Oh this is such a fun question!

The number's importance starts with one key observation. 

Let a > 0 be a real number, we can define a function f(x)=a^x 

What is the derivative of this function?

If we look at the limit definition of the derivative we get

f'(x) = lim h- > 0  ( a^(x+h) - a^x )/h = lim h- > 0 a^x (a^h - 1 )/h = a^x lim h- > 0 (a^h - 1 )/h

We can see that if the limit exists then the form of the derivative is 

f'(x) = a^x g(a)

where g(a) is a function that depends only on a, which is a fixed number. We also notice that if the function is once differentiable (it is, I just don't know how to simplify that limit off the top of my head, but it should give the result log(a)) it is twice differentiable with derivative

f''(x) = a^x g(a)^2 

and more generally 

f^(n) (x) = a^x g(a)^n

We can then write a Taylor approximation to this function as

f(x) = 1 + g(a) x + x g(a)^2 /2 + ...

Now we note that the function has a very special property if g(a)=1, it is its own derivative, and note that if we find f(1) we get f(1)=a^1 =a

So computing f(1), g(a)=1, this let's us compute the number a such that the function a^x is its own derivative (we've named this number e). The Taylor approximation here becomes

e=1+1+1/2+... = sum_n=0^infinity 1/n! = lim n- > infinity (1+1/n)^n  (this can be shown using the binomial theorem)

Tl;dr, e is the unique number that defines a function (e^x ) so that the function is its own derivative. (d/dx e^x = e^x )
අනේ මේක හරිම විනෝදජනක ප්‍රශ්නයක්! අංකයේ වැදගත්කම එක් ප්‍රධාන නිරීක්ෂණයකින් ආරම්භ වේ. a &gt; 0 තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේවා, අපට f(x)=a^x ශ්‍රිතයක් අර්ථ දැක්විය හැක මෙම ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය කුමක්ද? ව්‍යුත්පන්නයේ සීමා නිර්වචනය දෙස බැලුවහොත් අපට f&#39;(x) = lim h- &gt; 0 ( a^(x+h) - a^x )/h = lim h- &gt; 0 a^x (a^) ලැබේ. h - 1 )/h = a^x lim h- &gt; 0 (a^h - 1 )/h සීමාව පවතින්නේ නම් ව්‍යුත්පන්නයේ ස්වරූපය f&#39;(x) = a^xg(a) බව අපට දැකිය හැක. ) g(a) යනු ස්ථාවර සංඛ්‍යාවක් වන a මත පමණක් රඳා පවතින ශ්‍රිතයකි. ශ්‍රිතය වරක් අවකලනය කළ හැකි නම් (එය, මගේ හිස මුදුනේ එම සීමාව සරල කරන්නේ කෙසේදැයි මම නොදනිමි, නමුත් එය ප්‍රතිඵල ලොගය (අ) ලබා දිය යුතුය) එය ව්‍යුත්පන්න f සමඟ දෙවරක් වෙනස් කළ හැකි බව අපි දකිමු. &#39;&#39;(x) = a^xg(a)^2 සහ සාමාන්‍යයෙන් f^(n) (x) = a^xg(a)^n එවිට අපට f(x) = ලෙස මෙම ශ්‍රිතයට ටේලර් ආසන්නයක් ලිවිය හැක. 1 + g(a) x + xg(a)^2 /2 + ... දැන් අපි g(a)=1 නම් ශ්‍රිතයට ඉතා විශේෂ ගුණයක් ඇති බව සටහන් කරමු, එය එහිම ව්‍යුත්පන්නයක් වන අතර, අපි නම් f(1) සොයන්න අපට f(1)=a^1 =a ලැබේ ඉතින් f(1), g(a)=1 ගණනය කිරීම, මෙය අපි a^x ශ්‍රිතය එහිම ව්‍යුත්පන්න වන පරිදි සංඛ්‍යාව ගණනය කරමු ( අපි මෙම අංකය නම් කර ඇත e). මෙහි ටේලර් ආසන්න කිරීම e=1+1+1/2+... = sum_n=0^අනන්තය 1/n! = lim n- &gt; අනන්තය (1+1/n)^n (මෙය ද්විපද ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් පෙන්විය හැක) Tl;dr, e යනු ශ්‍රිතයක් නිර්වචනය කරන අද්විතීය සංඛ්‍යාවයි (e^x ) එවිට ශ්‍රිතය එහිම වේ. ව්යුත්පන්න. (d/dx e^x = e^x)