I think you have the wrong view of how Greece worked in those days.

Greece was divided into a multitude of city states, some of the allied in Legues, but not all. These city states were spread from the Crimea to Iberia, with Sicily and southern Italy (Magna Graecia, or larger Greece) as prominent places.

Some of these city states were oligarchies, were a few powerful families ruled. Some were tyrannies (which simply meant a single ruler back then) and a scant few others were democracies. A few others were monarchies.

Those that were democracies did not have a King and thus no tasks for him. Athens, the most prominent democracy, would probably be considered a failing democracy under today's standard - citizens could vote other citizens out of their citizenship and voting rights (which happened on a massive scale on at least one occasion).

The two Kings of Sparta were not Kings in the meaning we give the name now - they were more like military commanders, and they were appointed by the Spartan assembly, which included all Spartan citizens (who were a very small minority of Spartan society), so Sparta can probably be called more of an oligarchy than a monarchy or democracy.

Macedon was a Monarchy, but was not a city state and was during the classical era considered only semi-Greek by the other Greeks.

Argos, Thebes and Corinth all developed from oligachies into monarchies during the era though.

But to answer your question - there were no democracies in the Greek world that also had a monarch.
ඒ දවස්වල ග්‍රීසිය ක්‍රියා කළ ආකාරය ගැන ඔබට වැරදි මතයක් ඇතැයි මම සිතමි. ග්‍රීසිය නගර රාජ්‍ය රාශියකට බෙදා ඇත, සමහර ලෙගස්හි මිත්‍ර රාජ්‍යයන්, නමුත් සියල්ලම නොවේ. මෙම නගර රාජ්‍යයන් ක්‍රිමියාවේ සිට අයිබීරියාව දක්වා ව්‍යාප්ත වූ අතර සිසිලිය සහ දකුණු ඉතාලිය (මැග්නා ග්‍රේසියා හෝ විශාල ග්‍රීසිය) ප්‍රමුඛ ස්ථාන ලෙස ව්‍යාප්ත විය. මෙම නගර ප්‍රාන්තවලින් සමහරක් කතිපයාධිකාරීන් වූ අතර බලවත් පවුල් කිහිපයක් පාලනය විය. සමහරක් කුරිරු පාලනයන් (එය සරලව අදහස් කළේ එකල තනි පාලකයෙකු) වන අතර තවත් ස්වල්පයක් ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදී විය. තවත් කිහිපයක් රාජාණ්ඩු විය. ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදී වූ රටවලට රජෙකු නොසිටි අතර ඒ නිසා ඔහුට වැඩක් නැත. වඩාත්ම කැපී පෙනෙන ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදය වන ඇතන්ස්, අද පවතින ප්‍රමිතියට අනුව අසාර්ථක ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදයක් ලෙස සැලකිය හැකිය - පුරවැසියන්ට ඔවුන්ගේ පුරවැසිභාවය සහ ඡන්ද අයිතියෙන් වෙනත් පුරවැසියන්ට ඡන්දය ප්‍රකාශ කළ හැකිය (එය අවම වශයෙන් එක් අවස්ථාවකදී මහා පරිමාණයෙන් සිදු විය). අපි දැන් නම දෙන අර්ථයෙන් ස්පාටාහි රජවරුන් දෙදෙනා රජවරුන් නොවේ - ඔවුන් වඩා හමුදාපතිවරුන් හා සමාන වූ අතර, ඔවුන් ස්පාටන් සභාව විසින් පත් කරන ලදී, එයට සියලුම ස්පාටන් පුරවැසියන් (ස්පාටන් සමාජයේ ඉතා සුළුතරයක් වූ) ඇතුළත් විය. එබැවින් ස්පාටා බොහෝ විට රාජාණ්ඩුවකට හෝ ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදයකට වඩා කතිපයාධිකාරයක් ලෙස හැඳින්විය හැක. මැසිඩෝනය රාජාණ්ඩුවක් වූ නමුත් එය නගර රාජ්‍යයක් නොවූ අතර සම්භාව්‍ය යුගයේදී එය අනෙකුත් ග්‍රීකයන් විසින් අර්ධ ග්‍රීක භාෂාවෙන් පමණක් සලකනු ලැබීය. ආර්ගෝස්, තීබ්ස් සහ කොරින්ත් යන සියල්ලම එම යුගයේදී ඔලිගාචියේ සිට රාජාණ්ඩු දක්වා වර්ධනය විය. නමුත් ඔබේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දීමට - ග්‍රීක ලෝකයේ රජෙකු සිටි ප්‍රජාතන්ත්‍රවාදයක් නොතිබුණි.