Hidden inside your question is another very philosophically deep question: how does math work? As philosophers and mathematicians have concluded over the last few millienia, mathematics "works" by establishing a set of ground rules (called "axioms") and deducing consequences based on these rules.

Many of the currently-used axioms are quite obtuse, but here's an example of some axioms for arithmetic on the natural numbers (these are often called the Peano Axioms). Note that I'm not hoping to do this in full formality, but mostly to give an example of how math is built from the bottom up.

1. There is a natural number called 0.
2. Every natural number *x* has a successor, S(x), that is also natural.
3. If x and y have the same successor (i.e. S(x) = S(y)), then x = y.
4. For no natural number x is S(x) = 0.
5. For any x, x + 0 = x ("additive identity").
6. For any x and y, x + S(y) = S(x + y) (this can be interpreted as saying x + (y + 1) = (x + y) + 1, but we use this weird notation because we haven't even defined "1" yet!)
7. For any x, x \* 0 = 0.
8. For any x and y, x \* S(y) = x + (x \* y) (this is like distributing x\*(y+1) to get x\*y + x).

It's important to note that we never actually defined "1", "2", "3", and so on. Those are taken to be representations of numbers that correspond to S(0), S(S(0)), and S(S(S(0))), respectively. 

From here, we can prove the obvious things like commutativity (eg. x + y = y + x), associativity (eg. (x \* y) \* z = x \* (y \* z)), that S(S(0)) \* S(S(0)) = S(S(S(S(0)))) (i.e. 2 \* 2 = 4), and tons of other facts. Thus, we have an established set of ground rules from which addition and multiplication are defined. We built these rules to agree with our intuition for addition and multiplication, but once we accept these rules they take a life of their own and allow us to begin proving other facts (that may or may not themselves not be immediately intuitive) without any philosophical quarrels about the underlying essence of the plus sign butting in.

Now let's get back to infinity. For this, we need to skip a few steps (I don't want to get into defining what a set is, or what the size of a set is), but one of the simplest ways to define an infinity is by looking at he number of natural numbers there are. Certainly, the collection of natural numbers does *not* take the form S(x) for any number x, so we want to say that its size is "infinity" (as it turns out, reasonable definitions of infinity allow for it to take various sizes, and this one ends up being given the name "countable infinity" or "aleph-zero", but that is slightly tangential to our ongoing discussion).

Okay, so the set of naturals is {0, S(0), S(S(0)), ...}. I don't think there's any disagreement there. But now let's look at the set of natural numbers that are successors of other naturals. That is, the set {S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...}, i.e. taking the successor of every element in the set defined two sentences ago. This is almost like the set of natural numbers, but it's missing zero! Put another way throw 0 into this set, we get the natural numbers again. This is exactly what's going on inside Hilbert's hotel: bump everyone up a room, and now we have room for one more before we're full again.

Though initially counterintuitive, this isn't a problem for mathematicians who deal with infinity on a daily basis. Further, if you want to say that this is "wrong", you'd have to argue that one of the axioms used to build up to this conclusion is incorrect; as this "paradox" is what we get by simply putting a few of them together. Importantly, this ability to seemingly make room out of thin air ends up being very useful in practice, and is implicitly used all the time in number theory, programming, and so on, without any major hitches.
ඔබේ ප්‍රශ්නය තුළ සැඟවී ඇති තවත් ඉතා දාර්ශනික ගැඹුරු ප්‍රශ්නයක්: ගණිතය ක්‍රියා කරන්නේ කෙසේද? දාර්ශනිකයන් සහ ගණිතඥයින් පසුගිය සහස්‍ර කිහිපය පුරාවට නිගමනය කර ඇති පරිදි, ගණිතය &quot;ක්‍රියා කරන්නේ&quot; මූලික රීති මාලාවක් (&quot;ඇක්සියෝම්&quot; ලෙස හැඳින්වේ) පිහිටුවීමෙන් සහ මෙම නීති මත පදනම්ව ප්‍රතිවිපාක උපකල්පනය කිරීමෙනි. දැනට භාවිතා කරන බොහෝ ප්‍රත්‍යක්ෂයන් තරමක් නොපැහැදිලි වේ, නමුත් මෙන්න ස්වාභාවික සංඛ්‍යා මත ගණිතය සඳහා වන සමහර ප්‍රත්‍යක්ෂ සඳහා උදාහරණයක් (මේවා බොහෝ විට Peano Axioms ලෙස හැඳින්වේ). මම මෙය සම්පූර්ණ විධිමත් ලෙස කිරීමට බලාපොරොත්තු නොවන බව සලකන්න, නමුත් බොහෝ විට ගණිතය පහළ සිට ඉහළට ගොඩනඟන ආකාරය පිළිබඳ උදාහරණයක් දීමට. 1. 0 නමින් ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් ඇත. 2. සෑම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක්ම *x* ට අනුප්‍රාප්තිකයෙක්, S(x) ඇත, එයද ස්වභාවිකය. 3. x සහ y ට එකම අනුප්‍රාප්තිකයා තිබේ නම් (එනම් S(x) = S(y)), එවිට x = y. 4. ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් සඳහා x යනු S(x) = 0. 5. ඕනෑම x සඳහා, x + 0 = x (&quot;ආකලන අනන්‍යතාවය&quot;). 6. ඕනෑම x සහ y සඳහා, x + S(y) = S(x + y) (මෙය x + (y + 1) = (x + y) + 1 ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක, නමුත් අපි මෙම අමුතු අංකනය භාවිතා කරමු. මන්ද අපි තවමත් &quot;1&quot; අර්ථ දක්වා නැති නිසා!) 7. ඕනෑම x සඳහා, x \* 0 = 0. 8. ඕනෑම x සහ y සඳහා, x \* S(y) = x + (x \* y) (මෙය x\*y + x ලබා ගැනීමට x\*(y+1) බෙදා හැරීම වැනිය). අප කිසිවිටෙක &quot;1&quot;, &quot;2&quot;, &quot;3&quot; යනාදිය අර්ථ දක්වා නැති බව සැලකිල්ලට ගැනීම වැදගත්ය. ඒවා පිළිවෙලින් S(0), S(S(0)) සහ S(S(S(0))) ට අනුරූප වන සංඛ්‍යා නිරූපණයන් ලෙස සැලකේ. මෙතැන් සිට, අපට සංක්‍රමණිකත්වය (උදා. x + y = y + x), ආශ්‍රය (උදා. (x \* y) \* z = x \* (y \* z)), එම S වැනි පැහැදිලි දේවල් ඔප්පු කළ හැක. (S(0)) \* S(S(0)) = S(S(S(S(0)))) (එනම් 2 \* 2 = 4), සහ වෙනත් කරුණු ටොන් ගණනක්. මේ අනුව, එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම අර්ථ දක්වා ඇති මූලික නීති මාලාවක් අප සතුව ඇත. එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම සඳහා අපගේ බුද්ධියට එකඟ වීමට අපි මෙම නීති ගොඩනඟා ගත්තෙමු, නමුත් අපි මෙම නීති පිළිගත් පසු ඔවුන් තමන්ගේම ජීවිතයක් ගත කරන අතර කිසිදු දාර්ශනිකයකින් තොරව වෙනත් කරුණු (තමන්ටම ක්ෂණික බුද්ධිමය නොවිය හැකි හෝ නොවීමට) ඔප්පු කිරීමට අපට ඉඩ සලසයි. ප්ලස් ලකුණේ යටි සාරය ගැන ආරවුල් ඇති වෙනවා. දැන් අපි නැවත අනන්තයට යමු. මේ සඳහා, අපි පියවර කිහිපයක් මඟ හැරිය යුතුයි (කට්ටලයක් යනු කුමක්ද යන්න හෝ කට්ටලයක ප්‍රමාණය කුමක්ද යන්න නිර්වචනය කිරීමට මට අවශ්‍ය නැත), නමුත් අනන්තය නිර්වචනය කිරීමට ඇති සරලම ක්‍රමය නම් ඔහු දෙස බැලීමයි. එහි ඇති ස්වභාවික සංඛ්යා සංඛ්යාව. නිසැකවම, ස්වාභාවික සංඛ්‍යා එකතුව ඕනෑම x සංඛ්‍යාවක් සඳහා S(x) ආකෘතිය * ගන්නේ නැත, එබැවින් එහි විශාලත්වය &quot;අනන්තය&quot; බව අපට පැවසීමට අවශ්‍යය (එය පෙනෙන පරිදි, අනන්තය පිළිබඳ සාධාරණ අර්ථ දැක්වීම් එය ගැනීමට ඉඩ සලසයි. විවිධ ප්‍රමාණවලින් යුක්ත වන අතර, මෙය අවසන් වන්නේ &quot;ගණන් කළ හැකි අනන්තය&quot; හෝ &quot;ඇලෙෆ්-ශුන්‍ය&quot; යන නාමයෙනි, නමුත් එය අපගේ දැනට පවතින සාකච්ඡාවට තරමක් ස්පර්ශ වේ). හරි, ඉතින් ස්වභාවික කුලකය {0, S(0), S(S(0)), ...}. මම හිතන්නේ නැහැ එතන කිසිම මතභේදයක් නැහැ. නමුත් දැන් අපි බලමු අනෙකුත් ස්වභාවික වල අනුප්‍රාප්තික ස්වභාවික සංඛ්‍යා කුලකය දෙස. එනම්, {S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...} කට්ටලය, එනම් වාක්‍ය දෙකකට පෙර නිර්වචනය කරන ලද කට්ටලයේ සෑම මූලද්‍රව්‍යකම අනුප්‍රාප්තිකය ගැනීම. මෙය බොහෝ දුරට ස්වාභාවික සංඛ්‍යා සමූහයට සමාන නමුත් එය ශුන්‍ය නොවේ! වෙනත් ආකාරයකින් මෙම කට්ටලයට 0 විසි කරන්න, අපි නැවතත් ස්වභාවික සංඛ්යා ලබා ගනිමු. හිල්බට්ගේ හෝටලය තුළ සිදු වන්නේ මෙයයි: සියල්ලෝම කාමරයක් ගොඩ ගසා, දැන් අපි නැවත පිරෙන්නට පෙර තවත් එකකට ඉඩ තිබේ. මුලදී ප්‍රතිවිරෝධී වුවද, දිනපතා අනන්තය සමඟ ගනුදෙනු කරන ගණිතඥයින්ට මෙය ගැටළුවක් නොවේ. තවද, ඔබට මෙය &quot;වැරදි&quot; යැයි පැවසීමට අවශ්‍ය නම්, මෙම නිගමනය දක්වා ගොඩ නැගීමට භාවිතා කරන එක් ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් වැරදි බව ඔබට තර්ක කිරීමට සිදුවේ. මෙම &quot;විරෝධතාව&quot; යනු ඒවායින් කිහිපයක් එකට තැබීමෙන් අපට ලැබෙන බැවිනි. වැදගත් කරුණක් නම්, සිහින් වාතයෙන් ඉඩක් සෑදීමේ මෙම හැකියාව ප්‍රායෝගිකව ඉතා ප්‍රයෝජනවත් වන අතර, සංඛ්‍යා න්‍යාය, ක්‍රමලේඛනය සහ යනාදිය තුළ කිසිදු ප්‍රධාන බාධාවකින් තොරව ව්‍යංගයෙන් සෑම විටම භාවිතා වේ.