If you consider electric and magnetic fields just as they are in maxwells equations, the question becomes more phillosophical. I am not aware of explanations for this in quantum mechanics but I do know how to explain it in terms of another mathematical approach. 

Looking at this question from the perspective of relativistic electromagnetism, the magnetic field contains information regarding relativistic effects of the velocities of charges. From different reference frames, moving objects experience length contraction which causes a change in the perceived charge density into a so called 'proper charge density'. So in other words, from the perspective of a moving electron looking at a current in a wire, the current might not be moving and instead, the wire is. Due to relativity, the wire undergoes length contraction which changes the charge distribution from the perspective of the moving electron and hence it perceives an electrostatic force. This force is exactly the same as from a 'stationary' observer which would explain this as a force caused by the magnetic field. So you could see that a changing magnetic field to a stationary charge looks like a change in the charge distribution which causes an electrostatic force and thus a current is generated. 

Note that allthough I explain this in a conceptual way, the math is quite precise and also difficult. I did not explain this in a very accurate mathematical way even though I could. If I made mistakes in my choice of words due to the lack of mathematical literacy, please correct me. 
ඔබ විද්‍යුත් සහ චුම්බක ක්ෂේත්‍ර මැක්ස්වෙල් සමීකරණවල තිබෙන ආකාරයටම සලකා බැලුවහොත් ප්‍රශ්නය වඩාත් දාර්ශනික වෙයි. ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මේ සඳහා පැහැදිලි කිරීම් ගැන මම නොදනිමි, නමුත් වෙනත් ගණිතමය ප්‍රවේශයකින් එය පැහැදිලි කරන්නේ කෙසේදැයි මම දනිමි. සාපේක්ෂ විද්‍යුත් චුම්භකත්වයේ දෘෂ්ටිකෝණයෙන් මෙම ප්‍රශ්නය දෙස බලන විට, චුම්බක ක්ෂේත්‍රයේ ආරෝපණ ප්‍රවේගවල සාපේක්ෂතාවාදී බලපෑම් පිළිබඳ තොරතුරු අඩංගු වේ. විවිධ සමුද්දේශ රාමු වලින්, චලනය වන වස්තූන් දිග හැකිලීමක් අත්විඳින අතර එමඟින් සංජානනීය ආරෝපණ ඝනත්වය ඊනියා &#39;නිසි ආරෝපණ ඝනත්වය&#39; බවට වෙනස් වේ. එබැවින් වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, චලනය වන ඉලෙක්ට්‍රෝනයක දෘෂ්ටිකෝණයෙන් වයරයක ධාරාවක් දෙස බලන විට, ධාරාව චලනය නොවිය හැකි අතර ඒ වෙනුවට, වයරය වේ. සාපේක්ෂතාවාදය හේතුවෙන්, චලනය වන ඉලෙක්ට්‍රෝනයේ දෘෂ්ටිකෝණයෙන් ආරෝපණ ව්‍යාප්තිය වෙනස් කරන වයරය දිග හැකිලීමකට භාජනය වන අතර එම නිසා එය විද්‍යුත් ස්ථිතික බලයක් වටහා ගනී. මෙම බලය චුම්බක ක්ෂේත්‍රය නිසා ඇති වන බලයක් ලෙස මෙය පැහැදිලි කරන &#39;ස්ථිතික&#39; නිරීක්ෂකයෙකුට හරියටම සමාන වේ. එබැවින් චුම්බක ක්ෂේත්‍රයක් ස්ථාවර ආරෝපණයකට වෙනස් වන බව ඔබට පෙනෙනු ඇති අතර එය ආරෝපණ ව්‍යාප්තියේ වෙනසක් ලෙස පෙනෙන අතර එමඟින් විද්‍යුත් ස්ථිතික බලයක් ඇති වන අතර එමඟින් ධාරාවක් ජනනය වේ. මම මෙය සංකල්පීය ආකාරයෙන් පැහැදිලි කළත්, ගණිතය තරමක් නිවැරදි මෙන්ම දුෂ්කර බව සලකන්න. මට පුළුවන් වුනාට මම මේක ඉතා නිවැරදි ගණිත ක්‍රමයකින් පැහැදිලි කළේ නැහැ. ගණිතමය සාක්ෂරතාව නොමැතිකම නිසා මගේ වචන තේරීමේදී වැරදි ඇත්නම් කරුණාකර මාව නිවැරදි කරන්න. 