This is actually a pretty big mystery, and we don't know all the details.  Deer ancestors seem to have had more standard horns that weren't shed (a bit more like the bony horns of a pronghorn), but transitioned to shedding and regrowing them in the Miocene.  It's not really appreciated because of how common deer are, but antlers are some of the weirdest structures produced by any vertebrate.  Exposed bone?  Grown and lost every year?  It's just bizarre. Way weirder than the horns of some other ruminants.

I will note that all the animals you list with antlers are descended from some single antler bearing ancestor, so they didn't show up multiple times.
මෙය ඇත්තෙන්ම විශාල අභිරහසක් වන අතර, අපි සියලු විස්තර නොදනිමු. මුවන්ගේ මුතුන් මිත්තන්ට වඩා සම්මත අං ඇති බව පෙනේ, ඒවා වැගිරෙන්නේ නැත (අස්ථි අං මෙන් මදක් වැඩි), නමුත් මයෝසීන් තුළ ඒවා වැගිරීමට සහ නැවත වැඩීමට මාරු විය. මුවන් කෙතරම් සුලභද යන්න නිසා එය සැබවින්ම අගය නොකෙරේ, නමුත් අං යනු ඕනෑම පෘෂ්ඨවංශිකයෙකු විසින් නිපදවන අමුතුම ව්‍යුහයන්ගෙන් කිහිපයකි. නිරාවරණය වූ අස්ථි? සෑම වසරකම වර්ධනය වී නැති වී යනවාද? එය නිකම්ම අමුතුයි. වෙනත් සමහර රූමිනන්ට් වල අං වලට වඩා අමුතුයි. ඔබ අං සමඟ ලැයිස්තුගත කරන සියලුම සතුන් එක් අං සහිත මුතුන් මිත්තෙකුගෙන් පැවත එන බව මම සටහන් කරමි, එබැවින් ඔවුන් කිහිප වතාවක් නොපෙන්වයි.