Matematikawan sering berjuang untuk klasifikasi lengkap (atau daftar) dari sebuah gagasan matematika. Dalam konteks kelompok yang terbatas, tujuan ini mengarah ke matematika yang sulit. Menurut teorema Lagrange, kelompok urutan p yang terbatas, bilangan prima, adalah kelompok siklik (abel) Zp. P2 juga dapat ditampilkan sebagai abelian, sebuah pernyataan yang tidak umum untuk memesan p3, sebagai kelompok non-abelian D4 urutan 8 = 23 di atas menunjukkan. Sistem aljabar komputer dapat digunakan untuk daftar kelompok-kelompok kecil, tetapi tidak ada klasifikasi dari semua kelompok terbatas.q[○] Langkah antarmediate adalah klasifikasi kelompok sederhana terbatas.r[ SPANYOL] Sebuah kelompok nontrivial disebut sederhana jika hanya subgroup normalnya adalah kelompok yang sepele dan kelompok itu sendiri.s[ hm] The JordanHlder teorem pameran terbatas sederhana kelompok-kelompok sebagai blok bangunan untuk semua kelompok terbatas. Mendaftar semua kelompok sederhana terbatas adalah prestasi utama dalam teori kelompok kontemporer. Pemenang medali Fields tahun 1998, Richard Borcherds, berhasil membuktikan dugaan-dugaan nonsen yang mengerikan, hubungan yang mengejutkan dan mendalam antara kelompok sporadis terbesar yang terbatas, kelompok "Monster" dan fungsi-fungsi modular tertentu, bagian dari analisis klasik kompleks, dan teori string, teori yang seharusnya menyatukan deskripsi dari banyak fenomena fisik.
Apa yang menggambarkan kelompok - kelompok sederhana yang terbatas sebagai potongan bangunan bagi semua kelompok yang terbatas?
The JordanHlder teorem