diff --git "a/PL9fwy3NUQKwbxj_Y7aSVHQBzhMp9X9OOe/EHWkgcDuyyY_raw.srt" "b/PL9fwy3NUQKwbxj_Y7aSVHQBzhMp9X9OOe/EHWkgcDuyyY_raw.srt" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/PL9fwy3NUQKwbxj_Y7aSVHQBzhMp9X9OOe/EHWkgcDuyyY_raw.srt" @@ -0,0 +1,3624 @@ +1 +00:00:04,720 --> 00:00:09,780 +بسم الله الرحمن الرحيم هذه هي المحاضرة رقم 11 في + +2 +00:00:09,780 --> 00:00:16,040 +مساق تحليل حقيقي 2 لطلاب وطالبات الجامعة الإسلامية + +3 +00:00:16,040 --> 00:00:24,760 +كلية العلوم وهي المحاضرة الأولى بعد إعلان الطوارئ + +4 +00:00:24,760 --> 00:00:32,580 +بخصوص أو بمواجهة فيروس كورونا المنتشر اتحدتنا + +5 +00:00:32,580 --> 00:00:37,960 +المرة الماضيةبدأنا في اللي هو chapter 7 اللي كان + +6 +00:00:37,960 --> 00:00:41,280 +الحديث عن ال riman integral أو تكامل ال riman + +7 +00:00:41,280 --> 00:00:45,860 +بدأنا في ال section الأول اللي هو تحت عنوان riman + +8 +00:00:45,860 --> 00:00:50,740 +integrability عرفنا شغلتين حاجة اسمها ال upper sum + +9 +00:00:50,740 --> 00:00:55,960 +و حاجة اسمها ال lower sum و قلنا اللي هو ال lower + +10 +00:00:55,960 --> 00:01:00,290 +sumهو عبارة عن الـ summation للـ mk الـ mk هذه + +11 +00:01:00,290 --> 00:01:06,410 +تمثل في xk minus xk minus 1 حيث mk كانت تمثل أو m + +12 +00:01:06,410 --> 00:01:10,910 +small k كانت تمثل عبارة عن الـ infimum للدالة على + +13 +00:01:10,910 --> 00:01:15,520 +الفترة اللي هي المذكورةالان ال .. ال .. ال other + +14 +00:01:15,520 --> 00:01:19,380 +sum هو عبارة عن ال summation لنفس ال sum العلوي + +15 +00:01:19,380 --> 00:01:24,520 +ولكن بدلا منها اللي هي M K capital اللي كانت تمثل + +16 +00:01:24,520 --> 00:01:28,280 +ال supremum ل ال F of X وال X على اللي هي في + +17 +00:01:28,280 --> 00:01:34,110 +الفترة المذكورة اللي عنديالآن أخدنا أول لمّة المرة + +18 +00:01:34,110 --> 00:01:38,190 +الماضية وقلنا إذا كانت F من I لR bounded و B any + +19 +00:01:38,190 --> 00:01:43,230 +partition of I بدي يكون ال lower اللي هو sum لأي + +20 +00:01:43,230 --> 00:01:47,810 +partition B و function F أصغر أو يساوي ال upper + +21 +00:01:47,810 --> 00:01:52,470 +sum لنفس ال partition و لنفس اللي هي ال function F + +22 +00:01:52,470 --> 00:01:58,710 +بعد هي طبعا خطينا خطوة أخرىو جينا عرفنا اللي هو شو + +23 +00:01:58,710 --> 00:02:03,110 +معناته انها تكون اللي هو ال partition Q refinement + +24 +00:02:03,110 --> 00:02:08,610 +لل partition B قلنا Q اللي هو تحسين ل B إذا كانت B + +25 +00:02:08,610 --> 00:02:13,940 +بي عبارة عن مجموعة جزئية من Qو بناء عليه اللي هو + +26 +00:02:13,940 --> 00:02:19,440 +قلنا ان اي اللي هو sub interval xk-1xk من ال + +27 +00:02:19,440 --> 00:02:23,520 +partition B يمكن كتابتها على صورة union of sub + +28 +00:02:23,520 --> 00:02:27,680 +intervals من اللي هو التحسين اللي هو EQ + +29 +00:02:31,060 --> 00:02:36,380 +الان جينا اللي هو بناء على هذا التعريف جينا قولنا + +30 +00:02:36,380 --> 00:02:40,480 +لو كانت F is من I لعند R is bounded و B is any + +31 +00:02:40,480 --> 00:02:45,780 +partition of I و Q refinement لل Bمدام اللي هو Q + +32 +00:02:45,780 --> 00:02:50,420 +-refinement إذا ال lower sum هيعلى و ال upper sum + +33 +00:02:50,420 --> 00:02:54,820 +هينزل على أساس انه اللي هو في النهاية يلتقي ال + +34 +00:02:54,820 --> 00:02:58,740 +upper مع ال lower و نصل لاللي هو ال integrability + +35 +00:02:58,740 --> 00:03:02,800 +أو معنى ال integrability كما سنرى لاحقا على الأقل + +36 +00:03:02,800 --> 00:03:06,560 +في اللي هو يكون واضح من خلال الرسم في اللي هي + +37 +00:03:06,560 --> 00:03:13,890 +الدوال الموجبة كما ذكرنا سابقااللي بحكيه إنه لو + +38 +00:03:13,890 --> 00:03:17,330 +كانت عندي اللي هو F من I ل R bounded وB partition + +39 +00:03:17,330 --> 00:03:22,750 +وQ وrefinement للـ B هيكون عندي lower sum لل + +40 +00:03:22,750 --> 00:03:28,570 +partition B أصغر أو يساوي lower sum للتحسين عماله + +41 +00:03:28,570 --> 00:03:32,850 +التحسين بكبر لما بده يصل لفعلا المساحة تحت المنحنة + +42 +00:03:32,850 --> 00:03:39,470 +في حالة الدوال الموجبةالقبر صم لـ Q و F سيبدأ يصغر + +43 +00:03:39,470 --> 00:03:42,850 +ويكون أصغر من الساوي اللي هو القبر صم لـ P و F + +44 +00:03:42,850 --> 00:03:47,310 +التحسين يعني سيصغره بمعنى آخر سيبدأ يلتقوا إلى + +45 +00:03:47,310 --> 00:03:51,770 +أسفل لما نصل إلى اللي هو مساواة في ��الة الـ + +46 +00:03:51,770 --> 00:03:55,730 +Integrability لما نكون عندنا أخدنا الـ Supremum + +47 +00:03:55,730 --> 00:04:01,340 +لكل L و Fالـ L والـ infimum لكل الـ U بيصير بنسمي + +48 +00:04:01,340 --> 00:04:04,800 +بعد شوية حاجة اسمها ال lower integral وال upper + +49 +00:04:04,800 --> 00:04:08,980 +integral وبرهننا هذه النظرية و بعدين جينا لللمة و + +50 +00:04:08,980 --> 00:04:13,520 +بعدين جينا لللمة أخرىاللي هو لو كانت F من I ل R + +51 +00:04:13,520 --> 00:04:17,600 +bounded وB1 وB2 اي partitions الآن لأي partitions + +52 +00:04:17,600 --> 00:04:22,480 +هيكون الlower دايما بغض النظر عن ال partition اللي + +53 +00:04:22,480 --> 00:04:26,120 +هو هيكون أصغر أو يساوي الأبر بغض النظر عن ال + +54 +00:04:26,120 --> 00:04:28,660 +partition B2 يعني مش لنفس ال partition زي ما قلنا + +55 +00:04:28,660 --> 00:04:33,180 +في اللمبة 7 1 1 لأ لأي two partitions دايما + +56 +00:04:33,180 --> 00:04:37,170 +الlower ما هو هيكون تحتأسفل المنحنى والـ Upper + +57 +00:04:37,170 --> 00:04:41,350 +هيكون أعلى المنحنى بغض النظر عن ال partitions اللي + +58 +00:04:41,350 --> 00:04:45,690 +عندى طبعا التمثيل هذا في حال اللي هو ال F is a + +59 +00:04:45,690 --> 00:04:49,130 +positive function على ال interval المذكورة الآن + +60 +00:04:49,130 --> 00:04:52,730 +بعد هيكة اجينا وعرفنا شو معناه ال lower integral + +61 +00:04:52,730 --> 00:04:55,510 +وشو معناه ال upper integral قولنا ال lower + +62 +00:04:55,510 --> 00:05:00,050 +integral كما هو متوقع سميناه الف F هو عبارة عن ال + +63 +00:05:00,050 --> 00:05:05,660 +supremum لل lowersوال .. و ال .. و ال .. و ال + +64 +00:05:05,660 --> 00:05:10,440 +upper هو عبارة عن الـ infimum لل uppers حتى لو + +65 +00:05:10,440 --> 00:05:14,300 +التقت الالو أف مع الالو أف اللي هو من أعلى مع + +66 +00:05:14,300 --> 00:05:17,940 +الأسفل هيكونوا التقوا بالظبط عند .. من مساحة تحت + +67 +00:05:17,940 --> 00:05:20,960 +المنحنى في حالة الدالة الموجبة وهذه .. في هذه + +68 +00:05:20,960 --> 00:05:24,300 +الحالة بنسمي إذا كانت ال upper تساوي ال lower + +69 +00:05:24,300 --> 00:05:27,920 +بنسمي ال function على هذه الفترة is integral و هذا + +70 +00:05:27,920 --> 00:05:31,900 +الكلام كله تحدثنا فيه عشان هيك أنا مسرع شويةهو + +71 +00:05:31,900 --> 00:05:37,160 +حكينا إنه اللي هو دايما ال lower sum لل F أخدنا + +72 +00:05:37,160 --> 00:05:40,760 +نظرية قولنا ال lower integral أسف ال lower + +73 +00:05:40,760 --> 00:05:45,100 +integral دايما أصغر يساوي مين ال upper integral + +74 +00:05:45,100 --> 00:05:46,860 +إذن الآن النظرية + +75 +00:05:49,600 --> 00:05:52,760 +الإعلان المهم اللي هو لو كانت F من I لعند R + +76 +00:05:52,760 --> 00:05:56,000 +bounded function على closed bounded interval A وB + +77 +00:05:56,000 --> 00:05:59,720 +بدي يكون ال lower integral L of F أصغر أو ساوي ال + +78 +00:05:59,720 --> 00:06:04,930 +upper integral U of F بصورة عامةهذه هي الـ + +79 +00:06:04,930 --> 00:06:08,050 +definition اللي ذكرته قبل و شوية نقول عن الـ + +80 +00:06:08,050 --> 00:06:15,150 +function F على bounded sub interval A و B أو + +81 +00:06:15,150 --> 00:06:18,650 +closed bounded interval A و B و كانت الـ F عبارة + +82 +00:06:18,650 --> 00:06:22,080 +عن bounded functionبنعرف أن الـ F is remain + +83 +00:06:22,080 --> 00:06:26,840 +integrable on I إذا كانت ال lower of F بساوي ال + +84 +00:06:26,840 --> 00:06:30,080 +upper of F معناته صارت اللي هي ال F is remain + +85 +00:06:30,080 --> 00:06:34,460 +integrable if and only if ال lower sum يساوي ال + +86 +00:06:34,460 --> 00:06:39,240 +upper sum هذا كله ذكرناه المرة الماضية و أيضا + +87 +00:06:39,240 --> 00:06:42,520 +عرفنا .. قلنا في هذا الحلقة أن كل integration من A + +88 +00:06:42,520 --> 00:06:47,890 +ل B هو ال lower أو ال upper المتساويينوعرفنا ايضا + +89 +00:06:47,890 --> 00:06:50,610 +تعريف اخر قولنا ال integration من a ل b بساوي ناقص + +90 +00:06:50,610 --> 00:06:53,830 +ال integration من b ل a وعرفنا ال integration من a + +91 +00:06:53,830 --> 00:06:59,410 +ل a بساوي صفر هذا كله حكينا المرة الماضية ومش هيك + +92 +00:06:59,410 --> 00:07:03,820 +كمان واخدنا المثالاللي هو أثبتنا إنه اللي هو g of + +93 +00:07:03,820 --> 00:07:07,880 +x بيساوي x is integrable on i استنادًا على إنه + +94 +00:07:07,880 --> 00:07:11,020 +أوجدنا ال lower sum ال lower integral و ال upper + +95 +00:07:11,020 --> 00:07:13,300 +integral أثبتنا إن ال lower integral و ال upper + +96 +00:07:13,300 --> 00:07:16,300 +integral are equal و من ثم أثبتنا إنه ال + +97 +00:07:16,300 --> 00:07:19,940 +integration exist لل function x على الفترة 0 و 1 + +98 +00:07:19,940 --> 00:07:26,810 +وأوجدنا قيمة ال integration في حينهوصلنا إلى اللي + +99 +00:07:26,810 --> 00:07:33,290 +هو مثالنا التالي أنه لو كانت F من I لعند .. F من I + +100 +00:07:33,290 --> 00:07:40,090 +اللي هي 01 لعند ال .. ال R be defined by أخدنا + +101 +00:07:40,090 --> 00:07:45,990 +الدالة كما يلي اللي هو قولنا أن F of X F of X + +102 +00:07:45,990 --> 00:07:53,040 +بساوي واحدإذا كانت x rational number element in Q + +103 +00:07:53,040 --> 00:08:00,100 +وبساوي 0 إذا كانت x element in IQ أو element in Q + +104 +00:08:00,100 --> 00:08:04,660 +complement اللي هي ال rational numbers الآن بدنا + +105 +00:08:04,660 --> 00:08:11,200 +نثبت بقول show that this function Fطبعا أنا method + +106 +00:08:11,200 --> 00:08:17,340 +F على اللي هي الـ Q تقاطع طبعا الـ 0 و 1 اللي هي + +107 +00:08:17,340 --> 00:08:19,920 +الـ interval اللي بدأ عليها التقاطع الـ 0 و 1 + +108 +00:08:19,920 --> 00:08:25,160 +بمعنى إن دالت F صارت من I اللي هي عبارة عن 0 و 1 + +109 +00:08:26,040 --> 00:08:29,380 +اللي عند R واضح ان الدالة هذه is a bounded + +110 +00:08:29,380 --> 00:08:33,560 +function الان بدأ أثبت لكم ان هذا الدالة is not + +111 +00:08:33,560 --> 00:08:38,120 +integrable on this interval is not integrable on + +112 +00:08:38,120 --> 00:08:44,100 +this interval الان علشان أصل اللي هو اللي هي ان + +113 +00:08:44,100 --> 00:08:48,180 +هذا الدالة غير قابلة تكامل بالنسبة لتكامل بالنسبة + +114 +00:08:48,180 --> 00:08:55,650 +لتكامل الريمان بدي اخد الان Bأخدوا أي partition X0 + +115 +00:08:55,650 --> 00:09:02,550 +X1 لعند Xn هذا any partition لإيه ال interval اللي + +116 +00:09:02,550 --> 00:09:06,790 +هي الفترة مين Zero و واحد يعني بمعنى أتيت للفترة + +117 +00:09:06,790 --> 00:09:14,030 +Zero و واحد و جزقتها X0 X1 لعند مؤصل لعند مين لعند + +118 +00:09:14,030 --> 00:09:18,610 +Xn اللي هي إيش بتساوي بتساوي واحدالان هذا ال + +119 +00:09:18,610 --> 00:09:22,130 +partition اخدته arbitrarily اللى هو partition + +120 +00:09:22,130 --> 00:09:31,790 +لفترة L عندى الان بدى احسب ال Lof B و F لهذا ال + +121 +00:09:31,790 --> 00:09:34,990 +partition أيش بتساوي حسب اللي عرفناها سابقا بتساوي + +122 +00:09:34,990 --> 00:09:40,610 +ال summation لل M K في X K minus X K minus واحد K + +123 +00:09:40,610 --> 00:09:46,330 +من عند واحد لعند مين لعند اللي هي N ويساوي الآن ال + +124 +00:09:46,330 --> 00:09:52,450 +M K عرفناها ال M K هي عبارة عن ال infimum لقيمة ال + +125 +00:09:52,450 --> 00:09:56,470 +function F of X حيث X تنتمي إلى الفترة X K minus + +126 +00:09:56,470 --> 00:10:02,210 +واحد لعند X Kطبعاً اللي هي F of X معرفة على + +127 +00:10:02,210 --> 00:10:05,130 +أساسيها يا إما واحد يا إما سفر حسب إنها تكون + +128 +00:10:05,130 --> 00:10:08,030 +rational أو إيش ال rational يعني ال function F + +129 +00:10:08,030 --> 00:10:11,910 +أصلا اللي هي قيمتين بس إذا الأن ال infimum لل F of + +130 +00:10:11,910 --> 00:10:16,630 +X عندها يا هيكون واحد يا هيكون سفر ليش؟ لأن أصلا + +131 +00:10:16,630 --> 00:10:23,340 +الفترة هذهفيها أي فترة subinterval xk-1xk فيها + +132 +00:10:23,340 --> 00:10:27,620 +rational وirrational إذا قيمة ال up of x في الفترة + +133 +00:10:27,620 --> 00:10:31,260 +هتلاقي عند قيم واحد هتلاقي أكيد عند قيم أش بتساوي + +134 +00:10:31,260 --> 00:10:35,000 +بساوي سفر إذا ال infimum في هذه الحالة هو عبارة عن + +135 +00:10:35,000 --> 00:10:42,320 +إيش يساوي سفر إذا ال summation ل 0 في xk-xk-1 كامل + +136 +00:10:42,320 --> 00:10:46,120 +عند واحد عند أنه طبيعي هذا بديهي إيش هيساوي بساوي + +137 +00:10:46,120 --> 00:10:52,410 +سفرأذن الان L of F بي و F ساوة سفر فور أي بورتيشن + +138 +00:10:52,410 --> 00:10:59,370 +بيه إذا ال L of F ال��ي هي عبارة عن الأو الـ + +139 +00:10:59,370 --> 00:11:06,070 +Supremum الـ Supremum لكل الـ L of B و F Such that + +140 +00:11:06,070 --> 00:11:09,890 +B element in the set of all partitions اللي هو B + +141 +00:11:09,890 --> 00:11:14,090 +of I هيكون ال .. ال Supremum اللي هين صفر لإن كل + +142 +00:11:14,090 --> 00:11:18,350 +اللي هين أصلا إشق بتنطلع .. تنطلع بساوي صفر إذا + +143 +00:11:18,350 --> 00:11:23,070 +هذا إيش هيساوي يا شباب؟ هو يساوي Zeroإذا طلع عندى + +144 +00:11:23,070 --> 00:11:28,150 +ال lower sum بساوة 0 الان بدي أحسبلكم مين أحسبلكم + +145 +00:11:28,150 --> 00:11:31,390 +ال upper sum سامحوني أكتب هنا بس عساس اللي يبقى + +146 +00:11:31,390 --> 00:11:39,670 +كله مكتوب عندى نوجد ال upper sum ال upper sum اللي + +147 +00:11:39,670 --> 00:11:45,510 +هي ال UPUF بساوة summation للان K capital في XK + +148 +00:11:45,510 --> 00:11:51,740 +minus XK minus واحد K من عند واحد لعند الانالان + +149 +00:11:51,740 --> 00:11:55,900 +هذا بيساوي ال Mk زي ما قلنا قبل هيك ال Mk بدل ما + +150 +00:11:55,900 --> 00:11:59,400 +هي ال M في مميزة استعريفها ال Mk بتساوي ال + +151 +00:11:59,400 --> 00:12:03,780 +supremum لهذه ال 6 وزي ما قلنا ال 6 هذه في داخلها + +152 +00:12:03,780 --> 00:12:08,400 +يا واحد يا زيرو نظرا لإن اللي هو أي sub interval + +153 +00:12:08,400 --> 00:12:11,820 +هيكون فيها rational و irrational وتبعا إلها هيكون + +154 +00:12:11,820 --> 00:12:16,060 +قيمة ال function في داخلها واحد أو سفر واحنا بنبحث + +155 +00:12:16,060 --> 00:12:19,280 +عن ال supremum إذا هيكون ال supremum في كل الأحوال + +156 +00:12:19,280 --> 00:12:25,600 +ال Mk بتساوي واحدمضروبة في xk-xk-1 k من عند 1 لعند + +157 +00:12:25,600 --> 00:12:30,700 +n نفردها هذه ويساوي اللي هنبصير k من عند 1 يعني x1 + +158 +00:12:30,700 --> 00:12:39,570 +-x0 زاد x2-x1 زاد إلى أخير لما أصل لعند xn-1نقص xn + +159 +00:12:39,570 --> 00:12:44,550 +نقص واحد طبعا واضح انه عندي ال x واحد هت cancel مع + +160 +00:12:44,550 --> 00:12:48,270 +ناقص x واحد و ال x اتنين مع ناقص x اتنين لما نصل + +161 +00:12:48,270 --> 00:12:52,450 +للاخر هيكون في عندي ات cancel الجميع بس ضال عندي + +162 +00:12:52,450 --> 00:12:58,170 +ال xn و ال x note و هد بتساوي xn ناقص x note و + +163 +00:12:58,170 --> 00:13:01,750 +يساوي ال xn طبعا ايش هي عبارة عن واحد و ال x note + +164 +00:13:01,750 --> 00:13:07,190 +ايش هي شبه سفر و يساوي واحد ناقص سفر و يساوي واحد + +165 +00:13:07,570 --> 00:13:12,930 +إذا طلع عندي الـ Upper Sum لأي Bar تشهم بيه، هيتلع + +166 +00:13:12,930 --> 00:13:18,510 +ايش بساوة؟ بساوة واحدة إذا الان لما بدي أخد ال U + +167 +00:13:18,510 --> 00:13:23,510 +of F اللي هو Upper Integral هيساوة عبارة عن ال + +168 +00:13:23,510 --> 00:13:30,220 +Infimumلمين؟ للـ U, B وF such that B element in + +169 +00:13:30,220 --> 00:13:34,580 +the set of all partitions B of I والـ U, B وF + +170 +00:13:34,580 --> 00:13:38,840 +قيمته ثابتة for أي partition بيساوي واحد إذا الـ + +171 +00:13:38,840 --> 00:13:43,300 +infimum لكل اللي هنا عبارة عن برضه إيش بيساوي واحد + +172 +00:13:43,300 --> 00:13:47,410 +صار عندي الآنlower integral و ال upper integral + +173 +00:13:47,410 --> 00:13:51,110 +have different values واحد بيساوي صفر واحد بيساوي + +174 +00:13:51,110 --> 00:13:56,890 +واحد وبناء عليه بتكون عنده اللي هو ال F is not + +175 +00:13:56,890 --> 00:14:03,150 +Riemann integrable اي سؤال؟ طيب ماشي الحاجة + +176 +00:14:03,150 --> 00:14:10,930 +الانصار عندى اخدنا مثلين المثال الأولاللي هو + +177 +00:14:10,930 --> 00:14:16,770 +أثبتنا إن off of x بيساوي x is integrable على + +178 +00:14:16,770 --> 00:14:22,010 +الفترة 0 و1 و أثبتناها بواسطة التعريف وأيضا أثبتنا + +179 +00:14:22,010 --> 00:14:26,190 +مثال آخر لbounded function أيضا وكانت is not + +180 +00:14:26,190 --> 00:14:31,250 +remain integrable اللي هي off of x بيساوي 1 إذا + +181 +00:14:31,250 --> 00:14:36,090 +كانت x rational ويساوي 0 إذا كانت x irrational هذا + +182 +00:14:36,090 --> 00:14:43,040 +اللي هو المثال الثانيالان نيجي لاللي هو criterion + +183 +00:14:43,040 --> 00:14:49,280 +مهمة اللي احنا بنس��يها اللي هي عبارة عن remain + +184 +00:14:49,280 --> 00:14:54,800 +criterion for + +185 +00:14:54,800 --> 00:15:01,490 +integrabilityأحنا طبعا اتحدثنا عن الـ Remain + +186 +00:15:01,490 --> 00:15:05,330 +Integrability كيف نثبت أنه Remain Integrable عن + +187 +00:15:05,330 --> 00:15:09,470 +طريق التعريف طبعا الآن مش دايما بدنا نثبت عن طريق + +188 +00:15:09,470 --> 00:15:14,350 +التعريف إذا بدنا اللي هو طرق أخرى نحاول اللي هو + +189 +00:15:14,350 --> 00:15:21,780 +نوسع اللي هيإمكانياتنا في الحكم على الدالة إنها + +190 +00:15:21,780 --> 00:15:26,860 +integrable أو مش integrable وهذه الإمكانية الأخرى + +191 +00:15:26,860 --> 00:15:31,400 +غير التعريف هي اللي بنسميها اللي هو الريمان + +192 +00:15:31,400 --> 00:15:36,500 +integrability criterion أو criterion for + +193 +00:15:36,500 --> 00:15:41,340 +integrability نشوف أيش بيقول النظرية + +194 +00:15:43,700 --> 00:15:48,060 +لت I بساوة A وB و لت F من I لـ R بيـ bounded نفترض + +195 +00:15:48,060 --> 00:15:51,360 +أن F عبارة عن إيه اشمال يا جماعة؟ bounded function + +196 +00:15:51,360 --> 00:15:57,500 +then F is integrable on I if and only if for each + +197 +00:15:57,500 --> 00:16:00,340 +epsilon أكبر من 0 there exists a partition B + +198 +00:16:00,340 --> 00:16:04,660 +epsilon of I such that U B epsilon نقص الـ B + +199 +00:16:04,660 --> 00:16:10,730 +epsilon إيه إشماله أصغر من اللي هو إبسلونإذن اللي + +200 +00:16:10,730 --> 00:16:16,410 +هو واضح إنه عندي فصار فيه test لل integrability أو + +201 +00:16:16,410 --> 00:16:20,150 +اللي هو طريقة للحكم على ال integrability أخرى غير + +202 +00:16:20,150 --> 00:16:26,430 +التعريف اللي هو بتقول F is integrable + +203 +00:16:28,870 --> 00:16:32,890 +if and only if طبعاً هذه لمين الـ F؟ F عبارة عن زي + +204 +00:16:32,890 --> 00:16:36,190 +ما انتوا عارفين bounded function لإنه كل شغلنا + +205 +00:16:36,190 --> 00:16:40,010 +أصلا على اللي هو remaining integrability أنه نفترض + +206 +00:16:40,010 --> 00:16:43,210 +أنه الـ F bounded عشان اللي هو تكون ال supremum و + +207 +00:16:43,210 --> 00:16:46,330 +ال infimum اللي مبني عليها التعريف تكون مضمون إنها + +208 +00:16:46,330 --> 00:16:49,870 +موجودة عشان هيك بنحكي أن F is bounded function طيب + +209 +00:16:49,870 --> 00:16:56,140 +إذا الـ F is integrable if and only ifاللي هي لكل + +210 +00:16:56,140 --> 00:17:00,620 +إبسلون أكبر من 0 there exists a partition P إبسلون + +211 +00:17:00,620 --> 00:17:04,240 +هذا ال P اللي هو ال partition يعتمد عالميا على + +212 +00:17:04,240 --> 00:17:07,820 +إبسلون لكل إبسلون بالله دي partition P إبسلون لمين + +213 +00:17:07,820 --> 00:17:11,840 +ال partition طبعا لل interval اللي عندنا اللي هي R + +214 +00:17:11,840 --> 00:17:17,040 +there exists P إبسلون a partition of I such that + +215 +00:17:17,040 --> 00:17:25,210 +ال P ال U ال P إبسلونوالـ F ناقص الـ L بي إبسلون و + +216 +00:17:25,210 --> 00:17:31,050 +F يكون أصغر من مين من إبسلون الآن إذا كان لجينا + +217 +00:17:31,050 --> 00:17:34,190 +لكل إبسلون لجينا بي إبسلون بحيث هذا يتحقق معناته F + +218 +00:17:34,190 --> 00:17:37,590 +is integrable and conversely if F is integrable + +219 +00:17:37,590 --> 00:17:42,550 +أكيد لكل إبسلون هلجي بي إبسلون بحيث أن هذا يتحقق + +220 +00:17:42,550 --> 00:17:48,170 +خلونا نيجي الآن نبرهم و نشوف كيف بدنا نبرهم + +221 +00:17:48,170 --> 00:17:53,880 +نظريتناالان بدنا نفترض ان F اي شمالها is + +222 +00:17:53,880 --> 00:18:00,240 +integrable ونصل منها للي عيدي اللي هي ال partition + +223 +00:18:00,240 --> 00:18:07,040 +اللي مذكور مدام F is integrable اذا كانت ..الان + +224 +00:18:07,040 --> 00:18:16,100 +بنقول suppose that F is integrable مدام integrable + +225 +00:18:16,100 --> 00:18:22,090 +يا شبابأكيد عنده اللي هو الـ U of F بساوي L of + +226 +00:18:22,090 --> 00:18:29,490 +إيش؟ Of F، مظبوط؟ أكيد الـ L of .. الـ U of F + +227 +00:18:29,490 --> 00:18:33,410 +بساوي الـ L of F إيش اللي بيدثبته؟ بيدثبته لأي + +228 +00:18:33,410 --> 00:18:35,810 +إبسلون أكبر من سفر بدلاجي بإبسلون، شوفوا كيف + +229 +00:18:35,810 --> 00:18:41,090 +بنلاجيه، الآن نفترض إن إبسلون let إبسلون أكبر من + +230 +00:18:41,090 --> 00:18:47,810 +سفر be given، ماشي الحالةعندي الـ U of F هو إيش يا + +231 +00:18:47,810 --> 00:18:54,910 +شباب؟ هو عبارة عن الـ infimum للـ L of B و F such + +232 +00:18:54,910 --> 00:19:01,170 +that B element in B of I، مظبوط؟ إذا الـ U of F + +233 +00:19:01,170 --> 00:19:05,830 +عبارة عن infimum يعني هو عبارة عن greatest lower + +234 +00:19:05,830 --> 00:19:11,630 +boundلو هذا الـ greatest lower bound ضفنا إليه أي + +235 +00:19:11,630 --> 00:19:17,230 +كمية هيبط اللاور باوند لأن هو أصلا إيش اسمه + +236 +00:19:17,230 --> 00:19:23,510 +greatest lower bound إذا لو الـU of F ضفتله Y على + +237 +00:19:23,510 --> 00:19:28,610 +2 مثلا طبعا هذا المقدار هيبط اللاور باوند إيش + +238 +00:19:28,610 --> 00:19:33,690 +معناته بط اللاور باوند؟ يعني بمعنى آخر هيكون في + +239 +00:19:33,690 --> 00:19:44,080 +عند إشي أصغر منههيكون عندى أصغر من ال U of F أو بي + +240 +00:19:44,080 --> 00:19:49,740 +واحد مثلا و F for some mean بي واحد إذا لما نشيل + +241 +00:19:49,740 --> 00:19:54,600 +من ال infimum إبسلون + +242 +00:19:54,600 --> 00:19:57,740 +على اتنين هيبطل هذا lower bound يعني بمعنى أخر + +243 +00:19:57,740 --> 00:20:03,280 +هلاقي اللي هو lower bound + +244 +00:20:07,660 --> 00:20:12,140 +عند الـ Y أكبر من 0 خلّيني أبدأ لت Y أكبر من 0 بي + +245 +00:20:12,140 --> 00:20:17,940 +given إذا عندي الآن بدي أثبت لك بدي أجيب لك + +246 +00:20:17,940 --> 00:20:21,440 +partition بيبسلون بحيث أنه هذا ناقص هذا يكون أصغر + +247 +00:20:21,440 --> 00:20:26,070 +من مين من ابسلون شوف كيف بدي أعملالان انا عندي ال + +248 +00:20:26,070 --> 00:20:30,710 +U of F ايش بيساوي يا جماعة ال U of F بيساوي ال + +249 +00:20:30,710 --> 00:20:39,590 +infimum لل L بيقف ب element I طيب ال U of F اسف يا + +250 +00:20:39,590 --> 00:20:43,010 +جماعة ال U of F بيساوي ال infimum لمين لل U بيقف + +251 +00:20:43,720 --> 00:20:49,780 +ماشي الحال الان ايش معناه انه هذا infimum معناته + +252 +00:20:49,780 --> 00:20:55,100 +هذا هو عبارة عن ال greatest lower bound مدام ال + +253 +00:20:55,100 --> 00:20:59,450 +greatest lower bound اذا ال lower bound هذاأو الـ + +254 +00:20:59,450 --> 00:21:03,330 +Greatest Lower Bound لو ضفتله أي رقم يابسون على + +255 +00:21:03,330 --> 00:21:06,370 +اتنين مثلا بالذنب يابسون على اتنين الـ game + +256 +00:21:06,370 --> 00:21:09,670 +بتعرفوا ليش يابسون على اتنين يعني لو ضفتله أي رقم + +257 +00:21:09,670 --> 00:21:14,730 +بيبطل Lower Bound إيش معناته بيبطل Lower Bound + +258 +00:21:14,730 --> 00:21:21,830 +يعني هيصير هذا أكبر من ال UB 1 of F for some B + +259 +00:21:21,830 --> 00:21:27,510 +وحدهالأنه بطل أش ماله هذا بطل lower bound بطل يكون + +260 +00:21:27,510 --> 00:21:32,670 +أصغر من الكل من هان يعني هلاجي واحد من هان هو مش + +261 +00:21:32,670 --> 00:21:36,830 +أصغر منه أو بمعنى أخر U, P, 1 و F أصغر من اللي هو + +262 +00:21:36,830 --> 00:21:44,850 +هذا المقدر طيب similarly ال L of F هي عبارة عن ال + +263 +00:21:44,850 --> 00:21:52,050 +supremum لل L, P و F such that P elemented P of I + +264 +00:21:53,040 --> 00:21:57,780 +بنفس الطريقة يا جماعة ال L of F هي عبارة عن إيش ال + +265 +00:21:57,780 --> 00:22:04,040 +least upper bound يعني هذا لو least upper bound + +266 +00:22:04,040 --> 00:22:07,200 +Upper bound لو كان أصغر و أحد لو هذا least upper + +267 +00:22:07,200 --> 00:22:11,000 +bound راحت منه عدد ولو صغير جدا و ليكن يبسلون على + +268 +00:22:11,000 --> 00:22:16,800 +اتنينهيبطل هذا عبارة عن upper bound يعني هلاقي + +269 +00:22:16,800 --> 00:22:24,280 +واحد من اللي هان اللي هو L of B2 وF مثلا أكبر منه + +270 +00:22:24,280 --> 00:22:30,560 +لأنه هيبطل هذا أشماله upper bound لأنه هو ال least + +271 +00:22:30,560 --> 00:22:35,780 +لما طلعت منه بطل من ال upper bounds يعني لجيت واحد + +272 +00:22:35,780 --> 00:22:43,120 +من هذول أكبر منه إذا صار في عندي اللي هولجيت بي + +273 +00:22:43,120 --> 00:22:53,960 +واحد بحقق الأولى و بيتنين بحقق التانية لأن خد الآن + +274 +00:22:53,960 --> 00:22:58,840 +خدلي بي إبسلون هذا اللي بديها هذا الحقق اللي اللي + +275 +00:22:58,840 --> 00:23:03,600 +بديه�� خد بي إبسلون إيش بساوي ال بي واحد اللي لجيته + +276 +00:23:03,600 --> 00:23:12,050 +هنااتحاد الـ B2 اللي لجيته هان اتحاد مين؟ B2 صار + +277 +00:23:12,050 --> 00:23:18,510 +عندى .. صار عندى الآن مع بعض خليني أمسح فأقوم، + +278 +00:23:18,510 --> 00:23:22,170 +مهمش؟ + +279 +00:23:22,170 --> 00:23:31,670 +صار + +280 +00:23:31,670 --> 00:23:41,110 +عندى ما يليه؟ صار عندى الآنL of F نقص + +281 +00:23:41,110 --> 00:23:53,490 +Y على 2 أصغر من L of B2 Fاللي هو أكيد أصغر أو + +282 +00:23:53,490 --> 00:23:59,750 +يساوي L of By قُقَف، ليش؟ لأن الـBy يا جماعة عبارة + +283 +00:23:59,750 --> 00:24:04,570 +عن refinement للـB2 والlower لما يصير فيه تحسين + +284 +00:24:04,570 --> 00:24:08,510 +بكبر، بروح نحو اتجاه نيل اللي هو المنحنة التالية + +285 +00:24:08,510 --> 00:24:14,010 +مساحة تحت المنحنة الكلية لأن أيضا لو جيت قولة الـU + +286 +00:24:14,010 --> 00:24:24,400 +of Fزاد إبسلون على اتنين هتلاقيها أكبر من ال U بي + +287 +00:24:24,400 --> 00:24:30,410 +واحد و Fوأكيد عندي الـ U of F زائد إبسلون عدنان + +288 +00:24:30,410 --> 00:24:34,490 +أكبر من الـ U B1 of F هيكون هذا أكبر أو يساوي الـ + +289 +00:24:34,490 --> 00:24:39,610 +U B epsilon of F لأن الـ B epsilon refinement لمين + +290 +00:24:39,610 --> 00:24:44,790 +برضه؟ للـ B1 بزام refinement إذن اللي هو التحسين + +291 +00:24:44,790 --> 00:24:50,270 +بيزغر القبر وبروح ناحية اللي هو المنحنة إذن الآن + +292 +00:24:50,270 --> 00:24:55,480 +من الـ tip 2 هذولةواجدنا طبعا احنا تنسوش ان احنا + +293 +00:24:55,480 --> 00:24:59,100 +مفترضين من رأس الدول ان U of F is integrable يعني + +294 +00:24:59,100 --> 00:25:05,340 +مفترضين ان ال L of F ايش بتساوي U of F تنسواش هذه + +295 +00:25:05,340 --> 00:25:12,540 +ليه جيت تنتر مع بعض دول بصير عندى الحصل على L of F + +296 +00:25:12,540 --> 00:25:22,970 +ناقص Y على 2 اللي هو اصغر من Lof B, Epsilon و F + +297 +00:25:22,970 --> 00:25:30,110 +والـ L و الـ U of F زائد Epsilon على 2 أكبر من U, + +298 +00:25:30,190 --> 00:25:35,290 +B, Epsilon و F أنا إيش غرضي؟ غرضي أثبت إن U, B, + +299 +00:25:35,350 --> 00:25:39,130 +Epsilon و F ناقص L, B, Epsilon و F أصغر من Epsilon + +300 +00:25:39,130 --> 00:25:42,890 +يلّا اترحل من بعض، إذا بصير عندي، بتحصل البدكية + +301 +00:25:42,890 --> 00:25:48,570 +بصير عندي الآن، بطرح حياة دي، بقول U, B, Epsilon و + +302 +00:25:48,570 --> 00:25:53,240 +Fناقص لأنه لما نضرب هذا في ناقص هتنعكس يعني هتصير + +303 +00:25:53,240 --> 00:25:57,100 +هذه جماعة ناقص وهذه زائد وهذه هتنعكس هيك وهيصير + +304 +00:25:57,100 --> 00:26:05,600 +الاش ناقص بيصير عندي U بي و F ناقص ال بي و F هيصير + +305 +00:26:05,600 --> 00:26:11,820 +أصغر من مين من ناقص L of F ناخد هذا قبل زي ما احنا + +306 +00:26:11,820 --> 00:26:20,690 +مرتبينها U of F زائد ي على 2 ناقصL of F زي إبسلون + +307 +00:26:20,690 --> 00:26:24,790 +على 2 وطبعا إحنا جايلين إن F is integrable يعني + +308 +00:26:24,790 --> 00:26:28,770 +الـ U of F بسوء L of F إذا هذي بتروح مع هذي بظل + +309 +00:26:28,770 --> 00:26:33,610 +إيه شماله؟ بظل إبسلون إذا إحنا لكل إبسلون أكبر من + +310 +00:26:33,610 --> 00:26:36,950 +سفر لجينا بي إبسلون هي في الواقع بي إبسلون اللي + +311 +00:26:36,950 --> 00:26:39,970 +لجيناها بي واحد اتحاد بي اتنين حيث بي واحد اللي + +312 +00:26:39,970 --> 00:26:44,120 +لجيناه هان وال بي اتنين اللي لجيناه هانsuch that U + +313 +00:26:44,120 --> 00:26:49,120 +P Y of F نقص L P Y of F أصغر من اللي هو Epsilon + +314 +00:26:49,120 --> 00:26:57,480 +وهو المطلوب أي سؤال؟ طيب، ماشي يا شباب، الآن خلصنا + +315 +00:26:57,480 --> 00:27:04,420 +الجزء الأول من النظريةأثبتنا اللي بدنا يا انه اللي + +316 +00:27:04,420 --> 00:27:08,860 +هو هذه العلاقة صحيحة لأننا نفترض انه suppose that + +317 +00:27:08,860 --> 00:27:12,380 +star holds اللي هي star ليه هذه نفترض ان لكل + +318 +00:27:12,380 --> 00:27:15,380 +epsilon أكبر من 0 there exists B of epsilon such + +319 +00:27:15,380 --> 00:27:18,680 +that U B Epsilon و F نقصها دي أصغر من Epsilon و + +320 +00:27:18,680 --> 00:27:24,280 +بدنا نصل من خلالها لإيش لأن ال F is integrable + +321 +00:27:24,280 --> 00:27:25,760 +فنشوف + +322 +00:27:40,480 --> 00:27:47,440 +البرهام بسيط لو طلعنا عليه مباشرة على اللوح الآن + +323 +00:27:47,440 --> 00:27:52,140 +بدنا نفترض أن هذه تتحقق اللي هو نفترض أنه لكل ي + +324 +00:27:52,140 --> 00:27:57,020 +أكبر من 0 يوجد بي إبسلون بحيث أن هذا اللي هي تتحقق + +325 +00:27:57,020 --> 00:28:01,620 +علشان أصل بدي أصلكم في النهاية أن L of F هي إيش + +326 +00:28:01,620 --> 00:28:05,810 +بتساوي U of F شوف كيف ده صلهااللي هبدأ أقوللك اللي + +327 +00:28:05,810 --> 00:28:08,650 +هو نفترض انه زي ما قلنا انه star holds اللي حكينا + +328 +00:28:08,650 --> 00:28:12,990 +عنها لأن for any partition B هيكون ال L B of F + +329 +00:28:12,990 --> 00:28:17,970 +أصغر أساوي L of F و ال U of F أصغر أساوي مين ال U + +330 +00:28:17,970 --> 00:28:25,970 +B of F واضح؟ إذا أصار عيدي الآن L يمكن أوضحلكم على + +331 +00:28:25,970 --> 00:28:35,790 +اللوح L of B of F ده ال B أي partition أصغرمظبوط + +332 +00:28:35,790 --> 00:28:40,910 +أو يساوي ال L of A H of F لانه ال L of F يا جماعة + +333 +00:28:40,910 --> 00:28:47,330 +هو ال supremum اللي هنا و ال U بيقف + +334 +00:28:47,330 --> 00:28:53,130 +أكبر أو يساوي ال U of F لانه ال U of F H يا جماعة + +335 +00:28:53,130 --> 00:28:57,950 +هو عبارة عن مين عبارة عن ال infimumأترحولي الجهة + +336 +00:28:57,950 --> 00:29:01,410 +تانية هذا طبعا لكل مين لكل ال partitions اللي في + +337 +00:29:01,410 --> 00:29:06,750 +الدنيا من ضمنهم ال P Epsilon اللي احنا ماعطينايا + +338 +00:29:06,750 --> 00:29:12,250 +في ال .. اللي هو نص النظرية اذا بسيري عندى لأن لو + +339 +00:29:12,250 --> 00:29:19,990 +اجيب طرحة ال U F ناقص L F ال U F ناقص L Fهيصير ايش + +340 +00:29:19,990 --> 00:29:23,850 +ماله يا جماعة؟ يعني طريقة رحلة من هذه بيصير أصغر + +341 +00:29:23,850 --> 00:29:28,510 +أو يساوي لإن هذه بتضربها في ناقص و هذه ناقص و + +342 +00:29:28,510 --> 00:29:32,750 +بتنقلب زي ما عملنا قبل و شوية بيصير أصغر أو يساوي + +343 +00:29:32,750 --> 00:29:43,640 +U P of Fنقص ال B of F هذا الكلام صحيح لإيش لكل + +344 +00:29:43,640 --> 00:29:48,200 +partition في الدنيا من ضمنها المين ال partition + +345 +00:29:48,200 --> 00:29:52,580 +المواطع لنا يعني حيصير عند هذا ينطبق برضه على ال + +346 +00:29:52,580 --> 00:29:57,500 +بي إبسلون إذا صار هذا أصغر يسوي بي إبسلون نقص ال + +347 +00:29:57,500 --> 00:30:01,740 +بي إبسلون of F طيب هم يعطيين إن هذا المقدار إيش + +348 +00:30:01,740 --> 00:30:06,260 +ماله أصغر من إبسلون لأي إبسلون في الدنياهو أنا + +349 +00:30:06,260 --> 00:30:10,580 +بعرف أن هذا المقدار نفسه أكبر أو يساوي إيش سفر صار + +350 +00:30:10,580 --> 00:30:17,720 +عندى الآن ال U of F ناقص ال L of F دايما أصغر من + +351 +00:30:17,720 --> 00:30:23,420 +إبسلون و أكبر أو يساوي سفر لكل إبسلون أكبر من سفر + +352 +00:30:23,420 --> 00:30:28,260 +إذا على طول من نظرية في تحليل واحد هيكون هذا اللى + +353 +00:30:28,260 --> 00:30:36,250 +عندى إذا U of Fنقص L of F بيساوي سفر إذا U of F + +354 +00:30:36,250 --> 00:30:44,850 +بيساوي L of F وهذا يعني F is a Riemann Integral هو + +355 +00:30:44,850 --> 00:30:52,110 +المطلوب بيكون احنا هيك أثبتنا اللي هوIntegrable + +356 +00:30:52,110 --> 00:30:58,350 +criterion أو اللي هو طريقة لتحديد اللي هو ال + +357 +00:30:58,350 --> 00:31:02,270 +function is integrable أو لا غير اللي هو طريقة + +358 +00:31:02,270 --> 00:31:07,110 +التعريف الآن في عند كورولاري بعدها كورولاري + +359 +00:31:07,110 --> 00:31:11,530 +الكورولاري + +360 +00:31:11,530 --> 00:31:16,230 +هي تقول كما يليه الآن بدنا نترجم الحديث بدل ما كان + +361 +00:31:16,230 --> 00:31:22,710 +بإبسلون نحكي عن مين؟ عن اللي هوsequence of + +362 +00:31:22,710 --> 00:31:29,870 +partitions طبعاً هو هذا معهود التحويل في نظريات + +363 +00:31:29,870 --> 00:31:34,590 +مشابهة في حتى في كورسات أخرى خلّينا نشوف عندنا + +364 +00:31:34,590 --> 00:31:38,790 +اللي هو ال��ظرية ايش ب .. او الكورلري ايش بتقول + +365 +00:31:38,790 --> 00:31:43,350 +بتقول let I بساوة A و B and let F من I لR be a + +366 +00:31:43,350 --> 00:31:48,600 +bounded functionلأن لو فرضنا بي أن أن element none + +367 +00:31:48,600 --> 00:31:52,300 +is a sequence of partitions of I بحيث أن ال limit + +368 +00:31:52,300 --> 00:31:55,920 +هذا بيساوي سفر then f is integrable and ال limit + +369 +00:31:55,920 --> 00:31:58,040 +لل integration بيساوي ال integration بيساوي ال + +370 +00:31:58,040 --> 00:32:04,480 +limit ال أسف ال limit لل lower p and f بيساوي ال + +371 +00:32:04,480 --> 00:32:07,020 +limit لل upper p and f اللي هو بيساوي قيمة ال + +372 +00:32:07,020 --> 00:32:13,000 +integration حتى ال converse جماعة اللي هواللي قبل + +373 +00:32:13,000 --> 00:32:16,820 +بشوية اللي كان .. اللي هي كانت F أندولي F لأن لو + +374 +00:32:16,820 --> 00:32:21,520 +كانت F is integrable أكيد هلاقي sequence من + +375 +00:32:21,520 --> 00:32:25,380 +partitions بحيث أنه ال limit اللي حاصل الطرح بساوي + +376 +00:32:25,380 --> 00:32:29,760 +سفر اللي هو البرهان مشابه لإي اللي حكيناه فيه اللي + +377 +00:32:29,760 --> 00:32:34,500 +هو برهان إيجاد الـ B epsilon ولكن هنا بنجداللي هو + +378 +00:32:34,500 --> 00:32:37,380 +الـ Epsilon بساوية واحدة لان فبنلاقي اللي هو ال + +379 +00:32:37,380 --> 00:32:42,380 +sequence هذه في ال corollary .. في من مشابه .. شيء + +380 +00:32:42,380 --> 00:32:45,900 +مشابه في برهان النظرية الأولى اللي قبل بشوية و + +381 +00:32:45,900 --> 00:32:49,360 +ياريت تجربوها عندكم خلينا ناخد اللي .. اللي موجود + +382 +00:32:49,360 --> 00:32:54,160 +حاليا اللي هو الاتجاه هذا ان لو لجينا sequence of + +383 +00:32:54,160 --> 00:32:59,430 +partitionsوكان ال limit لل U P N و F نقص ال P N و + +384 +00:32:59,430 --> 00:33:02,870 +F بساوة سفر إذا هتكون F is integrable و هتكون ال + +385 +00:33:02,870 --> 00:33:07,990 +limit للأولى بساوة limit للثانية بساوة قيمة ال + +386 +00:33:07,990 --> 00:33:08,970 +integration + +387 +00:33:12,900 --> 00:33:17,500 +عند ما أعطيني limit هذا إيش بساوي؟ سفر خلّينا ندخل + +388 +00:33:17,500 --> 00:33:20,580 +على التعريف مباشرة تعريف ال limit بتعرفوا تعريف ال + +389 +00:33:20,580 --> 00:33:23,140 +limit يا شباب؟ اللي هو لكل إبسلون أكبر من سفر + +390 +00:33:23,140 --> 00:33:26,160 +there exist k such that لكل أن أكبر سوى k بيصير + +391 +00:33:26,160 --> 00:33:33,200 +هذا ناقص هذا أصغر من مين؟ من اللي هو إبسلون وهذا + +392 +00:33:33,200 --> 00:33:35,980 +على طول يعطينا as integral خلّيش تشوف أيش اللي + +393 +00:33:35,980 --> 00:33:43,000 +بيقوله لأن since عند ما أعطيني limitU P N و F ناقص + +394 +00:33:43,000 --> 00:33:51,240 +ال P N و F as N goes to infinity بساوة سفر، مظبوط؟ + +395 +00:33:51,240 --> 00:33:56,220 +هي كل ما أعطينيها نجي للتعريف، إذا تعريف ال + +396 +00:33:56,220 --> 00:33:58,880 +sequence عادية for every epsilon أكبر من سفر there + +397 +00:33:58,880 --> 00:34:02,680 +exists K element in N such that for every N أكبر + +398 +00:34:02,680 --> 00:34:13,090 +سوا K اللي هو عندي ال U P N و F ناقصبن و F أصغر من + +399 +00:34:13,090 --> 00:34:19,010 +إبسلون إذا مش لجينا بارتشن واحد لجينا بارتشن بك و + +400 +00:34:19,010 --> 00:34:22,710 +بك زاد واحد و بك زاد اتنين و بك زاد تلاتة كلهم + +401 +00:34:22,710 --> 00:34:29,110 +بسبب إن ال UBK أو ال UBK زاد واحد أو الاخره ناقص + +402 +00:34:29,110 --> 00:34:32,590 +القللها أصغر من 100 من إبسلون إذا ال criterion + +403 +00:34:32,590 --> 00:34:36,550 +اللي في الكورولاريت حققت إذا صارت عندي هذه إذا F + +404 +00:34:36,550 --> 00:34:41,830 +is integrableيعني مش بي إبسلون واحد اللي جينا لأ + +405 +00:34:41,830 --> 00:34:46,550 +من عند بك وطالع كل ال partitions هذه اللي هي بك و + +406 +00:34:46,550 --> 00:34:49,950 +بك زائد واحد و بك زائد اتنين بتعمل عمل ال بي + +407 +00:34:49,950 --> 00:34:53,510 +إبسلون اللي في وين في النظرية إذا ال F أشمالها + +408 +00:34:53,510 --> 00:34:58,750 +صارت ال F عبارة عن Integrable من النظرية السابقة + +409 +00:34:58,750 --> 00:35:05,200 +الآن الدور دل أن نثبت مين أن ��ل limitلأ اللي هو + +410 +00:35:05,200 --> 00:35:09,260 +هذا المقدار هو limit لهذا المقدار بساوي إيش اللي + +411 +00:35:09,260 --> 00:35:12,540 +جوا طبعا هو لو كانت يا جماعة limit هذا نقص هذا سفر + +412 +00:35:12,540 --> 00:35:15,920 +مش معناته ال limit الأول و limit الثاني exist هاي + +413 +00:35:15,920 --> 00:35:20,610 +مثلا هذه لو كانت هذه un تربيع وهذه unUnterm .. آسف + +414 +00:35:20,610 --> 00:35:24,610 +Unتربيع و Unتربيع أو Un و Un limit Un نقص Un على + +415 +00:35:24,610 --> 00:35:27,850 +طول سفر لكن لا limit الأولى عدد ولا limit الثاني + +416 +00:35:27,850 --> 00:35:33,270 +عدد اتنين اتين بروحين إلى مالا نهاية فالان لكن في + +417 +00:35:33,270 --> 00:35:37,390 +هذه الحالة نظرا للمعطيات اللي موجودة و اللي هي + +418 +00:35:37,390 --> 00:35:40,930 +طبيعي اللي هو اللي بنحكي فيه NuF is bounded و ببو + +419 +00:35:40,930 --> 00:35:45,550 +و الاخره هو استخدام السابق هيطلع عندي فعلا ال + +420 +00:35:45,550 --> 00:35:50,840 +limitللأل بيساوي limit للأبر بيساوي قيمة ال + +421 +00:35:50,840 --> 00:36:08,200 +integration ماشي اطلعوا يا جماعة عندي الآن خليني + +422 +00:36:08,200 --> 00:36:15,240 +أطلع .. نحط البرهان أمامنابدي الآن خلصت اللي هو F + +423 +00:36:15,240 --> 00:36:21,500 +is integrable بدي أستخدم زي جابل بشوية بالظبط اللي + +424 +00:36:21,500 --> 00:36:28,570 +هو تعريف ال L of F و U of F و إيش تعريفهاذا ما + +425 +00:36:28,570 --> 00:36:32,250 +بديش اعيد اللي حكيته قبل بشوية الان بما ان ال L of + +426 +00:36:32,250 --> 00:36:42,370 +F عبارة عن اللي هي supremum لل L B of F اذا لكل + +427 +00:36:42,370 --> 00:36:46,610 +ي ساوي واحدة لان there exists B N partition of I + +428 +00:36:46,610 --> 00:36:50,390 +such that L of F نقص واحدة لان اصغر من مين من L B + +429 +00:36:50,390 --> 00:36:54,070 +N of Fزي ما قلت قبل شوية، لو الـ Supremum طرحنا + +430 +00:36:54,070 --> 00:36:57,270 +اللي هي الـ Least Upper Bound، طرحنا منه أي عدد، 1 + +431 +00:36:57,270 --> 00:37:01,330 +على N، إذا هلاجي، هيبطل إيش ماله Upper Bound، إيش + +432 +00:37:01,330 --> 00:37:04,190 +معناه يبطل Upper Bound؟ هيلاجي واحد من المجموعة + +433 +00:37:04,190 --> 00:37:08,230 +أكبر منه، وهذا فعلا اللي لاجينا BN، بحيث أن الـ BN + +434 +00:37:08,230 --> 00:37:13,910 +و F أكبر من الـ F ناقص واحدة لأنالان من هذا .. من + +435 +00:37:13,910 --> 00:37:16,670 +.. من .. من ال .. ال .. ال .. ناخد هذا على الطرف + +436 +00:37:16,670 --> 00:37:19,970 +الثاني على الطرف هنا و ناخد هذا على الطرف هذا بصير + +437 +00:37:19,970 --> 00:37:23,890 +عندي L of F نقص Lb of F أصغر من واحدة الآن و أنا + +438 +00:37:23,890 --> 00:37:28,670 +بعرف أن هذا دايما أكبر يساوي هذا لأن هذا ال + +439 +00:37:28,670 --> 00:37:32,410 +supremum منهم إذا انا هيكون أكبر يساوي سفر الان + +440 +00:37:32,410 --> 00:37:38,440 +خدوا ال limit للجهتينas n goes to infinity بيصير + +441 +00:37:38,440 --> 00:37:43,160 +عندي هذا اللي هي limit + +442 +00:37:43,160 --> 00:37:48,060 +لL بيقل نوف أف حيثالوي لL أوف أف لإنه حيثير ال + +443 +00:37:48,060 --> 00:37:53,720 +limit هذا أيش بيساوي بيساوي سفر واضحالان يا جماعة + +444 +00:37:53,720 --> 00:37:58,400 +عندي ال L of F ناقص ال P L of F أصغر من واحدة لأنه + +445 +00:37:58,400 --> 00:38:03,660 +أكبر سوى سفر لان معله الان هذا لكل إبسلون اللي هو + +446 +00:38:03,660 --> 00:38:07,300 +واحدة لان لجينا partition يعني للإبسلون بيساوي + +447 +00:38:07,300 --> 00:38:09,360 +واحد لجينا بيه واحد للإبسلون بيساوي اتنين بيه + +448 +00:38:09,360 --> 00:38:12,160 +اتنين للإبسلون تلاتة بيه تلاتة إذا صار عندي + +449 +00:38:12,160 --> 00:38:16,580 +sequence of اللي هي إياش partitionsالأن طلع عندي + +450 +00:38:16,580 --> 00:38:20,460 +دائما دائما دائما L of F نقص ال PN of F أصغر من + +451 +00:38:20,460 --> 00:38:25,440 +واحد على N لكل N الأن as N goes to infinity هذا ال + +452 +00:38:25,440 --> 00:38:30,620 +limit هيصير سفر وهذا سفر إذا هيصير limit هذا as N + +453 +00:38:30,620 --> 00:38:33,200 +goes to infinity بساوي سفر لكن ال L of F أصلا + +454 +00:38:33,200 --> 00:38:37,860 +independent of N إذا هيصير limit PN of F as N goes + +455 +00:38:37,860 --> 00:38:43,720 +to infinity بساوي L of F لأن المواضحات لوش يا شباب + +456 +00:38:43,720 --> 00:38:52,360 +limitL of F ناقص L B N و F هيساوي 0 as N goes to + +457 +00:38:52,360 --> 00:38:56,920 +infinity و هذا المقدار عبارة عن مقدار ثابت + +458 +00:38:56,920 --> 00:39:04,740 +independent of N إذا هيصير عندي limit L B N و F + +459 +00:39:04,740 --> 00:39:10,540 +بتساوي limit L of F ناقص + +460 +00:39:17,660 --> 00:39:27,170 +L of P L و F زائد L of Fمظبوط؟ طيب هذا الأن + +461 +00:39:27,170 --> 00:39:33,590 +المقدار معروف أنه بساوي 0 و هذا ثابت إذا بقدر أوزع + +462 +00:39:33,590 --> 00:39:37,210 +ال limit على الجهتيين و أنا مرتاح إذا بساوي limit + +463 +00:39:37,210 --> 00:39:42,950 +الأول اللي هو 0 زائد limit الثاني نفسه لأنه ثابت + +464 +00:39:42,950 --> 00:39:46,450 +إذا صار عندي limit L P N of F as N goes to + +465 +00:39:46,450 --> 00:39:54,710 +infinity بساوي L of F كما هو حكينا عنه حقامن جهة + +466 +00:39:54,710 --> 00:39:58,650 +أخرى limit الـU ناقص limit الـL المعطيلة هي بيساوي + +467 +00:39:58,650 --> 00:40:03,490 +0 إذا صار عندى سهل أن أوجد mean برضه limit الـU + +468 +00:40:03,490 --> 00:40:08,990 +اللي هو limit الـU إيش هيساوي ناقص اللي هو .. ال + +469 +00:40:08,990 --> 00:40:12,670 +.. ال .. هيساوي limit الـL of F يساوي الـU of F + +470 +00:40:12,670 --> 00:40:17,270 +يساوي ال integration أكثر توضيحاً and بيهاجدى + +471 +00:40:17,270 --> 00:40:22,420 +أعتقد أنه واضح لكن خلّينا نوضحه بشكل أكبرعشان + +472 +00:40:22,420 --> 00:40:34,100 +مايضلش مشي عندى limit U P N of F ايش هيساوي هيساوي + +473 +00:40:34,100 --> 00:40:44,560 +اللي هو limit U + +474 +00:40:44,560 --> 00:40:49,740 +P N of F + +475 +00:40:52,490 --> 00:40:58,090 +limit U P N و F ناقص + +476 +00:40:58,090 --> 00:41:07,810 +L of P N of F زائد L P N of F واضحة يا شباب أه؟ + +477 +00:41:07,810 --> 00:41:12,690 +الآن هذا مضمون أنه موجود و سفر وهذا مضمون و + +478 +00:41:12,690 --> 00:41:18,350 +أثبتناه إيش بيساوي L of Fإذا إيش صار بيساوي؟ + +479 +00:41:18,350 --> 00:41:21,810 +بيساوي اللي هو هذا صفر إذا صار بيساوي أقل و فأف + +480 +00:41:21,810 --> 00:41:25,510 +إذا صار هذا برضه بيساوي أقل و فأف لكن أنا مثبت قبل + +481 +00:41:25,510 --> 00:41:29,610 +بشوية أن ال F is integrable يعني ال U في F إيش + +482 +00:41:29,610 --> 00:41:34,550 +هتساوي؟ اللي أقل و فأف وهذه أثبتناها إيش بتساوي؟ + +483 +00:41:34,550 --> 00:41:39,350 +limit U P N و F وهذه نفسها أثبتناها قبل بشوية إيش + +484 +00:41:39,350 --> 00:41:46,070 +بتساوي؟ limit L P N و Fوهو المطلوب طبعاً مدام + +485 +00:41:46,070 --> 00:41:49,370 +integration هذه وهذه هي عبارة عن ال integration + +486 +00:41:49,370 --> 00:41:55,410 +على الفترة اللي بنحكي عنها الإنقلا بيه لقيمة ال F + +487 +00:41:55,410 --> 00:42:01,710 +لأن صار عندي كل القيام هذه متساوية وصار عندي إيجاد + +488 +00:42:01,710 --> 00:42:07,610 +ال limit لل U P N و F أو limit لل L P N و F يكفي + +489 +00:42:07,610 --> 00:42:11,330 +أنه نوجد فيه قيمة ال integration بعد ما أثبتناه أو + +490 +00:42:11,330 --> 00:42:16,260 +تحت الظروف اللي هي في الكورو الأخرىلأ نيجي بدنا + +491 +00:42:16,260 --> 00:42:22,660 +نبرهن اللي هو المثال اللي برهناه المرة الماضية + +492 +00:42:22,660 --> 00:42:27,660 +بالتعريف بدنا نبرهنه بواسطة اللي هي ال corollary + +493 +00:42:27,660 --> 00:42:33,060 +اللي عندنا بدنا نبرهن اللي هو اللي هي نثبت أنه + +494 +00:42:36,170 --> 00:42:42,070 +نثبت أن F of X بساوة X يا شباب عبارة عن Integrable + +495 +00:42:42,070 --> 00:42:45,770 +أو اللي سمناها G of X بساوة X is Integrable على + +496 +00:42:45,770 --> 00:42:48,830 +الفترة Zero واحد المرة الماضية أثبتناها كيف + +497 +00:42:48,830 --> 00:42:54,230 +أثبتناها زي ما أنتم متذكرين بواسط التعريفمظبوط؟ + +498 +00:42:54,230 --> 00:42:58,610 +طيب جيبنا اللي هو ال upper sum و ال lower sum و + +499 +00:42:58,610 --> 00:43:02,930 +بعدين جيبنا ال upper integral و ال lower integral + +500 +00:43:02,930 --> 00:43:04,750 +و أثبتنا ان ال upper integral بساوي ال lower + +501 +00:43:04,750 --> 00:43:08,760 +integral و خلصناهالآن بدنا نثبتها بطريقتنا اللي هي + +502 +00:43:08,760 --> 00:43:12,540 +على الكورولر اللي جابل بشوية عند g of x ساوة x على + +503 +00:43:12,540 --> 00:43:16,600 +الفترة 0 بواحد هي المطلوب اثباتها show that g is + +504 +00:43:16,600 --> 00:43:20,940 +integrable على هذه الفترة الآن بديش اعيد اللي + +505 +00:43:20,940 --> 00:43:23,850 +حكيته المرة الماضية اللي حكيناه المرة الماضيةمن + +506 +00:43:23,850 --> 00:43:26,910 +الـ Example اللي أثبتنا فيه انها Integra بالبواسطة + +507 +00:43:26,910 --> 00:43:31,470 +اللي هي التعريف أخدنا P N اللي هو Zero واحد على N + +508 +00:43:31,470 --> 00:43:34,910 +واثنين على N وان نقص واحد على N لعند الواحد أخدنا + +509 +00:43:34,910 --> 00:43:39,290 +اللي هو عبارة عن Any Partition اللي هو بالطريقة + +510 +00:43:39,290 --> 00:43:43,710 +اللي أمامي يعني حسب N بيصير بختلف ال Partition أما + +511 +00:43:43,710 --> 00:43:46,730 +إيش فكرة ال Partition زي ما قلنا المرة الفائتة من + +512 +00:43:46,730 --> 00:43:51,350 +0 لعند 1 جزأناها إلى أجزاء متساوية إلى N من + +513 +00:43:51,350 --> 00:43:55,350 +الأجزاء المتساويةصار طول كل sub integral عبارة عن + +514 +00:43:55,350 --> 00:44:00,850 +إيهاش عبارة عن واحد على N وأوجدنا في حينه اللي هو + +515 +00:44:00,850 --> 00:44:08,470 +ال U P N O G ولاجناها بتساوي إيه ده بتتذكروا نص في + +516 +00:44:08,470 --> 00:44:13,710 +واحد زائد واحد على N وأوجدنا برضه ال P N O G + +517 +00:44:13,710 --> 00:44:18,910 +ولاجناها عبارة عن نص في واحد ناقص واحد على N كما + +518 +00:44:18,910 --> 00:44:26,960 +أذكر ماشي الحال فعلا طيبالان صار عندى الـ PN في + +519 +00:44:26,960 --> 00:44:29,780 +الواقع عبارة عن sequence of partitions + +520 +00:44:35,190 --> 00:44:39,110 +هذه صارت sequence of partitions بواحد بتعود عن انا + +521 +00:44:39,110 --> 00:44:42,750 +بواحد باتنين كده بتلاتة كده باربعة كده وفي كل + +522 +00:44:42,750 --> 00:44:47,270 +الأحوال الـ U, B, N و G انجروا لهيها و الـ L, B, N + +523 +00:44:47,270 --> 00:44:51,490 +و G بساوي إيش المقدار الأمامي الآن عشان أثبت إنها + +524 +00:44:51,490 --> 00:44:56,590 +integrable يكفي من النظرية الكورولاري إن قاعد أقول + +525 +00:44:56,590 --> 00:45:03,290 +طب خلينا نشوف limit الـ U, B, N و G ناقص الـ L, B, + +526 +00:45:03,450 --> 00:45:09,840 +N و Gas n goes to infinity بساوة إيه يا عشان بساوة + +527 +00:45:09,840 --> 00:45:16,360 +سفر نشوفها صح ولا لأ طبعا أكيد مع حسبة بسيطة + +528 +00:45:16,360 --> 00:45:24,580 +احسبليها بساوة limit نصفي واحد زياد واحدة لان زياد + +529 +00:45:24,580 --> 00:45:28,600 +نص في واحد ناقص واحدة لان as n goes to infinity + +530 +00:45:28,600 --> 00:45:32,260 +هذه سفر وهذه سفر وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +531 +00:45:32,260 --> 00:45:32,260 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +532 +00:45:32,260 --> 00:45:32,260 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +533 +00:45:32,260 --> 00:45:32,260 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +534 +00:45:32,260 --> 00:45:32,260 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +535 +00:45:32,260 --> 00:45:32,340 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +536 +00:45:32,340 --> 00:45:32,920 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +537 +00:45:32,920 --> 00:45:38,340 +وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص وهذه نص + +538 +00:45:38,340 --> 00:45:45,580 +وهذهاللي هو y ساوي نص نقص النص y ساوي سفر واضح أهي + +539 +00:45:45,580 --> 00:45:50,120 +عندي اللي هو هاد سفر و هاد سفر و نص نقص النص y + +540 +00:45:50,120 --> 00:45:54,920 +ساوي سفر مادام سفر إذا إيه شمالها إذا the function + +541 +00:45:54,920 --> 00:46:02,720 +d of x ساوي x is integrable on zero واحد هذا by + +542 +00:46:02,720 --> 00:46:06,560 +mean by ال corollary اللي قبل بشوية + +543 +00:46:15,600 --> 00:46:19,420 +الان بقيمة ال integration ايش هيكون قيمة ال limit + +544 +00:46:19,420 --> 00:46:24,280 +limit u, b, n, g هيقدر الغرض و limit l of n of g + +545 +00:46:24,280 --> 00:46:29,320 +هيقدر الغرض ليش لأن limit هذا اصلا هيطلع لك limit + +546 +00:46:29,320 --> 00:46:35,710 +ال u, b, n و gهو عبارة عن قيمة integration من A ل + +547 +00:46:35,710 --> 00:46:42,370 +B حسب النظرية الـ Corollary و يساوي limit 2.5 في 1 + +548 +00:46:42,370 --> 00:46:48,600 +زائد 1 ل N و يساوي هذا تروح ل 0و يساوى نص و أيضا + +549 +00:46:48,600 --> 00:46:54,080 +لو جربت حسب تاب limit ال b, n و g طبعا هيطلع نفس + +550 +00:46:54,080 --> 00:46:58,200 +الجواب و إلا إن كان هناك مشكلة لدينا limit نص في + +551 +00:46:58,200 --> 00:47:02,340 +واحد ناقص واحد على n و يساوى برضه جدياش نص إذن + +552 +00:47:02,340 --> 00:47:06,700 +قيمة ال integration بساوة نص إذن هذه طريقة أخرى + +553 +00:47:06,700 --> 00:47:11,780 +لحساب اللي هو أو لإثبات أن g of x بساوة x is + +554 +00:47:11,780 --> 00:47:17,560 +integrableالآن بدنا ندخل على أمر آخر الأمر هو في + +555 +00:47:17,560 --> 00:47:24,500 +الواقع يا شباب أنه بدنا نشوف إيش في من عائلات + +556 +00:47:24,500 --> 00:47:28,400 +الدوال عائلات الدوال إنها تكون Integrable الآن + +557 +00:47:28,400 --> 00:47:31,720 +بدنا نيجي نحوش الدوال الـ Integrable إحنا عرفنا بس + +558 +00:47:31,720 --> 00:47:36,500 +ده لأ D of X سو X is Integrable و هنلاقي زيها لكن + +559 +00:47:36,500 --> 00:47:40,960 +الآن بدنا نيجي نحكي عن دوال اللي هو عائلات من + +560 +00:47:40,960 --> 00:47:45,480 +الدوالأول عائلة من العائلات المهمة اللي هي الـ + +561 +00:47:45,480 --> 00:47:48,960 +monotone functions يعني الدوال اللي بتكون يا + +562 +00:47:48,960 --> 00:47:52,360 +increasing على كل الفترة يا decreasing على كل + +563 +00:47:52,360 --> 00:47:59,320 +الفترة بقولكم هذا على اللي هي F من F ال function + +564 +00:47:59,320 --> 00:48:04,000 +لو كانت bounded لو كانت monotone على اللي هي + +565 +00:48:04,000 --> 00:48:09,660 +closed bounded interval I على طول integrable إذن + +566 +00:48:09,660 --> 00:48:16,700 +عيلة كبيرةعيلة الدوال اللي بتكون يا increasing يا + +567 +00:48:16,700 --> 00:48:22,380 +decreasing على كل الفترة a و b هذه مضمون انها تكون + +568 +00:48:22,380 --> 00:48:26,980 +الدوال ايه شمالها عبارة عن integrable functions + +569 +00:48:26,980 --> 00:48:35,090 +اذا اول اعلان الان اللي هو any monotone functionon + +570 +00:48:35,090 --> 00:48:40,850 +a closed bounded interval is integrable وهذا اللي + +571 +00:48:40,850 --> 00:48:47,090 +هو عنواننا integrability of monotone functionsلت I + +572 +00:48:47,090 --> 00:48:51,650 +بتساوي A و B و لت F من I لR بيكون مونوتون فانكشن + +573 +00:48:51,650 --> 00:48:57,370 +on I ثم F أشمالها is integrable on I نفترض أن F + +574 +00:48:57,370 --> 00:49:03,110 +انتقل هو مونوتور نصل إليها integrable نفترض أن F + +575 +00:49:03,110 --> 00:49:09,440 +مثلا increasingونصل إنها integrable وsimilarly + +576 +00:49:09,440 --> 00:49:14,560 +وفعلا similarly لو كانت f is decreasing هتكون برضه + +577 +00:49:14,560 --> 00:49:21,500 +is integrable خلّينا مع بعض شباب نفترض suppose + +578 +00:49:21,500 --> 00:49:31,240 +that f is increasing يعني الدالة على الفترة هي a + +579 +00:49:31,240 --> 00:49:37,760 +وb مثلاوالدالة هتكون أشمالها تزايدية يا هيك يا هيك + +580 +00:49:37,760 --> 00:49:41,620 +طبعا حسب مش مشكلة بتفرج أشمالها ماشي الحال اللي هي + +581 +00:49:41,620 --> 00:49:47,060 +الدالة أشمالها is increasing is increasing بتدخل + +582 +00:49:47,060 --> 00:49:53,500 +الآن بي أن اللي هو عبارة عن any partition اللي هو + +583 +00:49:55,970 --> 00:50:00,970 +بس بدي أجزه زي منهج اللي عملته معه اللي هو f of x + +584 +00:50:00,970 --> 00:50:05,370 +بساوة x اللي قبله شوية بدي أجزه إلى أجزاء متساوية + +585 +00:50:05,370 --> 00:50:11,130 +يعني بدي أجز الفقرة a و b إلى أجزاء متساوية الأولى + +586 +00:50:11,130 --> 00:50:15,730 +بدي أسميها x note اللي بعدها x1 اللي بعدها x2 لما + +587 +00:50:15,730 --> 00:50:21,780 +أصل لآخر 11 أسميها xnونكون طول كل واحدة متساوية + +588 +00:50:21,780 --> 00:50:26,340 +للثانية إذا الان إذا بد�� أجزئها إلى N إلى N من ال + +589 +00:50:26,340 --> 00:50:30,240 +sub intervals بيصير طول كل فترة عبارة عن B minus A + +590 +00:50:30,240 --> 00:50:35,080 +على مين؟ على N طول الفترة على عدد الفترات اللي + +591 +00:50:35,080 --> 00:50:39,400 +بتديهاأنا بدّي الفترات إيش عددها؟ N فبيصير عند بي + +592 +00:50:39,400 --> 00:50:43,320 +ماينس إيه على مين على N هذا طول الفترة يعني الفترة + +593 +00:50:43,320 --> 00:50:47,740 +النموذجية لأي K X K minus X K minus واحد هيتمكن + +594 +00:50:47,740 --> 00:50:52,560 +طولها عبارة عن بي ماينس إيه على N for every K كيه + +595 +00:50:52,560 --> 00:50:56,000 +طبعا إيه اشمالها؟ يا ما بيساوي Zero يا واحد، لعند + +596 +00:50:56,000 --> 00:51:01,100 +ماصل، لعند مين؟ لعند N أو K بيساوي واحد لعند N + +597 +00:51:04,810 --> 00:51:10,230 +xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n + +598 +00:51:10,230 --> 00:51:14,230 +-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n + +599 +00:51:14,230 --> 00:51:14,590 +-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n + +600 +00:51:14,590 --> 00:51:17,070 +-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n + +601 +00:51:17,070 --> 00:51:25,770 +-xn-n-xn-n-xn-n-xn-n-xn-nلأ لو جينا هذا increasing + +602 +00:51:25,770 --> 00:51:30,170 +مدام increasing إذن الـ Mk اللي هي عبارة عن ال + +603 +00:51:30,170 --> 00:51:35,510 +supremum اللي هنا supremum لهذه Mk ال supremum + +604 +00:51:35,510 --> 00:51:39,910 +اللي هنا هيكون على أخر واحدة لأن أجملها ده لا is + +605 +00:51:39,910 --> 00:51:45,510 +increasing إذن هيكون ال Mk هو F of XK رسم عنها + +606 +00:51:45,990 --> 00:51:51,210 +بساوة F of X K طيب ال M K Small أكيد هيقولنا كلكم + +607 +00:51:51,210 --> 00:51:54,010 +هتقوله بتساوة ال M في معمع الفترة مدام ال M في + +608 +00:51:54,010 --> 00:51:57,370 +معمع الفترة إذا أول واحدة فيهم إذا هو F of X K + +609 +00:51:57,370 --> 00:52:04,530 +minus واحد، مظبوط شباب؟ طيب، مظبوط هذه اللي هي + +610 +00:52:04,530 --> 00:52:10,750 +مالها الدالة اللي بتكون monotone عندي، + +611 +00:52:10,750 --> 00:52:21,840 +احسبلي الآن ال U P N و Fنقص الـ BNOF إيش هيساوي؟ + +612 +00:52:21,840 --> 00:52:26,840 +جهزة الأمور بساوي الـ summation لمين؟ للـ MK + +613 +00:52:26,840 --> 00:52:36,190 +Capital في XK نقص XK minus واحدك من عند 1 لعند n + +614 +00:52:36,190 --> 00:52:44,370 +نقص summation mk في xk minus xk minus 1 k من عند 1 + +615 +00:52:44,370 --> 00:52:49,440 +لعند n ويساويالـ Mk وجدناها، اللي هي عبارة عن مين؟ + +616 +00:52:49,440 --> 00:52:55,420 +F of Xk ويساوي الـ summation للـ F of Xk في مين + +617 +00:52:55,420 --> 00:53:00,200 +مضروبة؟ في هذه، هذه كده طولها ثابت، ما احنا هيك + +618 +00:53:00,200 --> 00:53:02,540 +على هذا الأساس اذا اخترنا الـ sequence of + +619 +00:53:02,540 --> 00:53:05,320 +partitions اللي عندنا، اللي هو طوالث في + +620 +00:53:05,320 --> 00:53:09,580 +subintervals ثابتة، كل واحد اسمه يشمله B minus A + +621 +00:53:09,580 --> 00:53:14,250 +على N، هذا K من واحدإن عندنا ناقص خلّيني أضعه في + +622 +00:53:14,250 --> 00:53:18,550 +summation 1 ناقص نفس القصة اللي هي m k small إيش + +623 +00:53:18,550 --> 00:53:23,710 +هي يا جماعة اتفاقنا عبارة عن f of x k minus 1 في + +624 +00:53:23,710 --> 00:53:27,610 +هذه خلّيني أخدها عامل مشترك بعد إذنكم لإن هو + +625 +00:53:27,610 --> 00:53:31,070 +موجودة هنا وموجودة هنا خلّيني أطلّحها برا واضحة + +626 +00:53:31,070 --> 00:53:36,070 +أشيل هذه برا بيصير اللي هو مضروبة في b minus a على + +627 +00:53:36,910 --> 00:53:42,350 +وأصلا هذه ثابتة بالنسبة لل summation ليش؟ لأن ال + +628 +00:53:42,350 --> 00:53:46,110 +summation العداد K من واحد عندنا أن هذه N ثابتة + +629 +00:53:46,110 --> 00:53:52,870 +بالنسبة لل K لذلك بتساوي B minus A على N مضروبة في + +630 +00:53:52,870 --> 00:53:59,280 +مين في ال summationللـ f of x k minus f of x k + +631 +00:53:59,280 --> 00:54:03,840 +minus واحد k من عند واحد لعند مين يا جماعة لعند ان + +632 +00:54:03,840 --> 00:54:07,920 +بعدين the is and could بدي افرطها هذه بيصير عندي y + +633 +00:54:07,920 --> 00:54:14,880 +ساوي هذا اللي هو مين كله اللي جاعت بحسبه ال u,b,n + +634 +00:54:14,880 --> 00:54:19,320 +وf ناقص ال b,n وf هيسوي هذا المقدار اللي هو b + +635 +00:54:19,320 --> 00:54:25,970 +minus a على المضروب فيهالان ال summation عبارة عن + +636 +00:54:25,970 --> 00:54:32,630 +k ب 1 بصير f of x 1 ناقص f of x naught اللي بعدها + +637 +00:54:32,630 --> 00:54:40,170 +k ب 2 زائد f of x 2 ناقص f of x 1 اللي بعدها زائد + +638 +00:54:40,170 --> 00:54:46,130 +f of x 3 ناقص f of x 2 لما نقضى اللي ماشي لأخر + +639 +00:54:46,130 --> 00:54:53,140 +واحد بكون عندى f of x nناقص f of x n ناقص واحد + +640 +00:54:57,360 --> 00:55:04,840 +F of X1 بيطير مع سالب F of X1 و F of X2 بيطير مع + +641 +00:55:04,840 --> 00:55:09,840 +سالب F of X2 و هكذا بظل ماشي لما كله يروح مع كله + +642 +00:55:09,840 --> 00:55:16,640 +ما عدا بظل عندي اللي هو أول قيمة اللي هي F of X + +643 +00:55:16,640 --> 00:55:22,660 +note بالسالب مع F of Xn الأخيرة بالموجب بيصير عندي + +644 +00:55:22,660 --> 00:55:34,740 +Y ساوي B minus A على Nفي F of Xn ناقص F of X0 طبعا + +645 +00:55:34,740 --> 00:55:39,420 +Xn آخر واحدة اللي هي B و X0 أول واحدة اللي هي A + +646 +00:55:39,420 --> 00:55:46,580 +إذن هيساوي هذا عبارة عن B minus A في F of B minus + +647 +00:55:46,580 --> 00:55:53,150 +F of A الكل هذا مجسوم على مين يا جماعة؟ على Nهذا + +648 +00:55:53,150 --> 00:55:58,090 +عبارة عن ثابت وهذا عبارة عن ثابت وهذا الان هي اللي + +649 +00:55:58,090 --> 00:56:03,670 +بدلالتها كُتِب ال partitions إذا صار عندى الآن بعد + +650 +00:56:03,670 --> 00:56:07,230 +كل اللي حكيته هان أخدت ال بي أن بالشكل اللي أمامي + +651 +00:56:07,230 --> 00:56:12,190 +عبارة عن sequence of partitions ووصلنا إلى ما + +652 +00:56:12,190 --> 00:56:17,890 +لاقيا ليه يا جماعة اللي هو وصلنا ان ال you بي أن و + +653 +00:56:17,890 --> 00:56:26,260 +أف ناقص ال بي أن و أفأصغر أو يساوي طبعا أكيد أكبر + +654 +00:56:26,260 --> 00:56:29,600 +يساوي صفر لأن هذا دايما أكبر يساوي هذا أصغر يساوي + +655 +00:56:29,600 --> 00:56:36,140 +B minus A ف F of B أكيد عرفت أشهد أساوي نقص F of A + +656 +00:56:36,140 --> 00:56:41,720 +على اللي هو N الـ N خد ال limit للجهتين as N goes + +657 +00:56:41,720 --> 00:56:45,160 +to infinity as N goes to infinity هذا goes to zero + +658 +00:56:45,160 --> 00:56:51,730 +وهذا أصلا صفر فبصير عندي limit إذا .. إذا limitالـ + +659 +00:56:51,730 --> 00:56:59,290 +U P N و F ناقص الـ L P N و F as N goes to infinity + +660 +00:56:59,290 --> 00:57:04,210 +بساوي سفر إذا صار عندي sequence of partitions تحقق + +661 +00:57:04,210 --> 00:57:07,730 +لهذا إذا حسب الـ Corollary اللي حكيتها قبل بشوية + +662 +00:57:07,730 --> 00:57:17,130 +إذا F is integrable وهو المطلوب إذا صار عندي أي + +663 +00:57:17,130 --> 00:57:21,850 +increasing function is integrablesimilarly for + +664 +00:57:21,850 --> 00:57:26,170 +decreasing لماذا similarly لأنه تصبح الدالة بدل ما + +665 +00:57:26,170 --> 00:57:30,950 +هي طالع هيك تصبح أشمالها نازلة نزول الدالة فبصير + +666 +00:57:30,950 --> 00:57:35,430 +عندك اللي هو ال maximum هي الأولى أو ال supremum + +667 +00:57:35,430 --> 00:57:41,920 +هي أفبصير الـ MK بسوء F of XK minus واحد والـ MK + +668 +00:57:41,920 --> 00:57:46,760 +بسوء F of XK وبيتكملوا البرهان بنفس الطريقة، هيطلع + +669 +00:57:46,760 --> 00:57:52,040 +عندكم البرهان automatic وبشكل سهل وبشكل سلس، + +670 +00:57:52,040 --> 00:57:58,500 +similar أي سؤال؟ إذن الإعلان اللي أعلنناه قبل + +671 +00:57:58,500 --> 00:58:04,800 +بشوية أنه any monotone functionيعني any increasing + +672 +00:58:04,800 --> 00:58:08,780 +function on a closed bounded interval must be + +673 +00:58:08,780 --> 00:58:15,740 +integrable and any decreasing function on a closed + +674 +00:58:15,740 --> 00:58:20,420 +bounded interval برضه must be integrable إذا صار + +675 +00:58:20,420 --> 00:58:26,060 +في عنا عائلة كاملة من الدوال القابلة للتكامل بواسط + +676 +00:58:26,060 --> 00:58:32,160 +التكامل remandالآن بدنا ننتقل إلى عائلة أخرى + +677 +00:58:32,160 --> 00:58:38,300 +وعائلة لا تقل أهمية عن هذه العائلة وعائلة يعني + +678 +00:58:38,300 --> 00:58:45,560 +محبوبة عنها اللي هي اللي + +679 +00:58:45,560 --> 00:58:53,960 +هي عائلة الدوال المتصلة اللي هي integrable of + +680 +00:58:53,960 --> 00:58:56,140 +continuous functions + +681 +00:59:00,850 --> 00:59:06,130 +اللي هي integrability of continuous functions + +682 +00:59:06,130 --> 00:59:12,210 +النظرية بتقول ما يلي لت أ .. طبعا عندي ال function + +683 +00:59:12,210 --> 00:59:16,410 +على closed bounded interval لت F من I لR be + +684 +00:59:16,410 --> 00:59:20,750 +continuous on I then F is integrable on I إذا الآن + +685 +00:59:20,750 --> 00:59:24,230 +any continuous function on a closed bounded + +686 +00:59:24,230 --> 00:59:29,600 +interval must be integrableكمان مرة any continuous + +687 +00:59:29,600 --> 00:59:33,840 +function on a closed bounded interval must be + +688 +00:59:33,840 --> 00:59:38,920 +integrable طبعا حيزنا في البرهان شغلة اللي هي + +689 +00:59:38,920 --> 00:59:45,080 +أخدناها سابقا انهAny continuous function on a + +690 +00:59:45,080 --> 00:59:49,840 +closed bounded interval must attain its maximum + +691 +00:59:49,840 --> 00:59:57,800 +and minimum on this interval بمعنى + +692 +00:59:57,800 --> 01:00:01,970 +آخر هنلاقيلو كانت F is continuous على اللي هو الـ + +693 +01:00:01,970 --> 01:00:05,990 +A و الـ B هنلاقي نقطة في داخل الفترة A و B بحيث + +694 +01:00:05,990 --> 01:00:09,570 +انها تكون الـ F عندها نقطة maximum و هنلاقي نقطة + +695 +01:00:09,570 --> 01:00:12,750 +أخرى في داخل هذه الفترة هنلاقي اللي هي الـ + +696 +01:00:12,750 --> 01:00:15,930 +function عندها إشمالها is minimum طبعا absolute و + +697 +01:00:15,930 --> 01:00:24,180 +absolute نيجي نشوف .. نيجي للبرهانالان .. نظرية + +698 +01:00:24,180 --> 01:00:28,540 +أخرى أيضا .. برضه خلينا نقولها أن لو كانت F is + +699 +01:00:28,540 --> 01:00:32,580 +continuous على closed bounded interval then F is + +700 +01:00:32,580 --> 01:00:43,820 +uniformly continuous الان F .. عند F من A و B لعند + +701 +01:00:43,820 --> 01:00:51,090 +R is continuous on A و Bcontinuous عالمين على + +702 +01:00:51,090 --> 01:00:54,450 +closed bounded interval في عندنا نظرية اللي بتقول + +703 +01:00:54,450 --> 01:00:58,270 +any continuous function في الواحد on a closed + +704 +01:00:58,270 --> 01:01:02,230 +bounded interval must be uniformly continuous إذا + +705 +01:01:02,230 --> 01:01:10,030 +then f is uniformly continuous + +706 +01:01:10,730 --> 01:01:15,290 +on a و b ايش يعني uniformly continuous يعني لكل + +707 +01:01:15,290 --> 01:01:18,810 +ابسلون اكبر من سفر there exist دلتا اكبر من سفر + +708 +01:01:18,810 --> 01:01:22,990 +دلتا بس بتعتمد عالميا على ابسلون بتنفع لكل ال X و + +709 +01:01:22,990 --> 01:01:30,810 +ال Y such that if X minus Y او U ناقص V زي ما هو + +710 +01:01:30,810 --> 01:01:40,200 +مسميها U minus Vأصغر من دلتا then F of U ناقص F of + +711 +01:01:40,200 --> 01:01:49,800 +V أصغر من إبسلون لكل UV element in A أو Bإذن لكل y + +712 +01:01:49,800 --> 01:01:52,900 +أكبر من 0 there exists Delta دلتا أشمة لا بتعتمد + +713 +01:01:52,900 --> 01:01:56,280 +على مين بس على إبسلون في حالة ال continuity + +714 +01:01:56,280 --> 01:02:01,560 +العادية بنقول إحنا limit f of x as x بتروح لل a + +715 +01:02:01,560 --> 01:02:07,260 +بساوي ايش f of a بنقول الآن إنه limit f of x بساوي + +716 +01:02:07,260 --> 01:02:13,450 +f of a as x بتروح لل a لكل إبسلون أكبر من 0هصب مين + +717 +01:02:13,450 --> 01:02:18,070 +بالـ a هذه there exist دي و لكل a element in a + +718 +01:02:18,070 --> 01:02:23,270 +there exist delta such that اللي لما يكون x minus + +719 +01:02:23,270 --> 01:02:27,190 +a أصغر من delta بيعطينا f of x نقص f of a أصغر من + +720 +01:02:27,190 --> 01:02:32,550 +إبسلون يعني بيكون الـ delta هنا تعتمد على الإبسلون + +721 +01:02:32,550 --> 01:02:37,550 +وتعتمد على ال a اللي عندها ال continuityلكن في الـ + +722 +01:02:37,550 --> 01:02:41,890 +Uniform Continuous الـ Delta اللي اللي جيت هنا + +723 +01:02:41,890 --> 01:02:47,510 +بتنفع لكل اللي هو ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +724 +01:02:47,510 --> 01:02:47,890 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +725 +01:02:47,890 --> 01:02:47,910 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +726 +01:02:47,910 --> 01:02:48,290 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +727 +01:02:48,290 --> 01:02:48,530 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +728 +01:02:48,530 --> 01:02:48,530 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +729 +01:02:48,530 --> 01:02:50,270 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +730 +01:02:50,270 --> 01:02:50,330 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +731 +01:02:50,330 --> 01:02:50,330 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +732 +01:02:50,330 --> 01:02:50,410 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +733 +01:02:50,410 --> 01:02:50,410 +ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. ال + +734 +01:02:50,410 --> 01:02:54,250 +.. ال .. ال .. ال .. ال .. ال .. + +735 +01:02:54,250 --> 01:02:59,970 +ال .. ال ..F is continuous، إذن يُنفرم الـ + +736 +01:02:59,970 --> 01:03:02,650 +continuous، إيش معناته؟ كل إبسلون أكبر من صفر، + +737 +01:03:02,650 --> 01:03:05,490 +there exists دلتا، بحيث إن U minus V أصغر من دلتا + +738 +01:03:05,490 --> 01:03:08,690 +يعطيني F of U ناقص F of V أصغر من إياش، من إبسلون، + +739 +01:03:08,690 --> 01:03:11,870 +وخلّي هذه إيش مالها في الذاكرة، أنا عشان الحسابات + +740 +01:03:11,870 --> 01:03:15,890 +بدي أخليها إبسلون على مين، على B minus A، طول + +741 +01:03:15,890 --> 01:03:19,070 +الفترة اللي أنا بشتغل عليها، هتشوفوا ليش كتبت هيك، + +742 +01:03:19,070 --> 01:03:22,720 +بس لا الحساباتبقدر أه بقدر لإن هو أصغر .. أه بقدر + +743 +01:03:22,720 --> 01:03:25,140 +خليه أصغر من الـ Epsilon في الدنيا من ضمن إن كل + +744 +01:03:25,140 --> 01:03:27,520 +الـ Epsilon عن الـ B minus A لكل الـ Epsilonات + +745 +01:03:27,520 --> 01:03:34,040 +اللي في الدنيا طيب لأن شوف وين بده أروح، بده أروح + +746 +01:03:34,040 --> 01:03:39,250 +لـ Integrability لـ الـ function Fالأن خُد n الان + +747 +01:03:39,250 --> 01:03:42,190 +بدنا نعمل partitions بدنا نجيب sequence of + +748 +01:03:42,190 --> 01:03:45,890 +partitions Bn ال sequence of partitions هذه هي + +749 +01:03:45,890 --> 01:03:50,010 +اللي هتخدمني هتخدمني متى؟ بعد شوية بتشوفوا ليش + +750 +01:03:50,010 --> 01:03:54,110 +هتخدمني لكل الأنات اللي وين ما لإن اللي أكبر من ال + +751 +01:03:54,110 --> 01:03:59,370 +B minus A على مين؟ على ال delta اللي لجيتها إذا + +752 +01:03:59,370 --> 01:04:04,130 +اللي صارت ال delta بين إيديا إذا بقولك الآن choose + +753 +01:04:05,140 --> 01:04:12,320 +N element in N such that ما لها N أكبر من B minus + +754 +01:04:12,320 --> 01:04:17,620 +A على مين على دلتا برضه B minus A عشان الحسبان N + +755 +01:04:17,620 --> 01:04:21,240 +أكبر من B minus A على مين على دلتا يعني الآن أنا + +756 +01:04:21,240 --> 01:04:26,920 +بحكي بحكي عن الأنات اللي بكون أكبر من B minus A + +757 +01:04:26,920 --> 01:04:31,460 +على مين على الدلتا اللي لجيتها فوق عندي في اللي هو + +758 +01:04:31,460 --> 01:04:37,080 +هذا واحدماشي الحالة الان بتبدأ اكوّن partitions من + +759 +01:04:37,080 --> 01:04:42,480 +مين؟ من الأمنات هذه الان بتاخد بيئا اني partitions + +760 +01:04:42,480 --> 01:04:47,220 +اني partitions برضه أشماله with equal اللي هي إيش + +761 +01:04:47,220 --> 01:04:54,240 +sub intervals يعني X نوت و X واحد لعند X ان يعني + +762 +01:04:54,240 --> 01:04:58,540 +طول كل فترة منهم برضه طول .. بتاخد اللي هي كلهم + +763 +01:04:58,540 --> 01:05:03,590 +أشمالينمن عند A لعند B يكون ان كل ال sub intervals + +764 +01:05:03,590 --> 01:05:08,530 +جت بعض يعني بمعنى أخر هيكون ال XK minus XK minus + +765 +01:05:08,530 --> 01:05:12,970 +واحد بيساوي B minus A على N طول كل فترة ايش بيساوي + +766 +01:05:12,970 --> 01:05:16,950 +B minus A على عدد الفترات اللي هي N فبكون B minus + +767 +01:05:16,950 --> 01:05:21,250 +A عالميا على Nأنا حرّن انهم ألاقي في النهاية + +768 +01:05:21,250 --> 01:05:25,630 +sequence of partitions BN limit الـ U B N و F نقص + +769 +01:05:25,630 --> 01:05:29,290 +الـ L B N و F بساوي 0 بيكون F is integrable خلصنا + +770 +01:05:29,290 --> 01:05:32,950 +أنا قاعد اخترت اللي هي sequence of partitions بناء + +771 +01:05:32,950 --> 01:05:36,390 +على الـ Delta اللي لجيتها في ال uniformity و + +772 +01:05:36,390 --> 01:05:39,830 +الأنات اللي أكبر منها و حطيت ال partition اللي هو + +773 +01:05:39,830 --> 01:05:44,710 +بشكل اللي هو تكون ال subintervals كلها لها ��فس + +774 +01:05:44,710 --> 01:05:46,230 +الطول طيب + +775 +01:05:48,470 --> 01:05:56,170 +الآن زي ما قلت قبل بشوية negation على الفترة xk و + +776 +01:05:56,170 --> 01:06:01,710 +minus 1 و xk هذا ال sub interval ال function is + +777 +01:06:01,710 --> 01:06:03,550 +continuous عليها لأنها continuous على كل ال + +778 +01:06:03,550 --> 01:06:06,970 +interval a و b مدام continuous عليها إذا it + +779 +01:06:06,970 --> 01:06:10,310 +attains its maximum and its minimum on this + +780 +01:06:10,310 --> 01:06:16,100 +intervalأكيد؟ لقد حد كده قبل مشوية إذن بما أن الـ + +781 +01:06:16,100 --> 01:06:18,480 +F is continuously not closed bound in الـ interval + +782 +01:06:18,480 --> 01:06:26,800 +هذه إذن there exist سميها U K و V K element in X K + +783 +01:06:26,800 --> 01:06:33,720 +minus واحد و X K such that F of U K هي ال maximum + +784 +01:06:33,720 --> 01:06:41,190 +على كل هذه ال maximum معناته هي ال supremum of Kأو + +785 +01:06:41,190 --> 01:06:47,110 +أيضًا عند الـ VK F of VK هي الـ Minimum على هذه + +786 +01:06:47,110 --> 01:06:52,310 +مضمون موجود قلناها هي طبعًا مدامة Minimum على كل + +787 +01:06:52,310 --> 01:06:56,150 +الفترة إذًا هي الـ Infimum اللي ببحث عنها اليمين + +788 +01:06:56,150 --> 01:07:00,850 +MK على هذه الفترة وها المفتاح أصلا في استخدام الـ + +789 +01:07:00,850 --> 01:07:06,120 +Continuity إن ضمن لوجود نقطةعندها ال maximum في + +790 +01:07:06,120 --> 01:07:10,540 +هذه المنطقة وضمن اللي وجود نقطة هنا ضمن اللي وجود + +791 +01:07:10,540 --> 01:07:13,680 +ال minimum عندها و ال minimum و ال maximum مدام + +792 +01:07:13,680 --> 01:07:18,100 +عند نقاط محددة في الفترة هي هتتلاقى و تنقل هي + +793 +01:07:18,100 --> 01:07:21,780 +عبارة عن ال supremum و ال infimum على ال sub + +794 +01:07:21,780 --> 01:07:29,160 +interval أي سؤال طيب الآن ضال علينا إيش نسوي إن + +795 +01:07:29,160 --> 01:07:35,610 +نحسب الحسابات اللي هو نبدأ في حساباتنااللي هو نحسب + +796 +01:07:35,610 --> 01:07:44,230 +الـ U و نحسب مين يا جماعة أو نحسب اللي هو ال ال ال + +797 +01:07:44,230 --> 01:07:44,230 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +798 +01:07:44,230 --> 01:07:44,930 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +799 +01:07:44,930 --> 01:07:44,930 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +800 +01:07:44,930 --> 01:07:44,950 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +801 +01:07:44,950 --> 01:07:45,050 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +802 +01:07:45,050 --> 01:07:45,070 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +803 +01:07:45,070 --> 01:07:45,130 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +804 +01:07:45,130 --> 01:07:45,130 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +805 +01:07:45,130 --> 01:07:45,130 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +806 +01:07:45,130 --> 01:07:45,130 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +807 +01:07:45,130 --> 01:07:45,130 +ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال ال + +808 +01:07:45,130 --> 01:07:53,950 +ال ال الت حسبولي + +809 +01:07:54,430 --> 01:07:59,790 +نقص L, P, N و F طبعا أكيد هذا أكبر يساوي سفر حفظنا + +810 +01:07:59,790 --> 01:08:04,050 +عن غيره هذا أنه أكبر أو يساوي سفر معروف ضل بدي + +811 +01:08:04,050 --> 01:08:08,850 +أحسبهم مع بعض ال summation عبارة عن بساوي + +812 +01:08:08,850 --> 01:08:13,610 +summation اللي هو ال M K صارت من ال M K capital + +813 +01:08:13,610 --> 01:08:19,950 +اللي هي F of U K صح ولا لأ يا جماعة أه صح و ال U K + +814 +01:08:19,950 --> 01:08:26,220 +وين موجودة في هذهالان في مين؟ في xk minus xk minus + +815 +01:08:26,220 --> 01:08:31,520 +واحد xk minus xk minus واحد كامل عند واحد اللي + +816 +01:08:31,520 --> 01:08:37,020 +عندها انهدمين هي الـ U الان زيها مين ال L ناقص + +817 +01:08:37,020 --> 01:08:42,600 +summation الان مين عند ال MK small ال F of VK ال + +818 +01:08:42,600 --> 01:08:48,920 +VK اللي لاجيناها برضه هان اللي هي F of VKمضروبة في + +819 +01:08:48,920 --> 01:08:54,380 +طول الفترة xk-xk-1 كامل عند واحد لعند مين يا جماعة + +820 +01:08:54,380 --> 01:09:00,000 +لعندنا خدولي الآن xk-xk-1 عامل مشترك وطبعا أنا + +821 +01:09:00,000 --> 01:09:03,220 +مفترضها اللي هو وماخدها إلا طول ال intervals أو + +822 +01:09:03,220 --> 01:09:07,080 +sub intervals متساوي يعني طول هذه وطول هذه هو + +823 +01:09:07,080 --> 01:09:10,600 +عبارة عن b-a على n زي النظرية السابقة ويساوي ال + +824 +01:09:10,600 --> 01:09:17,850 +summation لل F of uk ناقص F of vkالكل مضروب في مين + +825 +01:09:17,850 --> 01:09:26,030 +يا جماعة في B-A على N N أو K من عند واحد لعند إيش + +826 +01:09:26,030 --> 01:09:36,830 +لعند N أي سؤال طيب شوفوا الآن اسمحولي بس هنا أشتغل + +827 +01:09:36,830 --> 01:09:39,730 +شوية طيب + +828 +01:09:42,370 --> 01:09:47,490 +طولوا روحكم عندنا خلصنا يعني جربنا اذا صار عندي ال + +829 +01:09:47,490 --> 01:09:51,870 +U, P, N و F عشان تعرفوا أين رايح أنا هي ال U, P, N + +830 +01:09:51,870 --> 01:09:55,550 +و F ناقص ال P, N و F أكبر يساوي الصفر اللي جيته + +831 +01:09:55,550 --> 01:10:00,610 +أصغر يساوي المقدار اللي أمامي الان خلوني أطلع حد + +832 +01:10:00,610 --> 01:10:06,400 +برا بعد اسمكم هي B- a على n لأنها عبارة عن ثابت في + +833 +01:10:06,400 --> 01:10:13,020 +ال summation f of u,k ناقص f of v,k كامنة عند واحد + +834 +01:10:13,020 --> 01:10:20,340 +لأنك لاحظوا ما يلي يا جماعة عند ال u,k و ال v,k + +835 +01:10:20,340 --> 01:10:27,480 +وين موجودة في ال x,k minus واحد و ال x,k اه مظبوط + +836 +01:10:27,480 --> 01:10:32,540 +يعني الآن اللي هي طول + +837 +01:10:34,610 --> 01:10:41,150 +طول الفترة طول الفترة xk على جهة دي بس يا شباب + +838 +01:10:41,150 --> 01:10:46,850 +ناقص xk minus واحد طول الفترة لإن هاد صارت هي xk + +839 +01:10:46,850 --> 01:10:53,480 +minus واحد وهي xk ماشي جوات هنا ال mean ال UKو الـ + +840 +01:10:53,480 --> 01:10:56,860 +VK في مكان الماد، التنتين المهم جوا التنتين يعني + +841 +01:10:56,860 --> 01:10:59,840 +المسافة بين اللي برا هدول، حتى لو كان التنتين + +842 +01:10:59,840 --> 01:11:04,120 +زيهن، بكون أصغر أو يساوي المسافة بين التنتين هدول + +843 +01:11:04,120 --> 01:11:11,560 +أصغر أو يساوي المسافة هذه، اللي هو UK ناقص VK، + +844 +01:11:11,560 --> 01:11:17,010 +مظبوط؟ آسف، العكس، أكبر شكراسامحونا أكبر اياش أو + +845 +01:11:17,010 --> 01:11:21,310 +يساوي صارت المسافة بين الجهتين هدولة أكيد أصغر + +846 +01:11:21,310 --> 01:11:24,970 +أشهر من المسافة الكلية اللي هنا بينهم طيب المسافة + +847 +01:11:24,970 --> 01:11:28,890 +بين هذه وهذه احنا ماخدينها أصلا طول ال interval + +848 +01:11:28,890 --> 01:11:29,670 +ايش بتساوي + +849 +01:11:33,030 --> 01:11:39,710 +على N إذا المسافة هذه أصلا عبارة عن B-A عالمين على + +850 +01:11:39,710 --> 01:11:43,890 +N سامحوني أني بنكتبها هنا إذا صار عندي اللي هو ال + +851 +01:11:43,890 --> 01:11:50,230 +U K ناقص ال V K أصغر أو يساوي B-A عالمين على N إذا + +852 +01:11:50,230 --> 01:11:58,530 +يا شباب راحظولي هنا U K ناقص V K صارت أصغر أو + +853 +01:11:58,530 --> 01:12:06,440 +يساوي B-A عالمينعلى n واضحة طيب نشوف ايش معناه هذا + +854 +01:12:06,440 --> 01:12:08,700 +الكلام واش اللي بتقوله ليش بتقولنا هذا الكلام + +855 +01:12:08,700 --> 01:12:13,620 +بقوله عشان كلام مهم هذا هو شوفوا فهميته انا مختار + +856 +01:12:13,620 --> 01:12:19,260 +ال n اكبر من مين من b minus a على delta يعني بمعنى + +857 +01:12:19,260 --> 01:12:24,280 +اخر ايش معنات هذا يعني b minus a على n اصغر من مين + +858 +01:12:24,280 --> 01:12:29,640 +من دلتا يعني هذا المقدارأصغر من إيش يا جماعة؟ من + +859 +01:12:29,640 --> 01:12:35,160 +دلتا صارت ال U K ناقص ال V K أصغر من مين؟ من دلتا + +860 +01:12:35,160 --> 01:12:40,800 +واحنا بنقول أن المقاطع اللي بتحقق فيها ال U ناقص V + +861 +01:12:40,800 --> 01:12:44,560 +أصغر من دلتا بكون عندي F of U ناقص F of V أصغر من + +862 +01:12:44,560 --> 01:12:50,240 +مين يا جماعة؟ من Epsilon على B minus A إذا صارت + +863 +01:12:50,240 --> 01:12:55,100 +عندي المقاطين هذولة ال U K ناقص V K اللي أصغر من + +864 +01:12:55,100 --> 01:13:04,770 +دلتاإذا أكيد من واحد هيكون عندي F of U K ناقص F of + +865 +01:13:04,770 --> 01:13:12,670 +V K إيش هيكون؟ هيكون عبارة عن أصغر من Y على B + +866 +01:13:12,670 --> 01:13:20,410 +minus A إذا الآن بحجلني أني أقول أن هذا المقدار + +867 +01:13:20,410 --> 01:13:24,400 +اللي عندياللي هو طبعا هذا الكبير وهذا الصغير طبعا + +868 +01:13:24,400 --> 01:13:27,800 +على absolute value نفسه بحجل إن أقول هذا أصغر أو + +869 +01:13:27,800 --> 01:13:34,680 +ساوي B minus A على N مضروب في مين في ال summation + +870 +01:13:34,680 --> 01:13:42,480 +لل Epsilon على B minus A كامن عند واحد لعند مين + +871 +01:13:42,480 --> 01:13:50,100 +لعند N واضح + +872 +01:13:52,720 --> 01:13:58,440 +إذا صار عندى الآن اللى هو اللى أثبته أنه U P N و F + +873 +01:13:58,440 --> 01:14:04,220 +ناطق سؤال P N و F أصغر أو ساوى P minus A على N في + +874 +01:14:04,220 --> 01:14:10,300 +.. خلّيني أجف و أقولها .. أه .. انتظر .. أعملنى .. + +875 +01:14:13,410 --> 01:14:18,250 +إذا اللي وصلنا له يا جماعة اللي هو أن ال U P N و F + +876 +01:14:18,250 --> 01:14:21,650 +نقص ال P N و F أكبر يساوي سفر و في نفس الوقت أصغر + +877 +01:14:21,650 --> 01:14:24,430 +يساوي P Minus A على N في ال summation لل Epsilon ع + +878 +01:14:24,430 --> 01:14:28,630 +P Minus A اللي هو كامن عند واحد ل N يعني هذه قاعدة + +879 +01:14:28,630 --> 01:14:34,050 +عمالها كل مرة بتعد Epsilon ع P Minus A أكم مرة + +880 +01:14:34,050 --> 01:14:37,670 +بتعد N من المرات إذا حيصير عندي هذا عبارة عن P + +881 +01:14:37,670 --> 01:14:43,170 +Minus A على N و اللي نعد هناN من القمية اللي هذه + +882 +01:14:43,170 --> 01:14:47,630 +يعني N في epsilon على B minus A الان B minus A مع + +883 +01:14:47,630 --> 01:14:51,970 +ال B minus A و ال N مع ال N فبصير أوصلنا احنا إلى + +884 +01:14:51,970 --> 01:14:55,950 +ما يلي انتبهوا للنتيجة النهائية اللي بتوصلي لي + +885 +01:14:55,950 --> 01:15:04,310 +اللي هو المطلوب النتيجة اللي وصلت لها انه اذاU P N + +886 +01:15:04,310 --> 01:15:12,430 +و F نقص L P N و F أكبر أو يساوي سفر وأصغر من مين + +887 +01:15:12,430 --> 01:15:19,190 +من إبسلون لكل إبسلون أكبر من سفر إذا اللي جوا غصب + +888 +01:15:19,190 --> 01:15:24,310 +عنه إذا لازم يكون اللي هو لو أخدت ال limit هيظل + +889 +01:15:24,310 --> 01:15:30,220 +limit ال Uبن لأن هذا أصلا صحيح علميا للأنات + +890 +01:15:30,220 --> 01:15:34,200 +الكبيرة فلما أخد ال limit أزنه جوزه infinity بضل + +891 +01:15:34,200 --> 01:15:38,280 +في ال safe side يعني بضل في اللي بتحقق فيه هذا إذا + +892 +01:15:38,280 --> 01:15:45,630 +ال limit U, B, N و F ماقص L, B, N و Fهيكون أكبر أو + +893 +01:15:45,630 --> 01:15:50,490 +يساوي سفر و أصغر أو يساوي إبسلون و هذا الكلام as + +894 +01:15:50,490 --> 01:15:53,530 +and goes to infinity و هذا الكلام صحيح برضه لمين + +895 +01:15:53,530 --> 01:15:58,790 +لكل إبسلون أكبر من سفر إذا غصب عنها هيكون اللي جوا + +896 +01:15:58,790 --> 01:16:08,780 +limit UPN و F-Lبان و اف لازم يساوي ايش سفر از انقص + +897 +01:16:08,780 --> 01:16:14,780 +انفينيتي وهذا by corollary اللي قبل بشوية هيعني ان + +898 +01:16:14,780 --> 01:16:23,310 +اف is integrableHence, F is integrable وهكذا + +899 +01:16:23,310 --> 01:16:27,610 +أثبتنا العائلة الثانية من الدوال الـ continuous + +900 +01:16:27,610 --> 01:16:31,170 +function على closed bounded interval is a + +901 +01:16:31,170 --> 01:16:34,210 +continuous function is an integrable function + +902 +01:16:34,210 --> 01:16:40,790 +وهكذا خلصنا الـ section الأول و الـ homework هيا + +903 +01:16:40,790 --> 01:16:46,750 +اللي موجودة في التلخيص و المرة القادمة ان شاء الله + +904 +01:16:47,630 --> 01:16:57,970 +إن شاء الله بكون احنا بنبدأ في اللي هي ال section + +905 +01:16:57,970 --> 01:17:03,510 +اللي بعده اللي هو properties of the Riemann + +906 +01:17:03,510 --> 01:17:04,470 +Integral +