Here is an easy way to estimate this sort of stuff without having to use calculator or even pen and paper:

The surface gravity is proportional to mass and inversely proportional to radius squared. Mass is proportional to r^3 * p where p is density.

This gives: surface gravity is proportional to radius multiplied by density. So, if you decrease the density two times, the radius has to increase two times to maintain same surface gravity. 

More specifically, for your question: Earth's mean density is 5.52 gram per cubic centimetre. From the radial density profile:

_URL_2_

it appears that the core is too small and it's replacement would not make the dramatic difference you envision (half the radius means 1/8 the volume).

It is difficult to say anything about the density of a rocky planet made of a very light rock; one has to think of particular material with particular compressibility. The pressure in Earth core is on order of 300 gigapascal:

_URL_0_

Carbon (diamond) seems to have density of about 4.5 grams per cubic centimetre at this kind of pressure: 

_URL_1_

giving us the radius that is 5.52/4.5 = approximately 1.2 times the radius of Earth, with the surface area up to perhaps 1.5 times that of Earth. I am not sure about lighter minerals. I'm trying to look up lithium data. Albeit a planet made of lithium would seem somewhat implausible.

edit: correction. Much of carbon in that planet would be under less pressure. So you might be able to get some 2x Earth surface area with a diamond planet.
කැල්කියුලේටරය හෝ පෑන සහ කඩදාසි භාවිතා නොකර මෙවැනි දේවල් තක්සේරු කිරීමට පහසු ක්‍රමයක් මෙන්න: පෘෂ්ඨික ගුරුත්වාකර්ෂණය ස්කන්ධයට සමානුපාතික වන අතර අරය වර්ග වලට ප්‍රතිලෝමව සමානුපාතික වේ. ස්කන්ධය r^3 * p ට සමානුපාතික වන විට p යනු ඝනත්වය වේ. මෙය ලබා දෙයි: මතුපිට ගුරුත්වාකර්ෂණය ඝනත්වයෙන් ගුණ කළ අරයට සමානුපාතික වේ. එබැවින්, ඔබ ඝනත්වය දෙවරක් අඩු කළහොත්, එකම මතුපිට ගුරුත්වාකර්ෂණය පවත්වා ගැනීමට අරය දෙගුණයක් වැඩි කළ යුතුය. වඩාත් නිශ්චිතව, ඔබේ ප්‍රශ්නය සඳහා: පෘථිවි සාමාන්‍ය ඝනත්වය ඝන සෙන්ටිමීටරයකට ග්‍රෑම් 5.52 කි. රේඩියල් ඝනත්ව පැතිකඩෙන්: _URL_2_ හරය ඉතා කුඩා වන අතර එය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ඔබ සිතන නාටකාකාර වෙනසක් සිදු නොවනු ඇත (අරය යනු පරිමාවෙන් 1/8 යන්නයි). ඉතා සැහැල්ලු පාෂාණයකින් සාදන ලද පාෂාණමය ග්‍රහලෝකයක ඝනත්වය ගැන කිසිවක් පැවසීම දුෂ්කර ය; යමෙක් විශේෂිත සම්පීඩ්‍යතාවයක් සහිත විශේෂිත ද්‍රව්‍යයක් ගැන සිතිය යුතුය. පෘථිවි හරයේ පීඩනය ගිගාපැස්කල් 300 අනුපිළිවෙලක් ඇත: _URL_0_ කාබන් (දියමන්ති) මෙවැනි පීඩනයකදී ඝන සෙන්ටිමීටරයකට ග්‍රෑම් 4.5 ක් පමණ ඝනත්වයක් ඇති බව පෙනේ: _URL_1_ අපට අරය 5.52/4.5 = දළ වශයෙන් අරය 1.2 ගුණයකින් ලබා දෙයි. පෘථිවියේ, සමහර විට පෘතුවිය මෙන් 1.5 ගුණයක් දක්වා පෘෂ්ඨ වර්ගඵලයක් සහිතව. සැහැල්ලු ඛනිජ ගැන මට විශ්වාස නැත. මම ලිතියම් දත්ත සෙවීමට උත්සාහ කරමි. ලිතියම් වලින් සාදන ලද ග්‍රහලෝකයක් තරමක් විශ්වාස කළ නොහැකි බව පෙනේ. සංස්කරණය: නිවැරදි කිරීම. එම ග්‍රහලෝකයේ බොහෝ කාබන් අඩු පීඩනයක් යටතේ පවතිනු ඇත. එබැවින් ඔබට දියමන්ති ග්‍රහලෝකයක් සමඟ පෘථිවි පෘෂ්ඨයේ 2x ප්‍රමාණය ලබා ගැනීමට හැකි වනු ඇත.