| 1 | |
| 00:00:21,090 --> 00:00:25,950 | |
| أحنا واصلون ما بدأنا فيه المرة الماضية وهو حل اللي | |
| 2 | |
| 00:00:25,950 --> 00:00:30,570 | |
| هو المسائل على شبتر ثمانية الاكستاناداركت برودرك | |
| 3 | |
| 00:00:30,570 --> 00:00:35,110 | |
| وصلنا لسؤال واحد وأربعين بقول express automorphism | |
| 4 | |
| 00:00:35,110 --> 00:00:40,070 | |
| لـ U خمسة وعشرين in the form ZM اكستاناداركت برودرك | |
| 5 | |
| 00:00:40,070 --> 00:00:41,390 | |
| مع ZN | |
| 6 | |
| 00:00:43,960 --> 00:00:48,680 | |
| بمعنى آخر بدي أجيب جروب لجروب هذه تبقى isomorphic | |
| 7 | |
| 00:00:48,680 --> 00:00:54,060 | |
| لمام لـ U خمسة وعشرين طب احنا عندنا الـ U خمسة | |
| 8 | |
| 00:00:54,060 --> 00:00:59,680 | |
| وعشرين solution عندنا | |
| 9 | |
| 00:00:59,680 --> 00:01:07,500 | |
| الـ U خمسة وعشرين اللي هو U خمسة لكل تربيع الشكل | |
| 10 | |
| 00:01:07,500 --> 00:01:16,670 | |
| اللي عندنا هذه isomorphic أو ال atomorphism لـ U | |
| 11 | |
| 00:01:16,670 --> 00:01:23,730 | |
| خمسة وعشرين هذه تساوي U خمسة تربيع مباشرة طبعاً | |
| 12 | |
| 00:01:23,730 --> 00:01:32,770 | |
| أخذت عندك أن الـ U مرفوعة لـ prime P ومرفوعة لأس N | |
| 13 | |
| 00:01:32,770 --> 00:01:39,550 | |
| U P أس N ناقص P أس N minus ال one كتبناها معكم | |
| 14 | |
| 00:01:39,550 --> 00:01:45,390 | |
| المرة الماضية في آخر محاضرة تجدها موجودة معك نحاول | |
| 15 | |
| 00:01:45,390 --> 00:01:50,950 | |
| نطبق هذا الكلام عالمياً على أرض الواقع يبقى بناء | |
| 16 | |
| 00:01:50,950 --> 00:01:55,330 | |
| عليه يو خمسة وعشرين كتبناها بالشكل هذه بقدر أقول | |
| 17 | |
| 00:01:55,330 --> 00:01:58,070 | |
| هذه isomorphic لمين؟ | |
| 18 | |
| 00:02:02,510 --> 00:02:09,870 | |
| Isomorphic لزد P اللي هي خمسة تربيع ناقص خمسة أس | |
| 19 | |
| 00:02:09,870 --> 00:02:14,390 | |
| اثنين ناقص واحد بالشكل اللي عندنا هنا يبقى هذا | |
| 20 | |
| 00:02:14,390 --> 00:02:19,790 | |
| الكلام هذه تساوي من خمسة ترابيع ليه خمسة وعشرين | |
| 21 | |
| 00:02:19,790 --> 00:02:27,090 | |
| وهذه خمسة وسواحد يبقى زد عشرين شكل اللي عندنا هنا | |
| 22 | |
| 00:02:27,090 --> 00:02:31,710 | |
| هذا U خمسة وعشرين أنا ما بدي U خمسة وعشرين بدي | |
| 23 | |
| 00:02:31,710 --> 00:02:38,540 | |
| اتومورفزم لـ U خمسة وعشرين إذا بناء عليه atomorphism | |
| 24 | |
| 00:02:38,540 --> 00:02:47,580 | |
| لـ U خمسة وعشرين اللي هي isomorphic لمهم اللي هو | |
| 25 | |
| 00:02:47,580 --> 00:02:54,750 | |
| atomorphism لـ Z عشرين الشكل اللي عندنا هنا أخذنا | |
| 26 | |
| 00:02:54,750 --> 00:03:03,470 | |
| كمان نظرية سابقة اتومورفزم لـ ZN ايزو مورفك لـ UN | |
| 27 | |
| 00:03:03,470 --> 00:03:10,830 | |
| شبطر اللي قبله آخر نظرية يبقى هذا ايزو مورفك لـ U20 | |
| 28 | |
| 00:03:11,920 --> 00:03:19,120 | |
| U20 هذه اللي بقدر أكتبها اللي هي تساوي U أربعة في | |
| 29 | |
| 00:03:19,120 --> 00:03:25,440 | |
| خمسة والاربعة خمسة are relatively prime يبقى هذه | |
| 30 | |
| 00:03:25,440 --> 00:03:34,070 | |
| isomorphic لمين؟ للي هو isomorphic أو هدى تساوي | |
| 31 | |
| 00:03:34,070 --> 00:03:39,990 | |
| أو isomorphic دُغري لمهم لـ U أربعة external | |
| 32 | |
| 00:03:39,990 --> 00:03:49,530 | |
| product مع U خمسة مرة ثانية لـ U أربعة هدى U اثنين | |
| 33 | |
| 00:03:49,530 --> 00:03:58,130 | |
| تربيعهذه أخذناها ايزو مورفك لمين؟ لزد دي اثنين وهذه | |
| 34 | |
| 00:03:58,130 --> 00:04:03,170 | |
| بتطبق عليها القاعدة اللي طبقناها فوق تماماً يبقى | |
| 35 | |
| 00:04:03,170 --> 00:04:10,730 | |
| بالداجي أقول هذا زد خمسة أس واحد ناقص خمسة أس واحد | |
| 36 | |
| 00:04:10,730 --> 00:04:17,180 | |
| ناقص واحدهذا الكلام يساوي زد اثنين external by | |
| 37 | |
| 00:04:17,180 --> 00:04:22,880 | |
| product هذه خمسة وهذه خمسة وصفر خمسة وصفر أبواحد | |
| 38 | |
| 00:04:22,880 --> 00:04:29,420 | |
| خمسة ناقص واحد اللي هي أربعة زد أربعة زد أربعة اه | |
| 39 | |
| 00:04:29,420 --> 00:04:35,300 | |
| زد أربعة يبقى هذه زد أربعة معناه هذا الكلام أن ال | |
| 40 | |
| 00:04:35,300 --> 00:04:41,050 | |
| atomorphism ليه خمسة وعشرين isomorphic لمهم لزد | |
| 41 | |
| 00:04:41,050 --> 00:04:45,490 | |
| اثنين external product زد أربعة وبالتالي عندي | |
| 42 | |
| 00:04:45,490 --> 00:04:50,030 | |
| ثمانية atomorphism من الـ U خمسة وعشرين إلى الـ U | |
| 43 | |
| 00:04:50,030 --> 00:04:54,910 | |
| خمسة وعشرين اتسل بغض النظر عن شكلهم قال لي اكتبلي | |
| 44 | |
| 00:04:54,910 --> 00:05:01,170 | |
| ال atomorphism لـ U خمسة وعشرين على شكل ZM في ZN | |
| 45 | |
| 00:05:01,170 --> 00:05:05,310 | |
| يبقى هي كتبتله بالشكل هذا باستخدام القواعد اللي | |
| 46 | |
| 00:05:05,310 --> 00:05:08,130 | |
| أخذناها المرة الماضية | |
| 47 | |
| 00:05:10,010 --> 00:05:20,890 | |
| بعدها بيقول ليه في 46 يبقى 46 بيقول ما يأتي بيقول | |
| 48 | |
| 00:05:20,890 --> 00:05:28,510 | |
| هاتلي isomorphism بدنا isomorphism من وين لوين؟ في | |
| 49 | |
| 00:05:28,510 --> 00:05:34,770 | |
| من اللي هو ال group Z12 إلى مين؟ | |
| 50 | |
| 00:05:37,910 --> 00:05:46,330 | |
| السؤال ستة أربع يقول ز أربع في ز ثلاثة يبقى ز أربع | |
| 51 | |
| 00:05:46,330 --> 00:05:52,270 | |
| كستينو دايكا product مع ز ثلاثة مع ز ثلاثة بقول | |
| 52 | |
| 00:05:52,270 --> 00:05:56,740 | |
| عرف ليه اللي هو isomorphism من ال group هذه لل | |
| 53 | |
| 00:05:56,740 --> 00:06:01,240 | |
| group هذه أنا بعطيك ال function وانت عليك تثبت | |
| 54 | |
| 00:06:01,240 --> 00:06:05,620 | |
| أنها one to one and انت وتخدم خاصيات ال | |
| 55 | |
| 00:06:05,620 --> 00:06:08,680 | |
| isomorphism ال function اللي بتقول عليها شبه | |
| 56 | |
| 00:06:08,680 --> 00:06:14,630 | |
| بالشكل التالي phi of x يبقى x وين موجودة هذه؟ في | |
| 57 | |
| 00:06:14,630 --> 00:06:19,810 | |
| Z12 بدي أجسمها إلى مركبتين واحدة موجودة في Z4 | |
| 58 | |
| 00:06:19,810 --> 00:06:25,390 | |
| واحدة موجودة في Z3 يبقى بقدر أقول له هذه على الشكل | |
| 59 | |
| 00:06:25,390 --> 00:06:33,210 | |
| التالي طبعاً العدد اللي هنا في Z12 اللي هو مين؟ اللي | |
| 60 | |
| 00:06:33,210 --> 00:06:38,470 | |
| هو العدد قد يكون من عند ال zero لغاية من ال 11 | |
| 61 | |
| 00:06:38,470 --> 00:06:44,350 | |
| وهكذا إذا بدى أخلي مركبة موجودة في Z4 ومركبة | |
| 62 | |
| 00:06:44,350 --> 00:06:51,030 | |
| موجودة في Z3 إذا بقدر أقول هذا X modulo 4 و | |
| 63 | |
| 00:06:51,030 --> 00:06:57,070 | |
| المركبة الثانية X modulo 3 يعني العدد اللي باخده | |
| 64 | |
| 00:06:57,070 --> 00:07:04,230 | |
| من Z12 أكبر من 4 ولا أكبر من 3 افترض كان 2 يبقى | |
| 65 | |
| 00:07:04,230 --> 00:07:07,830 | |
| باجي بقول فاي اف اثنين يسوى اثنين موديوله أربعة | |
| 66 | |
| 00:07:07,830 --> 00:07:11,130 | |
| اللي هو باثنين واثنين موديوله ثلاثة اللي هو | |
| 67 | |
| 00:07:11,130 --> 00:07:16,510 | |
| باثنين لكن لو قلت له خمسة فاي خمسة بدي يكون هنا | |
| 68 | |
| 00:07:16,510 --> 00:07:20,370 | |
| واحد وهنا كداش وهنا اثنين وهكذا يبقى هاي | |
| 69 | |
| 00:07:20,370 --> 00:07:23,490 | |
| المقصودة هاي ال function قدامك بس تبتليها one to | |
| 70 | |
| 00:07:23,490 --> 00:07:30,670 | |
| one and on to وتخدم خاصية ال isomorphism هذا قال له | |
| 71 | |
| 00:07:30,670 --> 00:07:35,210 | |
| ستة وأربعين ثمانية وأربعين بيقولوا show that five | |
| 72 | |
| 00:07:35,210 --> 00:07:42,310 | |
| is an isomorphism | |
| 73 | |
| 00:07:42,310 --> 00:07:48,650 | |
| من زد ثلاثة cross زد خمسة لزد خمسة عشر يبقى ثمانية | |
| 74 | |
| 00:07:48,650 --> 00:07:59,630 | |
| وأربعين أن في من من زد ثلاثة external product مع | |
| 75 | |
| 00:07:59,630 --> 00:08:07,090 | |
| مين؟ مع z خمسة لمن؟ ل z خمسة عشر بالشكل اللي عندنا | |
| 76 | |
| 00:08:07,090 --> 00:08:14,410 | |
| هذا z خمسة عشر و بحيث أنه ال five of اثنين وثلاثة | |
| 77 | |
| 00:08:14,410 --> 00:08:20,370 | |
| بده يسوى اثنين بقول find an element a و b في هذا | |
| 78 | |
| 00:08:20,370 --> 00:08:26,050 | |
| بحيث ال maps to one يبقى أنا بدي أوجد اللي هو | |
| 79 | |
| 00:08:26,050 --> 00:08:31,950 | |
| element a و b صورته main صورته الواحد أو five of a | |
| 80 | |
| 00:08:31,950 --> 00:08:36,570 | |
| و b اللي بتعطينا main بتعطينا الواحد | |
| 81 | |
| 00:08:41,470 --> 00:08:46,970 | |
| سؤال مرة ثانية في أنا isomorphism ال isomorphism | |
| 82 | |
| 00:08:46,970 --> 00:08:55,090 | |
| من ال group z3 external to z5 إلى z15 وفي أنا معطع | |
| 83 | |
| 00:08:55,090 --> 00:08:58,810 | |
| أن فيلم اتأثر على الاثنين والثلاثة النتيجة تساوي | |
| 84 | |
| 00:08:58,810 --> 00:09:05,390 | |
| اثنين جليهات للعنصر a وb لصورته من؟ لصورته الواحد | |
| 85 | |
| 00:09:05,390 --> 00:09:09,190 | |
| الصحيح حد فيكو حل هذا السؤال؟ | |
| 86 | |
| 00:09:12,670 --> 00:09:19,130 | |
| اه يعني مدن امتحانات مش داعي للحل كويس طيب على أي | |
| 87 | |
| 00:09:19,130 --> 00:09:24,310 | |
| حال أنا مرة حلتلكوا سؤال شبيه بهذا في اللي قبل لما | |
| 88 | |
| 00:09:24,310 --> 00:09:28,110 | |
| أخذنا ال isomorphism حلتلكوا سؤال شبيه به بس هذا | |
| 89 | |
| 00:09:28,110 --> 00:09:33,060 | |
| الفرق بينه وبين هذا هذا مكون من مين؟ من order pair | |
| 90 | |
| 00:09:33,060 --> 00:09:36,880 | |
| order pair والله مش order pair بتفرجش عنها شوف يا | |
| 91 | |
| 00:09:36,880 --> 00:09:41,180 | |
| سيدي أنا بدي العنصر a و b اللي صورته تحت أثير الفا | |
| 92 | |
| 00:09:41,180 --> 00:09:47,540 | |
| يساوي واحد هناك كان بدي شكل ال isomorphism عبارة | |
| 93 | |
| 00:09:47,540 --> 00:09:51,440 | |
| عن إيش؟ كان في السؤال اللي جابله لكن هذا لأ بدي ال | |
| 94 | |
| 00:09:51,440 --> 00:09:57,040 | |
| order a و b اللي صورته تساوي مين؟ تساوي واحد صحيح | |
| 95 | |
| 00:09:57,460 --> 00:10:02,300 | |
| بقول كويس بحاول استخدام المعلومة هذه بقدر الإمكان | |
| 96 | |
| 00:10:02,300 --> 00:10:08,820 | |
| ولذلك بحاول أجيب المعطى هذا اللي هو واحد في الصورة | |
| 97 | |
| 00:10:08,820 --> 00:10:12,920 | |
| اللي قدامي هنا يعني بدي أجيب علاقة تربط بين الواحد | |
| 98 | |
| 00:10:12,920 --> 00:10:18,140 | |
| واثنين اللي عندنا حتى نقدر نحسب كم هذا ال element | |
| 99 | |
| 00:10:18,140 --> 00:10:24,930 | |
| الآن لو جيت واحد الواحد هذا موجود في أي group فنيات | |
| 100 | |
| 00:10:24,930 --> 00:10:31,430 | |
| زد خمسة عشر هل هذا الواحد يكافئ رقم ثاني اللي هو | |
| 101 | |
| 00:10:31,430 --> 00:10:37,490 | |
| مين؟ خمسة عشر ممتاز يعني الواحد هذا بالضبط هو عبارة عن | |
| 102 | |
| 00:10:37,490 --> 00:10:45,610 | |
| خمسة عشر modulo خمسة عشر تمام الـ خمسة عشر مش هي عبارة عن | |
| 103 | |
| 00:10:45,610 --> 00:10:53,640 | |
| ثمانية في اثنين modulo خمسة عشر تمام طب اثنين مديله | |
| 104 | |
| 00:10:53,640 --> 00:10:58,380 | |
| خمسة عشر ما هو اثنين صح ولا لأ؟ يبقى اثنين اللي عندي | |
| 105 | |
| 00:10:58,380 --> 00:11:02,580 | |
| هذه بقدر أشيلها وأكثر بدلها في أو في اثنين و | |
| 106 | |
| 00:11:02,580 --> 00:11:08,740 | |
| ثلاثة يبقى هذا الكلام بدي يساوي ثمانية في في أو في | |
| 107 | |
| 00:11:08,740 --> 00:11:16,810 | |
| اثنين وثلاثة كأن المثل إيش؟ كأنه ثمانية أنا هدم | |
| 108 | |
| 00:11:16,810 --> 00:11:21,250 | |
| طلعها من جوا الجوس وطلعها مين؟ برا وزي ما كنا نقول | |
| 109 | |
| 00:11:21,250 --> 00:11:27,190 | |
| Alpha of خمسة يسوى خمسة في Alpha of واحد تمام هنا | |
| 110 | |
| 00:11:27,190 --> 00:11:31,850 | |
| نفس الفكرة بالضبط تماماً كأنه ثمانية كانت جوا وأنا | |
| 111 | |
| 00:11:31,850 --> 00:11:36,310 | |
| طلعتها برا إذا بدأ دخلتها جوا يبقى لو دخلتها جوا | |
| 112 | |
| 00:11:36,310 --> 00:11:41,710 | |
| هضربها وين؟ في كل عنصر من هذه العناصر بس اثنين هذه | |
| 113 | |
| 00:11:41,710 --> 00:11:47,790 | |
| موجودة وين؟ في زد ثلاثة والثلاثة هذه موجودة في زد | |
| 114 | |
| 00:11:47,790 --> 00:11:51,730 | |
| خمسة إذا عند الضرب بدك تترعي من؟ بدك تترعي | |
| 115 | |
| 00:11:51,730 --> 00:11:57,430 | |
| النتيجة إذا هذا الكلام بده يساوي بده يساوي five | |
| 116 | |
| 00:11:57,430 --> 00:12:04,190 | |
| ثمانية في اثنين modulo الأولى اللي هي ثلاثة | |
| 117 | |
| 00:12:04,190 --> 00:12:11,000 | |
| والمركبة الثانية ثمانية في ثلاثة modulo خمسة هذا | |
| 118 | |
| 00:12:11,000 --> 00:12:16,680 | |
| الكلام بده يسوى five ثمانية في اثنين بستعش مضيله | |
| 119 | |
| 00:12:16,680 --> 00:12:22,800 | |
| ثلاثة بيبقى واحد يبقى واحد وثلاثة في ثمانية أربعة | |
| 120 | |
| 00:12:22,800 --> 00:12:28,320 | |
| وعشرين مضيله خمسة اللي هو أربعة يبقى الواحد اللي | |
| 121 | |
| 00:12:28,320 --> 00:12:33,520 | |
| عندي هو صورة ال order per man واحد وأربعة هذا | |
| 122 | |
| 00:12:33,520 --> 00:12:40,200 | |
| معناه أن ال a وال b بده يسوى جداش واحد وأربعة | |
| 123 | |
| 00:12:45,820 --> 00:12:52,020 | |
| طيب هذا كان سؤال اللي هو ثمانية وأربعين بدنا نروح | |
| 124 | |
| 00:12:52,020 --> 00:12:57,840 | |
| لسؤال ثمانية وخمسين ثمانية وخمسين بيقول لي without | |
| 125 | |
| 00:12:57,840 --> 00:13:02,100 | |
| doing any calculations in atomorphism Z عشرين | |
| 126 | |
| 00:13:02,100 --> 00:13:07,940 | |
| determine how many elements of automorphism Z عشرين | |
| 127 | |
| 00:13:07,940 --> 00:13:16,560 | |
| ال order لهم يساوي أربعة بدي سؤال ثمانية و خمسين | |
| 128 | |
| 00:13:16,560 --> 00:13:31,780 | |
| the number of elements of order four in automorphism | |
| 129 | |
| 00:13:31,780 --> 00:13:33,640 | |
| لزاد عشرين | |
| 130 | |
| 00:13:40,950 --> 00:13:46,130 | |
| بقول اجيبلي كام عنصر في الاتومورفزم لزد عشرين ال | |
| 131 | |
| 00:13:46,130 --> 00:13:51,070 | |
| order اللي لهم يساوي أربعة بدونها بدون ما اروح | |
| 132 | |
| 00:13:51,070 --> 00:13:56,330 | |
| أبحث في شكل الاتومورفزم هدول بدك تعرفلي كده بدون | |
| 133 | |
| 00:13:56,330 --> 00:14:01,850 | |
| ما تعرفلي شكل ولا function بقوله كويس يبقى solution | |
| 134 | |
| 00:14:01,850 --> 00:14:07,150 | |
| يبقى معنى هذا الكلام أنا بدي استخدم أي شغلة لها | |
| 135 | |
| 00:14:07,150 --> 00:14:11,470 | |
| علاقة بال automorphism ل Z عشرين احنا عندنا ال | |
| 136 | |
| 00:14:11,470 --> 00:14:16,790 | |
| automorphism ل Z عشرين ايزو مورفك لمين يا شباب؟ ل ال | |
| 137 | |
| 00:14:16,790 --> 00:14:23,750 | |
| U عشرين ممتاز و ال U عشرين هذه اللي هي U اللي هي | |
| 138 | |
| 00:14:23,750 --> 00:14:31,010 | |
| عبارة عن U أربعة في خمسة والاربعة في الخمسة are | |
| 139 | |
| 00:14:31,010 --> 00:14:35,870 | |
| relatively prime مدام relatively prime يبقى هذه | |
| 140 | |
| 00:14:35,870 --> 00:14:47,070 | |
| isomorphic لمان ل U4 external product مع U5 ال U4 | |
| 141 | |
| 00:14:47,070 --> 00:14:54,570 | |
| هذه اللي هي isomorphic لمان ل Z2 external product | |
| 142 | |
| 00:14:54,570 --> 00:14:56,230 | |
| مع U5 | |
| 143 | |
| 00:15:00,200 --> 00:15:05,120 | |
| عشان أضيع وقت فيها يبقى isomorphic لزد أربعة إذا | |
| 144 | |
| 00:15:05,120 --> 00:15:11,720 | |
| عندي ثمانية اتومورفزم لمان لزد عشرين بدي ادور من | |
| 145 | |
| 00:15:11,720 --> 00:15:17,440 | |
| الثمانية هدول يبقى ما ينطبق على الاتومورفزم لزد | |
| 146 | |
| 00:15:17,440 --> 00:15:23,540 | |
| عشرين ينطبق على الاتومورفزم لمان لزد اثنين × تان | |
| 147 | |
| 00:15:23,540 --> 00:15:28,120 | |
| ضرب product مع مين؟ مع زد أربعة معناه هذا الكلام | |
| 148 | |
| 00:15:28,120 --> 00:15:34,060 | |
| مدام هذه ايزو مورفك لهذه إذا لو لجيت جدّيش عدد | |
| 149 | |
| 00:15:34,060 --> 00:15:38,300 | |
| العناصر في ال group هذه لل order إلهم يساوي أربعة | |
| 150 | |
| 00:15:38,300 --> 00:15:42,340 | |
| بكون جبت عدد ال automorphisms اللي ال order إلهم | |
| 151 | |
| 00:15:42,340 --> 00:15:48,060 | |
| يساوي مين؟ أربعة يعني هذه صعب العمل فيها لكن هذه | |
| 152 | |
| 00:15:48,060 --> 00:15:54,020 | |
| سهل العمل فيها ومن هنا التحويلات هذه بتنقلنا من | |
| 153 | |
| 00:15:54,020 --> 00:15:59,480 | |
| جروب صعب التعامل معاها إلى جروب سهل التعامل معاها | |
| 154 | |
| 00:16:01,670 --> 00:16:05,970 | |
| أنا بدي أبحث عن العناصر اللي في Z2 Extended | |
| 155 | |
| 00:16:05,970 --> 00:16:11,390 | |
| Product كده عددهم ال order لهم بده يساوي من؟ بده | |
| 156 | |
| 00:16:11,390 --> 00:16:16,970 | |
| يساوي الأربعة يبقى بداتي أقول له assume افترض انه | |
| 157 | |
| 00:16:16,970 --> 00:16:23,250 | |
| عندي element a و b موجود في Z2 Extended Product مع | |
| 158 | |
| 00:16:23,250 --> 00:16:31,480 | |
| Z4 such that بحيث ان الأردر لـ A و لـ B اللي هو | |
| 159 | |
| 00:16:31,480 --> 00:16:36,660 | |
| لساوي ال least common multiple للأردر بتابع ال A | |
| 160 | |
| 00:16:36,660 --> 00:16:41,340 | |
| والأردر بتابع ال B هذا الكلام دي يساوي كده؟ دي يساوي | |
| 161 | |
| 00:16:41,340 --> 00:16:45,220 | |
| أربعة الأردر | |
| 162 | |
| 00:16:45,220 --> 00:16:56,900 | |
| المحتملة ال orders of A are مين يا شباب؟ كده؟ واحد | |
| 163 | |
| 00:16:56,900 --> 00:17:02,030 | |
| و كده؟ واحد واثنين هذه الـ elements بتاع الـ z | |
| 164 | |
| 00:17:02,030 --> 00:17:05,630 | |
| اثنين Zero و واحد Zero هو ال identity ال order له | |
| 165 | |
| 00:17:05,630 --> 00:17:09,230 | |
| بواحد و الواحد له ال order اثنين اللي لو جمعت واحد | |
| 166 | |
| 00:17:09,230 --> 00:17:11,830 | |
| زي واحد يساوي اثنين فزي اثنين ب Zero اللي هو ال | |
| 167 | |
| 00:17:11,830 --> 00:17:16,090 | |
| identity يبقى ال orders المحتملة اللي هي واحد و | |
| 168 | |
| 00:17:16,090 --> 00:17:28,660 | |
| اثنين and ال orders of B are ممكن واحد واثنين وأربعة | |
| 169 | |
| 00:17:28,660 --> 00:17:32,760 | |
| تمام تلاتة مافيش حاجة لإن التلاتة لا تقسم الأربع | |
| 170 | |
| 00:17:32,760 --> 00:17:36,740 | |
| يبقى اما ال order اي واحد أو اثنين أو أربع طيب | |
| 171 | |
| 00:17:36,740 --> 00:17:40,140 | |
| هدول الرقمين لو بدي اجيب ال least common multiple | |
| 172 | |
| 00:17:40,140 --> 00:17:45,620 | |
| مع هدول بشكلولي مشكلة؟ لأ واحد اثنين هي واحد و | |
| 173 | |
| 00:17:45,620 --> 00:17:49,900 | |
| اثنين إذا هدول بدون تفكير بدي اخد الانصارين زي ما | |
| 174 | |
| 00:17:49,900 --> 00:17:55,280 | |
| هم لكن بدي ادور هنا الارقام اللي بتعملي ال least | |
| 175 | |
| 00:17:55,280 --> 00:17:58,920 | |
| common multiple مع مين؟ مع هدول بيعطيني أربعة | |
| 176 | |
| 00:17:58,920 --> 00:18:03,180 | |
| السؤال هو لو كان خدت العناصر ال order اللي لهم | |
| 177 | |
| 00:18:03,180 --> 00:18:08,020 | |
| واحد و اثنين بيجيبولي عناصر يبقى مفيش insert يبقى | |
| 178 | |
| 00:18:08,020 --> 00:18:12,980 | |
| مفيش اخد الا اللي ال order له يساوي مان أربعة فقط و | |
| 179 | |
| 00:18:12,980 --> 00:18:16,760 | |
| هدول بدي أخدهم هم اثنين زي ما هم كويس هدول شوف | |
| 180 | |
| 00:18:16,760 --> 00:18:20,860 | |
| هدول بيعطوني تبدل تان أو بيعطوني اثنين على طول | |
| 181 | |
| 00:18:20,860 --> 00:18:27,940 | |
| الخط و هدول تعالى نشوف ايش بدي نعمل فيهم الآن z | |
| 182 | |
| 00:18:27,940 --> 00:18:34,100 | |
| four هذا كم عنصر ال order اللي بيساوي أربعة في z | |
| 183 | |
| 00:18:34,100 --> 00:18:43,270 | |
| four و مين كمان؟ والتلاتة مفيش غيرهم مفيش غيرهم يبقى | |
| 184 | |
| 00:18:43,270 --> 00:18:51,870 | |
| ال Z for has واحد and تلاتة of order أربع يعني كام | |
| 185 | |
| 00:18:51,870 --> 00:18:58,170 | |
| خيار عندي؟ اثنين يبقى ال A لها خيارات two choices | |
| 186 | |
| 00:18:58,170 --> 00:19:06,930 | |
| for A for B هذا بدي يعطينا two choices for B طيب كام | |
| 187 | |
| 00:19:06,930 --> 00:19:10,530 | |
| بقى كام خيار لإيه؟ خد زي ما بدك لإن order واحد | |
| 188 | |
| 00:19:10,530 --> 00:19:14,990 | |
| واتنين بيفرجوش معايا مع الأربع يبقى هنا كمان two | |
| 189 | |
| 00:19:14,990 --> 00:19:24,550 | |
| choices for b إذن عدد العدد تبعهم يساوي يبقى هنا | |
| 190 | |
| 00:19:24,550 --> 00:19:35,450 | |
| the number of elements of order for | |
| 191 | |
| 00:19:37,350 --> 00:19:44,950 | |
| is اثنين في اثنين ويساوي أربعة elements يبقى | |
| 192 | |
| 00:19:44,950 --> 00:19:49,650 | |
| ماعنديش إلا أربعة عناصر ال order لهم يساوي four | |
| 193 | |
| 00:19:49,650 --> 00:19:54,110 | |
| وبالتالي ال automorphism لزد عشرين يوجد فيه جدّاش | |
| 194 | |
| 00:19:54,110 --> 00:19:59,690 | |
| يبقى أربعة عناصر ال order لها بده يساوي مان؟ بده | |
| 195 | |
| 00:19:59,690 --> 00:20:05,310 | |
| يساوي عشرين تمام يبقى هذا اللي عندنا | |
| 196 | |
| 00:20:12,060 --> 00:20:17,500 | |
| لاحظ أن هذه الأسئلة كلها تطبيق مباشر على ما درسناه | |
| 197 | |
| 00:20:17,500 --> 00:20:23,240 | |
| في الجزء النظري في آخر محاضرة في هذا section الآن | |
| 198 | |
| 00:20:23,240 --> 00:20:30,840 | |
| ننتقل إلى الشابتر الذي يليه وهو شابتر تسعة تسعة | |
| 199 | |
| 00:20:30,840 --> 00:20:37,300 | |
| normal subgroups | |
| 200 | |
| 00:20:37,300 --> 00:20:40,680 | |
| and factor | |
| 201 | |
| 00:20:44,630 --> 00:20:49,990 | |
| and factor groups | |
| 202 | |
| 00:20:49,990 --> 00:20:56,610 | |
| definition | |
| 203 | |
| 00:20:56,610 --> 00:21:01,010 | |
| a | |
| 204 | |
| 00:21:01,010 --> 00:21:05,670 | |
| subgroup H | |
| 205 | |
| 00:21:05,670 --> 00:21:13,250 | |
| of a group G is called | |
| 206 | |
| 00:21:16,320 --> 00:21:29,000 | |
| is called a normal is called a normal subgroup of | |
| 207 | |
| 00:21:29,000 --> 00:21:40,680 | |
| g subgroup of g f ال a h بده يساوي ال h a لكل | |
| 208 | |
| 00:21:40,680 --> 00:21:50,920 | |
| ال a اللي موجودة في g b لا استخدام we denote this | |
| 209 | |
| 00:21:50,920 --> 00:22:02,720 | |
| by ال H is a normal subgroup of G note | |
| 210 | |
| 00:22:02,720 --> 00:22:05,880 | |
| ال | |
| 211 | |
| 00:22:05,880 --> 00:22:11,680 | |
| A H دي ساوي ال H A does not | |
| 212 | |
| 00:22:15,740 --> 00:22:21,240 | |
| imply that ان | |
| 213 | |
| 00:22:21,240 --> 00:22:36,120 | |
| ال a h بدر يساوي ال h a but means that ان ال a h | |
| 214 | |
| 00:22:36,120 --> 00:22:41,700 | |
| one بدر يساوي ال h two a | |
| 215 | |
| 00:22:44,410 --> 00:22:50,070 | |
| أول نظرية theorem a | |
| 216 | |
| 00:22:50,070 --> 00:22:54,430 | |
| subgroup a | |
| 217 | |
| 00:22:54,430 --> 00:23:07,070 | |
| subgroup H a subgroup H of G is normal is normal | |
| 218 | |
| 00:23:07,070 --> 00:23:18,730 | |
| in G if and only if الـ X H X inverse subset من H | |
| 219 | |
| 00:23:18,730 --> 00:23:24,870 | |
| لكل ال X اللي موجودة في ال group G | |
| 220 | |
| 00:24:16,580 --> 00:24:22,060 | |
| نرجع مرة ثانية يبقى أنا عندي جروب جديدة هسميها | |
| 221 | |
| 00:24:22,060 --> 00:24:27,040 | |
| normal subgroup اللي بتحققلي شرط معين ال factor | |
| 222 | |
| 00:24:27,040 --> 00:24:32,640 | |
| group بدي أنشئ جروب جديدة بواسطة ال subgroup اللي | |
| 223 | |
| 00:24:32,640 --> 00:24:36,340 | |
| عرفته دي فخلينا في الأول مع ال normal subgroup | |
| 224 | |
| 00:24:36,340 --> 00:24:41,720 | |
| وهتلعب دور كبير في علم الجبر وخاصة في موضوع الجروب | |
| 225 | |
| 00:24:41,720 --> 00:24:46,880 | |
| ال subgroup H من الجروب G بسميها normal subgroup | |
| 226 | |
| 00:24:46,880 --> 00:24:53,390 | |
| من G إذا كان الـ A H هو الـ H A for all A belongs | |
| 227 | |
| 00:24:53,390 --> 00:24:57,970 | |
| to G يعني إذا كان ال right coset هي ال left coset | |
| 228 | |
| 00:24:57,970 --> 00:25:04,280 | |
| لجميع عناصر G يبقى بقول هذا بقول عليها ال normal | |
| 229 | |
| 00:25:04,280 --> 00:25:10,660 | |
| subgroup من G طبعا احنا سابقا كنا نقول ال A H ليس | |
| 230 | |
| 00:25:10,660 --> 00:25:15,300 | |
| بالضرورة أن تكون subgroup لكن أن كانت normal يبقى | |
| 231 | |
| 00:25:15,300 --> 00:25:21,240 | |
| automatic هذا subgroup أنت معمل يبقى ال H اللي هي | |
| 232 | |
| 00:25:21,240 --> 00:25:26,010 | |
| subgroup من G بقول عليها normal subgroup إذا كان | |
| 233 | |
| 00:25:26,010 --> 00:25:30,510 | |
| الـ left coset يساوي الـ right coset واختصارا بدل | |
| 234 | |
| 00:25:30,510 --> 00:25:34,910 | |
| ما أقول الـ H is a normal subgroup من G بدي أعبر | |
| 235 | |
| 00:25:34,910 --> 00:25:41,230 | |
| بالرمز المثلث قاعدته جهة G والرأس تبعه جهة من؟ جهة | |
| 236 | |
| 00:25:41,230 --> 00:25:44,950 | |
| H خلي بالك مش حي الله تخلي القاعدة تحت والرأس | |
| 237 | |
| 00:25:44,950 --> 00:25:50,570 | |
| فوق الرأس دائما جهة ال subgroup والقاعدة جهة من؟ جهة | |
| 238 | |
| 00:25:50,570 --> 00:25:54,950 | |
| ال group طب في شغل ممكن يفهمها الواحد غلط من خلال | |
| 239 | |
| 00:25:54,950 --> 00:25:58,610 | |
| ال condition اللي حاطه هذا ايش الحاجة الغلط لو جيت | |
| 240 | |
| 00:25:58,610 --> 00:26:04,790 | |
| قولتك a h يساوي h a هذا كلام خطأ أنا لما أقول a h | |
| 241 | |
| 00:26:04,790 --> 00:26:08,370 | |
| بيساوي شيء يعني ال left coset بيساوي ال right coset | |
| 242 | |
| 00:26:08,370 --> 00:26:14,570 | |
| إذا بدي أتكلم بلغة ال elements بيقول a h one يساوي | |
| 243 | |
| 00:26:16,110 --> 00:26:20,010 | |
| هو الـ H2 رقم ثاني و element ثاني ليس نفس ال | |
| 244 | |
| 00:26:20,010 --> 00:26:24,930 | |
| element قد يكون نفس ال element لكن in general لأ | |
| 245 | |
| 00:26:24,930 --> 00:26:31,370 | |
| مش صحيح يبقى لما أقول هذه H بيساوي HA يعني AH1 | |
| 246 | |
| 00:26:31,370 --> 00:26:37,290 | |
| بيساوي H2A رقم ثاني أو element ثاني غير ال element | |
| 247 | |
| 00:26:37,290 --> 00:26:42,350 | |
| اللي عندنا يبقى بقولش AH بيساوي HA و لما بقول AH1 | |
| 248 | |
| 00:26:42,350 --> 00:26:45,090 | |
| يساوي H2A | |
| 249 | |
| 00:26:46,550 --> 00:26:51,370 | |
| التعريف هذا اللي عندنا بدي أحاول أصيغه صياغة أخرى، | |
| 250 | |
| 00:26:51,370 --> 00:26:55,910 | |
| تمام؟ ليهاشي الصياغة الأخرى؟ بل بدل الصياغة تلاتة | |
| 251 | |
| 00:26:56,420 --> 00:27:01,320 | |
| أيّش الصيغة الأخرى؟ أنا بإمكاني هنا لو ضربت في الـ A | |
| 252 | |
| 00:27:01,320 --> 00:27:05,300 | |
| inverse من جهة اليمين أو الـ A inverse من جهة الشمال | |
| 253 | |
| 00:27:05,300 --> 00:27:10,540 | |
| فبيصير عندي A H A inverse يساوي من؟ يساوي الـ H شرط | |
| 254 | |
| 00:27:10,540 --> 00:27:15,920 | |
| الـ normality أو لو ضربت من جهة الشمال بيصير الـ H | |
| 255 | |
| 00:27:15,920 --> 00:27:23,260 | |
| يساوي A inverse H A شرطاني للـ normality ممكن أقول | |
| 256 | |
| 00:27:23,260 --> 00:27:31,150 | |
| AH small A inverse موجودة في H كابتل لأن هذا | |
| 257 | |
| 00:27:31,150 --> 00:27:36,170 | |
| بيستوي H يبقى الـ A H small A inverse كـ element | |
| 258 | |
| 00:27:36,170 --> 00:27:42,450 | |
| موجود في H برضه شرط اللي اللي هو صيغة أخرى | |
| 259 | |
| 00:27:42,450 --> 00:27:46,550 | |
| للـ normality نظريتها ده أيّش بتقولي؟ بقول افترض الـ H | |
| 260 | |
| 00:27:46,550 --> 00:27:50,070 | |
| normal subgroup أو الـ H هي normal subgroup من G if | |
| 261 | |
| 00:27:50,070 --> 00:27:55,300 | |
| and only if الـ X H X inverse subset من مين؟ من H | |
| 262 | |
| 00:27:55,300 --> 00:28:00,140 | |
| ما هو إن كان التساوي حاصل إذن automatic هدي مين؟ | |
| 263 | |
| 00:28:00,140 --> 00:28:04,420 | |
| هذه subset من هذه طبعًا التساوي حصل من هنا قلت لك لو | |
| 264 | |
| 00:28:04,420 --> 00:28:08,480 | |
| ضربت في الـ A inverse من اليمين أو لشمال بيطلع | |
| 265 | |
| 00:28:08,480 --> 00:28:12,800 | |
| التساوي أنا بدأ أختصر ولا أقول التساوي بدأ أقول | |
| 266 | |
| 00:28:12,800 --> 00:28:17,220 | |
| الـ subset رغم أن التساوي كمان صحيح طيب مشان هيك | |
| 267 | |
| 00:28:17,220 --> 00:28:23,480 | |
| بنروح نثبت صحة هذا الكلام يبقى بدايتي أقوله assume | |
| 268 | |
| 00:28:23,480 --> 00:28:30,780 | |
| اللي هو الـ H is a normal subgroup من G then | |
| 269 | |
| 00:28:34,230 --> 00:28:39,130 | |
| يبقى أنا فرضت أن الـ H هذه normal subgroup من G | |
| 270 | |
| 00:28:39,130 --> 00:28:45,790 | |
| يبقى بناء عليه بدي يصير عندي A H يساوي H A حسب ما | |
| 271 | |
| 00:28:45,790 --> 00:28:52,070 | |
| حسب الـ definition أو مشان خلي نفس الرموز يبقى بده | |
| 272 | |
| 00:28:52,070 --> 00:28:58,950 | |
| أقول X H بدي يساوي الـ H X لكل الـ X اللي موجودة في | |
| 273 | |
| 00:28:58,950 --> 00:29:01,090 | |
| G بلا استثناء | |
| 274 | |
| 00:29:03,680 --> 00:29:10,640 | |
| طيب تمام أنا بدي أخلق في المثال X H X inverse يبقى | |
| 275 | |
| 00:29:10,640 --> 00:29:15,440 | |
| بناء عليه لو ضربت الطرفين من جهتي اليمين في X | |
| 276 | |
| 00:29:15,440 --> 00:29:21,840 | |
| inverse أيّش اللي بدي يصير؟ بدي يصير عندي الـ X H X | |
| 277 | |
| 00:29:21,840 --> 00:29:26,950 | |
| inverse بدي يساوي مين؟ بدي يساوي الـ H هذا معناه | |
| 278 | |
| 00:29:26,950 --> 00:29:34,030 | |
| مدام يساوي يبقى الـ X H X inverse subset من مين؟ من | |
| 279 | |
| 00:29:34,030 --> 00:29:39,110 | |
| الـ H والـ H subset من الـ X H X inverse ما علينا | |
| 280 | |
| 00:29:39,110 --> 00:29:43,770 | |
| يبقى هاي جيبت له مين؟ الشرط الأول بدي أجيب له الشرط | |
| 281 | |
| 00:29:43,770 --> 00:29:45,630 | |
| الثاني conversely | |
| 282 | |
| 00:29:49,190 --> 00:29:57,170 | |
| assume افترض أن الـ X H X inverse subset من مين؟ | |
| 283 | |
| 00:29:57,170 --> 00:30:03,330 | |
| subset من H بدي أحاول أثبت أن الـ H هذه معها is a | |
| 284 | |
| 00:30:03,330 --> 00:30:09,690 | |
| normal subgroup من جي طيب بجي بقوله then | |
| 285 | |
| 00:30:12,460 --> 00:30:19,120 | |
| أو قبل then هذه الصحيحة إحنا فرضناها لكل الـ X اللي | |
| 286 | |
| 00:30:19,120 --> 00:30:24,920 | |
| موجودة أويا في الـ group G بدي أسأل السؤال التالي الـ | |
| 287 | |
| 00:30:24,920 --> 00:30:28,680 | |
| X inverse موجودة في G ولا لا؟ لأن الـ G جروبه | |
| 288 | |
| 00:30:28,680 --> 00:30:35,210 | |
| المعكس موجود يبقى بجي بقوله then الـ X inverse | |
| 289 | |
| 00:30:35,210 --> 00:30:41,390 | |
| موجودة في G implies بدي أطبق عليها الشرط هذا يبقى | |
| 290 | |
| 00:30:41,390 --> 00:30:47,370 | |
| لو جيت طبقت عليها الشرط هذا بيصير X inverse H X | |
| 291 | |
| 00:30:47,370 --> 00:30:52,850 | |
| inverse inverse اللي هو subset من من؟ subset من H | |
| 292 | |
| 00:30:55,030 --> 00:31:02,150 | |
| أو بمعنى آخر بقدر أقول هنا main أن الـ X inverse H | |
| 293 | |
| 00:31:02,150 --> 00:31:11,830 | |
| X subset من main subset من main من H طيب | |
| 294 | |
| 00:31:11,830 --> 00:31:19,130 | |
| كويس يبقى هذه الخطوة الأولى لو جبت أو قدرت أثبت أن | |
| 295 | |
| 00:31:19,130 --> 00:31:26,430 | |
| الـ H هي الـ subset من من الـ X inverse HX بتم | |
| 296 | |
| 00:31:26,430 --> 00:31:31,550 | |
| المطلوب يبقى بدي أعتبر هذه الخطوة رقم واحد بدي آجي | |
| 297 | |
| 00:31:31,550 --> 00:31:38,030 | |
| للخطوة رقم اثنين الخطوة رقم واحد لو ضربتها في X من | |
| 298 | |
| 00:31:38,030 --> 00:31:45,830 | |
| جهة الشمال يبقى أيّش بيصير الـ X X inverse في من؟ في | |
| 299 | |
| 00:31:45,830 --> 00:31:54,050 | |
| الـ H وهنا X بدي تبقى subset من الـ X H ضربت من جهة | |
| 300 | |
| 00:31:54,050 --> 00:31:58,610 | |
| الشمال في X يبقى هذا أيّش بدي يعطيك؟ هذا بدي | |
| 301 | |
| 00:31:58,610 --> 00:32:06,330 | |
| يعطيك أن الـ H X subset من الـ X H بنفس الطريقة اضرب | |
| 302 | |
| 00:32:06,330 --> 00:32:12,090 | |
| من جهة اليمين في الـ X inverse يبقى لو ضربنا في الـ | |
| 303 | |
| 00:32:12,090 --> 00:32:19,250 | |
| X inverse بيصير الـ H هي subset من X H X inverse و | |
| 304 | |
| 00:32:19,250 --> 00:32:22,550 | |
| هذه العلاقة رقم اثنين أطلع لي في الواحد واثنين | |
| 305 | |
| 00:32:22,550 --> 00:32:33,120 | |
| يبقى باجي بقوله هنا from واحد and اثنين we have إن | |
| 306 | |
| 00:32:33,120 --> 00:32:40,620 | |
| الـ X H X inverse بده يساوي مين؟ بده يساوي الـ H طب | |
| 307 | |
| 00:32:40,620 --> 00:32:47,100 | |
| اضرب للطرفين في X من جهتي اليمين يبقى X H بده | |
| 308 | |
| 00:32:47,100 --> 00:32:52,780 | |
| يساوي H X هالتعريف مين؟ الـ normal هذا بده يعطيك | |
| 309 | |
| 00:32:52,780 --> 00:32:57,660 | |
| أن الـ H is a normal subgroup من مين؟ من G وأنت | |
| 310 | |
| 00:32:57,660 --> 00:33:00,120 | |
| هنا من المسألة | |
| 311 | |
| 00:33:04,330 --> 00:33:12,130 | |
| الآن خذ لي هالملاحظة اللي قلت لك قبل قليل وهي صورة | |
| 312 | |
| 00:33:12,130 --> 00:33:17,030 | |
| من صورة الـ normality بيقول لي the above theorem the | |
| 313 | |
| 00:33:17,030 --> 00:33:26,450 | |
| above theorem the above theorem can be written as | |
| 314 | |
| 00:33:26,450 --> 00:33:36,160 | |
| can be written as ممكن نكتبها على الشكل التالي أن | |
| 315 | |
| 00:33:36,160 --> 00:33:46,820 | |
| الـ a أو الـ h is a normal subgroup من g if and only | |
| 316 | |
| 00:33:46,820 --> 00:33:56,180 | |
| if الـ x h x inverse belongs لمن؟ belongs لـ الـ H لكل | |
| 317 | |
| 00:33:56,180 --> 00:34:01,340 | |
| الـ X اللي موجود وين؟ في جيب بلا استثناء | |
| 318 | |
| 00:34:18,040 --> 00:34:25,960 | |
| مرة ثانية الملاحظة هذه بتقول أن التعريف الـ | |
| 319 | |
| 00:34:25,960 --> 00:34:32,640 | |
| normality استنتج من النظرية النظرية الآن أنا بدي | |
| 320 | |
| 00:34:32,640 --> 00:34:37,240 | |
| أصيغها هذه مرة ثانية فبجي بقول الـ H normal | |
| 321 | |
| 00:34:37,240 --> 00:34:42,220 | |
| subgroup من G إذا كان X H يا small يعني element من | |
| 322 | |
| 00:34:42,220 --> 00:34:47,460 | |
| H في X inverse بقول belong to H لأنه صار عنصر | |
| 323 | |
| 00:34:47,460 --> 00:34:51,640 | |
| العنصر بقولش substitute إنما بقول main belong to H | |
| 324 | |
| 00:34:51,640 --> 00:34:55,760 | |
| يعني حصل ضرب الـ X اللي هو من G في الـ element اللي | |
| 325 | |
| 00:34:55,760 --> 00:34:58,580 | |
| هو من H في معكوس الـ element تبع الـ G الثلاثة | |
| 326 | |
| 00:34:58,580 --> 00:35:02,970 | |
| بديكون one موجود في H وهي الموضوع تبعها هذي normal | |
| 327 | |
| 00:35:02,970 --> 00:35:07,290 | |
| إذا كان الـ X H X inverse belongs to the main للـ H | |
| 328 | |
| 00:35:07,290 --> 00:35:12,130 | |
| يبقى لو قالي من الآن فصاعدًا أثبت أن الـ H is a normal | |
| 329 | |
| 00:35:12,130 --> 00:35:18,130 | |
| subgroup من G يكفيني main هذا الشرط أو هذا الشرط أو | |
| 330 | |
| 00:35:18,130 --> 00:35:22,190 | |
| هذا الشرط يبقى اللي تقدر عليه من الثلاثة اشتغله | |
| 331 | |
| 00:35:22,190 --> 00:35:26,970 | |
| وتوكل على الله طيب بدنا نبدأ نأخذ بعض الأمثلة | |
| 332 | |
| 00:35:26,970 --> 00:35:32,330 | |
| ونبدأ بأبسط أنواع الأمثلة السؤال هو لو عندي group | |
| 333 | |
| 00:35:32,330 --> 00:35:37,470 | |
| abelian والجروب هذه أخذت منها الـ subgroup السؤال | |
| 334 | |
| 00:35:37,470 --> 00:35:45,270 | |
| هو هل الـ subgroup هذه بتبقى normal يعني هل يتحقق الـ | |
| 335 | |
| 00:35:45,270 --> 00:35:50,160 | |
| condition اللي عندي هذاليش؟ لأن abelian أنا بقول | |
| 336 | |
| 00:35:50,160 --> 00:35:55,420 | |
| بقدر أبدل هدول أي مكان بعض لو بدلتهم بيصير H XX | |
| 337 | |
| 00:35:55,420 --> 00:36:00,320 | |
| inverse لو H في E لهو بـ H يبقى H موجودة وإن موجودة | |
| 338 | |
| 00:36:00,320 --> 00:36:03,720 | |
| في H وبالتالي الشرط متحقق إذا الـ group هذي أيّه؟ | |
| 339 | |
| 00:36:03,720 --> 00:36:08,580 | |
| normal group يبقى أول قاعدة بأخذها إنه لو كانت الـ | |
| 340 | |
| 00:36:08,580 --> 00:36:13,940 | |
| group abelian يبقى any subgroup is normal يبقى | |
| 341 | |
| 00:36:13,940 --> 00:36:29,400 | |
| أول مثال بيقول any subgroup of an abelian group is | |
| 342 | |
| 00:36:29,400 --> 00:36:36,380 | |
| normal مثال | |
| 343 | |
| 00:36:36,380 --> 00:36:42,000 | |
| اثنين طبعًا | |
| 344 | |
| 00:36:42,000 --> 00:36:47,080 | |
| الـ condition هيه عندك أقول لك هذه لو تحقق الـ | |
| 345 | |
| 00:36:47,080 --> 00:36:51,820 | |
| condition هنا موجود الآن abelian بقدر أبدله | |
| 346 | |
| 00:36:51,820 --> 00:36:58,420 | |
| وبالتالي بيبقى عندي H موجود فيه H طيب النقطة | |
| 347 | |
| 00:36:58,420 --> 00:37:02,600 | |
| الثانية الـ center تبع الـ group هل هو الـ subgroup | |
| 348 | |
| 00:37:02,600 --> 00:37:03,460 | |
| من الـ group G | |
| 349 | |
| 00:37:06,550 --> 00:37:14,770 | |
| الـ Center تبع بجروب الـ Z of G أنا أدعي أن الـ A | |
| 350 | |
| 00:37:14,770 --> 00:37:18,510 | |
| normal subgroup منين؟ من G | |
| 351 | |
| 00:37:21,130 --> 00:37:24,530 | |
| بآجي بقوله كويس إذا تحقق أيّ condition من الـ | |
| 352 | |
| 00:37:24,530 --> 00:37:28,850 | |
| conditions اللي عندي هدول بكون خلصنا من الموضوع | |
| 353 | |
| 00:37:28,850 --> 00:37:34,670 | |
| تمام كيف الآن خلاني نحقق أيّ condition هادي هادي | |
| 354 | |
| 00:37:34,670 --> 00:37:40,550 | |
| هادي السيانة بتفرجش عننا الآن لو رحت أخذ أيّ عنصر | |
| 355 | |
| 00:37:40,550 --> 00:37:44,550 | |
| عندي في الـ group G وبدي أضربه في الـ center تبع الـ | |
| 356 | |
| 00:37:44,550 --> 00:37:47,350 | |
| H هنا solution | |
| 357 | |
| 00:37:50,630 --> 00:38:00,150 | |
| الآن Z of G هو مجلد من G بدي أعمل left coset عندي | |
| 358 | |
| 00:38:00,150 --> 00:38:08,330 | |
| يبقى بآدي بقوله لكل الـ X موجود في G then الـ X في | |
| 359 | |
| 00:38:08,330 --> 00:38:16,500 | |
| الـ center بتابع الـ G بده يساوي أظن الـ X هذي تتعامل | |
| 360 | |
| 00:38:16,500 --> 00:38:23,060 | |
| مع جميع عناصر Z أو عناصر Z of G تتعامل مع جميع | |
| 361 | |
| 00:38:23,060 --> 00:38:28,820 | |
| عناصر G إذا هذي تتعامل مع الـ Z كلها اللي عندنا | |
| 362 | |
| 00:38:28,820 --> 00:38:37,780 | |
| يبقى هذا بده يعطيني Z of G Z of G في X الشكل اللي | |
| 363 | |
| 00:38:37,780 --> 00:38:42,440 | |
| عندنا هنا كان بإمكاني أبدأ غير هيك أروح أقول له | |
| 364 | |
| 00:38:42,440 --> 00:38:49,540 | |
| تعال نشوف X Z of G X inverse شو بده تعطيني وأجيب | |
| 365 | |
| 00:38:49,540 --> 00:38:54,260 | |
| من وأجيب الـ X أبدلها بالشكل هذا بتيجي الـ X يعني | |
| 366 | |
| 00:38:54,260 --> 00:38:59,060 | |
| كان بإمكاني بدل ما أقول هيك أقول تعال نشوف الـ | |
| 367 | |
| 00:38:59,060 --> 00:39:04,100 | |
| group يعني وأروح أحط هنا من X inverse أشوف وين | |
| 368 | |
| 00:39:04,100 --> 00:39:09,030 | |
| بده توصلني يعني بقول لك كويس هذا الكلام الـ X كميوت | |
| 369 | |
| 00:39:09,030 --> 00:39:14,850 | |
| مع جميع العناصر اللي موجودة في Z إذا هذه بقدر أقول | |
| 370 | |
| 00:39:14,850 --> 00:39:21,320 | |
| Z of G وهنا X وهذه الـ X انفرس اللي عندنا هذه | |
| 371 | |
| 00:39:21,320 --> 00:39:26,380 | |
| بتعطينا مين؟ الـ identity element الـ identity | |
| 372 | |
| 00:39:26,380 --> 00:39:31,580 | |
| element في أيّ subgroup والله بتعطيني نفس الـ | |
| 373 | |
| 00:39:31,580 --> 00:39:38,320 | |
| subgroup تمام يبقى أسار X Z of G X inverse بدي | |
| 374 | |
| 00:39:38,320 --> 00:39:44,480 | |
| أسوأ من Z of G أضرب من جهة اليمين في X هذا بدي | |
| 375 | |
| 00:39:44,480 --> 00:39:52,350 | |
| يعطيك إن الـ X في Z of G في الـ X inverse بده تجيلك | |
| 376 | |
| 00:39:52,350 --> 00:39:59,750 | |
| كمان X بده يساوي Z of G في من في ال X هذا بده | |
| 377 | |
| 00:39:59,750 --> 00:40:06,210 | |
| يعطيلك إن ال X في Z of G طلعلي هذا الشيء بيعطينا ال | |
| 378 | |
| 00:40:06,210 --> 00:40:10,250 | |
| identity في أي element من نفس ال element والطرف | |
| 379 | |
| 00:40:10,250 --> 00:40:17,650 | |
| اليمين Z of G أو ال X في .. هذا بيعطيك Z of G في | |
| 380 | |
| 00:40:17,650 --> 00:40:23,550 | |
| من؟ في ال X هذا بدي أعطيلك إن Z of G is a normal | |
| 381 | |
| 00:40:23,550 --> 00:40:27,590 | |
| subgroup من G يعني .. يعني قلت الفكرة البسيطة | |
| 382 | |
| 00:40:27,590 --> 00:40:31,710 | |
| الأولى اللي قلناها أوي الثانية كله بيأدي إلى نفس | |
| 383 | |
| 00:40:31,710 --> 00:40:37,100 | |
| الموضوع والله بيكفل اللي قلناها بس احنا مسحناها | |
| 384 | |
| 00:40:37,100 --> 00:40:43,080 | |
| القطعة اللي كنا .. هذه الآن X Z X inverse بده يسوي | |
| 385 | |
| 00:40:43,080 --> 00:40:47,080 | |
| مين؟ بده يسوي .. | |
| 386 | |
| 00:40:47,080 --> 00:40:51,160 | |
| خليكم معايا احنا هذي ال subgroup أخدنا X في G | |
| 387 | |
| 00:40:51,160 --> 00:40:55,440 | |
| وقلنا تعال شوف المقدر هذا إيش بيعطينا يعني أنا | |
| 388 | |
| 00:40:55,440 --> 00:41:00,220 | |
| جيت أشوف هذا شو بدي يعطينا امشي طلع مين طلع هو Z | |
| 389 | |
| 00:41:00,220 --> 00:41:06,350 | |
| of G اللي هي الـ subset النظرية subset وما قلناش | |
| 390 | |
| 00:41:06,350 --> 00:41:12,730 | |
| تساوي لإن احنا الـ subset جبنا من اليساوي لو قدرت تثبت | |
| 391 | |
| 00:41:12,730 --> 00:41:17,230 | |
| هذا الكلام إن هذا بيساوي هذا بيكون قد الواجب بس | |
| 392 | |
| 00:41:17,230 --> 00:41:21,710 | |
| أنا بدي أحاول أحط لك التعريف كلام صح مظبوط ما حدا | |
| 393 | |
| 00:41:21,710 --> 00:41:24,790 | |
| بيقدر يقول غلط فيه هذا بس أنا حبيت أجيب التعريف | |
| 394 | |
| 00:41:24,790 --> 00:41:28,910 | |
| الأساسي لكن لو قلت لحد هنا يبقى normal خلاصنا ولا | |
| 395 | |
| 00:41:28,910 --> 00:41:34,440 | |
| واحد اللي اعترض عليك يبقى هذا بالنسبة للمثال رقم | |
| 396 | |
| 00:41:34,440 --> 00:41:40,000 | |
| اثنين طب نجيب لك مثال رقم ثلاثة أنا بدي أجيب لك من | |
| 397 | |
| 00:41:40,000 --> 00:41:44,800 | |
| الشغلات اللي مرت عليك بدنا مش نبعد لسه سمعت بال | |
| 398 | |
| 00:41:44,800 --> 00:41:49,000 | |
| special linear group of two by two matrices over R | |
| 399 | |
| 00:41:49,000 --> 00:41:56,770 | |
| أنا أدعي إن هذه كمان normal الآن الـ special linear | |
| 400 | |
| 00:41:56,770 --> 00:42:02,150 | |
| group of two by two matrices over R هذي normal من | |
| 401 | |
| 00:42:02,150 --> 00:42:06,070 | |
| الـ general linear group of two by two matrices | |
| 402 | |
| 00:42:06,070 --> 00:42:11,990 | |
| over R ليش هذي؟ بدي أثبت شرطين الشرط الأول إنّها | |
| 403 | |
| 00:42:11,990 --> 00:42:17,230 | |
| subgroup اثنين بدي أثبت خاصية الـ normality يبقى | |
| 404 | |
| 00:42:17,230 --> 00:42:19,450 | |
| الآن solution | |
| 405 | |
| 00:42:22,250 --> 00:42:26,870 | |
| بتروح تقول إيه الـ special linear group of two by | |
| 406 | |
| 00:42:26,870 --> 00:42:31,330 | |
| two matrices over R subgroup من الـ general linear | |
| 407 | |
| 00:42:31,330 --> 00:42:38,350 | |
| group of two by two matrices over R وهذه مثال | |
| 408 | |
| 00:42:38,350 --> 00:42:47,010 | |
| سابق هذه أثبتناها قبل ذلك طب كويس الآن بروح آخذ | |
| 409 | |
| 00:42:47,010 --> 00:42:51,990 | |
| element من G وبدي آخذ element من الـ special واشوف | |
| 410 | |
| 00:42:51,990 --> 00:42:55,690 | |
| حصل ضرب الـ element من G في الـ element من الـ | |
| 411 | |
| 00:42:55,690 --> 00:43:00,390 | |
| special في معكوس الـ element تبعي انطلع والله الـ | |
| 412 | |
| 00:43:00,390 --> 00:43:03,330 | |
| determinant إيه اللي بدي يساوي واحد بيكون حصل | |
| 413 | |
| 00:43:03,330 --> 00:43:06,260 | |
| الضرب هذا موجود وإنّ الـ special وبالتالي الـ | |
| 414 | |
| 00:43:06,260 --> 00:43:11,840 | |
| special هه normal subgroup من main من G يبقى | |
| 415 | |
| 00:43:11,840 --> 00:43:14,480 | |
| بالداخل أكتب لك الحل على الشجرة الثانية | |
| 416 | |
| 00:43:28,720 --> 00:43:34,740 | |
| أفترض أن الـ A موجودة في الـ general linear group of | |
| 417 | |
| 00:43:34,740 --> 00:43:41,000 | |
| 2 by 2 matrices over R ويكون موجودة في الـ special | |
| 418 | |
| 00:43:41,000 --> 00:43:48,000 | |
| linear group of 2 by 2 matrices over R أريد أن آخذ | |
| 419 | |
| 00:43:48,000 --> 00:43:54,640 | |
| الـ A بـ A إنفرس إذا كنت أثبت إنّ هذه موجودة في الـ | |
| 420 | |
| 00:43:54,640 --> 00:43:58,860 | |
| Special يبقى هو الشرط اللي قلنا عليه الشرط الثالث | |
| 421 | |
| 00:43:58,860 --> 00:44:03,200 | |
| هو المساحنة أه هذه موجودة تمام يبقى بدي أحاول | |
| 422 | |
| 00:44:03,200 --> 00:44:09,300 | |
| أثبتها فبدي آخذ determinant لمين لهذه المصفوفة | |
| 423 | |
| 00:44:09,300 --> 00:44:15,530 | |
| يبقى حسب الجبر الخطي هذه determinant للـ A في | |
| 424 | |
| 00:44:15,530 --> 00:44:19,970 | |
| الـ determinant للـ B في الـ determinant للـ A | |
| 425 | |
| 00:44:19,970 --> 00:44:23,650 | |
| inverse صاروا هدور الـ real numbers الـ real | |
| 426 | |
| 00:44:23,650 --> 00:44:28,350 | |
| numbers are commutes يبقى هذا الـ determinant للـ | |
| 427 | |
| 00:44:28,350 --> 00:44:33,070 | |
| A في الـ determinant للـ A inverse في الـ | |
| 428 | |
| 00:44:33,070 --> 00:44:37,870 | |
| determinant للـ B يبقى .. بدي أرجعه إلى أصله يبقى | |
| 429 | |
| 00:44:37,870 --> 00:44:42,170 | |
| الـ determinant للـ A في الـ A inverse في الـ | |
| 430 | |
| 00:44:42,170 --> 00:44:47,280 | |
| determinant للـ B المصفوفة فيما عكوزها بالـ | |
| 431 | |
| 00:44:47,280 --> 00:44:52,240 | |
| determinant لمصفوفة الوحدة في الـ determinant للـ B | |
| 432 | |
| 00:44:52,240 --> 00:44:58,920 | |
| محدد مصفوفة الوحدة قديش؟ واحد صحيح محدد المصفوفة بـ | |
| 433 | |
| 00:44:58,920 --> 00:45:03,320 | |
| B برضه بواحد لأنها موجودة وين؟ بالـ Special يبقى | |
| 434 | |
| 00:45:03,320 --> 00:45:09,800 | |
| الـ | |
| 435 | |
| 00:45:09,800 --> 00:45:14,980 | |
| ABA inverse موجودة في الـ Special Linear Group of | |
| 436 | |
| 00:45:14,980 --> 00:45:20,280 | |
| 2x2 matrices over R بناء عليه الـ Special Linear | |
| 437 | |
| 00:45:20,280 --> 00:45:25,400 | |
| Group of 2x2 matrices over R is a normal subgroup | |
| 438 | |
| 00:45:25,400 --> 00:45:30,620 | |
| من الـ General Linear Group of 2x2 matrices over R | |
| 439 | |
| 00:45:31,450 --> 00:45:38,970 | |
| يبقى هذا مثال آخر على ال .. على اللي عندنا خذ مثال | |
| 440 | |
| 00:45:38,970 --> 00:45:43,390 | |
| أربعة مثال | |
| 441 | |
| 00:45:43,390 --> 00:45:49,030 | |
| أربعة the alternating | |
| 442 | |
| 00:45:49,030 --> 00:45:53,490 | |
| group | |
| 443 | |
| 00:45:53,490 --> 00:45:59,850 | |
| the alternating group أربعة | |
| 444 | |
| 00:46:04,190 --> 00:46:10,170 | |
| الثاني جروب An is | |
| 445 | |
| 00:46:10,170 --> 00:46:19,130 | |
| a normal subgroup من من الـ Sn ليش | |
| 446 | |
| 00:46:19,130 --> 00:46:22,450 | |
| هذي normal باجي بقوله because | |
| 447 | |
| 00:46:26,200 --> 00:46:31,900 | |
| بدي آخذ element في Sn و element في An طبعا أنا | |
| 448 | |
| 00:46:31,900 --> 00:46:36,460 | |
| أخذناها سابقا إنّها الـ subgroup مظبوط الـ a for | |
| 449 | |
| 00:46:36,460 --> 00:46:42,680 | |
| because الـ An هذي الـ subgroup من الـ Sn and | |
| 450 | |
| 00:46:45,520 --> 00:46:55,140 | |
| Alpha موجودة في الـ S in and Beta موجودة في الـ A in | |
| 451 | |
| 00:46:55,140 --> 00:47:05,920 | |
| then أخذ العنصر Sn والعنصر An ومعكس العنصر Sm لو | |
| 452 | |
| 00:47:05,920 --> 00:47:11,420 | |
| طلع هذا الكلام even يبقى هذا حصلت ضربوين في Sn | |
| 453 | |
| 00:47:11,420 --> 00:47:19,110 | |
| يكون خلصنا يبقى هذا الكلام هادئة قد تكون even وقد | |
| 454 | |
| 00:47:19,110 --> 00:47:24,150 | |
| تكون odd لنا في الـ sense إن كان even يبقى معكوسة | |
| 455 | |
| 00:47:24,150 --> 00:47:28,370 | |
| even هذه even ما عنديش مشكلة إن كان هذه odd هذه | |
| 456 | |
| 00:47:28,370 --> 00:47:32,370 | |
| even هذه odd يبقى المجموع اللي هو even وبالتالي | |
| 457 | |
| 00:47:32,370 --> 00:47:36,770 | |
| هذه موجودة على طول الخط طبعا أثبتناها قبل إيه | |
| 458 | |
| 00:47:36,770 --> 00:47:44,930 | |
| أخذناها سؤال وحلناه يبقى then هذه موجودة في الـ An | |
| 459 | |
| 00:47:44,930 --> 00:47:54,870 | |
| because السبب إنّ even زائد even زائد even بده | |
| 460 | |
| 00:47:54,870 --> 00:48:05,410 | |
| يساوي even and odd زائد even زائد odd بده يعطينا | |
| 461 | |
| 00:48:05,410 --> 00:48:10,870 | |
| even مشان هيك هذه normal طبعا بنكمل في المحاضرة | |
| 462 | |
| 00:48:10,870 --> 00:48:12,950 | |
| القادمة إن شاء الله | |