Composed? No. The space of time limited [continuous signals](_URL_2_) is of course uncountably infinite. 

Differentiated? Yes. To explain this, we have to make two assumptions, 

 * each song can be reproduced with some maximum amount of power, 
 * there will be noise added to the signal (which we will assume is [Gaussian](_URL_4_))
 * that all sounds outside our hearing range are immaterial to use and can not be used to differentiate songs.

We will say this maximum amount of signal power to noise power is S, while the range of human hearing (about 20 to 20 KHz) is W. With these definitions, there are at most 

2^(TW log[1 + S])

T-second songs that can be reliably differentiated between.


This observation is in essence, the [Shannon-Hartley theorem](_URL_1_). In more detail, any bandlimited^([1]) (occupying finite frequency range) signal can be reproduced using a version of the signal sampled in time at frequency of 2W. [See here for a graphical representation of this, the middle on the right being the time sampled version of the top left.](_URL_3_). This is, in essence, the [Nyquist Shannon Sampling theorem](_URL_0_). Hence allowing us to replace this continuous signal, with a vector of length

    samples = seconds (samples/second) = T (2W)


At this point we have a vector of length 2TW. For every possible song that could be differentiated, we can associate a binary sequence of length *c*. If this sequence was length 3, then 2^3 = 8 songs could be reliably distinguished. Now note that 

    log(number of songs)/vector length =  bits/symbol.

The maximum number of bits/symbol is a well studied metric, called [the channels capacity](_URL_7_). For the case of Gaussian noise, *c* = 2^(-1) log(1 + S), where S at the outset. 

Thus the capacity defines the maximum number of differentiable signals subject to the noise, and the sampling theorem the maximum number of discrete points needed to represent the continuous bandlimited function. Multiplying the two quantities gives a maximum number of 

2^(TW log[1+S] )

T-second songs. You can also approach this problem from a [rate distortion](_URL_5_) perspective (ie every song within a certain distortion is equally likely, so I just need to pick the minimum number of songs to represent them all), and end up with the same result.

[1]- All bandlimited signals are infinite in time. To account for this nuance you should technically use [prolate spheroidal functions](_URL_6_). The result is unchanged, you need a vector of 2TW for representation.

edit- As /u/DevestatingAttack pointed out, screwed up my units originally. Had bits of song instead of songs. Changed from TW log[1+S] - >  2^(TW log[1+S]).
රචනා කළේ? නැත. සීමා සහිත කාල අවකාශය [අඛණ්ඩ සංඥා](_URL_2_) ඇත්ත වශයෙන්ම ගණන් කළ නොහැකි තරම් අනන්තය. වෙනස් කර තිබේද? ඔව්. මෙය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපට උපකල්පන දෙකක් කළ යුතුය, * සෑම ගීතයක්ම යම් උපරිම බලයකින් ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කළ හැකිය, * සංඥාවට ශබ්දය එකතු වේ (එය [ගවුසියන්](_URL_4_) යැයි අපි උපකල්පනය කරමු) * සියලුම ශබ්ද අපගේ ශ්‍රවණ පරාසයෙන් පිටත භාවිතා කිරීමට අත්‍යවශ්‍ය නොවන අතර ගීත වෙනස් කිරීමට භාවිතා කළ නොහැක. ශබ්ද බලය සඳහා මෙම උපරිම සංඥා බලය S ලෙස අපි කියමු, මිනිස් ශ්‍රවණ පරාසය (20 සිට 20 KHz පමණ) W වේ. මෙම අර්ථ දැක්වීම් සමඟ, උපරිම වශයෙන් 2^(TW log[1 + S]) ඇත. අතර විශ්වාසනීය ලෙස වෙනස් කළ හැකි ටී-දෙවන ගීත. මෙම නිරීක්ෂණය සාරය වශයෙන්, [Shannon-Hartley theorem](_URL_1_). වඩාත් විස්තරාත්මකව, ඕනෑම කලාප සීමා සහිත^([1]) (සීමිත සංඛ්‍යාත පරාසයක් අල්ලාගෙන සිටින) සංඥාවක් 2W සංඛ්‍යාතයේදී නියමිත වේලාවට සාම්පල කරන ලද සංඥාවේ අනුවාදයක් භාවිතයෙන් ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කළ හැක. [මෙය චිත්‍රක නිරූපණයක් සඳහා මෙහි බලන්න, දකුණු පස ඉහළ වම්පස කාල නියැදි අනුවාදය වේ.](_URL_3_). මෙය සාරය වශයෙන්, [Nyquist Shannon Sampling theorem](_URL_0_). එබැවින් දිග සාම්පල = තත්පර (නියැදි/තත්පර) = T (2W) සහිත දෛශිකයකින් මෙම අඛණ්ඩ සංඥාව ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. මෙම අවස්ථාවේදී අපට දිග 2TW දෛශිකයක් ඇත. වෙනස් කළ හැකි සෑම ගීතයක් සඳහාම, අපට දිග *c* ද්විමය අනුක්‍රමයක් ඇසුරු කළ හැක. මෙම අනුපිළිවෙල දිග 3 නම්, 2^3 = 8 ගීත විශ්වාසදායක ලෙස වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. දැන් ලොග් (ගීත ගණන)/දෛශික දිග = බිටු/සංකේතය බව සලකන්න. උපරිම බිටු/සංකේතය [නාලිකා ධාරිතාව](_URL_7_) ලෙස හඳුන්වන හොඳින් අධ්‍යයනය කරන ලද මෙට්‍රික් එකකි. Gaussian ඝෝෂාව සඳහා, *c* = 2^(-1) log(1 + S), මෙහි ආරම්භයේදී S. මේ අනුව ධාරිතාව මගින් ශබ්දයට යටත්ව අවකලනය කළ හැකි උපරිම සංඥා සංඛ්‍යාව සහ නියැදි ප්‍රමේයය අඛණ්ඩ කලාප සීමා ශ්‍රිතය නිරූපණය කිරීමට අවශ්‍ය උපරිම විවික්ත ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාව නිර්වචනය කරයි. ප්‍රමාණ දෙක ගුණ කිරීමෙන් උපරිම සංඛ්‍යාව 2^(TW log[1+S] ) T-second ගීත ලැබේ. ඔබට මෙම ගැටලුවට [අනුපාත විකෘති කිරීම](_URL_5_) ඉදිරිදර්ශනයකින් ප්‍රවේශ විය හැක (එනම් යම් විකෘතියක් තුළ ඇති සෑම ගීතයක්ම එක හා සමානව සම්භාවිතාවක් ඇත, ඒ නිසා මට ඒවා සියල්ල නියෝජනය කිරීමට අවම ගීත සංඛ්‍යාව තෝරා ගැනීමට අවශ්‍ය වේ), සහ අවසන් එකම ප්රතිඵලය. [1]- සියලුම කලාප සීමා සහිත සංඥා කාලය තුළ අනන්තය. මෙම සූක්ෂ්මතාවය ගණනය කිරීම සඳහා ඔබ තාක්‍ෂණිකව [ප්‍රෝලේට් ගෝලාකාර ශ්‍රිත](_URL_6_) භාවිතා කළ යුතුය. ප්රතිඵලය නොවෙනස්ව පවතී, ඔබට නිරූපණය සඳහා 2TW දෛශිකයක් අවශ්ය වේ. සංස්කරණය- /u/DevestatingAttack පෙන්වා දුන් පරිදි, මගේ ඒකක මුලින් අවුල් විය. සින්දු වෙනුවට සිංදු ටිකක් තිබ්බා. TW ලොගය[1+S] - &gt; 2^(TW log[1+S]) වෙතින් වෙනස් කරන ලදී.