It's almost a reflection about the line Re(s)=1/2 (the critical line), but not exactly. If it were a reflection, then if s were a point to the left of this line, its value there would be equal to the value of the point exactly opposite on the right side of the line, and this point is 1-s. That is, we would have Z(s) = Z(1-s). But this isn't exactly what happens. In reality we have

* Z(s) = Z(1-s)\*2^(s)pi^(s-1)sin(pi\*s/2)Gamma(1-s)

So there is an extra scaling factor in there, and this scaling factor can make it totally look not like a reflection (see [this](_URL_0_)) However, this extra scaling factor is in there because the Riemann Zeta Function is actually "incomplete". We can construct the Riemann Zeta Function for Re(s) > 1 either by the sum of 1/n^(s) for n=1 to infinity, or we an do it as the product of (1-p^(-s))^(-1) over all primes p. This is the [Euler Factorization](_URL_2_) of the Riemann Zeta Function. When viewed this way, the product in the Euler Factorization is actually missing a contribution from a prime. The "Prime at Infinity".

In their natural state, the Rational Numbers do not live on a line, they're just a pile of fractions that we can add/multiply together. But, if we put them on a line ordered by their absolute value, then we find that there are holes in this line, tons of holes. By filling in these holes, we are able to construct the Real Numbers. So we get the real number system by 1.) Applying a geometry to the rational numbers and then 2.) Filling in the holes left by this geometry. It might then be natural to ask "Are there *other* geometries we could apply to the rational numbers that result in a *different* number system in a similar way?"

It turns out that the answer is "Yes!" If p is a prime number, then I can say that N is *p-adically* smaller than M if p divides M more than it divides N, and write this as |M|*_p_*  <  |N|*_p_*. For example, |50|*_5_*  <  |49|*_5_* and |16|*_2_* < |8|*_2_*. This can also be extended to fractions, where if the denominator has a p in it, then that takes away from the count. So |5/16|*_2_* >  |5/8|*_2_* since 2 divides the bottom more in 5/16. This gives us an alternate geometry to arrange the rational numbers, and this geometry will be nicely behaved and have holes in it, just like when we put it on the line. If we fill in these holes, then we'll get a new number system that was constructed in the same way as the real numbers were constructed, just with a different geometry. These are the [p-adic Numbers](_URL_1_), and there's a different one for every prime p.

So using the same method, we can make the real numbers and the p-adic numbers (for each prime p). These should be thought of as siblings in a big family, where the reals are the odd one of the bunch. It then turns out that the reals+p-adics are the *only* number systems that can be made in this way. It then seems like the "Reals" should be included as a "prime" since it kinda behaves similarly to the primes in this way. We then say that the reals are the "Prime at Infinity" (which is a term we borrow from geometry). This "Prime at Infinity" doesn't have a number associated to it, but it behaves like primes in pretty much all other ways. 

So, back to the Riemann Zeta Function. With this in mind, the Euler Product for the Riemann Zeta Function takes into account all the primes, except the reals. It seems like the reals are then a missing from the Riemann Zeta Function. In fact, we can view the term (1-p^(-s))^(-1) that appears for the prime p in the Euler Factorization as a specific kind of integral over the p-adic numbers and we can actually construct an analogous integral over the reals. The value of this integral will be 2^(-1)pi^(-s/2)s(s-1)Gamma(s/2) and if we append this to the Euler Factorization we get what is called the "Completed Zeta Function", Xi(s). The analytic continuation of *this* function is just a simple reflection:

* Xi(s) = Xi(1-s)

This follows from the above expression + properties of the Gamma function.

Note: This isn't how the Completed Zeta Function was originally made. Originally, we just used a trick involving a change of variables in an integral to recover the Zeta Function from the integral expression for the Gamma Function, and it is this that allowed us to get the analytic continuation in the first place. This transformation hinted at what Xi(s) should be, so we used that. The whole "prime at infinity" concept is a relatively modern idea.
එය Re(s)=1/2 (විවේචනාත්මක රේඛාව) රේඛාව පිළිබඳ පරාවර්තනයකි, නමුත් හරියටම නොවේ. එය පරාවර්තනයක් නම්, s මෙම රේඛාවේ වම් පැත්තේ ලක්ෂ්‍යයක් නම්, එහි අගය රේඛාවේ දකුණු පැත්තේ හරියටම විරුද්ධ ලක්ෂ්‍යයේ අගයට සමාන වන අතර මෙම ලක්ෂ්‍යය 1-s වේ. එනම්, අපට Z(s) = Z(1-s) ඇත. නමුත් මෙය හරියටම සිදු නොවේ. ඇත්තටම අපිට තියෙන්නේ * Z(s) = Z(1-s)\*2^(s)pi^(s-1)sin(pi\*s/2)Gamma(1-s) ඉතින් අමතර එකක් තියෙනවා විශාලන සාධකය එහි ඇති අතර, මෙම පරිමාණ සාධකය මගින් එය සම්පූර්ණයෙන්ම පරාවර්තනයක් ලෙස නොපෙනී යා හැක (බලන්න [මෙම](_URL_0_)) කෙසේ වෙතත්, මෙම අමතර පරිමාණ සාධකය එහි ඇත්තේ Riemann Zeta ශ්‍රිතය ඇත්ත වශයෙන්ම &quot;අසම්පූර්ණ&quot; බැවිනි. අපට Re(s) &gt; 1 සඳහා Riemann Zeta ශ්‍රිතය 1/n^(s) එකතුවෙන් n=1 සිට අනන්තය දක්වා හෝ අපි එය (1-p^(-s) හි ප්‍රතිඵලය ලෙස ගොඩනගා ගත හැක. ))^(-1) සියලුම ප්‍රයිම් වලට වඩා p. මෙය Riemann Zeta Function හි [Euler Factorization](_URL_2_) වේ. මේ ආකාරයෙන් බලන විට, Euler Factorization හි නිෂ්පාදනයට ප්‍රයිම් එකක දායකත්වයක් ඇත්ත වශයෙන්ම මග හැරී ඇත. &quot;ප්‍රයිම් ඇට් ඉන්ෆිනිටි&quot;. ඔවුන්ගේ ස්වභාවික තත්ත්වය තුළ, තාර්කික සංඛ්‍යා රේඛාවක් මත ජීවත් නොවේ, ඒවා අපට එකට එකතු කිරීමට/ගුණ කළ හැකි භාග ගොඩකි. නමුත්, අපි ඒවා ඒවායේ නිරපේක්ෂ අගය අනුව ඇණවුම් කළ රේඛාවක් මත තැබුවහොත්, මෙම රේඛාවේ සිදුරු, ටොන් ගණනක් සිදුරු ඇති බව අපට පෙනී යයි. මෙම සිදුරු පිරවීමෙන්, අපට සැබෑ සංඛ්‍යා ගොඩනගා ගත හැකිය. ඉතින් අපි තාත්වික සංඛ්‍යා පද්ධතිය 1 මගින් ලබා ගනිමු.) තාර්කික සංඛ්‍යා වලට ජ්‍යාමිතිය යෙදීමෙන් පසුව 2.) මෙම ජ්‍යාමිතිය මගින් ඉතිරි වන සිදුරු පිරවීම. එවිට &quot;වෙනස්* සංඛ්‍යා පද්ධතියක් සමාන ආකාරයෙන් ඇති කරන තාර්කික සංඛ්‍යා සඳහා අපට යෙදිය හැකි *වෙනත්* ජ්‍යාමිතීන් තිබේද?&quot; පිළිතුර &quot;ඔව්!&quot; බව පෙනේ. p යනු ප්‍රථමක සංඛ්‍යාවක් නම්, N යනු N ට වඩා m බෙදුවහොත්, M ට වඩා *p-adically* කුඩා බව මට පැවසිය හැකි අතර, මෙය |M|*_p_* &lt; |N|*_p_* ලෙස ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස, |50|*_5_* &lt; |49|*_5_* සහ |16|*_2_* &lt; |8|*_2_*. මෙය ද භාග දක්වා දීර්ඝ කළ හැක, හරය තුළ ap තිබේ නම්, එය ගණන් කිරීමෙන් ඉවත් වේ. ඉතින් |5/16|*_2_* &gt; |5/8|*_2_* නිසා 2 විසින් 5/16 හිදී පතුල වැඩිපුර බෙදයි. මෙය අපට තාර්කික සංඛ්‍යා සැකසීමට විකල්ප ජ්‍යාමිතියක් ලබා දෙන අතර, මෙම ජ්‍යාමිතිය මනාව හැසිරෙනු ඇති අතර, අපි එය රේඛාවට දැමූ විට මෙන් එහි සිදුරු ඇත. අපි මේ සිදුරු පිරෙව්වොත්, තාත්වික සංඛ්‍යා ගොඩනැගූ ආකාරයටම වෙනස් ජ්‍යාමිතියකින් සාදන ලද නව සංඛ්‍යා පද්ධතියක් අපට ලැබෙනු ඇත. මේවා [p-adic අංක](_URL_1_), සහ සෑම ප්‍රථමික p සඳහාම වෙනස් එකක් ඇත. එබැවින් එම ක්‍රමයම භාවිතා කරමින්, අපට තාත්වික සංඛ්‍යා සහ p-adic සංඛ්‍යා (එක් එක් ප්‍රාථමික p සඳහා) සෑදිය හැක. මේ අය ලොකු පවුලක සහෝදර සහෝදරියන් ලෙස සැලකිය යුතු අතර, එහිදී සැබෑ මිනිසුන් පොකුරෙන් ඔබ්බට ගිය අයයි. එතකොට තේරෙනවා reals+p-adics කියන්නේ මේ විදියට හදන්න පුළුවන් *එකම* සංඛ්‍යා පද්ධති කියලා. මේ ආකාරයෙන් ප්‍රාථමික වලට සමාන ලෙස හැසිරෙන බැවින් &quot;රියල්&quot; &quot;ප්‍රාථමික&quot; ලෙස ඇතුළත් කළ යුතු බව පෙනේ. එවිට අපි කියනවා තථ්‍යයන් යනු &quot;ප්‍රයිම් ඇට් ඉන්ෆිනිටි&quot; (එය අප ජ්‍යාමිතියෙන් ණයට ගන්නා යෙදුමකි). මෙම &quot;ප්‍රයිම් ඇට් ඉන්ෆිනිටි&quot; ට එයට සම්බන්ධ සංඛ්‍යාවක් නැත, නමුත් එය අනෙක් සෑම ආකාරයකින්ම ප්‍රාථමික ලෙස හැසිරේ. ඉතින්, නැවත රීමන් සීටා කාර්යය වෙත. මෙය මනසේ තබාගෙන, Riemann Zeta ශ්‍රිතය සඳහා වූ Euler නිෂ්පාදනය සැබෑ අගයන් හැර අනෙකුත් සියලුම ප්‍රාථමිකයන් සැලකිල්ලට ගනී. රියමන් සීටා කර්තව්‍යයෙන් සැබෑ අය අතුරුදහන් වී ඇති බව පෙනේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපට Euler Factorization හි ප්‍රථමික p සඳහා දිස්වන (1-p^(-s))^(-1) පදය p-adic සංඛ්‍යාවලට වඩා නිශ්චිත ආකාරයේ අනුකලනයක් ලෙස දැකිය හැකි අතර ඇත්ත වශයෙන්ම අපට ගොඩනගා ගත හැක. යථාර්ථයට වඩා සමාන අනුකලනයකි. මෙම අනුකලනයේ අගය 2^(-1)pi^(-s/2)s(s-1)Gamma(s/2) වන අතර, අපි මෙය Euler Factorization වෙත ඇමිණුවහොත් අපට ලැබෙන්නේ &quot;සම්පූර්ණ&quot; ලෙස හඳුන්වන දෙයයි. Zeta Function&quot;, Xi(s). *මෙම* ශ්‍රිතයේ විශ්ලේෂණාත්මක අඛණ්ඩ පැවැත්ම සරල පරාවර්තනයක් පමණි: * Xi(s) = Xi(1-s) මෙය ඉහත ප්‍රකාශනය + ගැමා ශ්‍රිතයේ ගුණාංග වලින් පහත දැක්වේ. සටහන: Completed Zeta Function එක මුලින් සෑදූ ආකාරය මෙය නොවේ. මුලින්, අපි ගැමා ශ්‍රිතය සඳහා වන අනුකල ප්‍රකාශනයෙන් Zeta ශ්‍රිතය ප්‍රතිසාධනය කිරීම සඳහා අනුකලයක විචල්‍ය වෙනස් කිරීමක් ඇතුළත් උපක්‍රමයක් භාවිතා කළ අතර, විශ්ලේෂණාත්මක අඛණ්ඩතාව ප්‍රථමයෙන් ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ දුන්නේ මෙයයි. මෙම පරිවර්තනය Xi(s) විය යුත්තේ කුමක් දැයි ඉඟි කළ නිසා අපි එය භාවිතා කළෙමු. සම්පූර්ණ &quot;ප්‍රයිම් ඇට් ඉන්ෆිනිටි&quot; සංකල්පය සාපේක්ෂව නවීන අදහසකි.