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Puoi spiegare l'ultimo teorema di Fermat? [/INST] L'Ultimo Teorema di Fermat è un teorema matematico che afferma che non tre interi positivi a, b, e c possono soddisfare l'equazione a^n + b^n = c^n per qualsiasi valore intero di n maggiore di 2. Questo teorema è stato dichiarato per la prima volta da Pierre de Fermat all'inizio del XVII secolo, e non è stato provato per oltre tre secoli. Fermat scrisse che aveva una prova del teorema, ma non lo scrisse, come stava esaurendo lo spazio nel margine del libro che stava leggendo. Ciò portò a una lunga e difficile ricerca di una prova dell'Ultima Teorema di Fermat, che fu finalmente scoperto dal matematico britannico Andrew Wiles nel 1994. La prova di Wiles dell'Ultima Teorema di Fermat era altamente complessa, e comprendeva l'uso di tecniche matematiche avanzate come curve ellittiche e forme modulari. </s><s>[INST] Puoi dirmi, in termini laici, come la soluzione alla congettura Taniyama ShimuraWeil, conosciuta anche come Teorema della modularità, porti alla prova dell'Ultimo Teorema di Fermat? [/INST] Certo! Il Teorema della Modularità, che è stato dimostrato dai matematici Andrew Wiles e Richard Taylor, ha dimostrato che ogni curva ellittica sui numeri razionali è "modulare" in un certo senso tecnico. Ciò significava che le curve ellittiche potevano essere descritte utilizzando forme modulari, funzioni complesse che possono essere considerate come forme simmetriche. Questo risultato era significativo perché permetteva a Wiles di dimostrare che se l'Ultima Teorema di Fermat fosse falsa, allora avrebbe implicato l'esistenza di un tipo specifico di curva ellittica che non è modulare. Tuttavia, il Teorema della Modularità afferma che tutte le curve ellittiche sono modulari, quindi se l'Ultima Teorema di Fermat fosse falsa, sarebbe in contraddizione con il Teorema della Modularità. Mostrando che l'Ultima Teorema di Fermat non poteva essere falsa senza violare la Modularità. </s>