Warisan utama dari Principia Mathematica dicampur. Secara umum diterima bahwa teori ketidaklengkapan Kurt Gödel dari 1931 secara definitif menunjukkan bahwa untuk setiap set axiom dan aturan inferensi diusulkan untuk encapsulated matematika, akan ada beberapa kebenaran matematika yang tidak bisa disimpulkan dari mereka, dan karena itu Principia Mathematica tidak pernah bisa mencapai tujuannya. Akan tetapi, Gödel tidak mungkin sampai pada kesimpulan ini tanpa buku Whitehead dan Russell. Dengan cara ini, warisan Principia Mathematica mungkin digambarkan sebagai peranan utamanya dalam membuktikan kemungkinan mencapai tujuannya sendiri yang dinyatakan. Tetapi, di luar warisan yang agak ironis ini, buku ini mempopulerkan logika matematika modern dan menarik hubungan penting antara logika, epistemologi, dan metafisika.
Apa yang ditunjukkan oleh teorema ketidaklengkapan tahun 1931 mengenai Principia Mathematica?
untuk setiap set axiom dan aturan inferensi diusulkan untuk encapsulated matematika, akan ada beberapa kebenaran matematika yang tidak bisa disimpulkan