Interestingly, both camelids and equines are native to North America - after having colonised Eurasia, both vanished from North America, most probably having been hunted to extinction after humans colonised the continent, roughly 8-10 000 years ago.

HORSES:

Horses returned in 1494, with the second expedition of Columbus (to Hispaniola at that time). Later explorers and colonists also took horses. In a very literal sense, they returned home, and lost or escaped animals quickly established a large population of feral horses. This time though they were appreciated by the natives as more than meat, and they quickly became an important part of indigenous culture. 

The homecoming of the horses was so successful, in fact, that the US government started exterminating them in an organized manner, since with the decline of large predators, they quickly became pests. It's still a recurring [problem](_URL_2_) actually.

CAMELS:

As for camels, they were also brought to North America, though much later, only when arid lands in the west became a major logistics issue. There have been [attempts](_URL_0_) by the US army to use camels in pack trains, and about 75 animals were imported. The experiment was ultimately a failure for a variety of reasons: The Civil War started and the "experimental camels" were seized by confederate forces, and also the camels were reportedly treated very poorly by drivers who were opposed to using them. After the Civil War, the expanding railroad network delivered the last blow to the camel project. The animals have been sold to various places, from slaughterhouses to zoos. Not all the animals have been accounted for though, and some have clearly wandered off, but probably far too few to start a population. There are rumours of sightings, though :) .


EDIT: To give you a short answer, I think above information indicates that horses and mules dominated the field mostly because they were there first, had a huge population advantage, they were accepted by people of predominantly european heritage, and because the people who built business on them were wary of any kind of competition and replacement.


Sources: 

Stephen Budiansky - The Nature of Horses

_URL_1_
සිත්ගන්නා කරුණ නම්, ඔටුවන් සහ අශ්වයන් යන දෙකම උතුරු ඇමරිකාවට නිජබිම වේ - යුරේසියාව යටත් විජිතයක් වූ පසු, දෙකම උතුරු ඇමරිකාවෙන් අතුරුදහන් විය, බොහෝ විට මිනිසුන් මහාද්වීපය යටත් විජිතකරණය කිරීමෙන් පසුව, දළ වශයෙන් වසර 8-10 000 කට පෙර වඳ වී යාමට දඩයම් කර ඇත. අශ්වයන්: 1494 දී කොලොම්බස්ගේ දෙවන ගවේෂණ සමඟ (එවකට හිස්පැනියෝලා වෙත) අශ්වයන් ආපසු පැමිණියේය. පසුකාලීන ගවේෂකයන් සහ ජනපදිකයන් අශ්වයන් ද රැගෙන ගියහ. ඉතා වචනාර්ථයෙන් ගත් කල, ඔවුන් ආපසු නිවසට පැමිණි අතර, නැතිවූ හෝ පලා ගිය සතුන් ඉක්මනින් වල් අශ්වයන් විශාල ජනගහණයක් පිහිටුවා ගත්හ. මෙවර ඔවුන් මස් වලට වඩා ස්වදේශිකයන් විසින් අගය කරනු ලැබුවද, ඒවා ඉක්මනින්ම දේශීය සංස්කෘතියේ වැදගත් අංගයක් බවට පත්විය. විශාල විලෝපිකයන්ගේ පරිහානියත් සමඟ ඔවුන් ඉක්මනින් පළිබෝධකයන් බවට පත් වූ බැවින්, ඇත්ත වශයෙන්ම, එක්සත් ජනපද රජය ඔවුන්ව සංවිධිත ලෙස සමූලඝාතනය කිරීමට පටන් ගත් අතර, අශ්වයන් ගෙදරට පැමිණීම කෙතරම් සාර්ථකද යත්. ඇත්ත වශයෙන්ම එය තවමත් පුනරාවර්තන [ගැටලුවකි](_URL_2_) වේ. ඔටුවන්: ඔටුවන් සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, ඔටුවන් ද උතුරු ඇමරිකාවට ගෙන එන ලදී, නමුත් බොහෝ කලකට පසුව, බටහිර ශුෂ්ක ඉඩම් ප්‍රධාන සැපයුම් ප්‍රශ්නයක් බවට පත් වූ විට පමණි. එක්සත් ජනපද හමුදාව විසින් ඇසුරුම් දුම්රියවල ඔටුවන් භාවිතා කිරීමට [ප්‍රයත්න](_URL_0_) සිදු කර ඇති අතර සතුන් 75ක් පමණ ආනයනය කරන ලදී. විවිධ හේතූන් මත මෙම අත්හදා බැලීම අවසානයේ අසාර්ථක විය: සිවිල් යුද්ධය ආරම්භ වූ අතර &quot;පරීක්ෂණාත්මක ඔටුවන්&quot; සහසම්බන්ධ හමුදා විසින් අල්ලා ගන්නා ලද අතර ඔටුවන් භාවිතා කිරීමට විරුද්ධ වූ රියදුරන් විසින් ඉතා දුර්වල ලෙස සැලකූ බව වාර්තා වේ. සිවිල් යුද්ධයෙන් පසු, පුළුල් වන දුම්රිය ජාලය ඔටුවන්ගේ ව්‍යාපෘතියට අවසන් පහරක් එල්ල කළේය. සතුන් ඝාතකාගාරවල සිට සත්වෝද්‍යාන දක්වා විවිධ ස්ථානවලට අලෙවි කර ඇත. කෙසේ වෙතත්, සියලුම සතුන් ගණනය කර නොමැති අතර, සමහරක් පැහැදිලිවම ඉබාගාතේ ගොස් ඇත, නමුත් ජනගහනයක් ආරම්භ කිරීමට ඉතා ස්වල්පයක් ඇත. දැක්කත් කටකතා තියෙනවා :) . සංස්කරණය: ඔබට කෙටි පිළිතුරක් දීමට නම්, ඉහත තොරතුරුවලින් පෙනී යන්නේ අශ්වයන් සහ කොටළුවන් ක්‍ෂේත්‍රයේ ආධිපත්‍යය දැරුවේ ඔවුන් මුලින් සිටි නිසාත්, විශාල ජනගහණ වාසියක් තිබූ නිසාත්, ප්‍රධාන වශයෙන් යුරෝපීය උරුමයන් විසින් ඔවුන් පිළිගත් නිසාත්, ගොඩනැගූ මිනිසුන් නිසාත් බව මම සිතමි. ඔවුන් මත ව්‍යාපාර ඕනෑම ආකාරයක තරඟයක් සහ ප්‍රතිස්ථාපනයක් ගැන කල්පනාකාරී විය. මූලාශ්‍ර: ස්ටීවන් බුඩියන්ස්කි - අශ්වයන්ගේ ස්වභාවය _URL_1_