Let's start with the number line, and say we have some number. What happens when you multiply that number by another one? You "stretch" away from 0 if the second number is bigger than 1 or less than -1, and you "squish" towards 0 if the second number is smaller than 1 and bigger than -1, right? You can also flip which side of 0 you're on if the second number is negative. So we'll think of multiplication by a real number as a stretch or squish and maybe a flip.

Now imagine a big sheet. It goes on forever in all directions. Let's pick a point on this sheet and call it a "complex number." Now I can label the point by two real numbers - how far to the right/left of 0 I am and how far above/below 0 I am. These are the "real" and "imaginary" parts.

The thing that makes these complex numbers different from just a pair of real numbers is that you can multiply them in a really cool way. When you multiply our complex number by another complex number, it both squishes/stretches the number towards/away from 0 and *rotates* where the number is.

So remember how -1 "flipped" a real number? We can think of that instead as taking our number and rotating it half a circle around 0.
Real numbers are stuck on a line, so the only rotations you can get from multiplying by real numbers are 0 and half a circle. But with complex numbers you can get any rotation you like! And they're really easy to manipulate, too. If you multiply a ton of different complex numbers together and want to know the result you just add up all the rotation angles and multiply all the (real) stretches and squishes.

Now, you say, what's this got to do with square roots? That's where you hear about imaginary numbers! Well, the imaginary number i is a rotation by 90 degrees (a quarter circle) with a stretch/shrink of 1 (no stretching). What happens if you take i x i? I said you multiply the stretches and add the rotations, so you get a stretch of 1 x 1 = 1 and a rotation of 90+90 =180 degrees. But remember, we just realized that we can think of -1 as a rotation by 180 degrees with no stretch... So i x i = -1. This means that i is a square root of -1.
අපි අංක රේඛාවෙන් පටන් ගනිමු, අපට යම් අංකයක් තිබේ යැයි කියමු. ඔබ එම සංඛ්‍යාව තවත් එකකින් ගුණ කළ විට කුමක් සිදුවේද? ඔබ දෙවන අංකය 1 ට වඩා විශාල නම් හෝ -1 ට වඩා අඩු නම් 0 සිට &quot;දිගු&quot; කරයි, දෙවන අංකය 1 ට වඩා කුඩා නම් සහ -1 ට වඩා විශාල නම් ඔබ 0 දෙසට &quot;ඇතුළත්&quot; වෙනවා නේද? දෙවන අංකය සෘණ නම්, ඔබට 0 හි කුමන පැත්තද පෙරළීමට හැකිය. එබැවින් අපි තාත්වික සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම ස්ට්‍රෙච් හෝ ස්ක්විෂ් සහ සමහර විට පෙරලීමක් ලෙස සලකමු. දැන් විශාල පත්රයක් සිතන්න. එය සෑම දිශාවකටම සදහටම ගමන් කරයි. අපි මෙම පත්‍රයේ ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා එය &quot;සංකීර්ණ අංකයක්&quot; ලෙස හඳුන්වමු. දැන් මට ලක්ෂ්‍යය තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකකින් ලේබල් කළ හැක - 0 න් දකුණට/වමට කොපමණ දුරක් මම ද සහ මම 0 ට ඉහළින්/පහළින් කොපමණ දුර ද යන්න. මේවා &quot;සැබෑ&quot; සහ &quot;පරිකල්පිත&quot; කොටස් වේ. මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා තාත්වික සංඛ්‍යා යුගලයකට වඩා වෙනස් කරන දෙය නම් ඔබට ඒවා ඉතා සිසිල් ආකාරයකින් ගුණ කළ හැකි වීමයි. ඔබ අපගේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව වෙනත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට, එය සංඛ්‍යාව 0 දෙසට/ඉවතට ගෙන යන අතර සංඛ්‍යාව ඇති තැන *භ්‍රමණය* කරයි. ඉතින් මතකද -1 තාත්වික සංඛ්‍යාවක් &quot;පෙරලපු&quot; හැටි? ඒ වෙනුවට අපට එය සිතිය හැක්කේ අපගේ අංකය ගෙන එය 0 වට රවුමෙන් අඩක් කරකැවීම ලෙසය. තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාවක සිරවී ඇත, එබැවින් ඔබට තාත්වික සංඛ්‍යා වලින් ගුණ කිරීමෙන් ඔබට ලබා ගත හැකි එකම භ්‍රමණය වන්නේ 0 සහ රවුම් භාගයයි. නමුත් සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ ඔබ කැමති ඕනෑම භ්රමණයක් ලබා ගත හැකිය! ඒ වගේම ඒවා හැසිරවීමටත් හරිම ලේසියි. ඔබ විවිධ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ටොන් ගණනක් එකට ගුණ කර ප්‍රතිඵලය දැන ගැනීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබ සියලු භ්‍රමණ කෝණ එකතු කර සියලු (සැබෑ) දිගු සහ squishes ගුණ කරන්න. දැන් ඔයා කියනවද මේකේ වර්ගමූල සම්බන්ධය මොකක්ද? මනඃකල්පිත සංඛ්යා ගැන ඔබට ඇසෙන්නේ එතැනිනි! හොඳයි, මනඃකල්පිත අංකය i යනු අංශක 90 කින් (කාර්තු රවුමකින්) භ්‍රමණය වන අතර එය 1 (දිගු කිරීමකින් තොරව) දිගු කිරීම/හැකිලීමකි. ixi ගත්තොත් මොකද වෙන්නේ? මම කිව්වා ඔබ දිගු කිරීම් ගුණ කර භ්‍රමණය එකතු කරන්න, එවිට ඔබට 1 x 1 = 1 සහ අංශක 90+90 = 180 ක භ්‍රමණයක් ලැබේ. නමුත් මතක තබා ගන්න, අපට -1 යනු අංශක 180 කින් භ්‍රමණයක් ලෙස සිතිය හැකි බව අපට වැටහුණා ... ඉතින් ixi = -1. මෙයින් අදහස් කරන්නේ i යනු -1 හි වර්ගමූලයක් බවයි.