موسيقى
بسم الله الرحمن الرحيم نعود إلى محاضرة الفترة
الصباحية طبعا ما بدأنا بال inverse Laplace
transform عطينا تعريف ل inverse Laplace transform
وعطينا على ذلك مثالا واحدا وهذا هو المثال رقم 2
يبقى المثال اللي بقول find the function that has
Laplace transform F of S يسوى S على S زائد واحد
لكل تربيع زائد أربعة بالشكل اللي قدامنا هنا
اللي هو بيعطيه هنا هذا أو اللي بيجينا في قائمة فيه
مع أسئلة الامتحان تمام طب بقولك كويس هذا لو في
عندي S زائد واحد في ال bus ليش؟ لأن عندي هنا S
زائد واحد كان قضيتي محلولة ومنتهية تماما إذا أنا
بتروح أخلك في ال bus S زائد واحد والله ناقص واحد
خليني أتأكد هذه S وين راحت؟س زائد واحد يبقى بدى س
زائد واحد يبقى بناء عليه مشان هيك ماعنديش partial
fraction حتى اقول partial fraction وانا قولت الصبح
اول خطوة بدي اعمل partial fraction مش كل مثل بقدر
اعمله partial هدف فيه ل partial fractionمالهاش
يبقى هذه جاهزة وخالصة تمام؟ إذا أنا بدي أحول هذه
إلى شكل من الأشكال اللي موجودة في الجدول إذا بقدر
أقول ال F of S اللي E تساوي لو روحت قولت S زائد
واحد ناقص واحد على S زائد واحد لكل تربيع زائد
أربعة عملت حاجة؟أضفت واحد واطرحت واحد بدي أفصل هذا
إلى مقدارين يبقى المقدار الأول هو S زائد واحد على
S زائد واحد لكل تربية زائد أربعة ناقص واحد على S
زائد واحد لكل تربية زائد أربعةالترم الأول صار
ماعنديش مشكلة لو روحت للجدول بلجيه عند وين في
الجدول هذا لسه لا يزال فيه مشكلة المشكلة أنه بده
اتنين هنا مدام هذه أربعة بد الجدر تبعها يكون وين
فور إذا بقدر أقول ال F of S بده يساوي ال S زائد
واحدعلى S زائد واحد لكل تربية زائد أربعة ناقص نص
في اتنين على S زائد واحد لكل تربية زائد أربعة
هيكسر كلامي صحيحالان انا بدي ال F of T F of T هي ل
plus inverse ل F of S يبقى ال F of T اللي انا بدور
عليها ال F of T هي ل plus inverse ل capital F of S
واللي هي بدها تساوي ل plus inverse لمين لل S plus
one على ال S plus one square plus four minus نص في
ال plus inverse ل الإتنين على S plus one لكل
square plus four بالشكل اللي عندنا هنا يبقى ال F
of T تساويبدي اجي على ال dialogue هادي و باجي على
الجدول اللي عندنا يبقى الجدول بدي ادور على الشكل
اللي ال S زائد واحد S زائد واحد لكل تربيع زائد
تربيع
طبعا لو جيت نظرت لهذا الجدول بلاحظ ان عندي هذا
الكلام موجود في النقطة رقم عشرة النقطة رقم عشرة
بتقول ليس نقص ال A على S نقص ال A لكل تربيع زي B
تربيع يعني بفرق بس بإشارة مين إشارة السالف لكن هذه
لو رجعت للأصل تبعها بلاقي E أس A T Cosبت يبقى
معناه هذا الكلام ان ال a اللي عندى هنا بإشارة بس a
سالب يبقى لو جيت على الجدول من part عشرة هذا
الكلام بدي ساوي a أس ال a عندى هنا بقداش بواحد
يبقى a أس ناقص T في cosine بت هذا بي تربيع يبقى
بيه بقداشباتنين لان P تربيه سوى ربع وانت بيه
باتنين يبقى E أس ناقص T في من في Cos 2T اللي بعدها
ناقص نص بداجي لهذه لو رجعت لخط و لجاب الخلف اللي
هو النقطة التاسعة بلجأ عندي P على S ناقص L كل
تربيع زائد P تربيعيبقى هذه بي هيب اتنين هي بي
تربيع باربعة زائد يبقى ال a بس بمين بسالب واحد
يبقى باجي بناقص نص في a أس سالب T ل sign اتنين T
انتهت مسألتنا يبقى كله اعتماد على الجدول كيف اطلع
من الجدول Laplace transform للدوال المختلفةمثال
ثلاثة
مثال ثلاثة بيقول ما ياتي بدنا
نجد مفعول
f of t with
اللي هو it's a type with Laplace transform
اللي لابلاس ترانسفورم إلها اللي هو capital F of S
بده يساوي تلاتة S ناقص اتنين على S تربيع ناقص
اتنين S زائد عشرة
بقول كويس اللي قال لو روحت على الجدول تابعنا هذا و
بلاجيش ولا term هشكل هذا لكن بده اعادة ايه ترتيب
هذا ال term كيف نقيت ترتيبه؟ بده اشوف المقام،
ماعنديش شغمة زي هيك كله بلاجي S زي واحد الكل تربيع
S نقص اتنين الكل تربيع زي رقم هنا رقم هنا S إلى
آخرينإذا بدي أعيد كتابة هذه ال function بطريقة
ثانية إذا بقدر أقول هذا الكلام يسوى ثلاثة S ناقص
اتنين على هذا S تربية ناقص اتنين S إذا هذا لازم
أعمله ايه مربع كامل مشان أعمل هذا مربع كامل جداش
بده S تربية زيدي اتنين S جداش بده رقمش هصير مربع
كامل2S ناقص
معامل X على أربع أمثال معامل X دربية يبقى هنا بقول
زائد 2S يبقى مش هين أحول بذكر مرتين و تلتة و عشرين
بدي اعمل اكمال المربع بضيف للطرفين و بطرح مربع
معامل X على اربع امثال معامل X تربيع اعطيتها لكم
في calculus P و يا محل نبع يبقى مربع معامل X على
اربع امثال معامل X تربيع يعني مربع معامل F على
اربع امثال معامل S تربيعيبقى هنا بيبقى داش بواحد
يبقى زائد اتنين اس زائد واحد الواحد موجود عند
الجيران عشرة باخد منها واحد بيبقى تسعة يبقى زائد
تسعة يبقى هذا الكلام يساويالمقام اللي عندنا هذا
الانصار مربع كامل صح يبقى هذا بقدر اقول اللي هو ال
S ناقص واحد لكل تربيع زائد تسعةأيوة إذن البث هذا
بيدخلك في مين S ناقص واحد بيدخلك في كاف S ناقص اما
هو تلاتة S ناقص اتنين الجثة بسيطة خالص بضيف سالب
واحد و بطرح واحد يعني بضيف واحد و بطرح سالب واحد
يبقى هذا لو حطيت سالب واحد كده بصير؟بقدر اخد تلاتة
عمل مشترك وبظل S ناقص واحد بيكون خلصت مسألة اتنين
اذا البسط هذا بقدر اكتب تلاتة S ناقص تلاتة زائد
واحديبقى أضفت سالب واحد وكذلك واحد يعني أضفت zero
مغيرتش ولا عالية يبقى بناء عليه أصبح شكل ال F of S
على الشكل التالي هذه تلاتةفى S ناقص واحد خدته
معامل مشترك وهنا زائد واحد على مين على S على S
ناقص واحد لكل تربية زائد تسعةممكن هذه أفصلها إلى
جزئين من الجزئين هاي تلاتة في S ناقص واحد S ناقص
واحد لكل تربية زائد تسعة ضال عندي زائد واحد على S
ناقص واحد لكل تربية زائد تسعة أظن صارت شبيهة
بمسألة هذه قبل قليلصح؟ وهذه شبيهة ابها بالضبط
تماماً يبقى تعالى نشوف كيف نسوي يبقى أنا هذه هاه
فدها بس فوق كده شمنهاكداش؟ تلاتة ممتاز يبقى بدي
اضرب في تلاتة و اجسم على تلاتة اذا بقدر اقول هذا
الكلام تلاتة في اس ناقص واحد على من على اس ناقص
واحد الكل تربية زائد تسعة زائد تلت في تلاتة على اس
ناقص واحد الكل تربية زائد تسعةيبقى ال F of T هي
Laplace inverse للطرفين يبقى تلاتة في Laplace
inverse لل S ناقص واحد S ناقص واحد لكل تربية زائد
تسعة زائد تلت Laplace inverse لتلاتة S ناقص واحد
لكل تربية زائد تسعةيبقى أصبح شكل ال F of T بيسوي
ثلاثة فيه نرجع بالذاكرة الوراء للجدول قبل قليل
كذلك إلى النقطة العاشرة بلاحظ عندي S ناقص A S ناقص
A لكل تربيع زائد B تربيع يبقى الأصل تبعها E أس AT
Cos BTقداش ال A عند هنا ال A بواحد طب و ال B؟تلاتة
لإن هذه بيه تربيع يبقى بناء عليه تلاتة E of T بدون
زالب تمام فاهمين فى cosine تلاتة T هذا ال term
الأول زائد طول هذه بنفس الطريقة E of T sine تلاتة
T يبقى هذه ال function اللى مطلوبة اللى عندنا
بنعطي كمان مثال مثال
تلاتة أو example أربعة
بيقول لي نفس القصة capital F of S بده يساوي E أس
ناقص S على S ناقص اتنين لكل تاربيع و بده مين؟ بده
نوجد لنا place transform اللي هالمعكوز تبعهبقول له
بسيطة جدا قبل ما توجد لبلاس ترانسفورم حاول ترتبها
بقول له يعني هذه لو كتبتها E أس ناقص S في واحد على
S ناقص اتنين لكل تربية عملنا حاجة طيب ايش رايك
الواحد هذا لو كتبت واحد factorial الشكل اللي عندنا
هذا
يبقى باجي بقول ال F of T اللي أنا بدور عليها هي
Laplace transform بالمعكوس تبعها لcapital F of S
ويساوي Laplace transform لل E أص ناقص S
يبقى ال F of T تساوي
طيب من فوق لتحت اكسبوننشيل اكسبوننشيل عندي رقم
اتناش اكسبوننشيل على اس انا عندي على اس ناقص كذا
طيب انا بلاحظ عندي الرقم تلتاش الرقم تلتاش اللي هو
E أس ناقص CS في capital F of Scapital F of S هذا
الاصل تبعها الاصل تبعها ده ال step function u C of
T فال F of T ناقص من ناقص ال C لكن لو رجعنا
للخاصية رقم 5 من section 9 3 تحيلي section 9 3
الخاصية رقم 5
يعني إذا عرفت تجيبيها من الجد والكرمها وماعرفتش
برجع للأصل هذه تبعها طلعيلي مشان أكتب هذه الدالة
بداجي للدالة بين القوسين هذه هي ال F of S قولي G
of S يساوي واحد factorial على S ناقص اتنين لكل
تربيعبقدر اجيب الاصل تبعها مين الاصل تبعها يا بنات
جي اوب تي يساوي هذه لو روحت جبت الاصل تبعها يبقى
الاصل تبعها هو عبارة عن تي في اي أس اتنين تي طبعا
من الجدول تي في اي أس اتنين تي لو روحت للخاصية رقم
خمسة اللي عندك بدي اعمل لهذه الدالة shift بمقدار
كداش؟ اتنين مش عندك هنا اتنين، هذا اتنين، انت بقى
ال exponential يبقى بدي اعمله shift بمقدار عفوا
بمقدار اللي هو الاتنين، بمقدار الواحد
وليس الاتنينطيب كيف ده جت كالتالي فباجي بقول يبقى
ال plus inverse لها يسوى أحد أمرين يا إما zero لما
ال T أكبر من ال zero أقل من واحد يا إما T ناقص
واحد E أس اتنين في T ناقص واحد وال T أكبر من
الواحد
خصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة من سكتشن تسعة تلاتة
خاصية رقم خمسة اللي بيقولي small q of t بدي ساوي
زيرو لما t محصورة بين ال zero و ال c او f of t
ناقص ال c لما t اكبر من ال c يبقى لبلاي ال
transform اللي هي E اص ناقص CS في capital F of S
يعني بدنا نجيب ال F of S للدلة اللي عندنا وين ال F
of S هىمظبوط؟ يبقى الدالة الأصلية تبعتها T في E
أُس 2T هيا جبناها هنا، كويس؟ الآن هذي بدي أعمل لها
shift بمقدار مين؟ بمقدار الواحد، مقدار الأُس اللي
عندي تبع ال exponential هنا، جداش المعامل اللي
هنا؟لأ سيبكي من السلب السلب تبع القانون موجود في
القانون صح موجود عندك أيه في النقطة رقم خمسة E و
سالب CS
خامسة أخر حاجة على اليمين يبقى E والسلب CS في ال F
of S يبقى أن المعامل هنا واحد إذا هذه الدلة بدي
أعمل لها shift بمقدار واحد يبقى صارت T ناقص واحد
في S اتنين T ناقص واحد لما T greater than zero
يبقى هذا باستخدام الخاصية رقم كم؟ رقم خمسة
لازلنا في نفس ال section و لما ننتهي بعد بدنا نعطي
تعريف صغير و مثال عليه كذلك تعريف
بيقول ما يأتي definition
the
function
F Star G F Star G As a function of T is called
بنسميه The Convolution The Convolution
Of
The
and denoted by
بنعرفها كالتالي ال f star g as a function of t بده
يسوي تكامل من zero إلى T لل F of T ناقص ال U ال G
of U دي Uواللي هي بدها تساوي تكامل من zero إلى T
لل F of U لل G of T ناقص ال U DU واللي هي بدها
تساوي G star F and
henceومن ثم لبلاسيت ترانسفورم لل F star G فال F
star G بده يساوي capital F of S في capital G of S
نعطي
مثال
معرفة مفهوم f*)g
كمفهوم من f
ال F of T بد يساوي ال E أس T وال G of T يساوي E أس
اتنين T
بنجي لتعريف ال convolution ل ال two functions ايش
بيقول دي؟ ال function f star g as a function of t
بنسميها ال convolution of ال function اللي هي ال
main of ال function f and g convolution في اللغة
العربية معناه التفاف يعني كأنه بيعمل التفاف يعني
ليهاعملت لدالة f ممكن اعمل لدالة g و التانية تظهر
زي ما هي بدون مشاكل من هنا سمينا convolution لمين
لتو functions بهمني هذا جدش بيساوي لإن أنا هذا هو
اللي بشتغل عليه إذا بدي بقول لدالة f star g أو f
convolution g as a function of tيتكوّن من zero إلى
T يا باجي على ال F اللي عنها دي بكتبها أو بشيل كل
T بحط بدلها T نقص U U real numberها يبقى F of T
نقص ال U في ال G of U في ال DUيبقى كوني الأن أخدت
الـDU يعني U هي اشتقاق وكأن الـT أنا ثبتها كأنه
خلت الـT مقدار ثابت لأن أنا كامل بالنسبة لـU إذا
الـT إيش تعتبر مقدارا ثابتاأريد أن أثبت الـ U
فأقول F of U يبقى الـ G فأقول G of T ناقص الـ U في
الـ DU وحسب الـ Definition هذه ستساوي عملت لهذه G
وهذه ثبتت فأقول G star F يبقى بناء عليه الـ F star
G هو G star F كلها as a function of T كلها كدالة
في D يبقى هذه والله هذه عملت للدالة الأولى والله
الدالة التانيةالاتنين are the same طب لو بده اجيب
Laplace transform لل convolution بقول Laplace
لدالة الأولى ضرب ضرب عادية Laplace لدالة التانية
هيها dot مضروبة ضرب فيها دي تمام؟ بدنا نروح نطبق
هذا الكلام بمثالجالي هاتلي الدالة هادى إذا كانت ال
F of T بده يساوي ال E of T وال G of T بده يساوي من
ال E أس اتنين إذا لما بداجي أحل بداجي أقوله ال F
star G كله as a function of T يساوي ال F of T يا
بنات اللي هي من E أس T ال G of T اللي هي E أس
اتنين T وهايهم function في Tطبقا للتعريف اللى فوق
يبقى تكامل من zero إلى T تمام عندك هذه الصيغة او
هذه سيان يبقى ال F اللى هى الدالة الاولى بدي اعمل
لها shift بمقدار جداش ال U يبقى E أس T ناقص ال U
ال G أبدا بدي اشيل ال T بس و اكتب مكانها جداشيوم
دي يوم تمام طيب إذا هذا بنيت بقدر أقول تساوي تكامل
من zero إلى T لمن لل E أوس T E أوس ناقص U E أوس
اتنين Uأظن الـ Eost مالهاش دعوة بالتكامل لإنه
يشتقق بالنسبة لمن يبقى بقدر أطلعها برا التكامل
يبقى هذه تساوي Eost تكامل من Zero إلى T لل E بجمع
الأسس لإن الأساسات زي بعض يبقى UDU
تمام؟ طيب هذا بيصير E Os T فيه تكامل ال E Os U بال
E Os U itself يبقى هذه ال E Os U من وين لوين؟ من
Zero لغاية T يبقى هذا الكلام بده يساوي اهه اللي هو
مين؟ E Os T في مين؟ في ال E Os T ناقص E Os ZeroE0
بيبقى داشر يبقى صار E of T في E of T ناقص واحد
يبقى E of 2T ناقص E of T إذا ال convolution اللي
حصل لل two functions F and G يسوى الدالة الأولى
الدالة الثانية ناقص الدالة الأولى بالمثللو أخذت
هذه الـ T عملت لها T ناقص الـ U وهذه خلّيت الـ U
كامل فهو يطلع نفس النتيجة اللي عندنا لحد هنا stop
and turn section إلى يكون أرقام المسائل يبقى
exercises تسعة أربعة المسائل واحد واتنين وأربعةبدأ
أخد الـ A و الـ C و سؤال 5 بدي ال A و ال B ال A و
ال B و ال A و ال F طيب
نيجي لآخر section اللي هو 9 5 يبقى 9 5 اللي هو ال
applications
applications to differential equations
تطبيقات على المعادلات التفاضلية ايش يعني المقصود
فيها المقصود استخدام Laplace transform لحل
المعادلة التفاضلية اظن حلنالكوا بدل المعادلة تنتين
مظبوط يبقى انا باعتمر ماشتغلتش بالمرة و بدي اشتغل
من جديد يبقى هنا بدي اقول to use السؤال بيجي كتالة
exampleتوضيحي example use Laplace transform to
solve
the
initial value problem
اللي هي ال x double prime زائد أربعة x بده ساوية
تمانية sign ال T وال x عند ال zero بدها تساوي zero
وال x prime عند ال zero بده ساوي اتنين solution
يبقى مدام أعطاني السؤال من هذا القبيل هو قيدني
بطريقة الحل أنا هذه معادلة من الرتبة الثانية إذا
لو بدي أرجع للي قبل المعاملات ثوابت ودالة بالصينيا
ممكن إذا بحلها بال undetermined coefficients بس هو
بدش ياني أحلها بال undetermined coefficients بدي
ياني أحلها بال a plus transform ويبقى أنا مقيد إذا
بال a plus transformاذا بروح اخد لبلاس ترانسفورم
للطرفين يبقى باجي بقول لبلاس ترانسفورم لل XW' زائد
أربعة لبلاس ترانسفورم لل X بدي ساوي تمانية لبلاس
ترانسفورم لصيتي لش؟ ان لبلاس ترانسفورم is a linear
function او linear operator يبقى التمانية بقدر
اطلع برابدي أطبق النظرية على هذه يبقى هذه S2 XS
ناقص S في X عند 0 ناقص X' عند 0 زائد 4XS بده ساوي
8صين الـ T مظبوط صين الـ T ولا صين اتنين T يبقى
صين الـ T مدام صين الـ T إذا هذه Laplace Transform
حسبناها عمليا يبقى هذا بقداش يا بناد بواحد على أس
تربيع زائد واحد مظبوططيب يبقى هنيجي طلعيلي لهذه
وهذه بقدر اخد X of S عامل مشترك بيظل عندي S
squared زائد 4 في capital X of Sالان ال X عندي
Zero يبقى
ناقص Zero ال X Prime باتنين يبقى ناقص اتنين يسوى
تمانية على استربيع زائد واحد او ان شئتم فقولوا ان
ال S Square زائد اربعةفي capital X of S بده يسوى
تمانية على S square plus one plus two بده واحد
المقامات يبقى بصير S square زائد أربعة في capital
X of S يسوى كله على S square plus one وهي تمانيةزي
دي اتنين S square زي دي اتنين تمام يبقى بيصير
عندنا مين بيصير عندنا S square plus four في
capital X of S يساويإتنين S Square زائد عشرة
مقسوما على S Square plus one طب أنا بدي X of S
يبقى ال X of S بده يساوي اتنين S Square زائد عشرة
على S Square plus one في S Square plus fourلو روحت
على الجدول بلاقي شغلة زي هذه في الشمكانية طب كيف
نسوي؟ بقولك بسيطة ال bus من الدرجة التانية و
المقام من الدرجةpartial fraction و الحمد لله جاهزة
يبقى بس احطها على شكل ايه شكل كسور يبقى هذا الكلام
بده يساوي هذا كسر وهذا ال S squared plus one وهذا
كسر تاني S squared plus four المعادلة من الدرجة
الثانية كل واحدة فيهم ولا يمكن تحليلها إذا بده أحط
فوق معادلة من الدرجةالأولى يبقى باجي بقوله AS زائد
B وهنا CS زائد D وبعد هيك بروح أحسب ال partial
fractions يبقى بقوله اتنين S Square زائد عشرة بده
يساوي AS زائد ال B في مين؟ في ال S Square زائد 4
زائد CSزي دي دي في ال S square plus oneطبعا بنفك
ونقرر مش هضيع وقت فيها هعطيك النتيجة مباشرة يبقى
بتطلع عندك هنا ال a تساوي zero ال a تساوي zero و
ال b تساوي ناقص تلتين و ال c بتطلع عندك ب zero و
ال d بتطلع عندى ب 8 على 3بناء عليه أصبحت المسألة
على الشكل التالي
يبقى أصبحت الـ X of S X as a function of S على
الشكل التالف طلعيه هنا كويسة يبقى بدأ دي أشيل ال A
و أحط مكانها Zero طارة ال B بدأ أحط بدل سالب تلتين
يبقى هاي سالب تلتين ضال واحد على S square زائد
واحدانتهينا منها الان ال c ب zero طارت يبقى ال d ب
تمانية على تلاتة زائد تمانية على تلاتة في جداش في
واحد على s square زائد اربعإذا أنا بدي ال X as a
function of T هي Laplace inverse لcapital X of S
بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا بدي ساوي سالب
طولتين Laplace inverse للواحد على S squared plus
oneزائد تمانية على تلاتة وهنا لابلاس inverse لواحد
على اس square زائد اربع يبقى شكل ال X of T يساوي
سالب تلتين مين هذا يا بنات؟هى مين هذى؟ الصيني
التين يبقى سالف تلتين في صيني التين زائد تمانية
على تلاتة في مين كمان هذى؟ صيني التلتينهذا ليس ضبط
فقط اضرب في 2 و اقسم على 2 يبقى بيصير هنا تمانية
على تلاتة ل plus inverse ل نص و هنا اتنين على S
square زائد اربعة يعني بدك تظبط مسألتكدائما وابدا
بيعتقل تكون ما فعلا له في صورة الجدول يبقى النتيجة
ناقص تلتين sin t النص بيطلع برا وضل قداش عندي اربع
على تلاتة وهذه اللي هي مين sin اتنين T هذا هو الحل
تبع المعادلة X as a function of Tنعطي كمان مثال
أخير مثال
اثنين بيقول ال X double prime ناقص X بده يساوي ال
F of Tوالـ T أكبر من أو يساوي الـ Zero والـ X عند
ال Zero بده يساوي واحد والـ X' عند ال Zero بده
يساوي Zero و واحدحيث مين هي ال F of T هذه ال F of
T بده يساوي يا إما Zero لما T أكبر من Zero أقل من
واحد يا إما T ناقص واحد لما T greater than
one طيب
نبدأ ناخد Laplace transform للطرفين يبقى solution
واضح
أنه ماقدر أحلها بال undetermined coefficients
مظبوط؟ بس بديش ماجليش قال استخدم Laplace transform
لحل هذه المعادلة
أذا بدرح أخد Laplace للطرفين يبقى Laplace
transform لل X W prime as a function of T ناقص
Laplace transform لل X of T بدر يساوي Laplace لل F
of Tنعود لهذه الاختصار هذي S2 في capital X of S
ناقص S في مين؟ في الـ X عند Zero ناقص X prime of
Zero ناقص capital X of S يساوي نحتاج لـ plus
للدالة هذه تمام؟ نعود لمين للخواص اللي عندنا؟ تبع
ال section تسعة تلاتة
الخاصية رقم خمسة خاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة
الخاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة الخاصية رقم خمسة
الخاصية رقم خمسة الخمسة الخاصية رقم خمسة الخمسة
الخمسة الخاصية رقم
خمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة
الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة الخمسة
الخمسة الخمسة
الخمسT لأن T مطروح من الواحد هو الواحد هذا الواحد
تمام اذا هذه لابلاس ترانسفورم لها حسب الخاصية رقم
خمسة هي عبارة عن مين عبارة عن ال E أثناق ال CS في
capital F of S تمام طيب أجيب أطلع قداش ال C
مقدارهايبقى E أس ناقص S بيصير بالدالة capital F of
S بدي أعرف كده إيش هذا اللي عندنا يبقى هذه Laplace
إلها بيصير عندي E أس ناقص Sفاهمين؟ في لابلاس ال
transfer حسب الخاصية رقم خمسة لدالة F of S الدالة
مين هذه قبل ال shift؟ T يبقى باجي بقول هنا لابلاس
ل T اللي همين واحد factorial على استربعيبقى هذه
بيصير EOS ناقص S بس على S تربيع و الله مشان ما
تقوليش كيف جابها هذه بنقولك هي EOS ناقص S في واحد
factorial على S تربيع من وين أجت؟ قولنا لـPlus لـT
يا واحد factorial على S أس واحد زائد وعدها يحط
نالك وين في الهامش طيب نكمل شغلناهذه أمانات مع هذه
عامل مشترك يبقى بيصير S²-1 XS نجي ال X عندي Zero
تسوى كده؟ تسوى واحد يبقى ناقص S في واحد ال X' بيه
Zero يبقى ناقص Zero يسوى E أس ناقص S على S تربيع
يبقى صارة المثال على الشكل التالي اللي هو من s²-1
في x of s بده يساوي ننقل هذه على الشجة التانية
بصير s زائد y ناقص s على من على s² بالشكل اللي
عندنا هذاطيب بدي أجسم كله على S²-1 هذا معناه ان X
of S هذا ال S²-1 مش عبارة عن فرق بين المربعين صح؟
يبقى هذا ايش بيصير؟ بيصير S على S ناقص واحد في S
زائد واحد، تمام؟ زائد إيص أو خلّي هذه إيص ناقص S
زي ما هي و بيبقى عندي واحد على S square في S ناقص
واحد في S زائد واحد بالشكل اللي عندنا اه بدنا
partial fraction هذهولا لأ يبقى بدنا نبدأ نحسب ال
part في ال fraction يبقى أخر ما توصلنا إليه هو ال
X of S يسوى S على S square minus ال one وديك S
square مظبوط تمام مئة مية الميةطب خلّينا نشوف هذه
اللي هي الأولى نعمل ال partial fraction و بعدين
بنشوف التاني نشوف الكبيرة هذه يبقى واحد على S
square في S minus ال one في S plus one يسوى S
square يجب لزمنا A S زائد B زائد S ناقص واحد C
زائد S زائد واحد يبقى Dأحسنتأو الواحد بده يساوي AS
زائد ال B ال AS زائد ال B في مين؟ في ال S square
minus ال one اللي هو حاصل ضربهما زائد C S square
في S plus one زائد D S square في S minus ال oneطيب
هذا الواحد يساوي A استكيب ناقص ال A S زائد B
استربيع ناقص ال B زائد C استكيب زائد C استربيع
زائد D استكيب ناقص D استربيعانجمع يبقى هذه فيها
تكييب وهذه تكييب وهذه تكييب يبقى A زائد C زائد D
كله في ال S تكييب زائد تعين التربيع يبقى هذه Bوهنا
C وهنا ناقص D كله في ال S تربيع نجلي فيهم S هنا
كله ماعنديش S ماعنديش اللي هاد يتيمة ناقص AS وهنا
ناقص B زيهتمام يبقى نعمل مقارنة بين الطرفين يبقى a
زيدي ال c زيدي ال d بده يساوي 0 و b زيدي ال c ناقص
ال d بده يساوي 0 و ناقص ال a بده يساوي 0 و ناقص ال
b يساوي 1يبقى الاتنين هدول اشباطون يا بنات ان ال a
تساوي zero و ال b تساوي سالب واحد يبقى
هدف بده يعطينا لو أخدت ال a ب zero بيظل قداش c
زائد d يساوي zero و لو أخدت ال b بسالب واحد بيصير
ال c ناقص d ساوي واحدمظبوط؟ اجمع هدول مع السلامة
يبقى 2C يساوي 1 يبقى C يساوي نص لما C يساوي نص و A
ب 0 يبقى D بسالف نصيبقى هيو C بنص يبقى D يساوي
سالب نص إذا أصبح ال term اللي عندنا هذا جاهز أيوة
بدنا نشوف التاني كمان للتاني على أي حالبدي اكتب
النتيجة دغري وانت بدك تروح تعملي partial fraction
بسيط انا سويتلك الصعب وخليت البسيط يبقى لو روحنا
عملنا بيكون على الشكل التالي يبقى ال X of S بده
يساويالـ S على S²-1 هذه لا نريد أن نعملها لها
خلّيها زي ما هي مش مشكلة يبقى S على S²-1 مافيهاش
مشكلة وهذه زائد E أس ناقص S في قداش في سالب واحد
على S² زائد نص في واحد على S ناقص واحد وهنايبقى
هذا ال exponential اللي عندنا طيب اروح نجمع و نشوف
وين بدنا نوصلهذه سأتركها كذلك لأنها سهلة و لا يوجد
فيها مشكلة يبقى هذه S على S²-1 هذه زائد EOS ناقص S
هذه سالب واحد على S² هذول بقدر اخد مين؟ زائد نص
عامل مشترك بظل عندنا مين؟ S ناقص واحد في S زائد
واحدبصير عندنا هنا S زائد واحد ناقص S زائد واحد
شكل لأن هذا أظن هذا كله مش لازم الآن
طيب يبقى أصبح شكل ال X as a function of S يساوي
هذه البنات بتروح سالب S وموجب S مع السلمة بيظل
واحد وواحد اتنين مع المص الله سهل عليه يبقى بيظل
عندي قداش بس واحد على S تربية ناقص واحد يبقى بيظل
عندي هنا اللي هو ناقص واحد على S تربية و هنا زائد
واحد على S تربية ناقص واحد
يبقى صرتي النتيجة S على S تربيع ناقص واحد ناقص E
أس ناقص S في واحد على S تربيع وهنا زائد E أس ناقص
S في واحد على S تربيع ناقص الواحدالان بقدر اجيب
main ل plus المعكوس تبعهم و اشوف كده بده يساوي هذا
بيصير ال X of .. بدي ال X of T ال solution X of T
يساوي ل plus inverse ل main ل capital X of S و
يساوي ل plus inverse ل ال Sعلى S square ناقص واحد
ناقص Laplace inverse لمين؟ لل E أس ناقص S في واحد
على S تربيع وهنا زائد Laplace inverse لل E أس ناقص
S في واحد على S تربيع ناقص واحد بالشكل اللي عندنا
هعطيك الجواب النهائي وانت تجيبيه لحالك ها طيب
مالكيش بلاش يبقى هذا الكلام يسامي بدالي الأن لل S
على S تربية ناقص واحد حد ممكن تقولي مين هي؟ مين
قالك ان ال cosine بالزائد المقام هذا منها قوش قوش
اتي و ال a بقدراشبواحد يبقى هذا بقدر اقول هذا ت
فقط
لا غير نيجي لناقص بدي ل plus inverse لل E أُس ناقص
S واحد على S تربيع يالا شوفيلي