Of course there exists a bijective function from the set of one sphere to the set of two spheres. That is, we can break up a sphere into uncountably many points, and rearrange the points into two sphere. So we're essentially forgetting everything about the first sphere, except how many points it has, and then artificially creating two new spheres because these have the same number of points. That's not super interesting. You can take a line segment and stretch it to get a line segment with double the length. While we're not breaking the line down into it's base points, we are distorting and skewing it. So that's not super interesting either. Both of these kinds of operations allow us to create volume, so it's not surprising when we get larger volumes.

Banach-Tarski says that you can take a sphere, cut it up into five pieces, then using only rotations and translations (ie without stretching or skewing any of the pieces) we can put them back together in such a way that results in two spheres identical to the first in every way, doubling the volume. All of the geometry is preserved, yet we double what we started with. None of the operations that we use allow us to create new volume, we're just rotating and translating these pieces, yet we do create new volume. This *is* interesting.

It's a paradox because it *shouldn't* happen. It's even a surprise to people who know all the exact mathematical definitions. Rotations and translations do absolutely nothing to volume, yet Banach-Tarski proves that we can use rotations and translations to double volume. There's something nontrivial and  paradoxical going on.

The issue is the existence of "[Non-Measureable Sets](_URL_0_)". These are sets that do not have a volume. Their volume isn't zero, they have no volume in the sense it doesn't even make sense to *talk* about their volume.  They break the idea of "volume". We cannot write these sets out or construct them in any meaningful way, their existence is just guaranteed by of the [Axiom of Choice](_URL_1_). It should be noted that the existence of these kinds of sets is not a trivial result.

What is happening is that we take the sphere and break it up into five non-measureable sets. While the geometry of the sphere is preserved in this, points in each piece do not move relative to each other, the instant that we break it into non-measureable sets we end up losing the information about the volume of the sphere. Using rotations and translations will then just preserve the non-measurableness of the sets. We then reassemble the pieces in a way that creates two spheres identical to the first. No rules were broken because the rotations and translations had no volume to preserve, and the five non-measureable pieces do not even remember their original volume so we are free to reassemble them in a way that gives us more volume than when we started with.

Banach-Tarski is not just about sizes of infinity. That stuff is simple. Banach-Tarski is a nontrivial mixture of Measure Theory (which tells us what volume actually means), the Axiom of Choice (which is guarantees that we can choose elements in a specific way) and some nontrivial things in Group Theory (which tells us how to use rotations and translations).
ඇත්ත වශයෙන්ම එක් ගෝලයක සිට ගෝල දෙකක කුලකයක් දක්වා ද්විවිධ ශ්‍රිතයක් පවතී. එනම්, අපට ගෝලයක් ගණන් කළ නොහැකි තරම් ලක්ෂ්‍ය ගණනකට බෙදිය හැකි අතර, එම ලක්ෂ්‍ය ගෝල දෙකකට නැවත සකස් කළ හැක. ඒ නිසා අපි මූලික වශයෙන් පළමු ගෝලයේ ඇති ලක්ෂ්‍ය ගණන හැර එහි ඇති සියල්ල අමතක කර, කෘත්‍රිමව නව ගෝල දෙකක් නිර්මාණය කරන්නේ මේවාට සමාන ලක්ෂ්‍ය ගණනක් ඇති බැවිනි. එය සුපිරි රසවත් නොවේ. ඔබට රේඛා ඛණ්ඩයක් ගෙන එය දිග දෙගුණයක් සහිත රේඛා ඛණ්ඩයක් ලබා ගත හැකිය. අපි රේඛාව එහි මූලික ලක්ෂ්‍යවලට නොකැඩී, අපි එය විකෘති කර විකෘති කරමින් සිටිමු. ඉතින් ඒකත් සුපිරි රසවත් නැහැ. මේ ආකාරයේ මෙහෙයුම් දෙකම අපට පරිමාවක් නිර්මාණය කිරීමට ඉඩ සලසයි, එබැවින් අපට විශාල පරිමාවන් ලැබෙන විට එය පුදුමයක් නොවේ. Banach-Tarski පවසන්නේ ඔබට ගෝලයක් ගෙන එය කැබලි පහකට කපා, පසුව භ්‍රමණය සහ පරිවර්තන පමණක් භාවිතා කළ හැකි බවයි (එනම් කෑලි කිසිවක් දිගු නොකර හෝ ඇලවීමකින් තොරව) අපට ඒවා ගෝල දෙකක් ඇති වන ආකාරයට නැවත එකට එකතු කළ හැකි බව. සෑම ආකාරයකින්ම පළමු එකට සමානයි, පරිමාව දෙගුණ කරයි. සියලුම ජ්‍යාමිතිය සංරක්ෂණය කර ඇත, නමුත් අපි ආරම්භ කළ දේ දෙගුණ කරමු. අප භාවිතා කරන කිසිදු ක්‍රියාවක් අපට නව පරිමාවක් නිර්මාණය කිරීමට ඉඩ නොදේ, අපි මෙම කොටස් කරකවමින් සහ පරිවර්තනය කරමින් සිටිමු, නමුත් අපි නව පරිමාවක් සාදන්නෙමු. මෙය * සිත්ගන්නා සුළුය. එය *නොවිය යුතු* නිසා එය පරස්පරයකි. සියලුම නිවැරදි ගණිතමය නිර්වචන දන්නා අයට පවා එය පුදුමයකි. භ්‍රමණයන් සහ පරිවර්තන පරිමාවට සම්පූර්ණයෙන්ම කිසිවක් නොකරයි, නමුත් බැනච්-ටාර්ස්කි අපට භ්‍රමණයන් සහ පරිවර්තන දෙගුණ කිරීමට භාවිතා කළ හැකි බව ඔප්පු කරයි. සුළු නොවන සහ පරස්පර විරෝධී දෙයක් සිදුවෙමින් පවතී. ගැටලුව වන්නේ &quot;[මැනිය නොහැකි කට්ටල](_URL_0_)&quot; පැවැත්මයි. මේවා පරිමාවක් නොමැති කට්ටල වේ. ඔවුන්ගේ පරිමාව ශුන්‍ය නොවේ, ඔවුන්ට පරිමාවක් නැත, ඒවායේ පරිමාව ගැන *කතා කිරීම* තේරුමක් නැත. ඔවුන් &quot;පරිමාව&quot; යන අදහස බිඳ දමයි. අපට මෙම කට්ටල ලිවීමට හෝ ඒවා කිසිඳු අර්ථාන්විත ආකාරයකින් ගොඩ නැගීමට නොහැක, ඒවායේ පැවැත්ම [තේරීමේ ප්‍රත්‍යය](_URL_1_) මගින් සහතික කෙරේ. මේ ආකාරයේ කට්ටලවල පැවැත්ම සුළුපටු ප්රතිඵලයක් නොවන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය. සිදු වන්නේ අපි ගෝලය ගෙන එය මැනිය නොහැකි කට්ටල පහකට කඩා දැමීමයි. ගෝලයේ ජ්‍යාමිතිය මෙහි සංරක්ෂණය කර ඇති අතර, එක් එක් කැබැල්ලේ ඇති ලක්ෂ්‍ය එකිනෙකට සාපේක්ෂව චලනය නොවේ, අපි එය මැනිය නොහැකි කට්ටලවලට කඩා දැමූ සැණින් අපට ගෝලයේ පරිමාව පිළිබඳ තොරතුරු අහිමි වේ. භ්‍රමණ සහ පරිවර්තන භාවිතා කිරීමෙන් කට්ටලවල මැනිය නොහැකි බව පමණක් ආරක්ෂා වේ. ඉන්පසුව අපි පළමු එකට සමාන ගෝල දෙකක් නිර්මාණය කරන ආකාරයෙන් කෑලි නැවත එකතු කරමු. භ්‍රමණයන් සහ පරිවර්තනවල සංරක්ෂණය කිරීමට පරිමාවක් නොතිබූ නිසා කිසිදු නීති රීති කඩ නොකළ අතර, මැනිය නොහැකි කෑලි පහට ඒවායේ මුල් පරිමාව පවා මතක නැති නිසා අපි ආරම්භ කළ කාලයට වඩා වැඩි පරිමාවක් ලබා දෙන ආකාරයෙන් ඒවා නැවත එකලස් කිරීමට අපට නිදහස තිබේ. Banach-Tarski යනු අනන්තයේ ප්‍රමාණයන් පමණක් නොවේ. ඒ දේවල් සරලයි. Banach-Tarski යනු මිනුම් න්‍යාය (එය අපට පවසන්නේ පරිමාව ඇත්ත වශයෙන්ම අදහස් කරන්නේ කුමක්ද), තේරීමේ ප්‍රත්‍යය (එය අපට නිශ්චිත ආකාරයකින් මූලද්‍රව්‍ය තෝරා ගත හැකි බවට සහතික වන) සහ කණ්ඩායම් න්‍යායේ සමහර සුළු නොවන දේවල් (එය අපට පවසන්නේ කෙසේදැයි කියා දෙන සුළු නොවන මිශ්‍රණයකි. පරිවර්තන සහ පරිවර්තන භාවිතා කිරීමට).