One of the problems I see with a lot of the explanations here is that they are focused strictly on one type of mathematics. Mathematics is a large topic that encompasses many parts. As such I share the definition that I share with my students:

Borrowed from "The Language of Mathematics: Making The invisible Visible"

Mathematics is the science of patterns...

Arithmetic and number theory study patterns of number and counting.  
Geometry studies patterns of shape.  
Calculus allows us to handle patterns of motion.  
Logic studies patterns of reasoning.  
Probability theory deals with patterns of chance.  
Topology studies patterns of closeness and position.  

EDIT:

I feel it is necessary to address several of the comments and an edit is the best way to do so.

1. **Saying Math is the Science of Patterns is too broad.** Yes you would be correct in that statement. Except there was also context provided with that statement. Looking at each of the main topics gave examples of each of the types of patterns studied. Math does not study every single pattern that exists, just ones that relate to it. 

2. **Math is no empirical to be considered a science.** I have one issue with this particular statement. If math is not empirical enough to be considered a science. How is it that we can use math to make other sciences empirical? Physics is a scientific field that is heavily influenced by mathematics. It uses it mathematical statements all the time as empirical evidence. Where the issue comes in, I believe is how math is empirical. In other fields of science, they use another field to give empirical evidence. Physics uses math, Chemistry uses math and physics, and so on and so on. In math to prove something, we use math. Which you would think creates this self-fulling prophecy but it really doesn't. TL/DR: If math isn't empirical neither is any other science as they are based on math.

3. **Math is Logic.** Ehhh. Yes and no. Yes, math uses a lot of logic to help prove numerous statements. If you look at one of the parts of the definition though it says, "Logic studies patterns of reasoning." Saying that math is logic only allows you to analyze a very small part of mathematics. Again, mathematics is a huge topic so we need to be careful when trying to define it. There is no perfect definition sadly and everyone will disagree on numerous points. Definitions of math is numbers, logic, or whatever else may have been said is extremely limiting though.

4. **Math is a language.** While I do disagree with this statement it is an interesting discussion to have. The way we see math used on a daily basis is in a base 10 system. The notation we are familiar with was created to shorten statements down to "equations." The notation we use was really just created to make creating multiple copies of books (back when everything was hand written) easier and to a degree when the printing press was invented. In the past, we would have said stuff like:  

"When two numbers are added, their order is not important."

We would not write that as: a + b = b + a

If we want to talk about the patterns that exist outside of notation than I would agree with you that mathematics is a language.

5. Final statements. Understand that math is an enormously large topic. It is easy to be focused on one specific part of math because that is what we have been exposed to most. Few ever see the entirety of mathematics and truly understand it. I wish I was one of those lucky people but sadly, I am not. 

I use this definition in my classes for the sheer fact that it hopefully allows my students to think beyond what they are exposed to on a regular basis. As a trial, I usually have them make their own definition before providing them this one. Typical answers usually include math is numbers, torture, or various other quips. Use this definition as not an end all be all, but a starting point. Let it open up your perception of mathematics beyond what you already know and explore other parts. Numbers and equations are such a small part of mathematics.
මෙහි ඇති බොහෝ පැහැදිලි කිරීම් සමඟ මා දකින ගැටලුවක් නම් ඒවා එක් ගණිතයකට දැඩි ලෙස යොමු වී තිබීමයි. ගණිතය යනු බොහෝ කොටස් වලින් සමන්විත විශාල මාතෘකාවකි. ඒ නිසා මම මගේ සිසුන් සමඟ බෙදා ගන්නා නිර්වචනය බෙදා ගන්නෙමි: &quot;ගණිතයේ භාෂාව: නොපෙනෙන දෘශ්‍යමාන කිරීම&quot; වෙතින් ණයට ගත්තේ ගණිතය යනු රටා වල විද්‍යාවයි... අංක ගණිතය සහ සංඛ්‍යා න්‍යාය අධ්‍යයන රටා සංඛ්‍යාව සහ ගණන් කිරීම. ජ්‍යාමිතිය හැඩතල රටා අධ්‍යයනය කරයි. කැල්කියුලස් අපට චලිත රටා හැසිරවීමට ඉඩ සලසයි. තර්ක ශාස්ත්‍රය තර්කයේ රටා අධ්‍යයනය කරයි. සම්භාවිතා න්‍යාය අවස්ථා රටා සමඟ කටයුතු කරයි. ස්ථල විද්‍යාව සමීපත්වය සහ පිහිටීම පිළිබඳ රටා අධ්‍යයනය කරයි. සංස්කරණය: අදහස් කිහිපයක් ආමන්ත්‍රණය කිරීම අවශ්‍ය බව මට හැඟෙන අතර ඒ සඳහා හොඳම ක්‍රමය සංස්කරණයකි. 1. **ගණිතය රටා පිළිබඳ විද්‍යාව යැයි කීම ඉතා පුළුල් ය.** ඔව් ඔබ එම ප්‍රකාශය නිවැරදි වනු ඇත. එම ප්‍රකාශය සමඟ සන්දර්භය ද සපයා තිබුණි. එක් එක් ප්‍රධාන මාතෘකා දෙස බැලීමෙන් අධ්‍යයනය කරන ලද එක් එක් රටා වර්ග සඳහා උදාහරණ ලබා දුන්නේය. ගණිතය පවතින සෑම රටාවක්ම අධ්‍යයනය නොකරයි, එයට අදාළ ඒවා පමණි. 2. **ගණිතය විද්‍යාවක් ලෙස සැලකීමට අනුභූතික නොවේ.** මෙම විශේෂිත ප්‍රකාශය සම්බන්ධයෙන් මට එක ගැටලුවක් ඇත. ගණිතය විද්‍යාවක් ලෙස සැලකීමට තරම් අනුභූතික නොවේ නම්. වෙනත් විද්‍යාවන් අනුභූතික කිරීමට අපට ගණිතය භාවිතා කළ හැක්කේ කෙසේද? භෞතික විද්‍යාව යනු ගණිතයට දැඩි ලෙස බලපාන විද්‍යාත්මක ක්ෂේත්‍රයකි. එය ආනුභවික සාක්ෂි ලෙස සෑම විටම එය ගණිතමය ප්රකාශයන් භාවිතා කරයි. ප්‍රශ්නය එන තැන, මම විශ්වාස කරන්නේ ගණිතය ආනුභවික වන්නේ කෙසේද යන්නයි. වෙනත් විද්‍යා ක්ෂේත්‍රවල ඔවුන් අනුභූතික සාක්ෂි දීමට වෙනත් ක්ෂේත්‍රයක් භාවිතා කරයි. භෞතික විද්‍යාව ගණිතය, රසායන විද්‍යාව ගණිතය සහ භෞතික විද්‍යාව භාවිතා කරයි, යනාදිය යනාදියයි. ගණිතයේ දී යමක් ඔප්පු කිරීමට, අපි ගණිතය භාවිතා කරමු. මෙම ස්වයං-පූර්ණ අනාවැකිය නිර්මාණය කරයි යැයි ඔබ සිතනු ඇත, නමුත් එය ඇත්ත වශයෙන්ම නොවේ. TL/DR: ගණිතය ආනුභවික නොවේ නම් ඒවා ගණිතය මත පදනම් වූ වෙනත් කිසිදු විද්‍යාවක් නොවේ. 3. **ගණිතය යනු තර්කයයි.** එහ්. ඔව් සහ නැහැ. ඔව්, බොහෝ ප්‍රකාශ ඔප්පු කිරීමට ගණිතය බොහෝ තර්ක භාවිතා කරයි. ඔබ අර්ථ දැක්වීමේ එක් කොටසක් දෙස බැලුවහොත්, &quot;තර්ක ශාස්ත්‍රය තර්කයේ රටා අධ්‍යයනය කරයි.&quot; ගණිතය තර්කනය යැයි කීම ඔබට ගණිතයේ ඉතා කුඩා කොටසක් පමණක් විශ්ලේෂණය කිරීමට ඉඩ සලසයි. නැවතත්, ගණිතය යනු විශාල මාතෘකාවක් වන බැවින් එය නිර්වචනය කිරීමට උත්සාහ කිරීමේදී අප සැලකිලිමත් විය යුතුය. කණගාටුදායක ලෙස පරිපූර්ණ නිර්වචනයක් නොමැති අතර සෑම කෙනෙකුම බොහෝ කරුණු සම්බන්ධයෙන් එකඟ නොවනු ඇත. ගණිතයේ අර්ථ දැක්වීම් සංඛ්‍යා, තර්ක ශාස්ත්‍රය හෝ වෙනත් ඕනෑම දෙයක් පැවසීම අතිශයින් සීමා සහිත වේ. 4. **ගණිතය යනු භාෂාවකි.** මෙම ප්‍රකාශය සමඟ මා එකඟ නොවන අතර, එය සිත්ගන්නා සාකච්ඡාවකි. අපි එදිනෙදා භාවිතා කරන ගණිතය දකින ආකාරය පදනම් 10 පද්ධතියක ඇත. අපට හුරුපුරුදු අංකනය නිර්මාණය කර ඇත්තේ ප්‍රකාශයන් &quot;සමීකරණ&quot; දක්වා කෙටි කිරීමට ය. අප භාවිතා කරන අංකනය සැබවින්ම නිර්මාණය කර ඇත්තේ පොත් පිටපත් කිහිපයක් නිර්මාණය කිරීම සඳහා (සියල්ල අතින් ලියා ඇති විට) පහසු සහ මුද්‍රණ යන්ත්‍රය සොයා ගන්නා විට යම් මට්ටමකට ය. අතීතයේදී, අපි මෙවැනි දේවල් කියන්නට ඇත: &quot;සංඛ්‍යා දෙකක් එකතු කළ විට, ඒවායේ අනුපිළිවෙල වැදගත් නොවේ.&quot; අපි එය මෙසේ ලියන්නේ නැත: a + b = b + a අපට අංකනයට පිටින් පවතින රටා ගැන කතා කිරීමට අවශ්‍ය නම්, ගණිතය යනු භාෂාවක් බව මම ඔබ සමඟ එකඟ වෙමි. 5. අවසාන ප්රකාශයන්. ගණිතය ඉතා විශාල මාතෘකාවක් බව තේරුම් ගන්න. ගණිතයේ එක් විශේෂිත කොටසකට අවධානය යොමු කිරීම පහසුය, මන්ද අප බොහෝ විට නිරාවරණය වී ඇත්තේ එයයි. ගණිතය සම්පූර්ණයෙන් දැක එය සත්‍ය වශයෙන්ම තේරුම් ගන්නේ ස්වල්ප දෙනෙකි. මම ඒ වාසනාවන්ත මිනිසුන්ගෙන් කෙනෙක් වෙන්න ප්‍රාර්ථනා කරන නමුත් කනගාටුවට කරුණක් නම් මම එසේ නොවේ. මම මෙම නිර්වචනය මගේ පන්තිවල භාවිතා කරන්නේ එය මගේ සිසුන්ට ඔවුන් නිතිපතා නිරාවරණය වන දෙයට ඔබ්බට සිතීමට ඉඩ සලසයි. අත්හදා බැලීමක් ලෙස, මම සාමාන්‍යයෙන් ඔවුන්ට මෙය ලබා දීමට පෙර ඔවුන්ගේම නිර්වචනයක් කිරීමට සලස්වන්නෙමි. සාමාන්‍ය පිළිතුරුවලට සාමාන්‍යයෙන් ගණිතය ඉලක්කම්, වධහිංසා පැමිණවීම හෝ වෙනත් විවිධ උපහාස ඇතුළත් වේ. මෙම නිර්වචනය සියල්ල අවසානයක් ලෙස නොව ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස භාවිතා කරන්න. ඔබ දැනටමත් දන්නා ප්‍රමාණයෙන් ඔබ්බට ගණිතය පිළිබඳ ඔබේ සංජානනය විවෘත කිරීමට සහ අනෙකුත් කොටස් ගවේෂණය කිරීමට එය ඉඩ දෙන්න. සංඛ්‍යා සහ සමීකරණ යනු ගණිතයේ කුඩා කොටසකි.