بسم الله الرحمن الرحيم ابتداءً من section 5-2 وحتى
هذه اللحظة وإحنا بنشتغل على معادلة خطية من الرتبة
النونية بمعاملات ثابتة المعاملات المتغيرة حتى الآن
ما عندناش علاقة فيها ورحنا فرضنا أن الحل بيكون على
صيغة Y تساوي E أس X ومنها جبنا المعادلة المميزة
لهذه المعادلة فكانت على الشكل التالي قلنا هذه
المعادلة لها إحدى ثلاث حالات يمكن أن تكون الجذور
حقيقية ومختلفة ويمكن أن تكون الجذور حقيقية ومكررة
وقد تكون complex ومكررة والله أعلم كما سنراه ويمكن
أن تكون اللي هو complex يبقى يا إما حقيقية ومختلفة
يا إما حقيقية ومكررة أو complex ومكررة يا إما
complex فقط درسنا في المحاضرة الماضية والمحاضرة
السابقة الحالتين الأولين وهي لو كانت الجذور حقيقية
ومختلفة وكذلك لو كانت الجذور تخيلية واليوم بدنا
ناخد لو كانت الجذور حقيقية ومكررة أو complex
ومكررة فبقى بقول اللي كنا اللي بدنابه اللي هو اللي
بدنا ناه المرة اللي فاتت واللي قبلها فقلنا افترض
أن E أس X هو عبارة عن حل المعادلة لرقم Star
جبنا المشتقة الأولى والثانية والثالثة والرابعة
النونية وعوضنا في المعادلة واختصرنا وصلنا إلى
المعادلة رقم Star اللي سميتها ال auxiliary
equation المعادلة المساعدة أو ال characteristic
equation المعادلة المميزة للمعادلة Star تمام؟ if
the roots of this equation are repeated then we
have two cases يبقى إذا الجذور مكررة في عندي
حالتين الحالة الأولى حالة ال real repeated والحالة
الثانية حالة ال complex repeated إذا لو كانت الجذور
حقيقية ومكررة الحالة الأولى يبقى r1 هيساوي r2 هيساوي
r3 هيساوي rn ويساوي rz يبقى الحل الأول E أس R X
الحل الثاني E أس R X يبقى أنا بكرر يبقى بضربه بس
في X X E أس X الحل التالت X تربيع E أس X
الحل الرابع X تكعيب E أس X لو جبت ده جبت الحل
طبعًا هدول لو روحت حسبتهم بلاقيهم كلهم linearly
independent يبقى شكل الحل العام في هذه الحالة بيكون
على صورة C1 زي C2X زي C3X تربيع زي CNX أس n ناقص
واحد E أس R اللي طلعت عندنا هنا اللي بتعت التكرار
يبقى هذا شكل الحل العام لو كانت الجذور حقيقية
ومكررة طب لو كانت complex نجي للحالات التانية if
the roots are repeated complex conjugate يبقى هي
مكررة وفي نفس الوقت complex وقلنا إذا في عندي جذر
complex يبقى الجذر المرافق له برضه موجود يبقى هيكون
عندي فيه تكرار ل complex والconjugate تبعه تمام؟ يبقى
ما هو شكل الحل في هذه الحالة بقول E أس X في حتة
ال complex المرة اللي فاتت قلنا E أس X C1 Cos X
و C2 Sin X مش شكل ال section الماضي طب الأول لما
كان عندي تكرار بدي أعمله بمعاملة التكرار اللي
أخذناه معاه ال repeated بعد كتابة الـ computer
الأصلية E أس X E أس X
C أس X أس S ناقص الواحد
بقول لك آه ما هم النص هم النص التالي المرافق تمام؟
إذا راحت قلت هنا C أس X أس S minus ال one في cosine
ال BX زائد برضه polynomial تانية B1 B2 X B3 X
تربيع لغاية BSX أس S ناقص one في sine ال BX يبقى
إذا عندي تكرار في ال complex هي الصيغة إذا في عندي
تكرار في ال real يبقى الصيغة اللي فوق خلاصنا هيك
بيكون غطينا ال section إذا ال rules كانت real and
repeated أو complex and repeated كما سنرى الآن من
خلال الأمثلة حد فيكم يحب يسأل أسئلة قبل أن ندخل
إلى الأمثلة؟
طيب نجي للمثال الأول اللي هو السؤال 9 من الكتاب
بقول هات لي ال general solution لل differential
equation اللي عندنا هذه بروح بسميها Star يبقى
الخطوة الأولى بدي أبدأ زي ما بدأت هنا بدي أقوله
let Y تساوي E أس RX be a solution of the
differential equation Star then
يبقى ثم المعادلة
المميزة L هي R تكعيب ناقص 6 R تربيع زائد 12
R ناقص 8 يساوي كم؟ يساوي Zero نحلل هذه المعادلة
من الدرجة الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة
الثالثة لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة
لما نحلل هذه المعادلة من الدرجة الثالثة لما نحلل
هذه المعادلة
من الدرجة الثالثة وإذا وصلت للثانية بكل أمر إيه سهل
جدا في هذه الحالة يبقى في الحالة اللي عندها دي لو
جيت أخد مثلًا R تكعيب ناقص 8 مع بعض في جزء
الباقي هذا أخد منه مثلًا ناقص 6 R عامل مشترك بضل
قداش عندي R ناقص 2 كله بده يساوي Zero أخدت ال
term الأول والأخر مع بعضهما في قوس والباقي أخذتهم
في قوس ثاني ومن القوس الثاني أخدت سالب 6 أر
عامل مشترك هذا القوس الأول عبارة عن إيه؟ فرق بين
المكعبين يبقى
هاي R ناقص 2 في R تربيع زائد 2 R زائد
4 ناقص 6 R في R ناقص 2 كله يساوي Zero
ممكن أخد ال R ناقص 2 عامل ومشترك من الكل يبقى
R ناقص 2 عامل مشترك بيظل R تربيع زائد 2
R زائد 4 ناقص 6 R هذا كله يساوي Zero إذا
هذه R ناقص 2 في R تربيع ناقص 4 R زائد
4 كله يساوي Zero هذا معناه أن R ناقص 2 وهذه
معناته R ناقص 2 الكل تربيع يساوي من؟ Zero يبقى
معناته R ناقص 2 الكل تكعيب يساوي قداش؟ Zero إذا
صار الجذر اللي عندي حقيقي والله تخيلي حقيقي مكرر
كم مرة؟ يبقى بروح بقوله أن هذا بده يعطينا أن ال R
تساوي 2 of multiplicity
3
أو 3 مكرر إيه 3 مرات يبقى كويس يبقى أنا
طالع عندي حقيقي ومكرر أي صيغة الحقيقي ومكرر بروح
بقوله the general solution
مثال رقم 2 هو
سؤال 17 من الكتاب بيقول لي y to the derivative of IV
زائد 2 y double prime زائد ال y كل هذا بده
يساوي كده؟ بده يساوي Zero يبقى solution let
y تساوي e أس rx be a solution of the Differential
equation Star مين هي ال Star اللي هي المعادلة
الأصلية اللي عندنا معناته بدي أجيب المعادلة
المساعدة the characteristic equation of the
equation Star is يبقى R أس كذا شبنات هذه IV كده
يعني؟ 4 زائد 2 R تربيع زائد 1 يساوي 0 أظن هذه
عبارة عن مين؟ عبارة عن R تربيع زائد 1 لكل تربيع
يساوي مين؟ يساوي 0 يبقى الجذور الحياة طلع عندي مكرر
كم مرة؟ كده؟ كم مرة الجذر مكرر؟ مرتين وبتطلع للأس
اللي عندي قداش عندي أس قداش عندي عدد مراتي
التكرار تمام يبقى بناء عليه بس تعالى نشوف الجذر
هذا قداش يبقى هذا ال R تربيع زائد 1 يساوي Zero
يبقى ال R تربيع يساوي سالب 1 يبقى ال R تساوي
زائد أو ناقص I تمام with repeated
والله that repeated that repeated
two times
يبقى يا بقول العبارة هذه مكررة مرتين يا بقول
العبارة اللي عندنا هذه with multiplicity 2 يبقى
صيغة هذه أو صيغة هذه الاثنين are the same نفس
الصيغة اللي عندنا هذه تمام؟ طيب، الآن يبقى بناء
عليه بيصير ال general solution على الشكل التالي
يبقى the general solution
يبقى بطير الأولى بظل بس ما يأتي هنا مكرر كم مرة
يبقى C1 زائد C2X في cosine ال X لأن B عندنا يعني A
تساوي Zero و B تساوي 1 زائد B1 زائد B2X في sin
X بالشكل اللي عندنا هذا example
3
Y to the derivative of V زائد 4 Y تكعيب أو Y
to the derivative of V3 بده يساوي Zero نفس التكتيك
اللي عملته فوق حتى تبقى هنا بالضبط تمامًا يبقى حاجة
أقوله solution بعد ما سمي هذا المعادلة رقم Star
Assume that the solution of
the equation Star is y تساوي u أس x بناء عليه
the characteristic equation is R خمسة زائد
4 R تكعيب زائد 4
زائد 4 R تكعيب بده يساوي مين بده يساوي Zero
يبقى
بناء عليه لو أخدت R تكعيب عامل مشترك بيظل R
تربيع زائد قداش زائد 4 بده يساوي Zero يبقى
الأولى مكررة كام مرة وقداش حقيقية ولا complex
يبقى هنا R واحد تساوي R 2 تساوي R 3 والله
R واحد تساوي
Zero of Multiplicity
of 3 and
And ال R تساوي الثانية اللي هو زائد أو ناقص 2I
لما أخد الجذر التربيعي لأ باطلع زائد أو ناقص 2I
يبقى بناء عليه بده أكتب ال general solution لمن
لهذه المعادلة
يبقى باجي بقوله the general solution of the
differential equation Star is y to the seventh
الأولى real و مكرر 3 مرات يبقى إيش بقوله C1 C2 X
C3 X تربيع في E أس Zero نفجر دايمش بواحد انسى
الباقي من Complex يبقى زائد C4
المثال الرابع عبارة عن سؤال أتينا به في إحدى
الامتحانات بيقول suppose that افترض
أنه suppose that
ال L of Y بده يساوي 0 is a homogeneous linear
differential
equation with
constant coefficients with constant
بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة بمعاملات ثابتة of
order 11 which has a
characteristic equation
ال P of R بده يساوي R زائد 2 و R ناقص 3 أس
4 و R تربيع زائد 2 R زائد 5 لكل تكعيب
هذا الكلام بده يساوي قداش Zero Find the
General solution of the given differential
equation
السؤال مرتين بقول كل اللي قعدت أكتبه أسميهم هنا؟
قول كيف اللي جامد كتب وأنت لأ يعني؟ يلا كل أحد
اسمه ورقم اليامي، اللي ما كتبش يكتب، على بالك هنا
سؤال جلبناه في إحدى الامتحانات بيقول ما يأتي طبعًا
هذا بنشوف هل الطالب أنا بهمني يش يجيب المعادلة أنا
أعطيتُه المعادلة بس بده يشوفه بيعرف يجيب الحل ولا
لا كاللي أنا عندي معادلة تفاضلية على الشكل L of Y
ال ساوي Zero هذه homogeneously in differential
equation وبحيث ال order إيه اللي هيساوي 11 يعني هذه
ألف بواحد جيم ب خمسة كله على اثنين في واحد يبقى R
الأخيرة هذه بدها تساوي سالب اثنين زائد أو ناقص
أربعة في الخمسة و العشرين بالسالب شيل منهم أربعة
بالسالب ستة عشر تحت الجذر أربعة I يبقى زائد أو ناقص
أربعة I كله على اثنين يعني ناقص واحد زائد أو ناقص
اثنين I هذا مكرر كم مرة؟ ثلاث مرات تمام يبقى الجذر
الأول مكرر ثلاث مرات و ال conjugate تبعه مكرر ثلاث
مرات يبقى هذا is of multiplicity
three مدام هيك إذا بقدر أجيب من ال general
solution يبقى بروح بقول له the general solution
of the equation L of Y بده يساوي Zero as Y تساوي
الحل الأول يبقى C1E-2X ما له داعي هذا بيختلف عن
اللي بعده اللي بعده مكرر أربع مرات يبقى زائد C2
زائد C3X زائد C4X تربيع زائد C5X تكعيب كل هذا مضروب
في كوساين 3X يبقى هذا ريال مرات أربع مرات
خلصنا منه يبقى خلصنا من الريال ضايل عليه لمين؟
ضايل علينا ال complex يبقى زائد الآن ال A عندي
كده؟ مثال بواحد يبقى E أس ناقص X أفتح قوس الآن
هذا مكرر كده؟ ثلاث مرات خلصنا السيهات يبقى بقدر
أقول لهم إيه؟ E واحد زائد E اثنين X زائد E ثلاثة X
تربيع هي الثلاث في كوساين PX كده ال P؟ باثنين يبقى
اثنين X زائد B واحد زائد B اثنين X زائد B ثلاثة
X تربيع كله مضروب في ساين اثنين X الشكل اللي
عندنا يبقى هذا شكل ال general solution يبقى هذا ما
شاء الله جاب لي ثلاث حالات كلهم بسؤال واحد ليش؟ لأن
الأول مختلف عن الجذور المختلفة الثاني real و مكرر
أربع مرات هذا ال complex مكرر ثلاث مرات يبقى هذا
السؤال جاب لهذا ال section و ال two sections
الماضية كلها بسؤال واحد و لذلك بنيجي نقول انتهى
هذا ال section و إلي كنا أرقام المسائل ل exercises
5-4 المسائل التالية اللي هو من 1 إلى 25
ننتقل الآن إلى ال section اللي يليه section خمسة
خمسة اللي همين كوشي كوشي أويلر equations معدلات
كوشي أويلر definition a
linear differential
الشكل التالي بي نود X to the power n Y to the
derivative n زائد بيون X أس n ناقص الواحد Y to the
derivative n ناقص الواحد زائد أفضل مستمرين لغاية ما
نصل إلى B N minus one X Y prime زائد B N Y كله بده
يساوي Zero هذه المعادلة اللي هي رقم ستة where حيث
ال B نود و ال b1 و لغاية ال bn minus ال one و ال
bn هدول كلهم are constants are constants هذه is
called بنسميها المعادلة Cauchy-Euler equation يبقى
هذه Cauchy-Euler equation
معادلة كوشي أويلر طب لو حبينا نشوف شكلها في
second order كأنه بداخل حلقة خاصة منها in second
order in second order the general form الشكل العام
of the كوشي أويلر الواقع
هو X تربيع واي دبل داش برايم زائد ألفا X واي
برايم زائد بيتا واي X تربيع X تربيع is equal
to zero to
solve
The differential equation is star there are two
methods في
عندنا طريقتين الطريقة الأولى يبقى first method
Change The Differential Equation Into Differential
Equation Star Into A
Differential Equation With
constant coefficients coefficients
as follow فالتالي
let
الـ X بدي يساوي E أس T هذا بدي لك أنه T تساوي لنا
ال X هذا بدي أديلك أنه DT على DX يساوي 1 على X
حكينا في ال section اللي فات و اللي جابله و اللي
جابله كان في three sections الماضية كله عن مين؟ عن
المعادلات اللي المعاملات تبعتها ثوابت ننتقل الآن
لو كانت المعادلات المعاملات تبعتها متغيرات و لها
شكل محدد بدنا نعرف مين هو هذا الشكل المحدد و ما هو
اسمه فبقول إيش الـ Linear differential equation of
the form طلع لي كويس يبقى هذا ال Xn و Xn-1 و X ..
ما كانش موجود في المعادلة السابقة كانوا ال B0 و ال
B1 و ال Bn كل هدول ثوابت تمام؟ إذا المعادلة اللي
عندي بالشكل هذا X مرفوعة للأس N Y2 نفس derivative
N و نبدأ ننزل بواحد X أس واحد ناقص واحد Y to the
derivative of N ناقص واحد اللي بعده بواحد X أس
واحد ناقص اثنين Y to the derivative of N ناقص اثنين
ضلّينا ماشيين لغاية ما وصلنا B وان ناقص ال one X
أس وان Y prime زائد بي وان ال X صارت أس Zero يعني
بواحد بالطير Y تساوي Zero البيهات هدول كلهم ثوابت
يبقى أي معادلة على هذا الشكل اللي بسميها Cauchy
-Euler equation طب ال Cauchy-Euler equation هذه
بدنا نحاول نحلها مش نحلها بدي أقول لو عندي شكل
خاص منها لو بدي مثل معادلة من الرتبة الثانية يبقى
باجي بقول المعادلة من الرتبة الثانية شكلها X تربيع
و Y دبل داش برايم المعامل هنا طلع مقداره بواحد ظ أو كان فيه
معامل و جسمناه عليه يبقى صارت X تربيع و Y دبل داش برايم
الدرجة الثانية الرتبة الثانية زائد constant اللي
هو جسمناه هنا بي وان أو بي وان مقسوما على بي نوت
سميته Alpha X
يبقى كمان هذه المعادلة كوشي أويلر بس من الرتبة الثانية
تمام الآن كيف بنحل المعادلة الأصلية هذه هي
star في عندي هناك طريقتان للحل واحدة الحل بطريقة
التعويض التعويض له فائدة ينقل المعادلة من معادلة
بمعاملات متغيرة إلى معادلة بمعاملات ثابتة وإذا
وصلنا إلى معادلة بمعاملات ثابتة بروح بنحلها بمين؟
بالطرق الثلاث اللي فاتت complex roots real
repeated real and different roots يبقى بأي طريقة
من الطرق الثلاث الطريقة الثانية بس نخلص الأولى بصير
خير بنروح على ثانية طب الطريقة الأولى هذه بقول في
أن تعويضة هذه التعويضة بواسطتها بقدر أشيل كل
المتغيرات اللي موجودة وين في المعادلة هذه طب ماهي
التعويضة هذه؟ مجلبك تحط X يساوي E أس T فقط ده يعني
ماذا يترتب على ذلك؟ بقدر آخذ لن للطرفين فبصير T
تساوي من؟ لن ال X لو جبت DT على DX بصير قداش
قيمتها واحد على X خلي المعلومة هذه عندك و تعال
لمن؟ للمسألة تبعتنا أنا بدي أجيب دي واي على DX مش
هذه Y' اللي عندنا و بعدين بدي أجيب YW دبل داش طبقا لمن؟
طبقا للتعويض هذه يعني بدل ما المعادلة كانت بدللة X
و Y بدي أخليها بدللة T و Y و أشوف إيش بدي يصير
شكلها يبقى هذا الكلام بقدر أقول DY على DT في DT
على DX طب ال دي تي على دي إكس بقداش؟ واحد على إكس،
يبقى هذا الكلام بده يساوي واحد على إكس في دي واي
على دي تي تمام بدنا نجيب المشتقة الثانية يبقى لو
جيت أخدت ال D أو ال YW دبل داش هذه اللي هي ال Y
دبل داش و هذه ال YW دبل داش يبقى ال YW دبل داش على الشكل
التالي اللي هي D تربيع Y على DX تربيع يعني D على
DX لDY على DX مش هيك المشتقة الثانية خدتها في
calculus ايه؟ هذا الكلام بده يساوي دي على دي إكس
لمين؟ دي واي على دي إكس هيها جبت من الحالة الأولى
ليه قيمتها؟ واحد على إكس في دي واي على دي تي يبقى
واحد على إكس في دي واي على دي تي هذه العلاقة عبارة
عن مشتقة من حاصل ضرب دالتين يبقى مشتقة الأولى في
الثانية زائد الأولى في مشتقة الثانية يبقى مشتقة
الأولى في قيمتها سالب واحد على إكس تربيع يبقى هاي
سالب واحد على إكس تربيع ليش؟ لأنه بفضلها بالنسبة
إلى إكس أنا قاعد بفضلها بالنسبة لـ X في مين؟ في
الدالة الثانية ال dy على dt زائد 1 على x كما هي
بدي أشتق الدالة الثانية اللي هو d على dx اللي
عندنا ل dy على dt يبقى بناء عليه أصبح عند ال y
دبل داش تساوي اللي هو السالب 1 على x تربيع في
dy على dt زائد 1 على x هذه أمانات بقدر أكتبها على
الشكل التالي d على dt
مظبوط؟ الـ D على DX اللي عندنا كتب D على DT في DT
على DX D على DT لمين؟ للمقدار اللي عندنا هنا تمام
تمام يعني هذه صارت قداش ناقص واحد على X تربيع DY
على DT زائد هذه بقداش DT على DX واحد على X إذا بدي
أشيل هذه هنا و أحط بدل واحد على X و عندي واحد على X
بصير واحد على X تربيع و هذه عبارة عن D²Y على DT²
مظبوط يعني كأن المثل واحد على X تربيع خليكي برا
و D²Y على DT² ناقص DY على DT مظبوط بنفس الطريقة لو
بدي المشتقة ثالثة similarly
لو رحت جبت المشتقة الثالثة هتساوي اللي هو مين؟
واحد على X تكعيب فيه اللي هو D تكعيب Y على DT
تكعيب ناقص ثلاثة D تربيع Y على DT تربيع زائد اثنين
DY على DT
طيب استنى شوية لو بدي أجيبه مش هتكرر على بنفس
الطريقة أو الخامسة أو السادسة وهلمّ جرّع طيب إيش
استفدت من هذه؟ أنت بتقول هنا هذه التعويضة بدها تضيع
لل variables اللي عندنا هذا اللي هو ال X تربيع و ال
X أو كل ال Xات اللي هنا بتروح لو أعطيكي مثال بسيط
خليني مع المعادلة اللي عندنا هذه X تربيع في مين؟
في YW دبل داش وين YW دبل داش؟ هذا هو ال وايضة
بالإبراهيم، صح؟ لو كان طلبها فيك السربية، بتروح مع
اللي برة، بيظل هذا، يبقى صارت المعادلة with
بتحل بيولي المعادلة بمعاملات متغيرة إلى معادلة
بمعاملات ثابتة وروح بحلّها بمين؟ بالطرق السابقة التي
كنت بحل قبلها هذه الطريقة الأولى طريقة ثانية برضه
بدي أعمل نفس فكرة المعادلة المميزة بس احنا كنا لما
كان فش عند X بقولت افترض الحل على صيغة Y تساوي E
أس RX هنا لأ بدي افترض الحل هو Y تساوي X أس R و
بدي أروح أجيب المعادلة المميزة لمين؟ لهذه المعادلة
يبقى الحل الثاني second solution يبقى second
طريقة الثانية بتقول let ال y يساوي x plus r be a
solution of the differential equation star on
على الفترة من Zero لغاية infinity يبقى على X
الموجبة فقط then لو بدي y prime يا بنات قداش تساوي
R X أس R ناقص ال one لو بدي ال y دبل داش يبقى R
في R-1 في X أس R-2 لو بدي المشتقة الثالثة
يجب أن تقوم باستخدام R-1-2-X-R-3 وهلمّ جرّع إذا
جيت للمشتقة النونية أو المشتقة رقم M مثلا يجب أن
تقوم باستخدام في R ناقص واحد في R ناقص اثنين وظلّ
مستمر لوين يا بنات ل R