He came up with a new proof technique, called diagonalization, and was able to show some infinities were bigger than others.  It goes something like this:

There are an infinite number of natural numbers, and also an infinite amount of real numbers.  If these infinities are equivalent, it should be possible to come up with a process that matches all real numbers to a natural number:

    1 - 0.12345....
    2 - 3.14159....
    3 - 2.71828....
    etc.

Let's construct a real number, *s*, such that:

* the 1st digit is different than the 1st digit of the real assigned to 1
* the 2nd digit is different than the 2nd digit of the real assigned to 2
* the *n*th digit is different than the *n*th digit of the real assigned to *n*

*s* is clearly a valid real number, but it also is different from every real number on the list.  This means it is impossible to create such a list, and the infinity of real numbers of "bigger" than the infinity of natural numbers.  Such infinities, that cannot be mapped to natural numbers, are called uncountable.


ඔහු diagonalization නමින් නව සාධන තාක්‍ෂණයක් ඉදිරිපත් කළ අතර සමහර අනන්තයන් අනෙක් ඒවාට වඩා විශාල බව පෙන්වීමට සමත් විය. එය සිදුවන්නේ මේ ආකාරයට ය: ස්වාභාවික සංඛ්‍යා අනන්ත සංඛ්‍යාවක් මෙන්ම තාත්වික සංඛ්‍යා අනන්ත ප්‍රමාණයක් ද ඇත. මෙම අනන්තය සමාන නම්, සියලුම තාත්වික සංඛ්‍යා ස්වභාවික සංඛ්‍යාවකට ගැළපෙන ක්‍රියාවලියක් ඉදිරිපත් කිරීමට හැකි විය යුතුය: 1 - 0.12345.... 2 - 3.14159.... 3 - 2.71828.... යනාදිය. තථ්‍ය සංඛ්‍යාවක් සාදන්න, *s*, එවැනි: * 1 ට නියම කර ඇති තාත්විකයේ 1 වන ඉලක්කමට වඩා 1 වන ඉලක්කම් වෙනස් * 2 වන ඉලක්කම් 2 ට පවරා ඇති තථ්‍යයේ 2 වන ඉලක්කමට වඩා වෙනස් * * n* වැනි සංඛ්‍යාව *n* *s* වෙත නියම කර ඇති තථ්‍යයේ *n*වන ඉලක්කමට වඩා වෙනස් වේ, පැහැදිලිවම වලංගු තාත්වික අංකයකි, නමුත් එය ලැයිස්තුවේ ඇති සෑම තාත්වික සංඛ්‍යාවකටම වඩා වෙනස් වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එවැනි ලැයිස්තුවක් නිර්මාණය කළ නොහැකි බවත්, ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල අනන්තයට වඩා &quot;විශාල&quot; තාත්වික සංඛ්‍යා අනන්තය බවත්ය. ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවලට සිතියම්ගත කළ නොහැකි එවැනි අනන්තයන් ගණන් කළ නොහැකි ලෙස හැඳින්වේ.

