Vincent Bugliosi (former prosecutor in the Charles Manson trial, author of a careful, skeptical book about the Kennedy assassination), writes:

 >  Whatever the CIA's short laundry list of dissatisfactions (some merely illusory, some real) with Kennedy, as I discuss later in the anti-Castro Cuban exile section of this book, Kennedy was highly disturbed with the CIA for its incompetence and its having misled him on the probable success of the Bay of Pigs invasion in 1961. Perhaps the most famous alleged quote from Kennedy about his animus toward the CIA after the Bay of Pigs debacle was that he wanted "to splinter the CIA into a thousand pieces and scatter it to the winds." But in the two and a half years after the attempted invasion he never did anything remotely close to this, and it is not known to whom he supposedly said these words. The New York Times only said that Kennedy made this statement "to one of the highest officials of his administration."
 
Vincent Bugliosi, _Reclaiming History: The Assassination of President John F. Kennedy_, page 1189.

The New York Times article in question is: "[C.I.A.: Maker of Policy, or Tool?](_URL_0_)", New York Times (April 25, 1966). It is on the second page of the article, under the heading of "Kennedy's bitterness," and the specific quote there is "splinter the C.I.A. in a thousand pieces and scatter it to the winds." 

This appears to be the original source of the quote in print? In any case, it is an interesting round-about: the article is really about public perceptions of the CIA, and how they get blamed for lots of things there isn't any evidence for. Not entirely ironic that this quote is most used by people trying to establish a CIA motivation for killing JFK.

Which is to say: the quote's origins appear to be an anonymous source in the New York Times in 1966, which credits it (without saying whether it is direct or indirect credit) to a high-level administration official. It's not entirely implausible. But it's got a lot of gauze around it, as far as quotes go.
වින්සන්ට් බුග්ලියෝසි (චාල්ස් මැන්සන් නඩු විභාගයේ හිටපු අභිචෝදක, කෙනඩි ඝාතනය පිළිබඳ සුපරීක්ෂාකාරී, සැක සහිත පොතක කතුවරයා) මෙසේ ලියයි: &gt; CIA හි කෙටි රෙදි සෝදන ලැයිස්තුව කුමක් වුවත්, කෙනඩි සමඟ ඇති අතෘප්තිකර (සමහර මායාවන්, සමහරක් සැබෑ), මම පසුව සාකච්ඡා කරන පරිදි මෙම පොතේ කැස්ත්‍රෝ කියුබානු පිටුවහල් කිරීමට එරෙහි කොටසේ, CIA හි නොහැකියාව සහ 1961 දී බේ ඔෆ් පිග්ස් ආක්‍රමණයේ සාර්ථක සාර්ථකත්වය පිළිබඳව කෙනඩි ඔහුව නොමඟ යැවීම නිසා දැඩි ලෙස කැළඹීමට පත් විය. සමහර විට කෙනඩි විසින් ඔහු ගැන කරන ලද ප්‍රසිද්ධම උපුටා දැක්වීම විය හැකිය. බේ ඔෆ් පිග්ස් පරාජයෙන් පසු සීඅයිඒ දෙසට ඇති විරෝධය වූයේ ඔහුට අවශ්‍ය වූයේ &quot;සීඅයිඒ කෑලි දහසකට කැබලි කර සුළඟට විසුරුවා හැරීමට&quot; බවයි. නමුත් ආක්‍රමණයට උත්සාහ කිරීමෙන් පසු වසර දෙකහමාරක කාලය තුළ ඔහු කිසි විටෙකත් මෙයට සමීපව කිසිවක් නොකළ අතර ඔහු මෙම වචන කීවේ කාටදැයි නොදනී. නිව් යෝර්ක් ටයිම්ස් පුවත්පත පැවසුවේ කෙනඩි මෙම ප්‍රකාශය කළේ &quot;ඔහුගේ පරිපාලනයේ ඉහළම නිලධාරියෙකුට&quot; බවයි. Vincent Bugliosi, _Reclaiming History: The Assassination of President John F. Kennedy_, page 1189. The New York Times article is the question: &quot;[CIA: Maker of Policy, or Tool?](_URL_0_)&quot;, New York Times (අප්‍රේල් 25) , 1966). එය ලිපියේ දෙවන පිටුවේ &quot;කෙනඩිගේ තිත්තකම&quot; යන මාතෘකාව යටතේ ඇති අතර එහි නිශ්චිත උපුටා දැක්වීම &quot;සීඅයිඒ කෑලි දහසකට කැඩී සුළඟට විසුරුවා හරින්න&quot; යන්නයි. මුද්‍රණයේ ඇති උපුටා දැක්වීමේ මුල් මූලාශ්‍රය මෙය බව පෙනේද? කෙසේ වෙතත්, එය සිත්ගන්නාසුලු වටයකි: ලිපිය ඇත්ත වශයෙන්ම සීඅයිඒ පිළිබඳ මහජන සංජානනය සහ බොහෝ දේ සඳහා ඔවුන් දෝෂාරෝපණය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ කිසිදු සාක්ෂියක් නොමැත. මෙම උපුටා දැක්වීම JFK ඝාතනය සඳහා CIA අභිප්රේරණයක් ස්ථාපිත කිරීමට උත්සාහ කරන පුද්ගලයින් විසින් වඩාත් උත්ප්රාසාත්මක නොවේ. කිව යුතු දෙය නම්: උපුටා දැක්වීමේ මූලාරම්භය 1966 දී නිව් යෝර්ක් ටයිම්ස් හි නිර්නාමික මූලාශ්‍රයක් ලෙස පෙනේ, එය (එය සෘජු හෝ වක්‍ර ණය දැයි නොකියා) ඉහළ මට්ටමේ පරිපාලන නිලධාරියෙකුට බැර කරයි. එය සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාස කළ නොහැකි දෙයක් නොවේ. නමුත් උපුටා දැක්වීම් වලට අනුව එය වටා බොහෝ ගෝස් තිබේ.