Im not aware of any published evidence on this so I will give my professional opinion.

Firstly it depends on why are not getting the oxygen it needs. The two main reasons are because of a lack of oxygen in the air (rare) or your lungs not oxygenating blood properly (common). 

Not having enough oxygen in your blood (as measured by a blood test from your artery) is termed respiratory failure. There are two types, one is just not enough oxygen with low carbon dioxide caused by hyperventilating to try to get enough oxygen in. The second type is not enough oxygen AND too much carbon dioxide because the lungs are not moving air in and out efficiently enough. 

If you're talking about lack of oxygen then that would typically show the first type of respiratory failure on the arterial blood test. We would still term it respiratory failure even though the lungs were working fine. Without any shadow of a doubt your brain would be the first thing to go. Most of your organs can survive a certain amount of hypoxia but you would go unconscious fairly rapidly. Your liver and kidneys would probably go next - the liver because it is the organ that carries out the most chemical reactions and needs oxygen for this and the kidneys because they require a lot of oxygenated blood flow to keep working. 

If you removed the oxygen very very slowly (over days and weeks)  then other mechanisms would kick in such as the blood production mechanisms to ensure there is more haemoglobin to mop up as much as possible of the scarce oxygen that you breathe in. This is why mountaineers have to spend time acclimatising and why people who live at high altitude in for example Chile have very high haemoglobin levels. If you kept removing the oxygen though, you'd eventually pass out.  

After you'd passed out the liver and kidneys would begin to shut down next and then probably your heart. You wouldn't live long after you'd passed out. The brain is obviously the top priority. After this the body will just keep trying to get as much oxygen as it can until the heart stops.
Tl;dr: The brain. 

Source: I am a doctor.

Edit: Grammar
මේ පිළිබඳව ප්‍රකාශිත කිසිදු සාක්ෂියක් මා නොදන්නා බැවින් මගේ වෘත්තීය මතය ඉදිරිපත් කරමි. පළමුව, එය අවශ්ය ඔක්සිජන් ලබා නොගන්නේ මන්ද යන්න මත රඳා පවතී. ප්‍රධාන හේතු දෙක වන්නේ වාතයේ ඔක්සිජන් නොමැතිකම (දුර්ලභ) හෝ ඔබේ පෙණහලු රුධිරය නිසි ලෙස ඔක්සිජන් නොකිරීම (පොදු). ඔබේ රුධිරයේ ප්‍රමාණවත් ඔක්සිජන් නොමැතිකම (ඔබේ ධමනි රුධිර පරීක්ෂාවකින් මනිනු ලබන පරිදි) ශ්වසන අසාර්ථකත්වය ලෙස හැඳින්වේ. වර්ග දෙකක් ඇත, එකක් ප්‍රමාණවත් තරම් ඔක්සිජන් ලබා ගැනීමට උත්සාහ කිරීම සඳහා හයිපර්වෙන්ටිලේට් කිරීම නිසා ඇති වන අඩු කාබන් ඩයොක්සයිඩ් සහිත ඔක්සිජන් ප්‍රමාණවත් නොවේ. දෙවන වර්ගය ප්‍රමාණවත් තරම් ඔක්සිජන් සහ අධික කාබන් ඩයොක්සයිඩ් ප්‍රමාණවත් නොවේ මන්ද පෙනහළු ප්‍රමාණවත් ලෙස වාතය ඇතුළට සහ පිටතට ගෙන නොයන බැවිනි. . ඔබ ඔක්සිජන් නොමැතිකම ගැන කතා කරන්නේ නම්, එය සාමාන්යයෙන් ධමනි රුධිර පරීක්ෂාවේදී පළමු වර්ගයේ ශ්වසන අසාර්ථකත්වය පෙන්නුම් කරයි. පෙනහළු හොඳින් ක්‍රියා කළත් අපි එය තවමත් හඳුන්වන්නේ ශ්වසන අපහසුතාවයක් ලෙසයි. කිසිදු සැකයක් නොමැතිව ඔබේ මොළය මුලින්ම යා යුතු දෙය වනු ඇත. ඔබේ ඉන්ද්‍රියයන් බොහොමයකට යම් ප්‍රමාණයක හයිපොක්සියා රෝගයෙන් බේරෙන්න පුළුවන් නමුත් ඔබ ඉතා ඉක්මනින් සිහිසුන්ව යනවා. ඔබේ අක්මාව සහ වකුගඩු බොහෝ විට ඊළඟට - අක්මාව බොහෝ රසායනික ප්‍රතික්‍රියා සිදු කරන ඉන්ද්‍රිය වන අතර මේ සඳහා ඔක්සිජන් අවශ්‍ය වන අතර වකුගඩු වලට ක්‍රියා කිරීමට ඔක්සිජන් සහිත රුධිර ප්‍රවාහයක් අවශ්‍ය වන බැවිනි. ඔබ ඉතා සෙමින් ඔක්සිජන් ඉවත් කළහොත් (දින සහ සති ගණන්) ඔබ හුස්ම ගන්නා හිඟ ඔක්සිජන් හැකිතාක් ඉවත් කිරීමට වැඩි හිමොග්ලොබින් ඇති බව සහතික කිරීම සඳහා රුධිර නිෂ්පාදන යාන්ත්‍රණය වැනි වෙනත් යාන්ත්‍රණ ක්‍රියාත්මක වේ. කඳු නගින්නන්ට පුරුදු වීමට කාලය ගත කිරීමට සිදු වන්නේ ඇයි සහ උදාහරණයක් ලෙස චිලියේ ඉහළ උන්නතාංශයක ජීවත් වන මිනිසුන්ට හිමොග්ලොබින් මට්ටම ඉතා ඉහළ මට්ටමක පවතින්නේ මන්ද යන්නයි. ඔබ ඔක්සිජන් ඉවත් කිරීම දිගටම කරගෙන ගියහොත්, අවසානයේ ඔබ පිටව යනු ඇත. ඔබ මිය ගිය පසු අක්මාව සහ වකුගඩු ඊළඟට ක්‍රියා විරහිත වීමට පටන් ගනී, පසුව බොහෝ විට ඔබේ හදවත. ඔබ මිය ගිය පසු ඔබ වැඩි කලක් ජීවත් නොවනු ඇත. මොළය පැහැදිලිවම ප්‍රමුඛතාවයයි. මෙයින් පසු ශරීරය හදවත නතර වන තුරු හැකි තරම් ඔක්සිජන් ලබා ගැනීමට උත්සාහ කරයි. Tl;dr: මොළය. මූලාශ්රය: මම වෛද්යවරයෙක්. සංස්කරණය: ව්‍යාකරණ