I am a bit confused by your question, particular this part:

 >  if you want to numerically analyze a non-linear differential equation, you mostly can't.

Actually, the non-linearity of the equation makes analysis so generally difficult, that numerical methods are often the only way to solve the equations. There are plenty of canonical non-linear PDEs that show up in many fields of math and physics.

* hyperbolic conservation laws
* convection-diffusion equations (e.g., compressible Navier-Stokes)
* eikonal equation, minimal surface equation, etc.

There is a whole plethora of texts and resources that describe various numerical methods to solve these equations. A particular method is often chosen specifically to the equation. The classification of the PDE (elliptic, parabolic, hyperbolic) is often a key factor in determining good algorithms. For instance, a hyperbolic conservation law will likely exhibit shocks and sharp changes in the solution value. So a numerical method that is able to approximate derivatives in the presence of sharp changes is required (e.g., WENO-type methods). 

How the equation arises is also important in determining a numerical method. For example, the eikonal equation and minimal surface equation can be derived from a variational principle, and so a numerical method may take advantage of that by attempting to find the minimizer directly. A numerical method for a conservation law may attempt to exploit a global conservation to force the numerical solution to satisfy the conservation exactly.

Relevant numerical methods are rather general though, as you will often find such methods divided roughly into several categories (e.g., finite difference, finite element, finite volume, and spectral). The theory and analysis of these methods is rich and not limited to narrow sets of equations. So for someone to say that "you mostly can't" numerically analyze a non-linear differential equation is rather bizarre. Unless you just misunderstood your professor.

ඔබේ ප්‍රශ්නය, විශේෂයෙන් මෙම කොටස ගැන මම ටිකක් ව්‍යාකූල වී සිටිමි: &gt; ඔබට රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණයක් සංඛ්‍යාත්මකව විශ්ලේෂණය කිරීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබට බොහෝ දුරට කළ නොහැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, සමීකරණයේ රේඛීය නොවන බව විශ්ලේෂණය සාමාන්‍යයෙන් දුෂ්කර කරයි, බොහෝ විට සමීකරණ විසඳීමට ඇති එකම ක්‍රමය සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම වේ. ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල පෙන්වන කැනොනිකල් රේඛීය නොවන PDE ඕනෑ තරම් තිබේ. * අධිබල සංරක්‍ෂණ නීති * සංවහන-විසරණ සමීකරණ (උදා: සංකෝචනය කළ හැකි Navier-Stokes) * අයිකෝනල් සමීකරණය, අවම මතුපිට සමීකරණය, ආදිය. මෙම සමීකරණ විසඳීම සඳහා විවිධ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම විස්තර කරන පෙළ සහ සම්පත් රාශියක් ඇත. විශේෂිත ක්රමයක් බොහෝ විට සමීකරණයට විශේෂයෙන් තෝරා ගනු ලැබේ. PDE වර්ගීකරණය (ඉලිප්සීය, පරාවලයික, අතිධ්වනි) බොහෝ විට හොඳ ඇල්ගොරිතම නිර්ණය කිරීමේ ප්රධාන සාධකය වේ. නිදසුනක් වශයෙන්, අධිබල සංරක්‍ෂණ නීතියක් මගින් විසඳුම් අගයෙහි කම්පන සහ තියුණු වෙනස්කම් පෙන්නුම් කරනු ඇත. එබැවින් තියුණු වෙනස්වීම් හමුවේ ව්‍යුත්පන්නයන් ආසන්න කිරීමට හැකි සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රමයක් අවශ්‍ය වේ (උදා, WENO-වර්ගයේ ක්‍රම). සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රමයක් නිර්ණය කිරීමේදී සමීකරණය ඇති වන ආකාරය ද වැදගත් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අයිකොනල් සමීකරණය සහ අවම පෘෂ්ඨ සමීකරණය විචල්‍ය මූලධර්මයකින් ව්‍යුත්පන්න කළ හැකි අතර, එම නිසා සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රමයක් මඟින් මිනිමයිසර් සෘජුවම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කිරීමෙන් එයින් ප්‍රයෝජන ගත හැකිය. සංරක්‍ෂණ නීතියක් සඳහා සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රමයක් මගින් සංරක්‍ෂණය හරියටම තෘප්තිමත් කිරීමට සංඛ්‍යාත්මක විසඳුම බල කිරීම සඳහා ගෝලීය සංරක්ෂණයක් ගසාකෑමට උත්සාහ කළ හැකිය. අදාළ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම සාමාන්‍ය වුවත්, ඔබ බොහෝ විට එවැනි ක්‍රම දළ වශයෙන් වර්ග කිහිපයකට බෙදා ඇති බව සොයා ගනු ඇත (උදා: පරිමිත වෙනස, පරිමිත මූලද්‍රව්‍ය, පරිමිත පරිමාව සහ වර්ණාවලි). මෙම ක්‍රමවල න්‍යාය සහ විශ්ලේෂණය පොහොසත් වන අතර පටු සමීකරණ කට්ටලවලට සීමා නොවේ. එබැවින් රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණයක් සංඛ්‍යාත්මකව විශ්ලේෂණය කිරීම &quot;ඔබට බොහෝ දුරට නොහැක&quot; යැයි යමෙකු පැවසීම තරමක් විකාර සහගත ය. ඔබ ඔබේ මහාචාර්යවරයා වරදවා වටහා නොගත්තොත් මිස.
