It's not my field, so I can't say too much so I will just paraphrase a couple points that Terry Tao made in a [Post](_URL_0_) about why it is hard. (If I say anything horridly wrong, please correct me.) He says that there are three general strategies to solving these kinds of nonlinear PDEs.

* Find explicit solution. 

* Perturbation

* Controlling a solution based on some global quantity (like Energy)

We can bet that no one is going to randomly find an explicit solution, it would take a great deal of luck and the arbitrariness of the initial conditions makes this not likely. Perturbation is when you slightly broaden the problem with an artificial parameter. Tao says the main issue with this is that no matter how small the parameter is, the Navier-Stokes equation behaves completely differently between perturbed and non-perturbed versions. When you perturb, the equation behaves a lot like a linear equation, which is not the case in when you don't. The issue with the third method is that no known quantities either do scale very well and this means that we lose control over the finer details of the solution, or they can't control a solution.

This means that there are three possible routes to figuring this problem out:

* Get really lucky and find an explicit solution

* Create a new kind of global quantity that behaves well that we can use to control a solution

* Invent a new method entirely that doesn't rely on any of the known methods.

All three are not going to be easy. There's no way that we can rely on the first option. The second condition is hard because the Navier-Stokes breaks down every known quantity that we can try to track, because it's pretty abusive to geometry and chaotic at all scales and there aren't any quantities from physics besides energy that we can rely on and it doesn't help us. But, you never know, as he says that the Poincare Conjecture (the only Millenium Prize Problem to have been solved) was solved by controlling a new kind of variable, though it was geometric in origin and the Navier-Stokes equation does not behave well in that aspect. That leaves the third option. This is hard because instead of controlling solutions through some quantity, it is possible for quantities to blow up and not behave well under scaling. 

I guess the moral is that it allows for very chaotic solutions and that really messes shit up.
එය මගේ ක්ෂේත්‍රය නොවේ, එබැවින් මට වැඩි යමක් පැවසිය නොහැක, එබැවින් එය දුෂ්කර වන්නේ මන්දැයි [Post](_URL_0_) තුළ ටෙරී ටාඕ විසින් ඉදිරිපත් කරන ලද කරුණු කිහිපයක් පමණක් මම පරාවර්තනය කරමි. (මම භයානක ලෙස යමක් කීවොත්, කරුණාකර මාව නිවැරදි කරන්න.) ඔහු පවසන්නේ මෙවැනි රේඛීය නොවන PDEs විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය උපාය මාර්ග තුනක් ඇති බවයි. * පැහැදිලි විසඳුමක් සොයන්න. * කැළඹීම * යම් ගෝලීය ප්‍රමාණයක් (බලශක්ති වැනි) මත පදනම් වූ විසඳුමක් පාලනය කිරීම කිසිවෙකු අහඹු ලෙස පැහැදිලි විසඳුමක් සොයා නොගන්නා බවට අපට ඔට්ටු තැබිය හැකිය, ඒ සඳහා විශාල වාසනාවක් අවශ්‍ය වනු ඇති අතර ආරම්භක කොන්දේසිවල අත්තනෝමතිකත්වය මෙය විය නොහැක. කැළඹීම යනු ඔබ කෘතිම පරාමිතියකින් ගැටලුව තරමක් පුළුල් කරන විටය. Tao පවසන්නේ මෙහි ඇති ප්‍රධාන ගැටළුව වන්නේ පරාමිතිය කෙතරම් කුඩා වුවත් Navier-Stokes සමීකරණය කැළඹුණු සහ නොකැළඹුණු අනුවාද අතර සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ලෙස හැසිරෙන බවයි. ඔබ කැළඹෙන විට, සමීකරණය බොහෝ දුරට රේඛීය සමීකරණයක් මෙන් හැසිරේ, ඔබ එසේ නොකරන විට එය එසේ නොවේ. තුන්වන ක්‍රමයේ ඇති ගැටළුව නම්, දන්නා ප්‍රමාණ කිසිවක් ඉතා හොඳින් පරිමාණය නොකරන අතර මෙයින් අදහස් කරන්නේ විසඳුමේ සියුම් තොරතුරු මත අපට පාලනය නැති වන බවයි, නැතහොත් ඔවුන්ට විසඳුමක් පාලනය කළ නොහැකි බවයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මෙම ගැටලුව හඳුනා ගැනීමට හැකි මාර්ග තුනක් ඇති බවයි: * සැබවින්ම වාසනාවන්ත වී පැහැදිලි විසඳුමක් සොයා ගන්න * විසඳුමක් පාලනය කිරීමට අපට භාවිතා කළ හැකි හොඳින් හැසිරෙන නව ආකාරයේ ගෝලීය ප්‍රමාණයක් සාදන්න * සම්පූර්ණයෙන්ම නව ක්‍රමයක් සොයා ගන්න. දන්නා ක්‍රම කිසිවක් මත රඳා නොසිටින්න. මේ තුනම ලේසි වෙන්නේ නැහැ. අපට පළමු විකල්පය මත විශ්වාසය තැබිය හැකි ක්රමයක් නැත. දෙවන කොන්දේසිය දුෂ්කර වන්නේ Navier-Stokes අපට හඹා යාමට උත්සාහ කළ හැකි සෑම දන්නා ප්‍රමාණයක්ම බිඳ හෙළන නිසාත්, එය ජ්‍යාමිතියට ඉතා අපවාදාත්මක වන අතර සෑම පරිමාණයකින්ම ව්‍යාකූල වන නිසාත් අපට විශ්වාසය තැබිය හැකි ශක්තිය හැර භෞතික විද්‍යාවේ ප්‍රමාණ නොමැති නිසාත් එය අපට උදව් කරන්නේ නැත. එහෙත්, ඔහු පවසන පරිදි, Poincare අනුමානය (විසඳා ඇති එකම මිලේනියම් ත්‍යාග ගැටලුව) නව ආකාරයේ විචල්‍යයක් පාලනය කිරීමෙන් විසඳන ලද බව ඔබ කිසි විටෙකත් නොදනී, නමුත් එය සම්භවය ජ්‍යාමිතික වූවත් Navier-Stokes සමීකරණය හොඳින් නොහැසිරෙනවා. එම අංශයෙන්. එය තුන්වන විකල්පය ඉතිරි කරයි. මෙය දුෂ්කර වන්නේ යම් ප්‍රමාණයකින් විසඳුම් පාලනය කරනවා වෙනුවට, ප්‍රමාණ පුපුරවා හැරීමට සහ පරිමාණය යටතේ හොඳින් නොහැසිරීමට හැකි බැවිනි. සදාචාරය නම් එය ඉතා අවුල් සහගත විසඳුම් සඳහා ඉඩ සලසන අතර එය ඇත්තෙන්ම අවුල් සහගත බව මම අනුමාන කරමි.