكتاب المثال الثاني له
سؤال 10 من الكتاب مثال 2 هذا سؤال 10 من الكتاب
يقول السؤال The differential equation of x تربيع و
y double prime ناقص خمسة x y prime زائد ثلاثة عشر y
بده يساوي zero وهذا اللي بدي أسميها main واللي
بدي أسميها ال start يبقى
بدي أبدأ solution
أظن أنه لا يوجد دا على الطريقين بيكفيني واحدة لكن
التان تان اتعلمناهم تاني أسهلي خلاص بالتاني يبقى
باجي بيقول في الطريق أن ال Y يساوي X أُس R
solution of equation A star with X greater than 0
يبقى then الـ Y' بدي يساوي R X أُس R ناقص الـ 1
و y double prime R في R ناقص الـ 1 في X أُس R ناقص الـ 2
الآن بدي بقوله Substitute in equation star we get
نحصل على ما يلي هي ال X تربيع برا وهذه R في R
في R ناقص ال one في X أُس R ناقص ال two
اللي بعدها ناقص خمسة X في ال Y prime R X أُس R
ناقص ال one اللي بعدها زائد ثلاثة عشر X أُس R كله
بده يساوي Zero هذه لو فكتها R في R ناقص ال one في
X أُس R ناقص خمسة R X أُس R زائد ثلاثة عشر X أُس R
بده يساوي Zero أظن لو جسمنا على الـ X أُس R بنحصل
على الـ characteristic equation على الصيغة التالية
R تربيع ناقص خمسة R زائد ثلاثة عشر يساوي Zero أو بمعنى آخر R
تربيع ناقص R ناقص خمسة R زائد ثلاثة عشر يساوي Zero أو
R تربيع ناقص ستة R زائد ثلاثة عشر بده يساوي Zero وهذه
اللي بنسميها ال characteristic
بعد إنجاز الشغل الروتيني بدي أحلل المعادلة هذه هل
يمكن تحليل هذه المعادلة؟ في إمكانية لكن كلها من
الدرجة الثانية مش قادرة أحللها بروحي بحل بالقانون
واللي الله سبحانه وتعالى يفرجها تمام؟ يبقى باجي
بيقول هذا R وأنا متأكد أنه سيفرجها سيفرجها إذا الله
ما فرجهاش مين بده يفرجها؟ يبقى هاي ناقص بقى بيصير
ستة زائد أو ناقص الجذر التربيعي ستة في ستة
أربعة في ثلاثة باتنين وخمسين 52 مضروب
قداش سالب 16 على 2 يعني 6 زائد أو ناقص اللي هو 4I
كله مقسوم على قداش 2 يبقى بده يساوي 3 زائد أو ناقص
2I يبقى عندنا ال a هنا بقداش يا بنات وال b تساوي كده
إذا بقدر أجيب ال general solution يبقى بروح بقوله
the general solution of the differential equation
star is y تساوي X أُس R يبقى X أُس كده؟ أُس ثلاثة،
X أُس إيه؟ فيه عندنا جذرين، اثنين are conjugate
وما فيش غيرهم، يبقى بش باجي بقول C واحد كوسين، كده يا
بنات؟ اثنين، اثنين، اثنين، اثنين، اثنين، اثنين،
كفى الله المؤمنين القتال هذا كان المثال رقم اثنين
بدنا نروح للمثال رقم ثلاثة مثال رقم ثلاثة بيقول ما
يأتي solve the Differential Equation مثل المعادلة
التفاضلية X تكعيب Y triple prime Y triple prime
ناقص X تربيع و Y double prime زائد X في Y prime
بده يساوي كم؟ بده يساوي Zero وهذه هي المعادلة رقم
start خليني
أسأل السؤال التالي هل هذه كوشي أويلر equation؟ هل
هذه كوشي أويلر equation؟ هل
هذه كوشي أويلر equation؟ هل هذه كوشي
أويلر equation؟ هل هذه كوشي أويلر equation؟ أنا كنت
بسألها سؤال مش شايفة، كنت شايفة المكتوب على
الدافع، بس أنا .. ايه مكتوب؟ هي فوق وقدامك أنا
بسأل فيه هذا، هذه كوشي أويلر equation؟ طلع
في القصة تبع ال X وطلع في المشتقة، زي بعض والله
بيختلفوا كلهم زي بعض حتى وإن غاب term حتى وإن غاب
two terms يعني إحنا لو شيلنا كمان هذا بتظهر كوشي
أو أويلر equation حتى لو شيلنا اثنين هذول بتظهر
كوشي أو أويلر equation بهمان الأس تبع ال X يكون جد
المشتقة بالضمن تكعيب يجب على المشتقة الثالثة تربيع
يجب على المشتقة الثانية يجب على الصحة صوتين
غاليكم معايا كويس دينا بالكم يبقى بدنا نجي لمن؟ لـ
الحل يبقى بدي أفترض بنفس الطريقة التكتيكي اللي
اتبعته هنا بدأشي أقوله افترض أن ال Y تساوي X أُس R
ب solution of
equation star with X greater than 0 يبقى بدنا نكتب
ال characteristic equation دغري يا بنات والله ايش
رأيكوا يبقى the characteristic equation is طب يلا
مدام دغري ينجلوني كدهش ال characteristic equation
اللي هي دي R في كدهش في R ناقص واحد في R ناقص
اثنين مظبوط وهنا ناقص هذه قدرات R في R ناقص واحد
وهذه زائد R كله بده يساوي قداش زي يعني كأنه عوض
واشتق وقسم على X plus R وصلت زي ما كنا بنعمل في
حالة ال equations with constant coefficients
بالضبط تماما طيب ضايق أفكك هذه المعادلة أظن أن
عندي هنا R وعندي هنا R وعندي هنا R بقدر آخذها برا
عامل مشترك إذا لو أخذت ال R برا عامل مشترك كده
بيظل عندي؟ حصل ضرب الاثنين هذول اللي هو R تربيع
ناقص ثلاثة R زائد اثنين صح؟ وهنا هذه بيصير ناقص R
زائد واحد وهذه بيظل عندي كدهش لما أخذت منها R بظل
واحد مظبوط هيك؟ أه
هذه R في R تربيع عندك ناقص 3R وناقص 4R ناقص 4R دل
عندك اثنين واثنين كمان كده أربعة كله بده يساوي 0
إذا شكل ال characteristic equation صارت R في R
ناقص اثنين لكل تربيع يبقى الـ roots واحد
منهم مكرر مرتين ممتاز جدا
Y ثم Y ساعة يبقى C1 في X أُس 0 C2
زائد C3 لأن X في X أُس 2 يبقى هذا شكل ال general
solution اللي عندك حد فيكم لأي استفسار قبل أن أذهب
إلى المثال الذي يليه في أي تساؤل؟ هاي، أروح الآن
للمثال اللي بعده
يبقى
باجي لـ Example 4
Solve the equation
Equation المعادلة X ناقص ثلاثة لكل تربيع في ال Y
double prime زائد ثلاثة في X ناقص ثلاثة في ال Y
prime زائد Y بده يساوي Zero وال X greater than
ثلاثة
السؤال الذي سألناه قبل قليل قائماً ولكما Is it a
Cauchy-Euler equation؟
هو مضمون أن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 0 لأن X أكبر
من 3 لأن X أكبر من 100 لأن X أكبر
من 3 لأن
X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 100 لأن
X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X
أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X أكبر من 3 لأن X
يبقى افترض الحل على الشكل طبعا أطلّعي الأس اللي
هنا هو نفس المشتقة الأس اللي هنا هو نفس المشتقة و
هكذا تمام إذا هذه كوشي أويلر equation يبقى بدأ
أقوله little y تساوي X ناقص ثلاثة أُس R با solution
of the above differential equation طب
لو جئت بدي أجيب ال Y' يبقى R في ال X ناقص ثلاثة و
R ناقص واحد في مشتقة مداخل القوس
عن طريق الـ Y double prime يبقى R في R-1 في X ناقص 3 أُس R-2
في مشتقة مداخل القوس اللي هو الواحد اعوض في المعادلة
اللي فوق لو جئت عوض في المعادلة اللي فوق بيصير X
ناقص ثلاثة لكل تربيع في ال Y double prime اللي هو R في R
ناقص ال one في X ناقص ثلاثة to the power R ناقص
two زائد ثلاثة X ناقص ثلاثة في ال Y prime اللي هي R
X ناقص ثلاثة to the power R ناقص one زائد Y اللي
هي X ناقص ثلاثة to the power R كله بده يساوي Zero
بتعيد كتابتها يبقى R في R ناقص واحد في X ناقص
ثلاثة أُس R زائد ثلاثة R زائد ثلاثة R فاهمين في ال
X ناقص ثلاثة أُس R زائد X ناقص ثلاثة أُس R كله بده
يساوي Zero الـ X ناقص ثلاثة هذا مقدار أكبر من الـ
Zero إذا موجب بقدر أقسم عليه بدون مشاكل يبقى لو
قسمت كله على X ناقص ثلاثة أُس R بنحصل على ال
characteristic equation بالشكل التالي هذه دي mean R
في R ناقص ال one زائد ثلاثة R زائد واحد بده يساوي
Zero أو إن شئتم فقولوا R تربيع وعندك ناقص R زائد
ثلاثة R بيظل زائد اثنين R زائد واحد يساوي Zero
يبقى هذه R زائد واحد لكل تربيع يساوي Zero يبقى ال R
تساوي سالب واحد of Multiplicity
كدهش؟ اثنين اثنين مكررة مرتين يبقى أصبح The
General Solution Of The Equation Is Y تساوي X و C
ايه يا بنات هنا؟ والله مش بنكتب كرر مرتين يبقى ايش
بدي أقوله؟ C1 زائد C2 لأن كده؟ X ناقص ثلاثة يبقى X
ناقص ثلاثة مضروب في ال X ناقص ثلاثة أُس اللي هو
قداش؟ اثنين هيك ماشي للحل صحيح بالمئة ال X أُس مش
اثنين سالب واحد احنا طلعناها ال R أُس سالب واحد لحد
هنا stop in the intersection ولا يكون أرقام
المسائل يبقى أرقام المسائل exercises خمسة خمسة
بدنا المسائل من واحد إلى خمسة عشر وكذلك سؤال واحد
وعشرين
في كلمتين حابين نقولهم في ال section اللي بعده
بدون ما نعطي ولا مثال ولا نطلب منكوا تحلوا مثالين
مقدمة شيء إحنا بنجي نشتغل يا بنات على ال
homogeneous differential equation بدنا نبدأ الآن
الشغل على ال homogeneous differential equation
فاكتبي لي ال section خمسة ستة خمسة ستة هذه non
homogeneous differential equations definition
they none
Homogenous differential equation is
an equation in the form طبعا كل شغل non
homogeneous linear differential equation على الشكل
التالي A0
Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Y9 Y10 Y11 Y12 Y11 Y12 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11 Y11
Where حيث capital F of X لا يمكن أن تساوي zero عند
ال a naught وال a one ولغاية ال a n may or may
not or may not
الإجازة يعني بقى لإن بقينا طيبين بناخد من؟ بناخد
الـ two sections اللي ضالت في هذا ال chapter ومحل
لـ non homogeneous differential equation بإحدى
طريقتين الأولى الـ undetermined coefficients و
الطريقة الثانية الـ variation of parameters إن شاء
الله