The way to extend a function from a smaller domain to a larger one is to find some kind of formula that has the function in it that, in some way, suggests what the function should be at values outside of it's original domain.

Let's say that we want to know what x^(-n) has to be, assuming we only know that x^(n)=x multiplied by itself n times and that x^(0)=1. We know that that x^(a+b)=x^(a)x^(b). This suggests that x^(n)x^(-n)=x^(0)=1. So we have the formula x^(n)x^(-n)=1 and the only thing that is not defined in this is x^(-n). So we can solve for it and arrive at the formula x^(-n)=1/x^(n) and we have successfully defined negative powers in a natural way by using an extension formula. This happens all the time in math.

-----------------------------------------------------------------------------

So if we want to extend the factorial function to include positive half-integers, then we can do so without imposing any Gamma Function magic. This is done by relating the volume of n-dimensional sphere to factorials. Let's have V(n)=Volume of the n-dimensional sphere of radius 1. So V(1)=2 (this is just the interval [-1,1]) and V(2)=pi, V(3)=4pi/3 etc. Can we find a general formula for this in terms of just n?

It turns out that [we can show that](_URL_1_)

* V(2k) = pi^(k)/k!

* V(2k+1) = 2(k!)(4pi)^(k)/(2k+1)!

The formula for the even-dimension case is really nice, but the dimension for the odd dimensional case is really ugly, and the fact that they are split like this kinda sucks. Is there a better way that we can write this that doesn't distinguish between these cases so that I can just write "V(n)=..."? 

If n is even, then I can rewrite the even case as V(n)=pi^(n/2)/(n/2)! and this is okay because n/2 is still an integer. This formula is nice. I want it to work for all cases. Since (n/2)! is not defined when n is odd, I'm free to assign to it whatever number I want. So I'm going to define (n/2)! to be whatever number it needs to be so that V(n)=pi^(n/2)/(n/2)! for *any* n.

This means that when n is odd, I need

2((n-1)/2)!(4pi)^([n-1]/2)/n! = pi^(n/2)/(n/2)!

The fact that n is odd means that everything on the left side of this equation is defined. In fact, the only thing that is *not* defined in this equation is (n/2)!, so we can solve for it to see what it has to equal. Doing this gives

(n/2)! = sqrt(pi)n!/(2^(n)((n-1)/2)!)

This formula for half-integer factorials is made so that V(n)=pi^(n/2)/(n/2)! for all integers n. Plugging in various odd n gives

* (1/2)! = sqrt(pi)/2

* (3/2)! = 3sqrt(pi)/4

* (5/2)! = 15sqrt(pi)/8

Obviously, the values of (n/2)! do not tell us how sets of size n/2 can be ordered, because no such sets exist. But the appearance of factorials in the formulas for the volume are connected to orderings of sets, so we're essentially finding a formula for how many ways a set of size n/2 *would* be ordered if it did exist. Generally, anytime you see a factorial, you're counting permutations of sets somehow, for instance [Here's why they are in Taylor Series](_URL_3_). Similarly, whenever you see pi in a formula then you're doing something with circles. Through this method, it's clear why there has to be a pi in the formula for (n/2)!, because we're using the formulas for volumes of sphere to do it!

----------------------------------------------------------------------------------

This method of extending the factorials is obviously limited to only half-integer factorials. But it's more naturally motivated than just pasting the expression for the Gamma Function and just saying "Plug in x=3/2" and it tells us how pi naturally gets involved. The resulting formula is something that is motivated, and not just handed down from Euler, our Lord and Savior. 

But we *can* use the Gamma Function to extend all of this even further, it gives us a factorial for every complex number except the negative integers. In fact, there is a theorem saying that the Gamma Function is the only way to extend the factorial to the complex plane in a "nice enough way". But many of these kinds of results, values of familiar functions at unfamiliar values having unintuitive values, can be done without appealing to modern tools. Our modern tools are super powerful and were developed to find answers to very hard questions, like the [Prime Number Theorem](_URL_0_) or the [Riemann Hypothesis](_URL_2_). They weren't invented to evaluate the factorial function at non-integer values, they just need to be consistent with other, easier methods that do this, but they offer no cool math-tricks or insights. Just plug-and-chug.

I also find it weird that people are okay with the formula (1/2)!=sqrt(pi)/2 and not okay with the formula 1+2+3+4+...=-1/12. To me there's no philosophical difference, both are extending previous notions to where they are undefined by finding some extension relation, yet people get antagonistic about 1+2+3+4+.. and not (1/2)!.
කුඩා වසමක සිට විශාල වසම දක්වා ශ්‍රිතයක් දීර්ඝ කිරීමේ ක්‍රමය නම්, එහි මුල් වසමෙන් පිටත අගයන් ශ්‍රිතය කුමක් විය යුතුද යන්න යම් ආකාරයකින් යෝජනා කරන ශ්‍රිතය ඇති යම් ආකාරයක සූත්‍රයක් සොයා ගැනීමයි. x^(-n) විය යුත්තේ කුමක්දැයි දැන ගැනීමට අපට අවශ්‍ය යැයි කියමු, අපි දන්නේ x^(n)=x n ගුණයකින් ගුණ කළ බවත් x^(0)=1 බවත් පමණක් උපකල්පනය කරමු. x^(a+b)=x^(a)x^(b) බව අපි දනිමු. මෙයින් ඇඟවෙන්නේ x^(n)x^(-n)=x^(0)=1 බවයි. ඉතින් අපිට තියෙන්නේ x^(n)x^(-n)=1 කියන සූත්‍රය සහ මේකේ අර්ථ දක්වා නැති එකම දේ x^(-n). එබැවින් අපට එය විසඳා x^(-n)=1/x^(n) සූත්‍රයට පැමිණිය හැකි අතර දිගු සූත්‍රයක් භාවිතා කර ස්වාභාවික ආකාරයෙන් සෘණ බලයන් අපි සාර්ථකව අර්ථ දක්වා ඇත. මෙය ගණිතයේ සෑම විටම සිදු වේ. ---------------------------------------------- ---------------------------------------- ධනාත්මක අර්ධ පූර්ණ සංඛ්යා ඇතුළත් කිරීම සඳහා සාධක ශ්රිතය දීර් extend කිරීමට අපට අවශ්ය නම්, එවිට අපට එය වළක්වා ගත හැකිය ඕනෑම ගැමා ක්‍රියාකාරී මැජික්. මෙය සිදු කරනු ලබන්නේ n-මාන ගෝලයේ පරිමාව සාධක වලට සම්බන්ධ කිරීමෙනි. අපි අරය 1 හි n-මාන ගෝලයේ V(n)=පරිමාව 1. එසේනම් V(1)=2 (මෙය පරතරය [-1,1]) සහ V(2)=pi, V(3) =4pi/3 ආදිය. මේ සඳහා සාමාන්‍ය සූත්‍රයක් අපට just n අනුව සොයාගත හැකිද? [අපට එය පෙන්විය හැකි බව පෙනේ](_URL_1_) * V(2k) = pi^(k)/k! * V(2k+1) = 2(k!)(4pi)^(k)/(2k+1)! ඉරට්ටේ මාන නඩුවේ සූත්‍රය ඇත්තෙන්ම ලස්සනයි, නමුත් ඔත්තේ මාන නඩුවේ මානය ඇත්තෙන්ම කැතයි, ඒවා මේ ආකාරයට බෙදී තිබීම නරකයි. මට &quot;V(n)=...&quot; ලෙස ලිවීමට හැකි වන පරිදි මෙම අවස්ථා අතර වෙනස හඳුනා නොගන්නා මෙය ලිවීමට වඩා හොඳ ක්‍රමයක් තිබේද? n ඉරට්ටේ නම්, මට ඉරට්ටේ නඩුව V(n)=pi^(n/2)/(n/2) ලෙස නැවත ලිවිය හැක! n/2 තවමත් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් බැවින් මෙය කමක් නැත. මේ සූත්‍රය ලස්සනයි. මට එය සියලු නඩු සඳහා වැඩ කිරීමට අවශ්යයි. (n/2) සිට! n ඔත්තේ වූ විට අර්ථ දක්වා නැත, මට අවශ්‍ය ඕනෑම අංකයක් එයට පැවරීමට මට නිදහස ඇත. එබැවින් මම (n/2) අර්ථ දැක්වීමට යන්නෙමි! V(n)=pi^(n/2)/(n/2) වන පරිදි එය අවශ්‍ය ඕනෑම අංකයක් වීමට! *ඕනෑම* n සඳහා. මෙයින් අදහස් කරන්නේ n ඔත්තේ වූ විට, මට 2((n-1)/2)!(4pi)^([n-1]/2)/n අවශ්‍ය වන බවයි! = pi^(n/2)/(n/2)! n ඔත්තේ යන්නෙන් අදහස් වන්නේ මෙම සමීකරණයේ වම් පැත්තේ ඇති සියල්ල අර්ථ දක්වා ඇති බවයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සමීකරණයේ *නොවන* එකම දෙය (n/2) වේ!, එබැවින් අපට එයට සමාන විය යුතු දේ බැලීමට එය විසඳිය හැකිය. මෙය කිරීමෙන් (n/2) ලැබේ! = sqrt(pi)n!/(2^(n)((n-1)/2)!) අර්ධ නිඛිල සාධක සඳහා මෙම සූත්‍රය සෑදී ඇත්තේ V(n)=pi^(n/2)/( n/2)! සියලුම නිඛිල සඳහා n. විවිධ ඔත්තේ n ප්ලග් කිරීමෙන් * (1/2) ලැබේ! = වර්ග (පයි)/2 * (3/2)! = 3sqrt(pi)/4 * (5/2)! = 15sqrt(pi)/8 පැහැදිලිවම, (n/2) හි අගයන්! n/2 ප්‍රමාණයේ කට්ටල ඇණවුම් කරන්නේ කෙසේදැයි අපට නොකියන්න, මන්ද එවැනි කට්ටල නොමැත. නමුත් පරිමාව සඳහා සූත්‍රවල ඇති සාධකවල පෙනුම කට්ටලවල අනුපිළිවෙලට සම්බන්ධ වේ, එබැවින් අපි අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම n/2 ප්‍රමාණයේ කට්ටලයක් පවතිනවා නම් එය කොපමණ ක්‍රමවලට ඇණවුම් කළ යුතුද යන්න සඳහා සූත්‍රයක් සොයා ගනිමු. සාමාන්‍යයෙන්, ඔබ සාධකයක් දකින ඕනෑම වේලාවක, ඔබ කෙසේ හෝ කට්ටලවල ප්‍රගමනය ගණන් කරයි, උදාහරණයක් ලෙස [මෙන්න ඒවා ටේලර් මාලාවේ](_URL_3_). ඒ හා සමානව, ඔබ සූත්‍රයක pi දකින සෑම විටම ඔබ කව සමඟ යමක් කරයි. මෙම ක්‍රමය හරහා, (n/2)! සඳහා සූත්‍රයේ pi එකක් තිබිය යුත්තේ මන්දැයි පැහැදිලි වේ! ---------------------------------------------- ----------------------------------------- සාධක පුළුල් කිරීමේ මෙම ක්රමය පැහැදිලිවම පැහැදිලිවම අඩ-පූර්ණ සංඛ්යා සාධක වලට පමණක් සීමා වේ. නමුත් එය ගැමා ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රකාශනය ඇලවීමට වඩා ස්වභාවිකව අභිප්‍රේරණය වී &quot;Plug in x=3/2&quot; යැයි පැවසීමට වඩා එය ස්වභාවිකව pi සම්බන්ධ වන ආකාරය අපට කියයි. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සූත්‍රය අභිප්‍රේරණය වූ දෙයක් වන අතර එය හුදෙක් අපගේ ස්වාමියා සහ ගැලවුම්කරුවා වන ඉයුලර්ගෙන් ලැබුණු දෙයක් නොවේ. නමුත් අපට මේ සියල්ල තව දුරටත් දිගු කිරීමට ගැමා ශ්‍රිතය භාවිතා කළ හැක, එය සෘණ නිඛිල හැර සෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහාම සාධකයක් ලබා දෙයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, &quot;ප්‍රමාණවත් තරම් හොඳ ආකාරයකින්&quot; සංකීර්ණ තලය දක්වා සාධකය දිගු කළ හැකි එකම ක්‍රමය ගැමා ශ්‍රිතය යැයි ප්‍රමේයයක් ඇත. නමුත් මෙවැනි බොහෝ ප්‍රතිඵල, නුහුරු නුපුරුදු අගයන් හි හුරුපුරුදු ශ්‍රිතවල අගයන්, අවබෝධාත්මක නොවන අගයන් සහිත, නවීන මෙවලම්වලට ආයාචනා නොකර කළ හැකිය. අපගේ නවීන මෙවලම් ඉතා බලවත් වන අතර [ප්‍රාථමික සංඛ්‍යා ප්‍රමේයය](_URL_0_) හෝ [Riemann කල්පිතය](_URL_2_) වැනි ඉතා දුෂ්කර ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු සෙවීම සඳහා සංවර්ධනය කර ඇත. ඒවා නිඛිල නොවන අගයන් තුළ සාධක ශ්‍රිතය ඇගයීමට නිර්මාණය කර නැත, ඒවා මෙය කරන වෙනත් පහසු ක්‍රමවලට අනුකූල විය යුතුය, නමුත් ඒවා කිසිදු සිසිල් ගණිත උපක්‍රම හෝ තීක්ෂ්ණ බුද්ධියක් ලබා නොදේ. ප්ලග් ඇන්ඩ් චග් විතරයි. මිනිස්සුන්ට (1/2)!=sqrt(pi)/2 සූත්‍රය හරියන එකත් 1+2+3+4+...=-1/12 සූත්‍රයත් හරියන්නේ නැති එක මටත් අමුතුයි. මට දාර්ශනික වෙනසක් නැත, දෙකම යම් දිගු සම්බන්ධතාවයක් සොයා ගැනීමෙන් පෙර සංකල්ප නිර්වචනය නොකළ තැන් දක්වා දිගු කරයි, නමුත් මිනිසුන් 1+2+3+4+ ගැන විරුද්ධ වේ.. (1/2) නොවේ!.