Kelompok - kelompok juga diterapkan di banyak bidang matematika lainnya. Obyek - objek matematika sering kali diperiksa oleh kelompok - kelompok yang bergabung dengan mereka dan mempelajari sifat - sifat kelompok yang berhubungan. Misalnya, Henri Poincaré mendirikan apa yang sekarang disebut topologi aljabar dengan memperkenalkan kelompok fundamental. Melalui koneksi ini, sifat topologis seperti kedekatan dan keberlanjutan diterjemahkan ke sifat-sifat kelompok.i [al] Sebagai contoh, unsur-unsur dari kelompok fundamental diwakili oleh loop. Gambar kedua di kanan menunjukkan beberapa loop dalam pesawat minus titik. Lingkaran biru dianggap null-homotopic (dan dengan demikian tidak relevan), karena dapat terus menerus menyusut ke titik. Kehadiran lubang mencegah lingkaran oranye menyusut menjadi titik. Kelompok fundamental pesawat dengan titik yang dihapus ternyata siklik tak terbatas, dihasilkan oleh loop oranye (atau loop lainnya berputar sekali di sekitar lubang). Dengan cara ini, kelompok fundamental mendeteksi lubang.
Apa yang menyebabkan lingkaran oranye menyusut ke titik?
Kehadiran lubang