Local law was very much allowed in the Roman Empire, as a holdover from Republican days, whether the matter was civil or generally criminal.  Governors of provinces generally allowed local courts to handle legal matters, only stepping in when cases were referred to them; at this point, generally the local law would apply to provincials, while Roman law declared by the urban praetor applied to Roman citizens living there (John Richardson's summary article on Roman law in the provinces from the *Cambridge Companion to Roman Law* is a relatively readable summary for an academic text).  As Richardson states, local law was eroded as the Empire continued.

However, the issue becomes thornier because you're specifically asking about criminal sentencing to death.  This power - known as the *ius gladii* - was one reserved for the provincial governor (although this was not widespread in the first years of the Empire, instead remaining with the Emperor himself).  However, this is not a totally clear-cut situation, as can be seen in a well known example - the sentencing of Jesus Christ.

John 18 states that the Sanhedrin - the Jewish court - go to Pontius Pilate and tell him that they do not have the power to sentence him to death despite him breaking a law that demands it (Leviticus 24 states that blasphemy is a capital offence, punishable by stoning to death).  So far, so consistent.  However, Pilate tells them to "take him (yourselves) and crucify him" and the Jewish historian Josephus recounts other instances of the Sanhedrin issuing and carrying out death sentences at the time.  Smallwood's *The Jews Under Roman Rule* hypothesises that an exemption may have been made allowing the Sanhedrin the power of execution in matters of religion, but offers no proof of this, only the examples given above.
මෙම කාරණය සිවිල් හෝ සාමාන්‍යයෙන් අපරාධ හෝ වේවා, රිපබ්ලිකන් දින සිට රඳවා තබා ගැනීමක් ලෙස රෝමානු අධිරාජ්‍යය තුළ ප්‍රාදේශීය නීතියට බෙහෙවින් ඉඩ දෙනු ලැබිණි. පළාත් ආණ්ඩුකාරවරු සාමාන්‍යයෙන් ප්‍රාදේශීය උසාවිවලට නීතිමය කටයුතු හැසිරවීමට අවසර දුන් අතර, නඩු පැවරූ විට පමණක් පියවර ගැනේ. මෙම අවස්ථාවේදී, සාමාන්‍යයෙන් ප්‍රාදේශීය නීතිය පළාත්වලට අදාළ වන අතර, නාගරික ප්‍රේටර් විසින් ප්‍රකාශ කරන ලද රෝම නීතිය එහි වෙසෙන රෝමානු පුරවැසියන්ට අදාළ වේ (ජෝන් රිචඩ්සන්ගේ *කේම්බ්‍රිජ් සහකාරිය සිට රෝමානු නීතිය දක්වා* පළාත්වල රෝමානු නීතිය පිළිබඳ සාරාංශ ලිපිය සාපේක්ෂව ශාස්ත්‍රීය පෙළක් සඳහා කියවිය හැකි සාරාංශය). රිචඩ්සන් ප්‍රකාශ කරන පරිදි, අධිරාජ්‍යය දිගටම පැවතීම නිසා දේශීය නීතිය ඛාදනය විය. කෙසේ වෙතත්, ඔබ සාපරාධී මරණීය දණ්ඩනය ගැන විශේෂයෙන් අසන නිසා ප්‍රශ්නය උග්‍ර වේ. මෙම බලය - *ius gladii* ලෙස හැඳින්වේ - පළාත් ආණ්ඩුකාරවරයා සඳහා වෙන් කරන ලද එකක් විය (මෙය අධිරාජ්‍යයේ මුල් වසරවල පුළුල් ලෙස පැතිර නොතිබුණද, ඒ වෙනුවට අධිරාජ්‍යයා සමඟම රැඳී සිටියේය). කෙසේ වෙතත්, මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි තත්වයක් නොවේ, ප්‍රසිද්ධ උදාහරණයකින් දැකිය හැකිය - යේසුස් ක්‍රිස්තුස් වහන්සේට දඬුවම් නියම කිරීම. යොහන් 18 හි සඳහන් වන්නේ සැන්හෙඩ්‍රිනය - යුදෙව් අධිකරණය - පොන්තියුස් පිලාත් වෙත ගොස් ඔහු ඉල්ලා සිටින නීතියක් කඩ කළත් ඔහුට මරණ දණ්ඩනය නියම කිරීමට ඔවුන්ට බලයක් නොමැති බව ඔහුට පවසන බවයි (ලෙවී කථාව 24 සඳහන් කරන්නේ අපහාස කිරීම මරණීය දණ්ඩනය වන, දඬුවම් ලැබිය හැකි වරදක් බවයි. ගල් ගසා මරා දැමීමෙන්). මෙතෙක්, එතරම් ස්ථාවර. කෙසේ වෙතත්, පිලාත් ඔවුන්ට පවසන්නේ &quot;ඔහුව (ඔබම) ගෙන කුරුසියේ ඇණ ගසන්න&quot; ලෙස වන අතර යුදෙව් ඉතිහාසඥ ජොසීෆස් එම අවස්ථාවේ දී සැන්හෙඩ්‍රිනය නිකුත් කර මරණ දණ්ඩනය ක්‍රියාත්මක කිරීම පිළිබඳ වෙනත් අවස්ථා විස්තර කරයි. Smallwood ගේ *The Jews Under Roman Rule* උපකල්පනය කරන්නේ සැන්හෙඩ්‍රිනයට ආගම සම්බන්ධ කාරණාවලදී ක්‍රියාත්මක කිරීමේ බලය ලබා දීමෙන් නිදහස් කිරීමක් සිදු කර ඇති නමුත් මේ සඳහා කිසිදු සාක්ෂියක් ඉදිරිපත් නොකරයි, ඉහත දක්වා ඇති උදාහරණ පමණි.