Extending functions from Nikolskii-Besov spaces of mixed smoothness beyond a cube
S. N. Kudryavtsev





Продолжение за пределы куба функций из пространств 
Никольского – Бесова смешанной гладкости
     С. Н. Кудрявцев 
    
============================================================================================


В статье рассмотрены пространства Никольского и Бесова 
с нормами, в определении которых вместо смешанных модулей непрерывности 
известных порядков определённых смешанных производных функций 
используются "L_p-усреднённые" смешанные модули непрерывности функций 
соответствующих порядков. Для таких пространств функций, заданных на кубе 
I^d, построены непрерывные линейные отображения их в обычные 
пространства Никольского и Бесова смешанной гладкости в ^d, 
являющиеся операторами продолжения функций, что влечёт совпадение тех и
других пространств на кубе I^d.


Ключевые слова: пространства Никольского – Бесова смешанной гладкости,
продолжение функций, эквивалентные нормы



Введение


В работе рассмотрены некоторые задачи теории функциональных пространств 
для пространств Никольского и Бесова функций смешанной гладкости, заданных
на кубе I^d. Остановимся подробнее на содержании работы.

При d ∈, α∈_+^d, 1 ≤ p,θ < ∞ для области D
⊂^d вводятся в рассмотрение
пространства (S_p,θ^α B)^'(D) ((S_p^α H)^'(D))
с нормами

    f _(S_p,θ^α B)^'(D) =
    max( f _L_p(D),
    max_J ⊂{1,…,d}: J ∅(∫_0^∞…∫_0^∞ 
    (∏_j ∈ J t_j^-1 -θα_j) 
    (Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D))^θ dt^J
    )^1/θ),


    f _(S_p^α H)^'(D) = max( f _L_p(D), 
    max_J ⊂{1, …, d}: J ∅sup_t ∈^d: t_j > 0, j ∈ J (∏_j ∈ J t_j^-α_j) 
    Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D)),

где

    Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D) =
    ((∏_j ∈ J (2 t_j)^-1) ∫_{ξ^J: |ξ_j| ≤ t_j, j ∈ J} (∏_j ∈ JΔ_ξ_j e_j^l_j) f_L_p(D_ξ^l χ_J)^p dξ^J)^1 /p, 
    
    l ∈^d – вектор с компонентами 
    
    l_j = min{m ∈: α_j < m }, j =1,…,d, 
     а для  J = {j_1, …, j_k}: 1 ≤ j_1 < … < j_k ≤ d,  и 
    x ∈^d  вектор  x^J = (x_j_1,…,x_j_k).


Построены непрерывные линейные отображения пространств 
(S_p,θ^α B)^'(I^d)  ((S_p^α H)^'(I^d)) в 
пространства L_p(^d), являющиеся операторами продолжения
функций, значения которых обладают дифференциально-разностными свойствами, 
влекущими совпадение этих пространств с соответствующими обычными пространствами 
Бесова S_p,θ^α B(I^d)
(Никольского S_p^α H(I^d)) (см. п. 2.3.).
Публикации, в которых рассматривается такая задача, автору не известны. Из
близких работ по этой тематике приведём [1] – [10] (см. также имеющуюся
там литературу), в которых изучается вопрос о продолжении за пределы
области определения с сохранением класса гладких функций из изотропных и 
неизотропных пространств, а также функций из пространств смешанной 
гладкости. Отметим, что средства построения операторов 
продолжения функций и схемы доказательства дифференциально-
разностных свойств значений таких операторов, применяемые ниже, отличаются от тех, что использовались в 
упомянутых работах. Добавим ещ е, что нормы, определяющие пространства функций 
смешанной гладкости, рассматриваемые в [10], отличаются от 
·_(S_p,θ^α B)^'(D), 
·_(S_p^α H)^'(D).

Статья состоит из введения и двух параграфов, в первом из которых
рассматриваются некоторые вспомогательные средства для решения 
объявленной задачи, а во втором –средства построения и конструкция 
подходящих операторов продолжения, а также доказательство их свойств.


1. Предварительные сведения и вспомогательные утверждения


1.1. В этом пункте вводятся обозначения, относящиеся к 
функциональным пространствам, рассматриваемым в
настоящей работе, а также приводятся некоторые факты, необходимые
в дальнейшем.

Для d ∈ через _+^d обозначим множество

    _+^d = {λ = (λ_1,  …, λ_d) ∈^d:
    λ_j ≥0, j=1, …, d}.

 Обозначим также при  d ∈ для l ∈_+^d через
_+^d(l) множество
 
    _+^d(l) ={λ∈_+^d: λ_j ≤ l_j, j=1, …,
     d}.


Для d ∈, l ∈_+^d через 𝒫^d,l будем
обозначать пространство вещественных  полиномов, состоящее из всех
функций f: ^d ↦ вида

    f(x) = ∑_λ∈_+^d(l)a_λ· x^λ,
    x∈^d,

где  a_λ∈,  x^λ  =x_1^λ_1… x_d^λ_d, λ∈_+^d(l).

При d ∈, l ∈_+^d   для области D ⊂^d
через 𝒫^d,l(D)  обозначим пространство функций f, определённых в D,   для каждой из  которых существует
полином g ∈𝒫^d,l
 такой, что  сужение g |_D = f.

Для измеримого по Лебегу множества D ⊂^d при 1 ≤ p ≤∞ 
через L_p(D), как обычно, обозначается
пространство  всех  вещественных измеримых на D функций f,
для которых определена норма

    f_L_p(D) =  (∫_D |f(x)|^p dx)^1/p, 1 ≤ p < ∞;
    _x ∈ D|f(x)|, p = ∞.


Обозначим через L^(^d) линейное пространство всех локально
суммируемых в ^d функций, принимающих вещественные значения.

Отметим здесь неоднократно используемое в дальнейшем неравенство

    1.1.1
    | ∑_j =1^n x_j|^a ≤∑_j =1^n |x_j|^a, x_j ∈, j =1,…,n, 
    n ∈, 0 ≤ a ≤ 1.


Для x,y ∈^d положим xy = x · y = (x_1 y_1, …, x_d y_d), 
а для x ∈^d и A ⊂^d определим

    x A = x · A = {xy: y ∈ A}.


Для x ∈^d: x_j  0, при j=1,…,d, положим 
x^-1 = (x_1^-1,…,x_d^-1).

При d ∈ для x,y ∈^d будем писать x ≤ y (x < y),
если для каждого j=1,…,d выполняется неравенство x_j
≤ y_j (x_j < y_j).

Обозначим через _+^d множество x ∈^d, для которых 
x_j >0 при j=1,…,d, и для a ∈_+^d, x ∈^d
положим a^x = a_1^x_1… a_d^x_d.

При d ∈ определим множества

    I^d = {x ∈^d: 0 < x_j < 1,j=1,…,d},


    I^d = {x ∈^d: 0 ≤ x_j ≤ 1,j=1,…,d},


    B^d = {x ∈^d: -1 ≤ x_j ≤ 1,j=1,…,d}.


Через  будем обозначать вектор в ^d, задаваемый
равенством = (1,…,1).

При d ∈ для λ∈_+^d через ^λ
будем обозначать оператор дифференцирования ^λ =
^|λ|/ x_1^λ_1… x_d^λ_d, 
где |λ| = ∑_j=1^d λ_j.

Теперь приведём некоторые факты, относящиеся к полиномам, которыми
мы будем пользоваться ниже.

В [11] содержится такое утверждение.

    Лемма 1.1.1  

Пусть d ∈, l ∈_+^d, λ∈_+^d, 1 ≤ p,q ≤∞, 
ρ, σ∈_+^d. Тогда существует константа
c_1(d,l,λ,ρ, σ) >0 такая, что для любых
измеримых по Лебегу множеств D,Q ⊂^d,  для которых
можно найти δ∈_+^d и x^0 ∈^d такие, что 
D ⊂ (x^0 +ρδ B^d) и (x^0 +σδ I^d) ⊂ Q, 
для любого полинома f ∈𝒫^d,l
выполняется неравенство
    
    1.1.2^λ f_L_q(D)≤ c_1 δ^-λ -p^-1 +q^-1f_L_p(q).


Далее, напомним, что для открытого множеста D ⊂^d и вектора 
h ∈^d через D_h обозначается множество

    D_h = {x ∈ D: x +th ∈ D  ∀ t ∈I}.


Для функции f, заданной на открытом множестве D ⊂^d, и
вектора h ∈^d определим на D_h её разность Δ_h f 
с шагом h, полагая

    (Δ_h f)(x) = f(x+h) -f(x), x ∈ D_h,

а для l ∈: l ≥ 2, на D_lh определим l-ую
разность Δ_h^l f функции f с шагом h равенством

    (Δ_h^l f)(x) = (Δ_h (Δ_h^l-1 f))(x), x ∈
    D_lh,

положим также Δ_h^0 f = f.

Как известно, справедливо равенство

    (Δ_h^l f)(·) = ∑_k=0^l C_l^k (-1)^l-k f(· +kh), 
    C_l^k =l!/k! (l-k)!.


При d ∈ для j=1,…,d через e_j будем
обозначать вектор e_j = (0,…,0,1_j,0,…,0).

Как показано в [12], справедлива следующая лемма.

   Лемма 1.1.2

   Пусть d ∈, l ∈_+^d. Тогда
для любого δ∈_+^d и x^0 ∈^d для Q = x^0 +δ I^d 
существует единственный линейный оператор 
P_δ, x^0^d,l: L_1(Q) ↦𝒫^d,l,
обладающий следующими свойствами:

1) для f ∈𝒫^d,l имеет место равенство

    1.1.3
    P_δ, x^0^d,l(f |_Q) = f,


2)

    P_δ,x^0^d,l = { f ∈ L_1(Q): 
    ∫_Q f(x) g(x)  dx =0 ∀ g ∈𝒫^d,l },


причём, существуют константы c_2(d,l) >0 и c_3(d,l) >0
такие, что

   3) при 1 ≤ p ≤∞ для f ∈ L_p(Q) справедливо неравенство
  
    1.1.4P_δ, x^0^d,lf _L_p(Q)≤ c_2 f_L_p(Q),


4) при 1 ≤ p < ∞ для f ∈ L_p(Q) выполняется неравенство
   
    1.1.5f -P_δ, x^0^d,lf _L_p(Q)≤ c_3 ∑_j=1^d
    δ_j^-1/p(∫_δ_j B^1∫_Q_(l_j +1) ξ e_j
    |Δ_ξ e_j^l_j +1 f(x)|^p dx dξ)^1/p.


Теперь определим пространства функций, изучаемые в настоящей работе (ср. с  
[13], [14]). Но прежде введём некоторые обозначения.

При d ∈ для x ∈^d через (x) обозначим
множество (x) = {j =1,…,d: x_j  0}, а для
множества J ⊂{1,…,d} через χ_J обозначим
вектор из ^d с компонентами

    (χ_J)_j =  1,     для  j ∈ J; 
     
    0,     для  j ∈ ({1,…,d}∖ J).


При d ∈ для x ∈^d и J = {j_1,…,j_k}⊂: 1 ≤ j_1 < j_2 < … < j_k ≤ d, через x^J
обозначим вектор x^J = (x_j_1,…,x_j_k) ∈^k, а
для множества A ⊂^d положим A^J = {x^J: x ∈ A}.

Для открытого множества D ⊂^d и векторов h ∈^d и l ∈_+^d через D_h^l обозначим множество

    D_h^l = (… (D_l_d h_d e_d)_l_d-1 h_d-1 e_d-1…)_l_1 h_1 e_1 = { x ∈ D: x +tlh ∈ D  ∀ t ∈I^d} = 
    { x ∈ D: (x +∑_j ∈(l) t_j l_j h_j e_j) ∈ D  ∀ t^(l)∈ (I^d)^(l)}.


Пусть d ∈, D – открытое множество в ^d и 1 ≤ p ≤∞. 
Тогда для f ∈ L_p(D), h ∈^d и l ∈_+^d определим в D_h^l 
смешанную разность функции f порядка l, соответствующую вектору h, 
равенством

    (Δ_h^l f)(x) = ((∏_j=1^d Δ_h_j e_j^l_j) f)(x)
    = ((∏_j ∈(l)Δ_h_j e_j^l_j) f)(x) = 
    ∑_k ∈_+^d(l) (-)^l-k C_l^k f(x+kh), x ∈ D_h^l,

где C_l^k = ∏_j=1^d C_l_j^k_j.

Имея в виду, что для f ∈ L_p(D), l ∈_+^d и векторов 
h,h^'∈^d: h^(l) = (h^')^(l), соблюдается
соотношение

    Δ_h^l f_L_p(D_h^l) = Δ_h^'^l
    f_L_p(D_h^'^l), 1 ≤ p ≤∞,

определим при 1 ≤ p ≤∞ для функции f ∈ L_p(D) смешанный 
модуль непрерывности в L_p(D) порядка l ∈_+^d равенством

    Ω^l (f,t^(l))_L_p(D) = _{ h ∈^d:
    h^(l)∈ t^(l) (B^d)^(l)}Δ_h^l f_L_p(D_h^l), 
    t^(l)∈ (_+^d)^(l).

Кроме того, при тех же условиях введём в рассмотрение для функции f
"усреднённый" смешанный модуль непрерывности в L_p(D) порядка l,
полагая   

    Ω^' l (f, t^(l))_L_p(D) = ((2 t^(l))^-^(l)∫_ t^(l) (B^d)^(l)Δ_ξ^l f_L_p(D_ξ^l)^p 
    d ξ^(l))^1 /p = 
    ((2 t^(l))^-^(l)∫_ (t B^d)^(l)∫_D_ξ^l χ_(l) 
    | Δ_ξ^l χ_(l) f(x)|^p dx 
    d ξ^(l))^1 /p, p ∞; 
    Ω^l (f,t^(l))_L_p(D), p = ∞, 
    
    
    t^(l)∈ (_+^d)^(l).


Из приведенных определений видно, что

    1.1.6Ω^' l (f, t^(l))_L_p(D)≤Ω^l (f, t^(l))_L_p(D), t^(l)∈ (_+^d)^(l), 
    
    f ∈ L_p(D), 1 ≤ p ≤∞, l ∈_+^d, D – произвольное 
    открытое множество в ^d.


Пусть теперь d ∈, α∈_+^d, 1 ≤ p ≤∞, D –
область в ^d и вектор ł∈_+^d такой, что ł < α. 
Тогда зададим вектор l = l(α) ∈^d, полагая 
l_j = (l(α))_j = min{m ∈: α_j < m }, j =1,…,d, 
и через (S_p^α H)^ł(D) обозначим пространство всех функций 
f ∈ L_p(D), обладающих тем свойством, что для любого непустого 
множества J ⊂{1,…,d} обобщённая производная 
^łχ_J f ∈ L_p(D) и выполняется условие

    sup_t^J ∈ (_+^d)^J (t^J)^-(α^J -ł^J)Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f,t^J)_L_p(D) =
    sup_t^J ∈ (_+^d)^J(∏_j ∈ J t_j^-(α_j -ł_j)) Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f,
    t^((l -ł) χ_J))_L_p(D) < ∞.


В пространстве (S_p^α H)^ł(D) вводится норма 

    f _(S_p^α H)^ł(D) =
    max( f _L_p(D), max_J ⊂{1, …, d}: 
    J ∅sup_t^J ∈ (_+^d)^J (t^J)^-(α^J -ł^J)Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f,t^J)_L_p(D)), 
    
    f ∈ (S_p^α H)^ł(D).
 
При тех же условиях на α, p, D обозначим через 
(S_p^α H)^'(D) пространство всех функций 
f ∈ L_p(D), обладающих тем свойством, что для любого непустого 
множества J ⊂{1,…,d} соблюдается условие

    sup_t^J ∈ (_+^d)^J (t^J)^-α^JΩ^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D) = sup_t^J ∈ (_+^d)^J(∏_j ∈ J t_j^-α_j) Ω^' l χ_J(f,
    t^(l χ_J))_L_p(D) < ∞.


В пространстве (S_p^α H)^'(D) задаётся норма 

    f _(S_p^α H)^'(D) =
    max( f _L_p(D), max_J ⊂{1, …, d}: 
    J ∅sup_t^J ∈ (_+^d)^J (t^J)^-α^JΩ^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D)), 
    
    f ∈ (S_p^α H)^'(D).
 

Для области D ⊂^d при α∈_+^d, 1 ≤ p ≤∞,
θ∈: 1 ≤θ < ∞, ł∈_+^d: ł < α, 
полагая, как и выше, l = l(α) ∈^d, 
через (S_p,θ^α B)^ł(D) обозначим пространство всех функций 
f ∈ L_p(D), у которых для
любого непустого множества J ⊂{1,…,d} обобщённая производная 
^łχ_J f ∈ L_p(D) и соблюдается условие

    ∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -ł^J) 
    (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^J)_L_p(D))^θ dt^J = 
    ∫_(_+^d)^J(∏_j ∈ J t_j^-1 -θ (α_j -ł_j)) 
    (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^((l -ł) χ_J))_L_p(D))^θ∏_j ∈ J dt_j < ∞.


В пространстве (S_p,θ^α B)^ł(D) фиксируется норма

    f _(S_p,θ^α B)^ł(D) = 
    max( f_L_p(D), max_J ⊂{1, …, d}: J ∅(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -ł^J) 
    (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^J)_L_p(D))^θ dt^J)^1/θ), 
    
    f ∈ (S_p,θ^α B)^ł(D).


При θ = ∞ положим (S_p,∞^α B)^ł(D) =
(S_p^α H)^ł(D).

При тех же условиях на параметры обозначим через 
(S_p,θ^α B)^'(D) пространство всех функций 
f ∈ L_p(D), которые для любого непустого множества J ⊂{1,…,d} 
подчинены условию

    ∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θα^J 
    (Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D))^θ dt^J = 
    ∫_(_+^d)^J(∏_j ∈ J t_j^-1 -θα_j) 
    (Ω^' l χ_J(f, t^(l χ_J))_L_p(D))^θ∏_j ∈ J dt_j < ∞.


В пространстве (S_p,θ^α B)^'(D) определяется норма

    f _(S_p,θ^α B)^'(D) = 
    max( f_L_p(D), 
    max_J ⊂{1, …, d}: J ∅(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θα^J 
    (Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D))^θ dt^J)^1/θ),
     f ∈ (S_p,θ^α B)^'(D).
 
При θ = ∞ положим (S_p,∞^α B)^'(D) =
(S_p^α H)^'(D).

В случае, когда вектор ł = ł(α) ∈_+^d имеет компоненты
(ł(α))_j = max{m ∈_+: m < α_j}, j =1,…,d,
пространство (S_p,θ^α B)^ł(D) ((S_p^α H)^ł(D)) обычно
обозначается S_p,θ^α B(D) (S_p^α H(D)).

Будет полезна

Лемма 1.1.3

Пусть d ∈, l ∈_+^d, 1 ≤ p < ∞, D – открытое множество в ^d. 
Тогда для функции f ∈ L_p(D), у которой обобщённая производная 
^l f ∈ L_p(D), при h ∈^d верно неравенство

    1.1.7Δ_h^l f _L_p(D_h^l)≤(∏_j ∈(l) |h_j|^l_j) 
    ^l f _L_p(D).


Доказательство.

Прежде всего отметим, что, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, нетрудно 
показать, что при l ∈_+^d для любой функции f ∈ C^∞(^d) 
при x, h ∈^d выполняется равенство

    (Δ_h^l f )(x) = (∏_j ∈(l) h_j^l_j) 
    ∫_∏_j ∈(l) (∏_i_j =1^l_j I)^l f (x +∑_j ∈(l) (∑_i_j =1^l_j t_j, i_j) h_j e_j)
    ∏_j ∈(l)(∏_i_j =1^l_j dt_j, i_j).

Отсюда заключаем, что при l ∈_+^d для любого ограниченного открытого 
множества D ⊂^d и функции f ∈ C^∞(^d) при h ∈^d
имеет место неравенство 

    (Δ_h^l f )(·) _L_p(D_h^l) = 
    (∏_j ∈(l) |h_j|^l_j) 
    ∫_∏_j ∈(l) (∏_i_j =1^l_j I)^l f (· +∑_j ∈(l) (∑_i_j =1^l_j t_j, i_j) h_j e_j)
    ∏_j ∈(l)(∏_i_j =1^l_j dt_j, i_j) _L_p(D_h^l)≤
    (∏_j ∈(l) |h_j|^l_j) 
    ∫_∏_j ∈(l) (∏_i_j =1^l_j I)^l f (· +∑_j ∈(l) (∑_i_j =1^l_j t_j, i_j) h_j e_j)
    _L_p(D_h^l)∏_j ∈(l)(∏_i_j =1^l_j dt_j, i_j) ≤
    (∏_j ∈(l) |h_j|^l_j) 
    ∫_∏_j ∈(l) (∏_i_j =1^l_j I)^l f _L_p(D)∏_j ∈(l)(∏_i_j =1^l_j dt_j, i_j) = 
    (∏_j ∈(l) |h_j|^l_j) ^l f _L_p(D),

что совпадает с (1.1.7).  

Далее, в условиях леммы возьмём неотрицательную функцию 
w ∈ C^∞(^d), носитель которой w ⊂ B^d, а 
∫_^d w(y) dy =1, и для функции f ∈ L_p(D), производная 
которой ^l f ∈ L_p(D), при n ∈ определим функцию 
f_n ∈ C^∞(^d) равенством

    f_n(x) = ∫_D f(y) w_n(y -x) dy, x ∈^d,

где w_n(x) = n^d w(n x), x ∈^d.

Пусть компакт K ⊂ D. Тогда существует n_0 ∈,
для которого при n > n_0 для любого x ∈ K носитель 
w_n(· -x) ⊂ (x +n^-1 B^d) ⊂ D, и, следовательно, 
при n > n_0 для любого x ∈ K справедливо равенство


    ^l f_n(x) = ∫_D f(y) ^|l|/ x^l (w_n(y -x)) dy = 
    (-1)^ |l|∫_D f(y) ^|l|/ y^l (w_n(y -x)) dy 
    
    = ∫_D ^l f(y) w_n(y -x) dy = ∫_ x +n^-1 B^d^l f(y) w_n(y -x) dy = 
    ∫_ n^-1  B^d^l f(x +z) w_n(z) dz.

Отсюда, учитывая, что при n ∈ интеграл ∫_ n^-1 B^d w_n(z) dz 
= ∫_^d n^d w(n z) dz = ∫_^d w(z) dz =1,
получаем, что для n > n_0 соблюдается соотношение

    ^l f -^ l f_n _ L_p(K)^p =
    ∫_K | ^ l f(x) -^ l f_n(x)|^p dx 
    
    = ∫_K | ∫_ n^-1 B^d^ l f(x) w_n(z) dz -
    ∫_ n^-1 B^d^ l f(x +z) w_n(z) dz|^p dx = 
    ∫_K |∫_ n^-1 B^d (^ l f(x) -^ l f(x +z))
    w_n(z) dz |^p dx 
    ≤∫_K (∫_ n^-1 B^d | ^ l f(x) -^ l f(x +z)|^p w_n(z) dz) 
    (∫_ n^-1 B^d w_n(z)
     dz)^p/p^' dx 
    
    = ∫_ n^-1 B^d w_n(z) ∫_K
     |^ l f(x) -^ l f(x +z)|^p dx dz
    ≤(∫_ n^-1 B^d w_n(z) dz ) sup_ z ∈ n^-1 B^d^ l f(·) -^ l f(· +z) _ L_p(K)^p 
    ≤sup_ z ∈ n^-1 B^d^ l f(·)
    -^ l f(· +z) _ L_p(D_z)^p → 0,  при  n →∞,
     (см. [15]).

Точно так же проверяется, что последовательность {f_n, n ∈} 
сходится к f в L_p(K). 

Теперь с учётом сказанного выше, в условиях леммы для любого ограниченного 
открытого множества G, замыкание которого лежит в D, применяя (1.1.7) 
к каждой функции f_n, n ∈, с множеством G вместо D, а затем
переходя к пределу при n →∞, приходим к выводу, что для функции f,
удовлетворяющей условиям леммы, и любого ограниченного открытого множества G, 
замыкание которого лежит в D, имеет место (1.1.7) с заменой D на G.
Наконец, беря последовательность ограниченных открытых множеств 
{G_n : n ∈} со следующими свойствами:  
⋃_n =1^∞ G_n = D, G_n ⊂ G_n +1, замыкание G_n 
лежит в D, n ∈, и применяя к функции f ∈ L_p(D), производная 
которой ^l f ∈ L_p(D), неравенство (1.1.7) с G_n вместо 
D, а затем, переходя к пределу при  n →∞, приходим к (1.1.7)
в условиях леммы. □

В тех же обозначениях, что и выше, принимая во внимание то обстоятельство,
что для f ∈ (S_p,θ^α B)^ł(D) для J ⊂{1,…,d}: J ∅, и t^J ∈ (_+^d)^J
справедлива оценка (см., например, [16])

    (t^J)^-(α^J -ł^J)Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^J)_L_p(D) = 
    (∫_{τ^J ∈ (_+^d)^J: t_j < τ_j < 2t_j, j ∈
    J} (t^J)^-^J -θ (α^J -ł^J) (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f,
    t^J)_L_p(D))^θ dτ^J)^1/θ≤
    (∫_{τ^J ∈ (_+^d)^J:  t_j < τ_j < 2t_j, j ∈
    J} (∏_j ∈ J 2^1+θ (α_j -ł_j)) (τ^J)^-^J
    -θ (α^J -ł^J) (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, τ^J)_L_p(D))^θ
    dτ^J)^1/θ≤
    
    (∏_j ∈ J 2^α_j -ł_j +1/θ) (∫_(_+^d)^J
    (τ^J)^-^J -θ (α^J -ł^J) (Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f,
    τ^J)_L_p(D))^θ dτ^J)^1/θ,

заключаем, что

    (S_p,θ^α B)^ł(D) ⊂ (S_p^α H)^ł(D), 
    
    D – область в ^d, α∈_+^d, 1 ≤ p ≤∞,
    1 ≤θ < ∞, ł∈_+^d: ł < α.


Учитывая, что для f ∈ (S_p,θ^α B)^'(D), 
t^J ∈ (_+^d)^J (J ⊂{1, …, d}: J ∅) 
выполняется неравенство

    (t^J)^-α^JΩ^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D) = 
    (∫_t^J +t^J (I^d)^J (t^J)^-^J -θα^J (Ω^' l χ_J(f,
    t^J)_L_p(D))^θ dτ^J)^1/θ = 
    (∫_t^J +t^J (I^d)^J (t^J)^-^J -θα^J ((2 t^J)^-^J∫_ (t B^d)^JΔ_ξ^l χ_J f_L_p(D_ξ^l χ_J)^p 
    d ξ^J)^θ /p dτ^J)^1/θ≤
    (∫_t^J +t^J (I^d)^J (∏_j ∈ J 2^1 +θα_j) 
    (τ^J)^-^J -θα^J ((τ^J)^-^J∫_ (τ B^d)^JΔ_ξ^l χ_J f_L_p(D_ξ^l χ_J)^p 
    d ξ^J)^θ /p dτ^J)^1/θ = 
    (∫_t^J +t^J (I^d)^J (∏_j ∈ J 2^1 +θα_j) 
    (τ^J)^-^J -θα^J (∏_j ∈ J 2^θ /p)
    (Ω^' l χ_J(f, τ^J)_L_p(D))^θ
    dτ^J)^1/θ≤
    
    (∏_j ∈ J 2^α_j +1/θ +1 /p) (∫_(_+^d)^J
    (τ^J)^-^J -θα^J (Ω^' l χ_J(f,
    τ^J)_L_p(D))^θ dτ^J)^1/θ,

заключаем, что

    1.1.8
    (S_p, θ^α B)^'(D) ⊂ 
    (S_p^α H)^'(D),

и

    f_(S_p^α H)^'(D)≤ c_4(α)
     f_(S_p, θ^α B)^'(D),

где c_4(α) = ∏_j=1^d 2^2+α_j.

Из (1.1.6) и (1.1.7) следует, что для f ∈ (S_p, θ^α B)^ł(D),
при ł∈_+^d: ł < α, l = l(α), для 
J ⊂{1,…,d}: J ∅, при t^J ∈ (_+^d)^J,
справедливо неравенство


    Ω^' l χ_J(f, t^J)_L_p(D)≤Ω^l χ_J(f, t^J)_L_p(D) = 
    _ξ∈^d: ξ^J ∈ 
    (t B^d)^JΔ_ξ^łχ_J +(l -ł) χ_J f
    _L_p(D_ξ^łχ_J +(l -ł) χ_J)≤
    _ξ∈^d: ξ^J ∈ 
    (t B^d)^JΔ_ξ^łχ_J(Δ_ξ^(l -ł) χ_J f)
    _L_p((D_ξ^(l -ł) χ_J)_ξ^łχ_J)≤
    _ξ∈^d: ξ^J ∈ (t B^d)^J (∏_j ∈(łχ_J) |ξ_j|^ł_j)
    ^łχ_JΔ_ξ^(l -ł) χ_J f
    _L_p(D_ξ^(l -ł) χ_J) = 
    _ξ∈^d: ξ^J ∈ (t B^d)^J (∏_j ∈(łχ_J) |ξ_j|^ł_j)
    Δ_ξ^(l -ł) χ_J^łχ_J f
    _L_p(D_ξ^(l -ł) χ_J)≤
    
    (∏_j ∈ J t_j^ł_j) _ξ∈^d: ξ^J ∈ (t B^d)^JΔ_ξ^(l -ł) χ_J^łχ_J f
    _L_p(D_ξ^(l -ł) χ_J) = 
    
    (∏_j ∈ J t_j^ł_j) Ω^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^J)_L_p(D) =
    (t^J)^ł^JΩ^(l -ł) χ_J(^łχ_J f, t^J)_L_p(D),

и, значит,

    1.1.9			
    (S_p, θ^α B)^ł(D) ⊂ (S_p, θ^α B)^'(D)

и

    1.1.10 f_(S_p, θ^α B)^'(D)≤ f_(S_p, θ^α B)^ł(D), 
     f ∈ (S_p, θ^α B)^ł(D),  α∈_+^d, 1 ≤ p < ∞, 1 ≤θ≤∞, 
    
    D – произвольная область в ^d. ł∈_+^d: ł < α.

 
Обозначим через C^∞(D) пространство бесконечно
дифференцируемых функций в области D ⊂^d, а через 
C_0^∞(D) – пространство функций f ∈ C^∞(^d),
у которых носитель f ⊂ D.

В заключение этого пункта введём ещё несколько обозначений.

Для банахова пространства X (над ) обозначим B(X) = {x
∈ X: x_X ≤ 1}.

Для банаховых пространств X,Y через ℬ(X,Y)
обозначим банахово пространство, состоящее из непрерывных линейных
операторов T: X ↦ Y, с нормой

    T_ℬ(X,Y) = sup_x ∈ B(X)Tx_Y.

Отметим, что если X=Y, то ℬ(X,Y) является
банаховой алгеброй.


1.2. В этом пункте приведём некоторые вспомогательные утверждения,
которые используются в следующем пункте и далее.

В [16] содержится следующее утверждение.

   Лемма 1.2.1

Пусть d ∈, 1 ≤ p < ∞. Тогда

1) при  j=1,…,d для любого непрерывного линейного
оператора T: L_p(I) ↦ L_p(I) существует единственный
непрерывный линейный оператор 𝒯^j: L_p(I^d) ↦
L_p(I^d), для которого для любой функции f ∈ L_p(I^d)
почти для всех (x_1,…,x_j-1,x_j+1, …,x_d) ∈
I^d-1 в L_p(I) выполняется равенство

    1.2.1
    (𝒯^j f)(x_1,…, x_j-1,·,x_j+1, …,x_d) =
    (T(f(x_1,…,x_j-1,·,x_j+1, …,x_d)))(·),


2) при этом, для каждого j=1,…,d отображение V_j^L_p, которое 
каждому оператору T ∈ℬ(L_p(I), L_p(I))
ставит в соответствие оператор V_j^L_p(T) = 𝒯^j ∈ℬ(L_p(I^d), L_p(I^d)), удовлетворяющий (1.2.1),
является непрерывным гомоморфизмом банаховой алгебры 
ℬ(L_p(I), L_p(I)) в банахову алгебру ℬ(L_p(I^d),
L_p(I^d)),

3) причём для любых операторов S,T ∈ℬ(L_p(I), L_p(I)) 
при любых i,j =1,…,d: i  j, соблюдается равенство

    1.2.2
    (V_i^L_p(S) V_j^L_p(T))f = (V_j^L_p(T) V_i^L_p(S))f, f ∈
    L_p(I^d).


Аналогичное утверждение установлено в [17].

Лемма 1.2.2

Пусть d ∈, 1 ≤ p < ∞. Тогда

1) при  j=1,…,d для любого непрерывного линейного оператора 
T: L_p() ↦ L_p() существует единственный непрерывный 
линейный оператор 𝒯^j: L_p(^d) ↦ L_p(^d), для которого 
для любой функции f ∈ L_p(^d) почти для всех (x_1,…,x_j-1, 
x_j+1,…,x_d) ∈^d-1 в L_p() имеет место равенство

    1.2.3
    (𝒯^j f)(x_1,…, x_j-1,·,x_j+1,…,x_d) = 
    (T(f(x_1,…,x_j-1,·,x_j+1,
    …,x_d)))(·),


2) при этом, для каждого j=1,…,d отображение V_j^L_p, которое
каждому оператору T ∈ℬ(L_p(), L_p()) ставит в соответствие
оператор V_j^L_p(T) = 𝒯^j ∈ℬ(L_p(^d), L_p(^d)),
удовлетворяющий (1.2.3), является непрерывным гомоморфизмом банаховой алгебры
ℬ(L_p(), L_p()) в банахову алгебру ℬ(L_p(^d),
L_p(^d)),

3) причём для любых операторов S,T ∈ℬ(L_p(), L_p())
при любых i,j =1,…,d: i  j, выполняется равенство

    1.2.4
    (V_i^L_p(S) V_j^L_p(T))f = (V_j^L_p(T) V_i^L_p(S))f, f ∈ L_p(^d).


Отметим, что в дальнейшем символы L_p в обозначениях операторов V_j^L_p
будем опускать.

Так же, как соответствующие усверждения в [16], устанавливаются 
леммы 1.2.3, 1.2.4.
    
Лемма 1.2.3

Пусть d ∈, l ∈^d, 1 ≤ p < ∞. Тогда существует константа
c_1(d,l) >0 такая, что для любых x^0 ∈^d, δ∈_+^d 
таких, что Q = (x^0 +δ I^d) ⊂ I^d, для любой функции 
f ∈ L_p(I^d), для любого ξ∈^d, для любых множеств 
J, J^'⊂{1,…,d} имеет место неравенство

    1.2.5Δ_ξ^l χ_J ((∏_j ∈ J^' V_j(E
    -P_δ_j, x_j^0^1,l_j -1)) f)_L_p(Q_ξ^l χ_J)≤
    
    c_1 (∏_j ∈ J^'∖ Jδ_j^-1/p)
    (∫_(δ B^d)^J^'∖ J∫_ Q_ξ^l
    χ_J ∪ J^' |(Δ_ξ^l χ_J ∪ J^'
    f)(x)|^p dx dξ^J^'∖ J)^1/p,

где E – тождественный оператор.

   Лемма 1.2.4

Пусть d ∈, l ∈_+^d, 1 ≤ p < ∞ и ρ, σ∈_+^d. 
Тогда существует константа c_2(d,l,ρ,σ) >0 такая, что для любых 
x^0, y^0 ∈^d и δ∈_+^d, для которых 
(x^0 +σδ I^d) ⊂ (y^0
+ρδ I^d) ⊂ I^d, для любого множества J ⊂{1,…,d}, для f ∈ L_p(I^d) соблюдается неравенство

    1.2.6(∏_j ∈ J V_j(E -P_σ_j δ_j,x_j^0^1,l_j))f_L_p(D)≤ 
    c_2 f_L_p(D),

где D = y^0 +ρδ I^d.

В [12] доказана такая лемма.

Лемма 1.2.5

Пусть d ∈, l ∈_+^d, а δ∈_+^d, x^0 ∈^d и 
Q = x^0 +δ I^d таковы, что Q ⊂ I^d.
Тогда для любой функции f ∈ L_1(I^d) почти  для всех x ∈ I^d имеет 
место равенство

    1.2.7
    (P_δ, x^0^d,l(f |_Q))(x) = ((∏_j=1^d
    V_j(P_δ_j, x_j^0^1,l_j))f)(x).


Подобно доказательству леммы 1.2.5 проводится доказательство леммы 1.2.6,
для формулировки которой введём обозначения.
Для ϕ∈ L_∞() через M_ϕ обозначим линейный оператор 
в пространстве локально суммируемых функций на , определяемый
равенством M_ϕ g = ϕ g, где g – локально суммируемая на  функция.
Через χ_A будем обозначать характеристическую функцию множества 
A ⊂^d.

Лемма 1.2.6

Пусть d ∈, l ∈_+^d, δ, Δ∈_+^d, x^0, X^0 ∈^d. 
Тогда при 1 ≤ p < ∞ для любой функции f ∈ L_p(^d) почти для 
всех x ∈^d справедливо равенство

    1.2.8χ_X^0 +Δ I^d(x) (P_δ, x^0^d,l(f |_x^0 +δ I^d))(x) 
    = ((∏_j=1^d V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I 
    P_δ_j, x_j^0^1,l_j))f)(x).


Доказательство.

Прежде всего, построим ортонормированную в L_2(I) систему
полиномов {π_m ∈𝒫^1,m, m ∈_+}, полагая 
π_0 =1, а при m ∈ выбирая π_m ∈𝒫^1,m так, 
чтобы π_m _L_2(I) =1 и для любого полинома f ∈𝒫^1, m-1 соблюдалось равенство 
∫_I π_m f dx =0.

Затем при d ∈, λ∈_+^d определим

    π_λ^d(x) = ∏_j=1^d π_λ_j(x_j), x ∈^d.


Тогда при d ∈, l ∈_+^d для δ∈_+^d, x^0
∈^d, Q = x^0 +δ I^d линейный оператор P_δ, x^0^d,l: 
L_1(Q) ↦𝒫^d,l, задаётся равенством

    1.2.9
    (P_δ, x^0^d,lf)(x) = δ^-∑_λ∈_+^d(l)(∫_Q f(y) π_λ^d(δ^-1(y -x^0)) dy)
    π_λ^d(δ^-1(x -x^0)),
     
    f ∈ L_1(Q), x ∈^d,  (см. 
    доказательство леммы 1.1.1 в [12]).


Далее, введём следующее обозначение. При d ∈ для J ⊂{1,…,d} обозначим через η_J: ^d ×^d
↦^d отображение, у которого

    (η_J(ξ,x))_j = ξ_j, j ∈ J; 
    
    x_j, j ∈{1,…,d}∖ J, ξ,x ∈^d.


Учитывая (1.2.9) и соотношение

    χ_X^0 +Δ I^d(x) = ∏_j =1^d χ_X_j^0 +Δ_j I(x_j),  x ∈^d,

для доказательства (1.2.8) достаточно показать, что в условиях
леммы для f ∈ L_p(^d) для любого непустого множества 
J ⊂{1,…,d} почти для всех x ∈^d справедливо
равенство

    1.2.10
    ((∏_j ∈ J V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I 
    P_δ_j, x_j^0^1,l_j))f)(x) = 
    
    (∏_j ∈ Jχ_X_j^0 +Δ_j I(x_j)) 
    (∏_j ∈ Jδ_j^-1)∑_λ^J ∈_+^k(l^J)(∫_Q^J (∏_j ∈ Jπ_λ_j(δ_j^-1 (y_j-x_j^0))) ·
    · f(η_J(y,x)) dy^J) (∏_j ∈ Jπ_λ_j(δ_j^-1 (x_j-x_j^0))),


где k =  J. 

Равенство (1.2.10) установим по индукции относительно J. 
В случае, когда J =1, и, следовательно, J = {j}, 
где j ∈{1, …, d}, согласно (1.2.3), (1.2.9) при d =1, для 
f ∈ L_p(^d) почти для всех (x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d) ∈^d -1 
для почти всех x_j ∈ имеет место равенство

    (V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I P_δ_j, x_j^0^1, l_j) 
    f)(x_1, …, x_j -1, x_j, x_j +1, …, x_d)   = 
    
    ((M_χ_X_j^0 +Δ_j I P_δ_j, x_j^0^1, l_j)
    f(x_1, …, x_j-1, ·, x_j+1, …, x_d))(x_j)  = 
    χ_X_j^0 +Δ_j I(x_j) (P_δ_j, x_j^0^1, l_j
    (f(x_1, …, x_j-1, ·, x_j+1, …, x_d) |_x_j^0 +δ_j I))(x_j) = 
    χ_X_j^0 +Δ_j I(x_j) 
    δ_j^-1∑_λ_j =0^l_j(∫_Q^{j}π_λ_j(δ_j^-1 (y_j-x_j^0)) ·
    · f(x_1, …, x_j -1, y_j, x_j +1, …, x_d) dy_j) 
    π_λ_j(δ_j^-1 (x_j-x_j^0)),

которое влечёт (1.2.10) при J = {j}.

Предположим теперь, что равенство (1.2.10) справедливо 
для любого множества J ⊂{1,…,d}, у которого 
J ≤ k, (1 ≤ k ≤ d-1), и покажем, что тогда оно верно для любого 
множества J ⊂{1, …, d}, у которого J = k+1. 

В этой ситуации, представляя J в виде J = J^'∪{j},
где j ∉ J^',  J^' = k, с учётом (1.2.4) на основании 
предположения индукции с использованием теоремы Фубини для f ∈ L_p(^d) 
почти для всех x ∈^d получаем

    ((∏_i ∈ J
    V_i(M_χ_X_i^0 +Δ_i I P_δ_i, x_i^0^1, l_i))f)(x) = 
    
    (V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I P_δ_j, x_j^0^1, l_j)
    ((∏_i ∈ J^'
    V_i(M_χ_X_i^0 +Δ_i I P_δ_i, x_i^0^1, l_i))f))(x) = 
    
    (V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I P_δ_j, x_j^0^1, l_j)
    ((∏_i ∈ J^'χ_X_i^0 +Δ_i I(z_i)) 
    (∏_i ∈ J^'δ_i^-1)
    ×∑_λ^J^'∈_+^k(l^J^')(∫_Q^J^' (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (y_i-x_i^0)))
     f(η_J^'(y,z)) dy^J^') (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (z_i-x_i^0)))))(x) = 
    
    (∏_i ∈ J^'δ_i^-1)∑_λ^J^'∈_+^k(l^J^') (V_j(M_χ_X_j^0 +Δ_j I 
    P_δ_j, x_j^0^1, l_j)
    ((∏_i ∈ J^'χ_X_i^0 +Δ_i I(z_i)) 
    ×(∫_Q^J^' (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (y_i-x_i^0)))
     f(η_J^'(y,z)) dy^J^') (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (z_i-x_i^0)))))(x) = 
    
    (∏_i ∈ J^'δ_i^-1)∑_λ^J^'∈_+^k(l^J^')χ_X_j^0 +Δ_j I(x_j) 
    δ_j^-1∑_λ_j =0^l_j(∫_Q^{j}π_λ_j(δ_j^-1 (y_j-x_j^0)) ·
     (∏_i ∈ J^'χ_X_i^0 +Δ_i I(x_i)) 
    (∫_Q^J^' (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (y_i-x_i^0))) ·
    · f(η_J^'(y,η_{j}(y,x))) dy^J^') (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (x_i-x_i^0))) dy_j) 
    π_λ_j(δ_j^-1 (x_j-x_j^0)) = 
    
    (∏_i ∈ J^'χ_X_i^0 +Δ_i I(x_i))
    χ_X_j^0 +Δ_j I(x_j) 
    (∏_i ∈ J^'δ_i^-1)δ_j^-1
    ×∑_λ^J^'∈_+^k(l^J^')∑_λ_j =0^l_j(∫_Q^{j}∫_Q^J^'π_λ_j(δ_j^-1 (y_j-x_j^0))
    (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (y_i-x_i^0))) ·
    · f(η_J^'(y,η_{j}(y,x))) dy^J^' dy_j)  
    (∏_i ∈ J^'π_λ_i(δ_i^-1 (x_i-x_i^0)))
    π_λ_j(δ_j^-1 (x_j-x_j^0)) = 
    
    (∏_i ∈ Jχ_X_i^0 +Δ_i I(x_i))
    (∏_i ∈ Jδ_i^-1)
    ×∑_λ^J ∈_+^k +1(l^J)(∫_Q^J (∏_i ∈ Jπ_λ_i(δ_i^-1 (y_i-x_i^0)))
     f(η_J(y,x)) dy^J) (∏_i ∈ Jπ_λ_i(δ_i^-1 (x_i-x_i^0))),

что и завершает вывод (1.2.10), которое. как отмечалось выше, влечёт (1.2.8). 
□


1.3. В этом пункте будут построены средства приближения для
функций из рассматриваемых нами пространств, на которые опирается вывод
основных результатов работы. Но сначала приведём некоторые вспомогательные 
сведения.

Для d ∈, y ∈^d положим

    (y) = min_j=1,…,d y_j

и для банахова пространства X, вектора x ∈ X и семейства
{x_κ∈ X, κ∈_+^d} будем писать x =
lim_(κ) →∞ x_κ, если для любого ϵ >0 
существует n_0 ∈ такое, что для любого κ∈_+^d, 
для которого (κ) > n_0,
справедливо неравенство x -x_κ_X < ϵ.

Пусть X – банахово пространство (над ), d ∈ и
{ x_κ∈ X: κ∈_+^d} – семейство векторов.
Тогда под суммой ряда ∑_κ∈_+^d x_κ будем
понимать вектор x ∈ X, для которого выполняется равенство 
x = lim_(k) →∞∑_κ∈_+^d(k) x_κ.

При d ∈ через Υ^d обозначим множество

    Υ^d = {ϵ∈^d: ϵ_j ∈{0,1},
    j=1,…,d}.


Как показано в [12], имеет место следующая лемма.

   Лемма 1.3.1

Пусть X – банахово пространство, а вектор x ∈ X и
семейство {x_κ∈ X: κ∈_+^d} таковы, что 
x = lim_(κ) →∞ x_κ, Тогда для семейства 
{𝒳_κ∈ X, κ∈_+^d }, элементы которого определяются
равенством

    𝒳_κ = ∑_ϵ∈Υ^d: (ϵ)
    ⊂(κ) (-)^ϵ x_κ -ϵ, κ∈_+^d,

справедливо равенство

    x = ∑_κ∈_+^d𝒳_κ.


Замечание

Как отмечалось в [12], если для семейства векторов {x_κ∈ X, 
κ∈_+^d} банахова пространства X ряд 
∑_κ∈_+^d x_κ_X сходится, то для любой 
последовательности подмножеств {Z_n ⊂_+^d, n ∈_+},
таких, что Z_n < ∞, Z_n ⊂ Z_n+1, n ∈_+,
и ∪_ n ∈_+ Z_n = _+^d,
в X соблюдается равенство
∑_κ∈_+^d x_κ =
lim_ n →∞∑_κ∈ Z_n x_κ.

Введём в рассмотрение систему разбиений единицы на кубе I^d,
используемую для построения средств приближения функций из изучаемых 
пространств. Для этого обозначим через ψ^1,0 характеристическую функцию
интервала I, т.е. функцию, определяемую равенством

    ψ^1,0(x) =  1,     для  x ∈ I; 
    
    0,     для  x ∈∖ I.

При m ∈ положим

    ψ^1,m(x) = ∫_I ψ^1, m-1(x-y) dy  (см.  [18]),

а для d ∈, m ∈_+^d определим

    ψ^d,m(x) = ∏_j=1^d ψ^1,m_j(x_j), x =
    (x_1,…,x_d) ∈^d.


Для d ∈, m,n ∈^d: m ≤ n, обозначим

    Ν_m,n^d = {ν∈^d: m ≤ν≤ n } = ∏_j=1^d
    Ν_m_j,n_j^1.


Опираясь на определения, используя индукцию, нетрудно проверить
следующие свойства функций ψ^d,m, d ∈, m ∈_+^d.

1) При d ∈, m ∈_+^d

    ψ^d,m(x) =  1,  для  x ∈ ((m+) I^d); 
    
    0,  для  x ∈^d ∖ ((m+) I^d),


2) при d ∈, m ∈_+^d для каждого λ∈_+^d(m) (обобщённая) производная ^λψ^d,m∈
L_∞(^d),

3) при d ∈, m ∈_+^d почти для всех x ∈^d
справедливо равенство

    ∑_ν∈^dψ^d,m(x -ν) =1,


4) при m ∈ для всех x ∈ (при m =0 почти для всех x ∈) 
имеет место равенство

    1.3.1ψ^1,m(x) = ∑_μ∈Ν_0, m+1^1 a_μ^m
    ψ^1,m(2x -μ),

где a_μ^m = 2^-m C_m+1^μ, μ∈Ν_0, m+1^1.

При d ∈ для t ∈^d через 2^t будем обозначать
вектор 2^t = (2^t_1, …, 2^t_d).

Для d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈^d обозначим

    g_κ, ν^d,m(x) = ψ^d,m(2^κ x -ν) =
    ∏_j=1^d ψ^1,m_j( 2^κ_j x_j -ν_j), x ∈^d,


    Q_κ, ν^d = 2^-κν +2^-κ I^d.


Из первого среди приведенных выше свойств функций ψ^d,m
следует, что при d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈^d
носитель g_κ,ν^d,m = 
2^-κν +2^-κ (m+) I^d.

Отметим некоторые полезные для нас свойства носителей функций 
g_κ,ν^d,m.

Для d ∈, m,κ∈_+^d справедливо следующее:

    1.3.2
    1) {ν∈^d:  g_κ,ν^d,m∩ I^d ∅} = 
    Ν_-m, 2^κ -^d,


2) для каждого ν^'∈^d имеет место равенство

    1.3.3{ν∈^d: Q_κ, ν^'^d ∩ g_κ, ν^d,m∅} = ν^' +Ν_-m,0^d.


Из свойства 3) функций ψ^d,m и равенства (1.3.2)
вытекает, что при d ∈, m,κ∈_+^d почти для всех
x ∈ I^d соблюдается равенство

    1.3.4∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d g_κ, ν^d,m(x) =1.


Используя разложение Ньютона для (1+1)^m+1 и (-1+1)^m+1, легко
проверить, что при m ∈_+ выполняются равенства

    ∑_μ∈Ν_0,m +1^1 ∩ (2 ) a_μ^m =1,
    ∑_μ∈Ν_0,m +1^1 ∩ (2  +1) a_μ^m =1.

Отсюда, принимая во внимание, что при κ∈, m ∈_+, для каждого
ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 верно равенство

    {μ∈Ν_0, m+1^1: (ν -μ)/2 ∈Ν_-m, 2^κ -1 -1^1 } = 
    {μ∈Ν_0, m+1^1: (ν -μ)/2 ∈} = Ν_0, m+1^1 ∩ (ν +(2 )) =
    Ν_0, m+1^1 ∩ (2 ),  если ν∈ (2 ); 
    Ν_0, m+1^1 ∩ ((2 ) +1),  если ν∈ ((2 ) +1),

заключаем, что при указанных условиях имеет место равенство

    1.3.5∑_μ∈Ν_0, m+1^1: (ν
    -μ)/2 ∈Ν_-m, 2^κ -1 -1^1  a_μ^m = ∑_ρ∈Ν_-m, 2^κ -1 -1^1: (ν -2ρ) ∈Ν_0, m+1^1
    a_ν -2ρ^m =1.


При d ∈ для x,y ∈^d будем обозначать

    (x,y) = ∑_j=1^d x_j y_j.


Имея в виду свойство 2) функций ψ^d,m, отметим, что при 
d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈^d, λ∈_+^d(m) 
выполняется равенство

    1.3.6^λ g_κ, ν^d,m_L_∞ (^d) =
    2^(κ, λ)^λψ^d,m_L_∞(^d) = 
    c_1(d,m,λ) 2^(κ, λ).


Для формулировки леммы 1.3.2 введём следующие обозначения.

При d ∈ для x ∈^d положим

    x_+ = ((x_1)_+, …, (x_d)_+),

где t_+ = 1/2 (t +|t|), t ∈.

При d ∈, m, κ∈_+^d, ν∈Ν_0,2^κ -^d положим

    x_κ, ν^d,m = 2^-κ (ν -m)_+,

а для каждого j=1,…, d зададим j-ую координату
вектора δ_κ, ν^d,m равенством

    (δ_κ, ν^d,m)_j = min(2^κ_j, m_j +1)
    2^-κ_j,

и обозначим через

    D_κ, ν^d,m = x_κ, ν^d,m +δ_κ, ν^d,m I^d.


Заметим, что при d ∈, κ∈_+^d, ν∈Ν_0,2^κ -^d 
верно равенство D_κ, ν^d, 0 =
Q_κ, ν^d, а при d ∈, m,κ∈_+^d,
ν∈Ν_0, 2^κ -^d имеет место включение

    1.3.7
    D_κ, ν^d,m⊂ I^d.


Для d ∈, l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d 
определим непрерывный линейный оператор 
S_κ,ν^d,l,m: L_1(I^d) ↦𝒫^d,l(I^d) ∩ 
L_∞(I^d), полагая для f ∈ L_1(I^d) значение

    (S_κ, ν^d,l,m f)(x) = (P_δ, x^0^d,l (f |_(x^0
    +δ I^d)))(x), x ∈ I^d,

при δ = δ_κ, ν^d,m, x^0 = x_κ,
ν^d,m (см. лемму 1.1.2 и (1.3.7)).

При d ∈, l, κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d 
обозначим

    𝒮_κ, ν^d,l = S_κ, ν^d,l,0.


Далее, при d ∈, m, κ∈_+^d для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d
зададим ν_κ^d,m(ν) = ν_κ(ν), полагая

    ν_κ^d,m(ν) = (2^κ -m -)_+ -(2^κ -m - -ν_+)_+,

и определим при d ∈, l,m,κ∈_+^d линейный непрерывный
оператор E_κ^d,l,m: L_1(I^d) ↦ L_∞(I^d)
равенством

    E_κ^d,l,m f = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d
    (𝒮_κ, ν_κ^d,m(ν)^d,l f) g_κ, ν^d,m|_I^d, 
    f ∈ L_1(I^d).


Аналогом соответствующего утверждения из [16] является лемма 1.3.2.

Лемма 1.3.2

Пусть d ∈, l ∈^d, m ∈_+^d, 1 ≤ p < ∞.
Тогда существуют константы c_2(d,l,m) >0 и c_3(d,m) >0 
такие, что для любой функции f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d справедливо неравенство

    1.3.8f -E_κ^d,l -,mf _L_p(I^d)≤ c_2 ∑_j=1^d
    2^κ_j /p(∫_ c_3 2^-κ_j B^1∫_(I^d)_l_j ξ e_j |Δ_ξ e_j^l_j f(x)|^p dx dξ)^1/p.


Доказательство.

Сначала отметим свойства множеств D_κ, ν^d,m,
которые понадобятся для доказательства леммы.

При d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d 
справедливо включение

    1.3.9
    D_κ, ν^d,0⊂ D_κ, ν^d,m.


Нетрудно видеть, что при d ∈, m ∈_+^d существует
константа c_4(d,m) >0 такая, что для любого κ∈_+^d для 
каждого x ∈ I^d число

    1.3.10{ν∈Ν_0, 2^κ -^d: x ∈ D_κ,ν^d,m}≤ c_4.


С помощью (1.3.3) несложно установить, что если при d ∈,
m,κ∈_+^d для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d и 
ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d пересечение 
g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d ∅, то

    1.3.11
    D_κ, ν_κ^d,m(ν)^d,0⊂ D_κ, ν^'^d,m.


Из (1.3.3) также вытекает, что

    1.3.12{ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ,ν^d,m∩ 
    Q_κ, ν^'^d ∅}≤
    
    c_5(d,m),  d ∈, m,κ∈_+^d, ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d.


Пусть f ∈ L_p(I^d) и κ∈_+^d. Тогда в виду (1.3.4) имеем

    1.3.13f -E_κ^d,l -,mf _L_p(I^d)^p 
    ≤∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d(∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩
    Q_κ, ν^'^d ∅(f -𝒮_κ, ν_κ(ν)^d, l- f) g_κ, ν^d,m_L_p(Q_κ, ν^'^d))^p.


Далее, для f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d и ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d 
таких, что g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d 
∅, выводим

    1.3.14(f -𝒮_κ, ν_κ(ν)^d, l- f) g_κ,ν^d,m_L_p( Q_κ, ν^'^d)≤
    f -S_κ, ν^'^d, l-,mf _L_p( Q_κ, ν^'^d) + 
    S_κ, ν^'^d, l-,mf
    -𝒮_κ, ν_κ(ν)^d, l- f _L_p( Q_κ, ν^'^d).


Учитывая (1.3.7), (1.3.9), на основании (1.1.5) для f ∈ L_p(I^d) 
при κ∈_+^d и ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d 
получаем

    1.3.15f -S_κ, ν^'^d, l-,mf _L_p( Q_κ, ν^'^d)
    ≤ c_6 ∑_j=1^d 2^κ_j /p(∫_ c_3 2^-κ_j B^1∫_ (D_κ, ν^'^d,m)_l_j ξ e_j 
    |Δ_ξ e_j^l_j f(x)|^p dx dξ)^1/p.


Принимая во внимание (1.3.9), (1.3.11),  (1.1.2),
(1.1.3), (1.1.4) и снова (1.3.11), а также учитывая (1.1.5),
для f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d и ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d: 
 g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d ∅, 
находим, что

    1.3.16S_κ, ν^'^d, l-,mf -
    𝒮_κ,ν_κ(ν)^d, l- f _L_p( Q_κ, ν^'^d)≤
    c_7 𝒮_κ, ν_κ(ν)^d, l- 
    (S_κ,ν^'^d, l-,mf -f) _L_p( D_κ, ν_κ(ν)^d, 0)
    ≤ c_8 ∑_j=1^d 2^κ_j /p(∫_ c_3 2^-κ_j B^1∫_ (D_κ, ν^'^d,m)_l_j ξ e_j 
    |Δ_ξ e_j^l_j f(x)|^p dx dξ)^1/p.


Соединяя (1.3.14), (1.3.15) и (1.3.16), для f ∈ L_p(I^d),
κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩
Q_κ, ν^'^d ∅, получаем

    (f -𝒮_κ, ν_κ(ν)^d, l- f) g_κ,ν^d,m_L_p( Q_κ, ν^'^d)≤ c_9 ∑_j=1^d 2^κ_j /p(∫_ c_3 2^-κ_j B^1∫_ (D_κ, ν^'^d,m)_l_j ξ e_j
    |Δ_ξ e_j^l_j f(x)|^p dx dξ)^1/p.


Подставляя эту оценку в (1.3.13) и применяя (1.3.12) и неравенство
Гёльдера, а затем используя (1.3.10) и (1.1.1) при a = 1/p, для 
f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d выводим

    f -E_κ^d,l -,mf _L_p(I^d)^p ≤
    
    c_10^p ∑_j=1^d 2^κ_j ∫_ c_3 2^-κ_j B^1∫_ (I^d)_l_j ξ e_j(∑_ν∈Ν_0, 2^κ -^dχ_D_κ, ν^d,m(x)) |Δ_ξ e_j^l_jf(x)|^p dx dξ
    ≤(c_2 ∑_j=1^d 2^κ_j /p(∫_c_3 2^-κ_j B^1∫_ (I^d)_l_j ξ e_j |Δ_ξ e_j^l_j f(x)|^p dx dξ)^1/p)^p,

что влечёт (1.3.8). □

Как известно, имеет место

    Лемма 1.3.3

Пусть d ∈, λ∈_+^d, D — область в ^d и
функция f ∈ C^∞(D), а  g  ∈  L_1(D), причём,
для каждого μ∈_+^d(λ) обобщённая производная 
^μ g ∈ L_1(D). Тогда в пространстве обобщённых функций в
области D справедливо равенство

    1.3.17^λ (fg) = ∑_μ∈_+^d(λ) C_λ^μ^λ -μf ^μ g.


Для формулировки следующего утверждения введём обозначение.

При d ∈, l,m,κ∈_+^d определим линейный непрерывный оператор 
ℰ_κ^d,l,m: L_1(I^d) ↦ L_∞(I^d), полагая

    ℰ_κ^d,l,m = ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ E_κ -ϵ^d,l,m.


Преобразуем выражение, задающее оператор ℰ_κ^d,l,m, к виду, 
подходящему для получения интересующих нас оценок.
Для этого при d ∈, l,m,κ∈_+^d для f ∈ L_1(I^d) 
почти для всех x ∈ I^d имеем

    1.3.18
    (ℰ_κ^d,l,m f)(x) = ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ν_-m, 2^κ -ϵ -^d (𝒮_κ -ϵ, 
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l f)(x) g_κ -ϵ,
    ρ^d,m(x).


Используя (1.3.1), при d ∈, m,κ∈_+^d, ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ), и ρ∈Ν_-m, 2^κ -ϵ -^d почти для всех x ∈ I^d получаем

    g_κ -ϵ, ρ^d,m(x) = 
    ∑_μ^(ϵ)∈ (Ν_0, m+^d)^(ϵ)
    (∏_j ∈(ϵ) a_μ_j^m_j) (∏_j ∈Ν_1,d^1 ∖(ϵ)ψ^1, m_j(2^κ_j x_j
    -ρ_j)) (∏_j ∈(ϵ)ψ^1, m_j(2^κ_j
    x_j -2 ρ_j -μ_j)).


Отсюда, учитывая (1.3.2), при d ∈, l, m,κ∈_+^d,
ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ), почти
для всех x ∈ I^d имеем

    1.3.19∑_ρ∈Ν_-m, 2^κ -ϵ -^d 
    (𝒮_κ -ϵ, ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l f)(x) 
    g_κ -ϵ, ρ^d,m(x) =
    ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d g_κ, ν^d,m(x)
    ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (𝒮_κ -ϵ, 
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l f)(x),

где

    Ρ_κ,ν,ϵ^d,m = {ρ∈Ν_-m, 2^κ -ϵ -^d: 
    ρ_j = ν_j, j ∈Ν_1,d^1 ∖(ϵ);  
    (ν_j -2 ρ_j) ∈Ν_0, m_j +1^1, j ∈(ϵ) }.


Подставляя (1.3.19) в (1.3.18), выводим

    1.3.20 
    (ℰ_κ^d,l,m f)(x)
    = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d g_κ, ν^d,m(x)
    (U_κ,ν^d,l,m f)(x),  почти для всех  x ∈ I^d,


d ∈, l,m,κ∈_+^d, f ∈ L_1(I^d), 
где U_κ,ν^d,l,m: L_1(I^d) ↦𝒫^d,l(I^d) – 
линейный оператор, определяемый при d ∈, l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d для f ∈ L_1(I^d) равенством

    1.3.21
    U_κ,ν^d,l,m f = ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ)
    a_ν_j -2ρ_j^m_j) (𝒮_κ -ϵ,
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l f).


В силу равенства (см. (1.2.7))

    𝒮_κ, ν^d,l = 
    ∏_j=1^d V_j(S_κ_j, ν_j^1,l_j,0),   
    d ∈, l,κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d,

благодаря п. 2 леммы 1.2.1 и (1.2.2), при d ∈, l,m,κ∈_+^d, 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, ϵ∈Υ^d:
(ϵ) ⊂(κ), 
для ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m выполняется равенство

    1.3.22𝒮_κ -ϵ, ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l = 
    ∏_j=1^d V_j(S_κ_j -ϵ_j, 
    (ν_κ -ϵ^d,m(ρ))_j^1,l_j,0) = 
    ∏_j=1^d (E -V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, 
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0))
    
    = ∑_γ∈Υ^d (-)^γ∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0).


Подставляя (1.3.22) в (1.3.21), находим, что при d ∈,
l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d имеет место равенство

    1.3.23
    U_κ, ν^d,l,m = 
    ∑_γ∈Υ^d: (κ) ∖(γ) =
    ∅ (-)^γ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ)
    a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0)) +
    ∑_γ∈Υ^d: (κ) ∖(γ) ∅ (-)^γ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ)
    a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0)).


При d ∈, l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d 
для γ∈Υ^d: (κ) ∖(γ) ∅, 
соблюдается равенство

    1.3.24∑_ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ)
    (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m
    (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0)) =
    ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂
    ((κ) ∩(γ)) (-)^ϵ∑_ϵ^'∈Υ^d:
    (ϵ^') ⊂ ((κ) ∖(γ))
    (-)^ϵ^'∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ
    +ϵ^'^d,m (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) 
    (∏_j ∈(ϵ^') a_ν_j -2ρ_j^m_j)
    × 
    (∏_j ∈(γ) V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, 
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0)).


Далее, при  d ∈, l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, 
γ∈Υ^d: (κ) ∖(γ) ∅, 
ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂ ((κ) ∩(γ)), 
ϵ^'∈Υ^d: (ϵ^') ⊂ ((κ) 
∖(γ)), обозначая для j ∈Ν_1,d^1 и ρ_j ∈
(Ρ_κ,ν,ϵ +ϵ^'^d,m)^{j} = 
Ρ_κ_j,ν_j,ϵ_j +ϵ_j^'^1,m_j
через A_ρ_j^j оператор

    A_ρ_j^j =  a_ν_j -2ρ_j^m_j V_j(E -S_κ_j -1, 
    ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0), j ∈(ϵ); 
    
    V_j(E -S_κ_j, ν_κ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0), 
    j ∈(γ) ∖(ϵ); 
    
    a_ν_j -2ρ_j^m_j E, j ∈(ϵ^'); 
    
    E, j ∈ (Ν_1,d^1 ∖(γ)) ∖(ϵ^'),

и учитывая (1.2.2), (1.3.5), выводим

    1.3.25∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ +ϵ^'^d,m
    (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j
    ∈(ϵ^') a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0))
    
    = ∑_ρ∈^d: ρ_j ∈
    (Ρ_κ,ν,ϵ +ϵ^'^d,m)^{j}, j =1,…,d 
    (∏_j=1^d A_ρ_j^j)
    = ∏_j ∈Ν_1,d^1 
    (∑_ρ_j ∈ (Ρ_κ,ν,ϵ +ϵ^'^d,m)^{j} A_ρ_j^j)
    
    = (∏_j ∈(γ) ∖(ϵ) 
    V_j(E -S_κ_j, ν_κ_j^1,m_j(ν_j)^1,l_j,0))
    ×(∏_j ∈(ϵ)(∑_ρ_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1 -1^1: (ν_j -2ρ_j) ∈Ν_0,m_j +1^1 
    a_ν_j -2ρ_j^m_j V_j(E -S_κ_j -1, ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0))).


Подставляя (1.3.25) в (1.3.24), приходим к равенству

    1.3.26∑_ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ)
    (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m
    (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j
    ∈(γ) V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, 
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0))
    
    = ∑_ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂ ((κ)
    ∩(γ)) (-)^ϵ∑_ϵ^'∈Υ^d: (ϵ^') ⊂ ((κ) ∖(γ)) 
    (-)^ϵ^' (∏_j ∈(γ) ∖(ϵ) 
    V_j(E -S_κ_j, ν_κ_j^1,m_j(ν_j)^1,l_j,0))
    ×(∏_j ∈(ϵ)(∑_ρ_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1 -1^1: (ν_j -2ρ_j) ∈Ν_0,m_j +1^1 
    a_ν_j -2ρ_j^m_j V_j(E -S_κ_j -1, ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0))) =0

при d ∈, l,m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, 
γ∈Υ^d: (κ) ∖(γ) ∅, ибо 
в этом случае

    ∑_ϵ^'∈Υ^d: (ϵ^') ⊂
    ((κ) ∖(γ)) (-)^ϵ^' =0.


Соединяя (1.3.26) с (1.3.23), заключаем, что при d ∈, l,m,κ∈_+^d, 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d справедливо равенство

    1.3.27
    U_κ,ν^d,l,m = ∑_γ∈Υ^d: (κ)
    ⊂(γ) (-)^γ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m
    
    (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,0)).


Лемма 1.3.4

Пусть d ∈, l ∈^d, m ∈_+^d, 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤∞ 
и λ∈_+^d(m). Тогда существуют
константы c_11(d,l,m,p,q,λ) >0 и c_12(d,m) >0
такие, что для любой функции f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d выполняется неравенство

    1.3.28^λℰ_κ^d,l -,m f _L_q(I^d)≤
    c_11 (∏_j ∈(κ) 2^κ_j (λ_j +p^-1
    +(p^-1 -q^-1)_+))
    ×(∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_(I^d)_ξ^l χ_(κ) |Δ_ξ^l χ_(κ)
    f(x)|^p dx dξ^(κ))^1/p.


Доказательство.

Сначала, в дополнение к уже имеющимся,  построим некоторые вспомогательные 
объекты и приведём их свойства, которые нам понадобятся при 
доказательстве.

При d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d зададим 
точку x_κ, ν^' d,m∈^d и вектор 
δ_κ, ν^' d,m∈_+^d, полагая

    ( x_κ, ν^' d,m)_j = 2^-κ_jmin((ν_j -2m_j -1)_+, 
    (2^κ_j -2m_j -3)_+),
     (δ_κ, ν^' d,m)_j 
    
    = 2^-κ_jmin(2^κ_j, 2m_j +3), j=1,…,d,
 
и определим клетку D_κ, ν^' d,m
равенством D_κ, ν^' d,m = x_κ, ν^' d,m + 
δ_κ, ν^' d,m I^d.

Из определения следует, что при d ∈, m,κ∈_+^d,
ν∈Ν_0, 2^κ -^d множество

    1.3.29
     D_κ, ν^' d,m⊂ I^d,

а также

    1.3.30
    Q_κ,ν^d = D_κ,ν^d,0⊂
    D_κ, ν^' d,m.


С помощью (1.3.30) легко проверить, что при d ∈, m ∈_+^d 
существует константа c_13(d,m) >0 такая, что для κ∈_+^d и 
x ∈ I^d верно неравенство

    1.3.31{ν∈Ν_0, 2^κ -^d: x ∈ D_κ, ν^' d,m}≤ c_13.


Пользуясь тем, что для t ∈, a ∈_+ справедливы
соотношения (at)_+ = at_+ и t_+ ≤ (t+a)_+ ≤ t_+ +a, а
также используя (1.3.3), несложно показать, что при d ∈,
m,κ∈_+^d, для ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d: Q_κ, ν^'^d ∩ g_κ, ν^d,m∅, ϵ∈Υ^d: 
(ϵ) ⊂(κ), ρ∈Ρ_κ, ν, ϵ^d,m 
имеет место включение

    1.3.32
    D_κ -ϵ, ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,0⊂ 
    D_κ, ν^'^' d,m.


Отметим ещё, что

    1.3.33Ρ_κ,ν,ϵ^d,m≤ c_14(d,m),

d ∈, m,κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d,
ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ).

Определим ещё при l, m, κ∈_+, ν∈Ν_0, 2^κ -1^1 
непрерывный линейный оператор S_κ, ν^' l, m: 
L_1(I) ↦𝒫^1, l(I) ∩ L_∞ (I), полагая для 
f ∈ L_1(I) значение

    (S_κ, ν^' l, m f)(x) = 
    (P_δ, x^0^1, l(f |_(x^0 +δ I)))(x), x ∈ I,

при δ = 2^-κmin(2^κ, 2 m +3), 
x^0 = 2^-κmin((ν -2 m -1)_+, (2^κ -2 m -3)_+).

Теперь перейдём к выводу оценки (1.3.28).

В условиях леммы 1.3.4 ввиду (1.3.20), (1.3.17) имеем

    1.3.34^λℰ_κ^d, l-,mf _L_q(I^d)≤
    ∑_μ∈_+^d(λ) C_λ^μ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d^μ (U_κ, ν^d, l-,mf)
    ^λ -μ g_κ,ν^d,m_L_q(I^d).


Оценивая правую часть (1.3.34), при μ∈_+^d(λ)
находим, что

    1.3.35∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d^μ
    (U_κ, ν^d, l-,mf) ^λ -μ
    g_κ,ν^d,m_L_q(I^d)^q ≤
    ∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d( ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d ∅^μ (U_κ, ν^d,
    l-,mf) ^λ -μ g_κ,ν^d,m_L_q(Q_κ, ν^'^d))^q.


Используя (1.3.6), (1.1.2) и (1.3.30), выводим

    1.3.36^μ (U_κ, ν^d, l-,mf) ^λ -μ
    g_κ,ν^d,m_L_q( Q_κ, ν^'^d)≤
    c_15 2^(κ, λ +p^-1 -q^-1) U_κ, ν^d, l-,mf _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)

при ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d: 
 g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d ∅.

Из (1.3.27) для ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩
Q_κ, ν^'^d ∅, имеем неравенство

    1.3.37 U_κ, ν^d, l-,mf _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)≤
    ∑_γ∈Υ^d: (κ) ⊂(γ)∑_ϵ∈Υ^d: (ϵ) ⊂(κ)∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ) a_ν_j -2ρ_j^m_j) (∏_j ∈(γ) 
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j
    -1,0))f _L_p( D_κ, ν^'^' d,m).


Далее, для ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩
Q_κ, ν^'^d ∅, γ∈Υ^d:
(κ) ⊂(γ), ϵ∈Υ^d:
(ϵ) ⊂(κ), ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m, используя (1.2.2), а затем с
учётом (1.3.32), (1.3.29) применяя (1.2.6), получаем

    1.3.38(∏_j ∈(γ) V_j(E -S_κ_j -ϵ_j,
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j -1,0))f 
    _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)≤
     
    c_16(∏_j ∈(κ)
    V_j(E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j -1,0))f
    _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)
 
и, пользуясь тем, что при j =1,…,d в виду (1.1.3) соблюдено
равенство

    (E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j -1,0) =
    (E -S_κ_j -ϵ_j, ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j -1,0) 
    (E -S_κ_j, ν_j^'^' l_j -1, m_j),

благодаря п.2 леммы 1.2.1 и (1.2.2), а также в силу (1.3.32),
(1.3.29), (1.2.6) выводим

    1.3.39(∏_j ∈(κ) V_j(E -S_κ_j -ϵ_j,
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j -1,0))f 
    _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)≤
     
    c_17 (∏_j ∈(κ) V_j(E -S_κ_j,
    ν_j^'^' l_j -1, m_j))f _L_p( D_κ, ν^'^' d,m).


Объединяя (1.3.37), (1.3.38), (1.3.39) и учитывая (1.3.33), на
основании (1.2.5) (при J = ∅, J^' = (κ))
находим, что для ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d:  g_κ, ν^d,m∩
Q_κ, ν^'^d ∅, выполняется неравенство

    1.3.40 U_κ, ν^d, l-,mf _L_p( D_κ, ν^'^' d,m)≤
     
    c_18 (∏_j ∈(κ) 2^κ_j /p) 
    (∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_ (D_κ, ν^'^' d,m)_ξ^l χ_(κ) 
    |Δ_ξ^l χ_(κ) f(x)|^p dx dξ^(κ))^1/p.


Из (1.3.36) и (1.3.40) следует,что

    1.3.41^μ (U_κ, ν^d, l-,mf) ^λ -μ
    g_κ,ν^d,m_L_q( Q_κ, ν^'^d)≤
     
    c_19 2^(κ, λ +p^-1 -q^-1) (∏_j ∈(κ) 
    2^κ_j /p) (∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_ (D_κ, ν^'^' d,m)_ξ^l χ_(κ) 
    |Δ_ξ^l χ_(κ) f(x)|^p dx dξ^(κ))^1/p,

при ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d: 
 g_κ, ν^d,m∩ Q_κ, ν^'^d ∅, 
μ∈_+^d(λ).
Подставляя (1.3.41) в (1.3.35), и учитывая (1.3.12), а затем
применяя неравенство (1.1.1) при a =  p/q ≤ 1 и
используя (1.3.31), получаем, что при p ≤ q и μ∈_+^d(λ) справедливо неравенство

    1.3.42∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d^μ (U_κ, ν^d, l-,mf) 
    ^λ -μ g_κ,ν^d,m_L_q(I^d)^q ≤
     
    (c_20 2^(κ, λ
    +2p^-1 -q^-1))^q (∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -^d∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_ D_κ, ν^'^' d,m∩ (I^d)_ξ^l χ_(κ) 
    |Δ_ξ^l χ_(κ) f(x)|^p dx dξ^(κ))^q/p≤
    (c_21 2^(κ, λ +2p^-1 -q^-1)(∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_(I^d)_ξ^l χ_(κ) 
    |Δ_ξ^l χ_(κ)
    f(x)|^p dx dξ^(κ))^1/p)^q.


Соединяя (1.3.42) с (1.3.34), приходим к (1.3.28) при p ≤ q.
Для получения (1.3.28) при q < p достаточно заметить, что в этом случае

    ^λℰ_κ^d,l -,mf _L_q(I^d)≤^λℰ_κ^d,l -,mf _L_p(I^d),

и применить (1.3.28) при q = p. □

Следствие

В условиях леммы 1.3.4 существует константа c_22(d,l,m,λ,p,q) > 0 
такая, что для f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d имеет место 
неравенство

    1.3.43^λℰ_κ^d,l-,mf _L_q(I^d)≤
    c_22 2^(κ, λ +(p^-1 -q^-1)_+ )Ω^' l χ_(κ)(f, (c_12 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d).


Доказательство.

В самом деле, для f ∈ L_p(I^d) при κ∈_+^d в силу (1.3.28) 
имеем

    ^λℰ_κ^d,l -,mf _L_q(I^d)≤
    c_11 (∏_j ∈(κ) 2^κ_j (λ_j +(p^-1 -q^-1)_+)) 
    ×((∏_j ∈(κ) 2^κ_j) ∫_ (c_12 2^-κ B^d)^(κ)∫_(I^d)_ξ^l χ_(κ) |Δ_ξ^l χ_(κ)
    f(x)|^p dx dξ^(κ))^1/p≤
    
    c_22 2^(κ, λ +(p^-1 -q^-1)_+ )Ω^' l χ_(κ)(f, (c_12 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d). □


Теорема 1.3.5

Пусть d ∈, l ∈^d, 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤∞, 
m ∈_+^d, λ∈_+^d(m). Тогда если для функции f ∈ L_p(I^d) 
и любого непустого множества J ⊂Ν_1,d^1 функция

    1.3.44(∏_j ∈ J t_j^-λ_j -p^-1 -(p^-1 -q^-1)_+ -1) 
    (∫_(c_12 t B^d)^J∫_ (I^d)_ξ^l χ_J 
    |Δ_ξ^l χ_J f(x)|^p dx dξ^J)^1/p∈ L_1((I^d)^J),

то в L_q(I^d) имеет место равенство

    1.3.45^λ f = ∑_κ∈_+^d^λℰ_κ^d, l -,m f.


Доказательство.

В условиях теоремы 1.3.5, прежде всего, заметим, что в силу (1.3.8)
справедливо соотношение

    f -E_κ^d,l -,mf _L_p(I^d)≤
    c_23∑_j=1^d Ω^l e_j (f, c_3 2^-κ_j )_L_p(I^d)→ 0 
     при (κ) →∞.


Отсюда на основании леммы 1.3.1 заключаем, что в L_p(I^d) имеет 
место равенство

    1.3.46
    f = ∑_κ∈_+^dℰ_κ^d, l -,mf.


Далее, для функции f ∈ L_p(I^d), подчинённой условию (1.3.44), и 
каждого множества J ⊂Ν_1,d^1: J ∅, при 
κ∈_+^d: (κ) = J, ввиду (1.3.28) выполняется неравенство

    1.3.47^λℰ_κ^d, l -,mf _L_q(I^d)≤
    
    c_11(∏_j ∈ J 2^κ_j (λ_j +p^-1
    +(p^-1 -q^-1)_+)) (∫_ (c_12 2^-κ
    B^d)^J∫_ (I^d)_ξ^l χ_J |Δ_ξ^l χ_J
    f(x)|^p dx dξ^J)^1/p≤
    
    c_24∫_ (2^-κ +2^-κ I^d)^J(∏_j ∈ J t_j^-λ_j -p^-1 -(p^-1 -q^-1)_+
    -1) (∫_ (c_12 t B^d)^J∫_ (I^d)_ξ^l χ_J 
    |Δ_ξ^l χ_J f(x)|^p dx dξ^J)^1/p dt^J.


Поскольку множества (2^-κ +2^-κ I^d)^J, κ∈_+^d: (κ) = J, попарно не пересекаются и ∪_κ∈_+^d: (κ) = J (2^-κ +2^-κ I^d)^J
⊂ (I^d)^J, то из (1.3.44) и (1.3.47) вытекает, что ряд

    ∑_κ∈_+^d: (κ) = J^λℰ_κ^d,
    l -,mf _L_q(I^d)

сходится для J ⊂Ν_1,d^1: J ∅,  
а, следовательно, и ряд ∑_κ∈_+^d^λℰ_κ^d, l -,mf _L_q(I^d) сходится, и, 
значит, ряд

    ∑_κ∈_+^d^λℰ_κ^d, l -,mf

сходится в L_q(I^d).

Принимая во внимание это обстоятельство и равенство (1.3.46), для
любой функции ϕ∈ C_0^∞ (I^d) имеем

    ⟨^λ f, ϕ⟩
    = ∫_I^d (∑_κ∈_+^dℰ_κ^d, l -,mf) 
    (-1)^(λ,)^λϕ dx
    = ∫_I^d (∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d, l -,mf)) ϕ dx.


А это значит, что в L_q(I^d) верно равенство (1.3.45). □

Предложение 1.3.6

Пусть d ∈, α∈_+^d, l = l(α), 1 ≤ p < ∞, 
1 ≤ q ≤∞, m ∈_+^d, λ∈_+^d(m)
и

    α -λ -(p^-1 -q^-1)_+  >0.

Тогда для любой функции f ∈ (S_p^α H)^'(I^d) в L_q(I^d)
имеет место равенство (1.3.45).

Доказательство предложения 1.3.6 почти дословно повторяет доказательство 
соответствующего утверждения из [16].


2. Продолжения функций из (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
на всё пространство ^d
и их дифференциально-разностные свойства


2.1. В этом пункте рассматриваются подпространства кусочно-полиномиальных 
функций, обладающих свойствами полезными для получения основных результатов 
работы.  

Введём в рассмотрение следующие пространства кусочно-полиномиальных 
функций.

При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d и κ∈_+^d через 
𝒫_κ^d,l,m обозначим линейное пространство, состоящее из 
функций f: ^d ↦, для каждой из которых существует набор  
полиномов {f_ν∈𝒫^d,l, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d} 
такой, что для x ∈^d выполняется равенство

    2.1.1
    f(x) = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d f_ν(x) g_κ,ν^d,m(x).


При d ∈, m ∈^d обозначим через Q^d,m клетку
Q^d, m = -(m +) +(2m +3 ) I^d. Отметим, что при 
d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d и κ∈_+^d для 
f ∈𝒫_κ^d,l,m её носитель f ⊂ Q^d,m,
ибо g_κ,ν^d,m⊂ Q^d,m, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d. 

При d ∈ для j =1, …, d зададим множество J_j, полагая

    J_j = {1, …, j -1, j +1, …, d}.

При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, пользуясь 
тем, что полиномы f_ν∈𝒫^d,l, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, 
представляются в виде

    f_ν(x) = ∑_λ∈_+^d(l) a_λ^ν x^λ,  x ∈^d, 
    a_λ^ν∈, λ∈_+^d(l), ν∈Ν_-m, 2^κ -^d,

для функции f, задаваемой равенством (2.1.1), при j =1, …, d и
x ∈^d имеем

    2.1.2
    f(x) = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d (∑_λ∈_+^d(l)
    a_λ^ν x^λ) g_κ, ν^d,m(x) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ_j =0, …, l_j, λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j
    a_λ^ν x_j^λ_j (x^J_j)^λ^J_j) g_κ_j,
    ν_j^1, m_j(x_j) (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ_j =0, …, l_j∑_λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j
    a_λ^ν (x^J_j)^λ^J_j x_j^λ_j)
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j (∑_λ^J_j∈ 
    (_+^d(l))^J_j a_λ^ν (x^J_j)^λ^J_j))
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1∑_ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j (∑_λ^J_j∈ 
    (_+^d(l))^J_j a_λ^ν (x^J_j)^λ^J_j))
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 (∑_ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j (∑_λ^J_j∈ 
    (_+^d(l))^J_j a_λ^ν (x^J_j)^λ^J_j))
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i))) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 (∑_ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j (∑_λ^J_j∈ 
    (_+^d(l))^J_j a_λ^ν (x^J_j)^λ^J_j)
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i))) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 (∑_λ_j =0, …, l_j∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j x_j^λ_j 
    (∑_λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j a_λ^ν 
    (x^J_j)^λ^J_j) (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i))) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 (∑_λ_j =0, …, l_j 
    x_j^λ_j (∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j a_λ^ν 
    (x^J_j)^λ^J_j) (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)))) 
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 f_ν_j^j(x)
    g_κ_j, ν_j^1, m_j(x_j),

где 

    2.1.3
    f_ν_j^j(x) = ∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j 
    (∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j a_λ^ν  (x^J_j)^λ^J_j) 
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i))) = 
    ,
    ∑_λ_j =0, …, l_j x_j^λ_j 
    f_ν_j^j, λ_j(x^J_j), x ∈^d,

причём

    2.1.4
    f_ν_j^j, λ_j(x^J_j) = 
    ∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    (∑_λ^J_j∈ (_+^d(l))^J_j a_λ^ν  (x^J_j)^λ^J_j) 
    (∏_i ∈ J_j g_κ_i, ν_i^1, m_i(x_i)) ∈𝒫_κ^J_j^d -1, l^J_j, m^J_j, 
    λ_j =0, …, l_j, 
    ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1.
 

Несложно проверить, что при d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, 
κ∈_+^d отображение, которое каждому набору полиномов
{f_ν∈𝒫^d, l, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d} ставит в 
соответствие функцию f, задаваемую равенством (2.1.1), является 
изоморфизмом прямого произведения (2^κ +m)^ экземпляров пространства 
𝒫^d,l на пространство 𝒫_κ^d,l,m. Линейность и 
сюръективность этого отображения очевидны, а инъективность легко 
установить при d =1, а при произвольном d ∈: d ≥ 2, без
труда выводится по индукции относительно d с помощью (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4).

При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d обозначим через 
𝒫_κ^' d,l,m подпространство в пространстве 
непрерывных ограниченных в ^d функций, 
состоящее из тех функций f ∈𝒫_κ^d,l,m, для которых
при j =1, …, d соблюдаются равенства 

    2.1.5
    f_ν_j^j(x) = f_0^j(x),  x ∈^d,  ν_j ∈Ν_-m_j, 0^1;

и

    2.1.6
    f_ν_j^j(x) = f_2^κ_j -m_j -1^j(x),  x ∈^d, ν_j ∈Ν_2^κ_j -m_j -1, 2^κ_j -1^1,  (см.  (2.1.2), (2.1.3)).


Замечание

Если для рассматриваемых функций при некотором j =1, …, d условие 
(2.1.5) или (2.1.6) соблюдается при x ∈ Q^d,m, то оно выполняется 
при x ∈^d.

В самом деле, пусть при некотором j =1,…,d условие (2.1.5) имеет 
место при x ∈ Q^d,m, т.е. при x = (x_1, …, x_j -1, x_j, 
x_j +1, …, x_d): x^J_j∈ (Q^d,m)^J_j = Q^d -1,m^J_j и 
x_j ∈ Q^1,m_j. 
Тогда, поскольку в силу (2.1.3) для каждого x^J_j∈^d -1 верноо 
включение f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) 
∈𝒫^1,l_j, ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, то (2.1.5)
выполняется при x^J_j∈ Q^d -1,m^J_j и x_j ∈.
Отсюда, пользуясь тем, что ввиду (2.1.3), (2.1.4) при любом фиксированном 
x_j ∈ функция f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, x_j, 
x_j +1, …, x_d) ∈𝒫_κ^J_j^d -1, l^J_j, m^J_j, 
а, значит, f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, x_j, x_j +1, …, x_d) ⊂ 
Q^d -1,m^J_j, ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1.
заключаем, что (2.1.5) имеет место при x_j ∈, x^J_j∈^d -1,  
или x ∈^d. Точно так же устанавливается справедливость замечания 
в отношении условия (2.1.6).

Лемма 2.1.1 
 
При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d для того, чтобы 
для функции f: ^d ↦ имело место включение 
f ∈𝒫_κ^' d,l,m, 
необходимо и достаточно, чтобы f ∈𝒫_κ^d,l,m и при 
j =1, …, d для каждой точки 
(x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d) ∈^d -1 соблюдалось включение

    2.1.7 
    f(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) ∈𝒫_κ_j^' 1, l_j, m_j.
 
    
Доказательство.

Если f ∈𝒫_κ^' d,l,m, то f ∈𝒫_κ^d,l,m
и в силу (2.1.2), (2.1.3), (2.1.5), (2.1.6) при j =1, …, d для 
каждой точки (x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d) ∈^d -1 
на  выполняется равенство

    2.1.8
    f(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) = ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, ·, 
    x_j +1, …, x_d) g_κ_j, ν_j^1, m_j(·),

а при ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 имеет место включение 

    2.1.9 
    f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) ∈𝒫^1, l_j,
 
и соблюдаются равенства

    2.1.10
    f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) = 
    f_0^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d),  ν_j ∈Ν_-m_j, 0^1;

и

    2.1.11
    f_ν_j^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) = 
    
    f_2^κ_j -m_j -1^j(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d),  ν_j ∈Ν_2^κ_j -m_j -1, 2^κ_j -1^1,

т.е. f(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d) ∈𝒫_κ_j^' 1, l_j, m_j. 

Обратно, если f ∈𝒫_κ^d,l,m и при 
j =1, …, d для каждой точки 
(x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d) ∈^d -1 
справедливо включение (2.1.7), то, рассматривая представления 
(2.1.2), (2.1.3), заключаем, что при j  =1, …, d для каждой точки 
(x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d) ∈^d -1 выполняются 
соотношения (2.1.8), (2.1.9), (2.1.10), (2.1.11), т.е. соблюдаются равенства 
(2.1.5), (2.1.6), тем самым, верно включение
f ∈𝒫_κ^' d, l, m. □
 
Лемма 2.1.2   

Пусть l ∈_+, m ∈, λ∈_+^1(m), 1 ≤ q ≤∞. Тогда 
существуют константы c_1(l,m,λ,q) > 0, c_2(l,m,λ,q) > 0, 
c_3(l,m,λ,q) > 0 такие, что для f ∈𝒫_0^' 1, l, m 
справедливы неравенства

    2.1.12^λ f _L_q(-m +(m +1) I)≤ c_1  f _L_q(I);


    2.1.13^λ f _L_q((m +1) I)≤ c_2  f _L_q(I),

а для f ∈𝒫_0^1, l, m выполняется неравенство

    2.1.14^λ f _L_q(I)≤ c_3  f _L_q(I).


Доказательство.

Заметим, что в условиях леммы функционал f _L_q(I), f ∈𝒫_0^' 1, l, m, является нормой на 𝒫_0^' 1,l,m.
То, что этот функционал является полунормой на 𝒫_0^' 1, l, m, 
очевидно. Проверим, что если для f ∈𝒫_0^' 1, l, m 
значение f _L_q(I) = 0, то f =0. Пусть для f ∈𝒫_0^' 1, l, m выполнено равенство f _L_q(I) = 0. 
Тогда для x ∈ I справедливо равенство f(x) =0. Отсюда, учитывая, 
что в силу (1.3.4), (2.1.5), (2.1.6)  для x ∈ I имеет место соотношение 
0 = f(x) = ∑_ν∈Ν_-m,0^1 f_0(x) g_0, ν^1,m(x) =
f_0(x) ∑_ν∈Ν_-m,0^1 g_0, ν^1,m(x) = f_0(x),   
f_0 ∈𝒫^1,l. 
Следовательно, f_0(x) =0 для x ∈, и, значит, 
f(x) = ∑_ν∈Ν_-m,0^1 f_0(x) g_0, ν^1,m(x) =0 для x ∈.

Теперь, принимая во внимание, что линейное отображение конечномерного 
нормированного пространства в нормированное пространство является 
непрерывным, заключаем, что для отображения

    𝒫_0^' 1,l,m∩ L_q(I) ∋ f ↦ (^λ f) |_-m +(m +1) I∈
    L_q(-m +(m +1) I),  λ∈_+^1(m), 1 ≤ q ≤∞,

существует константа c_1(l,m,λ,q) > 0 такая, что для 
f ∈𝒫_0^' 1, l, m 
соблюдается неравенство (2.1.12).

Точно так же устанавливается справедливость (2.1.13).

В силу тех же соображений получаем, что для отображения

    { F |_I: F ∈𝒫_0^1,l,m}∩ L_q(I) ∋ f |_I ↦^λ (f |_I) ∈ L_q(I),  λ∈_+^1(m), 1 ≤ q ≤∞,

существует константа c_3(l,m,λ,q) > 0 такая, что для 
f ∈𝒫_0^1, l, m выполняется неравенство (2.1.14). □

Предложение 2.1.3

Пусть d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, λ∈_+^d(m), 
1 ≤ q ≤∞. Тогда существует константа c_4(d,l,m,λ,q) >0 
такая, что при κ∈_+^d для f ∈𝒫_κ^' d,l,m 
имеет место неравенство

    2.1.15^λ f _L_q(^d)≤ c_4 2^(κ, λ) f _L_q(I^d).


Доказательство.

Справедливость предложения установим по индукции относительно d. Сначала 
проверим соблюдение (2.1.15) при d =1. 

При l ∈_+, m ∈, λ∈_+^1(m), κ∈_+,  
1 ≤ q ≤∞ Для f ∈𝒫_κ^' 1,l,m, 
благодаря свойствам функции ψ^1,m, имеем

    2.1.16^λ f _L_q()^q = ∫_ | ^λ f |^q dx =
    ∫_ | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    g_κ, ν^1, m(x))|^q dx = 
    ∫_-2^-κ m^1 +2^-κ m 
    | ^λ (∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx =
    ∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx +
    ∑_ν^'∈Ν_1, 2^κ -2^1∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx +
    ∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx =
    ∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 0^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx +
    ∑_ν^'∈Ν_1, 2^κ -2^1∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ^λ(∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx +
    ∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx.


Оценим слагаемые в правой части (2.1.16). Для этого, выбирая с учётом 
(2.1.5) полином F_0 ∈𝒫^1, l такой, что при 
ν∈Ν_-m, 0^1 соблюдается равенство f_ν(x) = F_0(2^κ x),   
x ∈, после дифференцирования, 
замены переменной в интеграле, применения (2.1.12) и обратной замены переменной в интеграле получаем

    2.1.17∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_-m, 0^1 f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx =
    ∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I | d^λ/dx^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_0(2^κ x) ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx =
    ∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_0(y) ψ^1,m(y -ν)) 
    |_y = 2^κ x 2^κλ |^q dx =
    
    2^κλ q∫_-2^-κ m +2^-κ (m +1) I 
    | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_0(y) g_0, ν^1,m(y)) 
    |_y = 2^κ x |^q dx =
    
    2^κλ q∫_-m +(m +1) I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_0(y) g_0, ν^1,m(y))|^q 2^-κ dy ≤
    
    2^κλ q 2^-κ c_1^q  ∫_I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 
    F_0(y) g_0, ν^1,m(y)|^q dy =
    
    c_1^q 2^κλ q 2^-κ∫_I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 
    F_0(y) ψ^1,m(y -ν)|^q dy =
    
    c_1^q 2^κλ q 2^-κ∫_2^-κ I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 
    F_0(2^κ x) ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q 2^κ dx =
    
    c_1^q 2^κλ q∫_2^-κ I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 
    f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx.


Далее, так же подбирая полином ℱ_0 ∈𝒫^1,l, 
для которого ввиду (2.1.6) при ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1 
выполняется равенство f_ν(x) = ℱ_0(2^κ x -2^κ +1), 
проводя дифференцирование, делая замену переменной в интеграле, используя 
(2.1.13) и ещё раз делая замену переменной в интеграле, выводим

    2.1.18∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I 
    | ^λ(∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx =
    ∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I | d^λ/dx^λ
    (∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1ℱ_0(2^κ x 
    -2^κ +1) ψ^1,m(2^κ x -2^κ +1 -(ν -2^κ +1)))|^q dx =
    ∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I | d^λ/dx^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(2^κ x -2^κ +1) 
    ψ^1,m(2^κ x -2^κ +1 -ν))|^q dx =
    ∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(y) 
    ψ^1,m(y -ν)) |_y = 2^κ x -2^κ +1 2^κλ|^q dx =
    
    2^κλ q∫_1 -2^-κ +2^-κ (m +1) I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(y) 
    g_0, ν^1,m(y)) |_y = 2^κ x -2^κ +1 |^q dx =
    
    2^κλ q∫_(m +1) I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(y) g_0, ν^1,m(y)) |^q 2^-κ dy ≤
    
    2^κλ q 2^-κ c_2^q
    ∫_I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(y) g_0, ν^1,m(y)|^q dy =
    
    c_2^q 2^κλ q 2^-κ∫_I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(y) ψ^1,m(y -ν)|^q dy =
    
    c_2^q 2^κλ q 2^-κ∫_1 -2^-κ +2^-κ I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1ℱ_0(2^κ x -2^κ +1) 
    ψ^1,m(2^κ x -(ν +2^κ -1))|^q 2^κ dx =
    
    c_2^q 2^κλ q∫_1 -2^-κ +2^-κ I | ∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1ℱ_0(2^κ x -2^κ +1) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx =
    
    c_2^q 2^κλ q∫_1 -2^-κ +2^-κ I | ∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1 
    f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx.


Наконец, при ν^'∈Ν_1, 2^κ -2^1 и ν∈ν^' +
Ν_-m, 0^1, беря полином F_ν^ν^'∈𝒫^1, l 
такой,  что имеет место равенство 
f_ν(x) = F_ν^ν^'(2^κ x -ν^'), x ∈,
как и выше, проводя дифференцирование, замены переменных в интегралах и 
пользуясь (2.1.14), приходим к неравенству

    2.1.19∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ^λ(∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν))|^q dx = 
    ∫_2^-κν^' +2^-κ I | d^λ/dx^λ
    (∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 F_ν^ν^'(2^κ x -ν^') 
    ψ^1,m(2^κ x -ν^' -(ν -ν^')))|^q dx = 
    ∫_2^-κν^' +2^-κ I | d^λ/dx^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(2^κ x -ν^') 
    ψ^1,m(2^κ x -ν^' -ν))|^q dx = 
    ∫_2^-κν^' +2^-κ I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(y) 
    ψ^1,m(y -ν)) |_y = 2^κ x -ν^' 2^κλ|^q dx =
    
    2^κλ q∫_I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(y) 
    ψ^1,m(y -ν))|^q 2^-κ dy = 
    
    2^κλ q 2^-κ∫_I | d^λ/dy^λ
    (∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(y) 
    g_0, ν^1,m(y))|^q dy ≤
    
    2^κλ q 2^-κ c_3^q ∫_I
    | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(y) 
    g_0, ν^1,m(y)|^q dy = 
    
    c_3^q 2^κλ q 2^-κ∫_I
    | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(y) 
    ψ^1,m(y -ν)|^q dy = 
    
    c_3^q 2^κλ q 2^-κ∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(2^κ x -ν^') 
    ψ^1,m(2^κ x -ν^' -ν)|^q 2^κ dx = 
    
    c_3^q 2^κλ q∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 F_ν^' +ν^ν^'(2^κ x -ν^') 
    ψ^1,m(2^κ x -(ν^' +ν))|^q dx = 
    
    c_3^q 2^κλ q∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 F_ν^ν^'(2^κ x -ν^') 
    ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx = 
    
    c_3^q 2^κλ q∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx.

 
Объединяя (2.1.16), (2.1.17), (2.1.18), (2.1.19) и учитывая (1.3.3), находим, 
что для f ∈𝒫_κ^' 1,l,m справедливо неравенство 

    2.1.20^λ f _L_q()^q ≤ 
    c_1^q 2^κλ q∫_2^-κ I | ∑_ν∈Ν_-m, 0^1 
    f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx + 
    ∑_ν^'∈Ν_1, 2^κ -2^1 
    c_3^q 2^κλ q∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx + 
    
    c_2^q 2^κλ q∫_1 -2^-κ +2^-κ I 
    | ∑_ν∈Ν_2^κ -m -1, 2^κ -1^1 
    f_ν(x) ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx ≤
    
    c_4^q 2^κλ q∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -1^1∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈ν^' +Ν_-m, 0^1 f_ν(x) 
    ψ^1,m(2^κ x -ν)|^q dx = 
    
    c_4^q 2^κλ q∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -1^1∫_2^-κν^' +2^-κ I
    | ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -1^1 f_ν(x) 
    g_κ, ν^1,m(x)|^q dx = 
    
    c_4^q 2^κλ q∑_ν^'∈Ν_0, 2^κ -1^1∫_2^-κν^' +2^-κ I | f(x)|^q dx = 
    
    c_4^q 2^κλ q∫_I | f(x)|^q dx =
    (c_4 2^κλ f _L_q(I))^q.

Из (2.1.20) следует (2.1.15) при d =1. 

Предположим, что при d ∈: d ≥ 2. предложение справедливо для 
размерности d -1 вместо d. Покажем, что тогда оно верно и для 
размерности d. Для этого в силу 
теоремы Фубини для f ∈𝒫_κ^' d,l,m, λ∈_+^d(m) имеем

    2.1.21^λ f _L_q(^d)^q =  
    ∫_^d | ^λ f(x)|^q dx = 
    ∫_^d -1∫_ | ^λ f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d
    dx_1 … dx_d -1 = 
    ∫_^d -1∫_ | (^λ e_d (^λχ_J_d 
    f))(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d dx_1 … dx_d -1.
  

Далее, используя (2.1.2), при (x_1, …, x_d -1, x_d) ∈^d 
получаем

    (^λχ_J_d f)(x_1, …, x_d -1, x_d) =
    ^λχ_J_d (∑_ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1 
    f_ν_d^d(x_1, …, x_d -1, x_d) g_κ_d, ν_d^1, m_d(x_d)) = 
    ∑_ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1^λχ_J_d 
    (f_ν_d^d(x_1, …, x_d -1, x_d) g_κ_d, ν_d^1, m_d(x_d)) = 
    ∑_ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1 
    (^λχ_J_d f_ν_d^d)(x_1, …, x_d -1, x_d)
    g_κ_d, ν_d^1, m_d(x_d).


Отсюда, принимая во внимание, что при ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1 
в каждой точке (x_1, …, x_d -1) ∈^d -1 в силу (2.1.3), (2.1.4)
выполняется соотношение

    (^λχ_J_d f_ν_d^d)(x_1, …, x_d -1, x_d) =
    ^λχ_J_d (∑_μ_d =0, …, l_d x_d^μ_d 
    f_ν_d^d, μ_d(x^J_d)) = 
    ∑_μ_d =0, …, l_d^λχ_J_d (x_d^μ_d 
    f_ν_d^d, μ_d(x^J_d)) = 
    ∑_μ_d =0, …, l_d x_d^μ_d
    (^λχ_J_d f_ν_d^d, μ_d)(x^J_d) ∈𝒫^1, l_d,

где

    f_ν_d^d, μ_d(x^J_d) ∈𝒫_κ^J_d^d -1, l^J_d, m^J_d,  μ_d =0, …, l_d, ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1,
 
и, благодаря (2.1.5), (2.1.6), для всех (x_1, …, x_d -1) ∈^d -1 при любом x_d ∈ соблюдаются равенства

    (^λχ_J_d f_ν_d^d)(x_1, …, x_d -1, x_d) =
    (^λχ_J_d f_0^d)(x_1, …, x_d -1, x_d),  ν_d ∈Ν_-m_d, 0^1; 
    
    (^λχ_J_d f_ν_d^d)(x_1, …, x_d -1, x_d) =
    (^λχ_J_d f_2^κ_d -m_d -1^d)(x_1, …, x_d -1, x_d),  ν_d ∈Ν_2^κ_d -m_d -1, 2^κ_d -1^1,

заключаем, что для (x_1, …, x_d -1) ∈^d -1 функция 

    (^λχ_J_d f)(x_1, …, x_d -1, ·) = 
    
    (∑_ν_d ∈Ν_-m_d, 2^κ_d -1^1 
    (^λχ_J_d f_ν_d^d)(x_1, …, x_d -1, ·)
    g_κ_d, ν_d^1, m_d(·)) ∈𝒫_κ_d^' 1, l_d, m_d.

Поэтому, используя (2.1.15) при d =1, для (x_1, …, x_d -1) ∈^d -1 имеем оценку

    ∫_ | (^λ e_d (^λχ_J_d 
    f))(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d = 
    ∫_ | ^λ_d/ x_d^λ_d (^λχ_J_d 
    f)(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d ≤
     
    (c_4(1, l_d, m_d, λ_d, q))^q
    2^κ_d λ_d q∫_I | ^λχ_J_d 
    f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d.

Подставляя эту оценку в (2.1.21) и применяя теорему Фубини, находим, что

    2.1.22^λ f _L_q(^d)^q ≤
    ∫_^d -1 (c_4(1, l_d, m_d, λ_d, q))^q 2^κ_d λ_d q∫_I | ^λχ_J_d 
    f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_d dx_1 … dx_d -1 = 
     
    (c_4(1, l_d, m_d, λ_d, q))^q 2^κ_d λ_d q∫_I ∫_^d -1 
    | ^λχ_J_d f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1 dx_d.

  
Теперь заметим, что для f ∈𝒫_κ^' d, l, m при 
x_d ∈ I ввиду (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) функция 

    f(x_1, …, x_d -1, x_d) ∈𝒫_κ^J_d^d -1, l^J_d, m^J_d,

и для каждого x_d ∈ I при j =1, …, d -1 для любых 
(x_1, …, x_j -1, x_j +1, …, x_d -1) ∈^d -2 
в соответствии с леммой 2.1.1 справедливо включение (2.1.7), а именно, 

    f(x_1, …, x_j -1, ·, x_j +1, …, x_d -1, x_d) ∈𝒫_κ_j^' 1, l_j, m_j,
 
и, значит, в силу леммы 2.1.1 при x_d ∈ I функция 

    f(x_1, …, x_d -1, x_d) ∈𝒫_κ^J_d^' d -1, l^J_d, m^J_d.

Учитывая это обстоятельство, на основании предположения индукции 
получаем, что для x_d ∈ I выполняется неравенство

    ∫_^d -1 | ^λχ_J_d 
    f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1 = 
    ∫_^d -1 | ^λ^J_d 
    f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1≤
     
    (c_4(d -1, l^J_d, m^J_d, λ^J_d, q))^q
    2^(κ^J_d, λ^J_d) q∫_I^d -1 | f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1.

Подставляя эту оценку в (2.1.22), приходим к неравенству

    ^λ f _L_q(^d)^q ≤
    (c_4(1, l_d, m_d, λ_d, q))^q 2^κ_d λ_d q
    ×∫_I (c_4(d -1, l^J_d, m^J_d, λ^J_d, q))^q
    2^(κ^J_d, λ^J_d) q∫_I^d -1 
    | f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1 dx_d = 
    
    (c_4(1, l_d, m_d, λ_d, q))^q 2^κ_d λ_d q 
    (c_4(d -1, l^J_d, m^J_d, λ^J_d, q))^q
    2^(κ^J_d, λ^J_d) q
    ×∫_I ∫_I^d -1 
    | f(x_1, …, x_d -1, x_d)|^q dx_1 … dx_d -1 dx_d = 
    
    (c_4(d, l, m, λ, q))^q 2^(κ, λ) q∫_I^d | f(x)|^q dx,

из которого вытекает 

    ^λ f _L_q(^d)≤ c_4 2^(κ, λ) f _L_q(I^d),

что совпадает с (2.1.15). □


2.2. В этом пункте вводятся в рассмотрение линейные операторы, 
используемые в следующем пункте для доказательства основного результата 
работы.

При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, 
ν∈Ν_0, 2^κ -^d определим линейный оператор 

    𝒮_κ, ν^d, l, m,: L^(^d) ↦ L_∞(^d),

полагая для f ∈ L^(^d) значение

    2.2.1
    (𝒮_κ, ν^d, l, m,  f)(x) = 
    χ_Q^d, m(x) (P_δ, x^0^d, l(f |_x^0 +δ I^d))(x),  x ∈^d,

при δ = 2^-κ, x^0 = 2^-κν.

Ясно, что при d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, 
ν∈Ν_0, 2^κ -^d, 1 ≤ p ≤∞ сужение отображения 
𝒮_κ, ν^d,l,m, на пространство L_p(^d) 
принадлежит ℬ(L_p(^d), L_p(^d)).  
Из (1.2.8) вытекает, что при d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, 
κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d, 1 ≤ p < ∞ 
для f ∈ L_p(^d) имеет место равенство

    2.2.2𝒮_κ, ν^d,l,m, f = 
    (∏_j =1^d V_j(𝒮_κ_j, ν_j^1, l_j, m_j,)) f.


При d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d определим 
линейный оператор ℰ_κ^d,l,m,: L^(^d) ↦𝒫_κ^d,l,m, полагая для f ∈ L^(^d) значение 


    2.2.3
    (ℰ_κ^d,l,m, f)(x) 
    = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d g_κ, ν^d,m(x)
    (U_κ,ν^d,l,m, f)(x),  x ∈^d,


где 
U_κ,ν^d,l,m,: L^(^d) ↦ L_∞(^d) – 
линейный оператор, значение которого для f ∈ L^(^d) определяется
равенством

    2.2.4
    U_κ,ν^d,l,m, f = ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_j ∈(ϵ)
    a_ν_j -2ρ_j^m_j) (𝒮_κ -ϵ,
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l,m, f), 
    
    d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, 
    ν∈Ν_-m, 2^κ -^d  ср. с  (1.3.21)).


Как и выше, при d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, 1 ≤ p ≤∞ справедливы включения

    U_κ,ν^d,l,m,|_L_p(^d)∈ℬ(L_p(^d), L_p(^d)), 
    ℰ_κ^d,l,m,|_L_p(^d)∈ℬ(L_p(^d), L_p(^d)).
  

Обозначая через ℐ отображение, которое каждой функции 
f, заданной на I^d, сопоставляет функцию ℐ f, определяемую 
на ^d равенством

    (ℐ f)(x) =  f(x),  при  x ∈ I^d; 
    
    0,  при  x ∈^d ∖ I^d,

заметим, что для f ∈ L_1(I^d) при x ∈ I^d с учётом (2.2.1) 
выполняется равенство

    (𝒮_κ, ν^d,l,m,(ℐ f))(x) = χ_Q^d,m(x) 
    (P_2^-κ, 2^-κν^d, l((ℐ f) 
    |_2^-κν +2^-κ I^d))(x) = 
     
    (P_2^-κ, 2^-κν^d, l(f |_2^-κν +2^-κ I^d))(x) = 
    (𝒮_κ, ν^d,l f)(x),  
    
    d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, ν∈Ν_0, 2^κ -^d.

  
Отсюда и из (2.2.4), (1.3.21) вытекает, что при d ∈, l ∈_+^d, 
m ∈^d, κ∈_+^d, ν∈Ν_-m, 2^κ -^d 
для f ∈ L_1(I^d), x ∈ I^d соблюдается равенство

    (U_κ,ν^d,l,m,(ℐ f))(x) = (U_κ,ν^d,l,m f)(x),

что в силу (2.2.3), (1.3.20) влечёт равенство

    2.2.5
    (ℰ_κ^d,l,m,(ℐ f))(x) = (ℰ_κ^d,l,m f)(x).


Теперь установим справедливость следующего утверждения.

Лемма 2.2.1

Пусть d ∈, l ∈_+^d, m ∈^d, κ∈_+^d, 
1 ≤ p < ∞. Тогда для f ∈ L_p(^d) справедливо включение

    2.2.6
    (ℰ_κ^d,l,m, f) ∈𝒫_κ^' d,l,m.


Доказательство.

В условиях леммы для f ∈ L_p(^d), принимая во внимание (2.2.1), (2.2.4), 
при ν∈Ν_-m, 2^κ -^d выберем полином 
𝒰_κ,ν^d,l,m f ∈𝒫^d,l, для которого при 
x ∈ Q^d,m соблюдается равенство
(𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) =
(U_κ,ν^d,l,m, f)(x).  
Отсюда с учётом (2.2.3) и того факта, что g_κ,ν^d,m⊂ 
Q^d,m,  ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, при j =1, …, d 
для x ∈^d имеем

    2.2.7
    (ℰ_κ^d,l,m, f)(x) 
    = ∑_ν∈Ν_-m, 2^κ -^d g_κ, ν^d,m(x)
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, ν^J_j∈ 
    (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    g_κ_j, ν_j^1,m_j(x_j)
    g_κ^J_j, ν^J_j^d -1,m^J_j(x^J_j)
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    g_κ_j, ν_j^1,m_j(x_j)
    g_κ^J_j, ν^J_j^d -1,m^J_j(x^J_j)
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1
    g_κ_j, ν_j^1,m_j(x_j)
    (∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    g_κ^J_j, ν^J_j^d -1,m^J_j(x^J_j)
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x)) = 
    ∑_ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1
    g_κ_j, ν_j^1,m_j(x_j) f_ν_j^j(x),

где

    2.2.8
    f_ν_j^j(x) =
    ∑_ν^J_j∈ (Ν_-m, 2^κ -^d)^J_j 
    g_κ^J_j, ν^J_j^d -1,m^J_j(x^J_j)
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x),  ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1.


Сопоставляя (2.2.7), (2.2.8) с (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) и учитывая замечание 
перед леммой 2.1.1, для каждого j =1, …, d проверим соблюдение условий 
(2.1.5), (2.1.6) при x ∈ Q^d,m для функций f_ν_j^j, задаваемых 
равенствами (2.2.8).

Сначала рассмотрим случай, когда j ∈(κ). В этом случае при 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, x ∈ Q^d,m, используя (2.2.4), 
(2.2.2), (1.2.4), выводим

    2.2.9   
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    (U_κ,ν^d,l,m, f)(x) = 
    ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_i ∈(ϵ)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (𝒮_κ -ϵ,
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l,m, f)(x) = 
    ∑_(ϵ_j, ϵ^J_j) |ϵ_j ∈{0, 1}, 
    ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-1)^ϵ_j (-^J_j)^ϵ^J_j∑_ (ρ_j, 
    ρ^J_j): ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,ϵ_j^1,m_j,
    ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) 
    ×(V_j(𝒮_κ_j -ϵ_j,
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)∑_ϵ_j =0^1 (-1)^ϵ_j (-^J_j)^ϵ^J_j∑_ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,ϵ_j^1,m_j∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i)
    ×(V_j(𝒮_κ_j -ϵ_j,
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i)
    ×(V_j(𝒮_κ_j,
    ν_κ_j^1,m_j(ν_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) - 
    ∑_ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j a_ν_j -2ρ_j^m_j∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) 
    ×(V_j(𝒮_κ_j -1, 
    ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x)) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j((V_j(𝒮_κ_j, ν_κ_j^1,m_j(ν_j)^1,l_j,m_j,) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) - 
    ∑_ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j a_ν_j -2ρ_j^m_j(V_j(𝒮_κ_j -1, ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,m_j,)
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x)).
 

Замечая, что при ν_j ∈Ν_-m_j,0^1 значение 

    ν_κ_j^1,m_j(ν_j) = (2^κ_j -m_j -1)_+ -(2^κ_j -m_j -1 -ν_+ j)_+ =
    (2^κ_j -m_j -1)_+ -(2^κ_j -m_j -1 -0)_+ =0,

а при ν_j ∈Ν_-m_j,0^1, ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j 
имеют место соотношения

    -m_j ≤ρ_j = (ν_j -μ_j) /2 ≤ (0 -0) /2 =0, 
    гдеμ_j ∈Ν_0, m_j +1^1,

и, значит,

    ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j) = (2^κ_j -1 -m_j -1)_+ -(2^κ_j -1 -m_j -1 -ρ_+ j)_+ =0,

заключаем, что для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d: ν_j ∈Ν_-m_j,0^1, 
в соответствии с (2.2.9), (1.3.5) имеет место равенство

    2.2.10
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j((V_j(𝒮_κ_j, 0^1,l_j,m_j,) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) - 
    (∑_ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j a_ν_j -2ρ_j^m_j) 
    (V_j(𝒮_κ_j -1, 0^1,l_j,m_j,) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x)) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j((V_j(𝒮_κ_j, 0^1,l_j,m_j,) -
    V_j(𝒮_κ_j -1, 0^1,l_j,m_j,)) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x),  x ∈ Q^d,m.

Соединяя (2.2.8) и (2.2.10), видим, что соблюдается (2.1.5) при 
x ∈ Q^d,m, j ∈(κ).

Кроме того, принимая во внимание, что при ν_j ∈Ν_2^κ_j -m_j -1, 
2^κ_j -1^1 значение 

    ν_κ_j^1,m_j(ν_j) = (2^κ_j -m_j -1)_+ -(2^κ_j -m_j -1 -ν_+ j)_+ =
    (2^κ_j -m_j -1)_+,

а при ν_j ∈Ν_2^κ_j -m_j -1, 2^κ_j -1^1,  
ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j, справедливо 
соотношение

    2^κ_j -1 -1 ≥ρ_j = (ν_j -μ_j) /2 ≥ (2^κ_j -m_j -1 
    -(m_j +1)) /2 = 2^κ_j -1 -m_j -1, 
    где μ_j ∈Ν_0, m_j +1^1,

и, следовательно,

    ν_κ_j -1^1,m_j(ρ_j) = (2^κ_j -1 -m_j -1)_+ -(2^κ_j -1 -m_j -1 -ρ_+ j)_+ = 
    (2^κ_j -1 -m_j -1)_+,

получаем, что для ν∈Ν_-m, 2^κ -^d: ν_j ∈Ν_2^κ_j -m_j -1, 2^κ_j -1^1, 
согласно (2.2.9), (1.3.5), соблюдается равенство

    2.2.11
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j((V_j(𝒮_κ_j, (2^κ_j -m_j -1)_+^1,l_j,m_j,) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) - 
    (∑_ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,1^1,m_j a_ν_j -2ρ_j^m_j) 
    (V_j(𝒮_κ_j -1, (2^κ_j -1 -m_j -1)_+^1,l_j,m_j,) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x)) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j((V_j(𝒮_κ_j, (2^κ_j -m_j -1)_+^1,l_j,m_j,) -
    V_j(𝒮_κ_j -1, (2^κ_j -1 -m_j -1)_+^1,l_j,m_j,)) 
    ×(∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x),  x ∈ Q^d,m.


Соединяя (2.2.8) с (2.2.11), приходим к выводу, что имеет место (2.1.6) при 
x ∈ Q^d,m, j ∈(κ).

Теперь установим соблюдение условий (2.1.5), (2.1.6) при x ∈ Q^d,m
для функций f_ν_j^j, задаваемых равенствами (2.2.8), в случае, когда 
j ∈Ν_1, d^1 ∖(κ), т.е. κ_j =0. 
В этом случае Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1 = Ν_-m_j, 0^1 = 
Ν_2^κ_j -m_j -1, 2^κ_j -1^1, и при 
ν∈Ν_-m, 2^κ -^d, x ∈ Q^d,m, используя (2.2.4), 
(2.2.2), (1.2.4) и учитывая, что Ρ_κ_j,ν_j,ϵ_j^1,m_j =
Ρ_0,ν_j,0^1,m_j = {ν_j}, ν_0^1,m_j(ν_j) = 
(1 -m_j -1)_+ -(1 -m_j -1 -ν_+ j)_+ =0,  ν_j ∈Ν_-m_j, 2^κ_j -1^1, 
имеем

    2.2.12
    (𝒰_κ,ν^d,l,m f)(x) = 
    (U_κ,ν^d,l,m, f)(x) = 
    ∑_ϵ∈Υ^d:
    (ϵ) ⊂(κ) (-)^ϵ∑_ρ∈Ρ_κ,ν,ϵ^d,m (∏_i ∈(ϵ)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) (𝒮_κ -ϵ,
    ν_κ -ϵ^d,m(ρ)^d,l,m, f)(x) = 
    ∑_(ϵ_j, ϵ^J_j) |ϵ_j =0, 
    ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-1)^ϵ_j 
    (-^J_j)^ϵ^J_j∑_ (ρ_j, ρ^J_j): 
    ρ_j ∈Ρ_κ_j,ν_j,ϵ_j^1,m_j,
    ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) 
    ×(V_j(𝒮_κ_j -ϵ_j,
    ν_κ_j -ϵ_j^1,m_j(ρ_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) 
    ×(V_j(𝒮_κ_j,
    ν_κ_j^1,m_j(ν_j)^1,l_j,m_j,) ((∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j(V_j(𝒮_0, ν_0^1,m_j(ν_j)^1,l_j,m_j,) 
    (∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i)
    × (∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x) = 
    ∑_ϵ^J_j∈ (Υ^d)^J_j:
    (ϵ^J_j) ⊂(κ^J_j)
    (-^J_j)^ϵ^J_j(V_j(𝒮_0, 0^1,l_j,m_j,) 
    (∑_ρ^J_j∈Ρ_κ^J_j,ν^J_j,ϵ^J_j^d -1,m^J_j 
    (∏_i ∈(ϵ^J_j)
    a_ν_i -2ρ_i^m_i) 
    ×(∏_i ∈ J_j 
    V_i(𝒮_κ_i -ϵ_i,
    ν_κ_i -ϵ_i^1,m_i(ρ_i)^1,l_i,m_i,)) f))(x).
 

Объединяя (2.2.8) и (2.2.12), заключаем, что для рассматриваемых функций условия 
(2.1.5) и (2.1.6) выполняются при x ∈ Q^d,m в случае 
j ∈Ν_1, d^1 ∖(κ). □

Предложение 2.2.2

Пусть d ∈, l ∈^d, m ∈^d, λ∈_+^d(m), 
1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤∞. 
Тогда существуют константы c_1(d,l,m,λ,p,q) > 0, c_2(d,m) > 0 
такие, что при κ∈_+^d для f ∈ L_p(I^d) имеет место 
неравенство

    2.2.13^λℰ_κ^d,l -,m, (ℐ f) _L_q(^d)≤
    c_1 2^(κ, λ +(p^-1 -q^-1)_+ )
    Ω^' l χ_(κ)(f, (c_2 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d).


Доказательство.

На основании (2.2.6) применяя (2.1.15), а затем используя (2.2.5), (1.3.43), 
получаем, что в условиях предложения для f ∈ L_p(I^d) при 
κ∈_+^d справедливо неравенство

    ^λℰ_κ^d,l -,m, (ℐ f) _L_q(^d)≤ 
    c_3 2^(κ, λ)ℰ_κ^d,l -,m, (ℐ f) _L_q(I^d) = 
    
    c_3 2^(κ, λ)ℰ_κ^d,l -,m (f) _L_q(I^d)≤
    c_3 2^(κ, λ) c_4 2^(κ, (p^-1 -q^-1)_+ )Ω^' l χ_(κ)(f, (c_2 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) = 
    
    c_1 2^(κ, λ +(p^-1 -q^-1)_+ )Ω^' l χ_(κ)(f, (c_2 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d). □



2.3. В этом пункте доказывается основной результат работы

Теорема 2.3.1

Пусть d ∈, α∈_+^d, l = l(α), 1 ≤ p < ∞, 
1 ≤θ≤∞. Тогда существует непрерывное линейное отображение 
ℰ^d,α,p,θ: (S_p,θ^α B)^'(I^d) ↦ L_p(^d),  
обладающее следующими свойствами: 

1) для f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) выполняется равенство

    2.3.1
    f = (ℰ^d,α,p,θ f) |_I^d,
 

2) существует константа C(d,α,p,θ) >0 такая, что 
при λ∈_+^d: λ < α, для f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
и любого множества J ⊂{1,…,d} верно неравенство

    2.3.2(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J) 
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ (ℰ^d,α,p,θ f), 
    t^J)_L_p(^d))^θ dt^J)^1/θ≤
    
    C  f_(S_p,θ^α B)^'(I^d),  θ∞; 
    sup_t^J ∈ (_+^d)^J (t^J)^-(α^J -λ^J)Ω^(l -λ) χ_J(^λ (ℰ^d,α,p,θ f), 
    t^J)_L_p(^d)≤
    
     C  f_(S_p,θ^α B)^'(I^d),  θ = ∞.


Доказательство.

Проведём доказательство при θ∞.
В условиях теоремы фиксируем m ∈^d так, чтобы l ∈_+^d(m). 
Ориентируясь на выкладку перед (1.1.8), так же, как (2.2.7) из [12], выводится 
используемое ниже соотношение 

    2.3.3∑_κ∈_+^d ∖{0} (2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f,
    c_0 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ≤
    
    c_1(d,α,p,θ,c_0) ∑_ J ⊂Ν_1,d^1: J ∅∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θα^J (Ω^' l χ_J(f,
    t^J)_L_p(I^d))^θ dt^J, 
     
    f ∈ (S_p, θ^α B)^'(I^d), c_0 ∈_+.


Для построения оператора ℰ^d, α, p, θ с требуемыми
свойствами заметим, что для f ∈ (S_p, θ^α B)^'(I^d) при 
λ∈_+^d: λ < α, ряд 

    ∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d,l -,m, 
    (ℐ f))_L_p(^d)

сходится, ибо в силу (2.2.13), неравенства Гёльдера, а также 
соотношений (2.3.3) и (1.1.1) при a = 1/θ имеет место неравенство

    2.3.4∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) _L_p(^d)≤
    ∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k c_2 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, (c_3 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) = 
    ∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k 2^-(κ, α -λ) 
    2^(κ, α) c_2 
    Ω^' l χ_(κ)(f, (c_3 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d)≤
    
     c_2 ( ∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k
    2^-θ^' (κ, α -λ))^1 / θ^'(∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k (2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, (c_3 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ)^1 / θ≤
    
    c_2 ( ∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k
    2^-θ^' (κ, α -λ))^1 / θ^'(∑_κ∈_+^d ∖{0} (2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, (c_3 2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ)^1 / θ≤
    
    c_4 ( ∑_κ∈_+^d: n ≤ (κ, ) ≤ n +k
    2^-θ^' (κ, α -λ))^1 / θ^'
    ∑_ J ⊂Ν_1,d^1: J ∅(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θα^J (Ω^' l χ_J(f,
    t^J)_L_p(I^d))^θ dt^J)^1 /θ,  n,k ∈,

где θ^' = θ/(θ -1), а для семейства чисел 
{a_κ∈: a_κ≥ 0, κ∈_+^d} 
сходимость ряда ∑_κ∈_+^d a_κ эквивалентна 
сходимости последовательности {∑_κ∈_+^d: (κ, ) ≤ n 
a_κ,  n ∈_+}.
Учитывая замечание после леммы 1.3.1, видим, что для f ∈ 
(S_p,θ^α B)^'(I^d) при λ∈_+^d: 
λ < α, ряд 
∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) 
сходится в L_p(^d). 
Определим отображение ℰ^d,α,p,θ: (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
↦ L_p(^d), полагая для f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) значение

    2.3.5ℰ^d,α,p,θ f = ∑_κ∈_+^dℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f).


Исходя из (2.3.5), с учётом сказанного выше заметим, что для 
f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
при λ∈_+^d: λ < α, в L_p(^d) имеет 
место равенство

    2.3.6^λ (ℰ^d,α,p,θ f) = ∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)).

Ясно, что отображение ℰ^d,α,p,θ линейно, а вследствие 
(2.3.5), (2.2.5), (1.3.45) (см. предложение 1.3.6 и (1.1.8)) в 
L_p(I^d) справедливо равенство

    (ℰ^d,α,p,θ f) |_I^d = ∑_κ∈_+^d 
    (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) |_I^d = 
    ∑_κ∈_+^dℰ_κ^d, l-,m f = f,

т.е. соблюдается (2.3.1).

При проверке справедливости п. 2 теоремы, прежде всего, отметим, что 
для f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
при λ∈_+^d: λ < α, ввиду (2.3.6), (2.3.4) 
выполняется неравенство

    2.3.7^λ (ℰ^d,α,p,θ f) _L_p(^d) =
    ∑_κ∈_+^d ^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) _L_p(^d)≤
    ∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) _L_p(^d)≤
    
    c_5 ( f _L_p(I^d) +∑_ J ⊂Ν_1,d^1: J ∅(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θα^J (Ω^' l χ_J(f,
    t^J)_L_p(I^d))^θ dt^J)^1 /θ).

 
Далее, при λ∈_+^d: λ < α, для функции F =
ℰ^d,α,p,θ f,  f ∈ (S_p,θ^α B)^'(I^d) 
и любого непустого множества J ⊂{1,…,d} оценим 

(∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J) 
(Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, 
t^J)_L_p(^d))^θ dt^J)^1/θ. Поскольку
для любого непустого множества J ⊂{1,…,d}
справедливо представление (_+^d)^J = ∪_⊂ J
(I^d)^× ([1, ∞)^d)^J ∖, причём
множества в правой части последнего равенства попарно не пересекаются, то

    2.3.8∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J =
    ∑_⊂ J∫_ (I^d)^× ([1, ∞)^d)^J
    ∖ (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J) 
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J.


Учитывая, что для J ⊂{1,…,d}: J ∅, ⊂ J при t^J ∈ (_+^d)^J выполняется неравенство

    Ω^(l -λ) χ_J (^λ F, t^J)_L_p(^d) = 
    _{ h ∈^d: h^J ∈ t^J (B^d)^J }Δ_h^(l -λ) χ_J^λ F _L_p(^d) =
    _{ h ∈^d: h^J ∈ t^J (B^d)^J }Δ_h^(l -λ) χ_J ∖ (Δ_h^(l -λ) χ_^λ F) _L_p(^d)≤
    _{ h ∈^d: h^J ∈ t^J (B^d)^J }c_6
    Δ_h^(l -λ) χ_^λ F _L_p(^d) = c_6
    _{ h ∈^d: h^J ∈ t^J (B^d)^J }Δ_h^(l -λ) χ_^λ F _L_p(^d)≤
    
     c_6 _{ h ∈^d: h^∈ t^ (B^d)^}Δ_h^(l -λ) χ_^λ F _L_p(^d) = c_6
    Ω^(l -λ) χ_ (^λ F, t^)_L_p(^d),

находим, что

    ∫_ (I^d)^× ([1, ∞)^d)^J ∖
    (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤
    
    c_6^θ∫_ (I^d)^× ([1, ∞)^d)^J ∖ 
    (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_(^λ F, 
    t^)_L_p(^d))^θ dt^J =
    
    c_6^θ∫_ (I^d)^× ([1, ∞)^d)^J ∖ 
    (t^)^-^-θ (α^ -λ^)
    (t^J ∖)^-^J ∖-θ 
    (α^J ∖ -λ^J ∖)
    ×(Ω^(l -λ) χ_(^λ F, 
    t^)_L_p(^d))^θ dt^ dt^J ∖ =
    
    c_6^θ ( ∫_ ([1, ∞)^d)^J ∖
    (t^J ∖)^-^J ∖-θ 
    (α^J ∖ -λ^J ∖)dt^J ∖) ∫_ (I^d)^(t^)^-^-θ (α^ -λ^)
    ×(Ω^(l -λ) χ_(^λ F, t^)_L_p(^d))^θdt^≤
    
    c_7 ∫_ (I^d)^ (t^)^-^ -θ (α^ -λ^) 
    (Ω^(l -λ) χ_(^λ F, 
    t^)_L_p(^d))^θ dt^.


Подставляя последнюю оценку в (2.3.8), получаем, что

    2.3.9∫_(_+^d)^J (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤
    
     c_7 ∑_⊂ J∫_ (I^d)^ (t^)^-^
    -θ (α^ -λ^) 
    (Ω^(l -λ) χ_(^λ F, 
    t^)_L_p(^d))^θ dt^ = 
    
     c_7 ( ^λ F _L_p(^d)^θ +
     ∑_⊂ J: ∅∫_ (I^d)^
    (t^)^-^ -θ (α^ -λ^)
    ×(Ω^(l -λ) χ_(^λ F,
    t^)_L_p(^d))^θ dt^).


Таким образом, приходим к необходимости оценки ∫_ (I^d)^
(t^)^-^ -θ (α^ -λ^) 
(Ω^(l -λ) χ_(^λ F,
t^)_L_p(^d))^θ dt^ для ⊂{1, …,d}: 
∅.  Проведём эту оценку.

Пользуясь тем, что для любого непустого множества J ⊂{1,…, d} 
имеет место представление (I^d)^J = (∪_k^J ∈ (^d)^J 
(2^-k^J +2^-k^J (I^d)^J)) ∪ M^J,
причём множества в правой части последнего равенства попарно не
пересекаются и M^J =0,  получаем, что для любого непустого
множества J ⊂{1,…,d} имеет место неравенство

    2.3.10∫_ (I^d)^J  (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J  =
    ∑_ k^J ∈ (^d)^J∫_(2^-k^J+2^-k^J (I^d)^J)
    (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤
    ∑_ k^J ∈ (^d)^J∫_(2^-k^J+2^-k^J (I^d)^J)
    (2^-k^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, 
    2 · 2^-k^J)_L_p(^d))^θ dt^J =
    ∑_ k^J ∈ (^d)^J 2^θ (k^J, α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, 2 · 2^-k^J)_L_p(^d))^θ.


Оценивая Ω^(l -λ) χ_J (^λ F, 2 · 2^-k^J)_L_p(^d)
при k^J ∈ (^d)^J, J ⊂{1,…,d}: J ∅, 
для h ∈^d: h^J ∈ 2 · 2^-k^J (B^d)^J с учётом (2.3.6),
(1.1.7) и (2.2.13) имеем

    Δ_h^(l -λ) χ_J^λ F _L_p(^d) = 
    Δ_h^(l -λ) χ_J ( ∑_κ∈_+^d^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d) = 
    ∑_κ∈_+^dΔ_h^(l -λ) χ_J 
    (^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d)≤
    ∑_κ∈_+^dΔ_h^(l -λ) χ_J 
    (^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d) = 
    ∑_⊂ J∑_κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖Δ_h^(l -λ) χ_J 
    (^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d)≤
    ∑_⊂ J∑_κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    c_6 Δ_h^(l -λ) χ_ 
    (^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d)≤
    ∑_⊂ J∑_κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    c_6 (∏_ j ∈ | h_j |^ l_j -λ_j) ^(l -λ) χ_ 
    (^λ (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f))) _L_p(^d)≤
    ∑_⊂ J∑_κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    c_6 (∏_ j ∈ (2^-k_j +1)^ l_j -λ_j)
    ^(l -λ) χ_ +λ 
    (ℰ_κ^d,l -,m,(ℐ f)) _L_p(^d)≤
    ∑_⊂ J∑_κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    c_8 (∏_ j ∈ 2^-k_j (l_j -λ_j)) 
    2^ ( κ, (l -λ) χ_ +λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) =
    
    c_8 ∑_⊂ J 2^ -( k^, l^ -λ^)∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d).


Отсюда получаем, что для k^J ∈ (^d)^J, J ⊂{1,…,d}: J ∅, выполняется неравенство

    Ω^(l -λ) χ_J (^λ F, 2 · 2^-k^J)_L_p(^d)≤
    
     c_8 ∑_⊂ J 2^ -( k^, l^ -λ^)∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d).


Подставляя эту оценку  в (2.3.10) и применяя неравенство Гёльдера,
для J ⊂{1,…,d}: J ∅, выводим

    2.3.11∫_ (I^d)^J  (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J) 
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤∑_ k^J ∈ (^d)^J 2^θ (k^J, α^J -λ^J)
    ×( c_8 ∑_⊂ J 2^ -( k^, l^ -λ^)∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ≤
    
     c_9∑_ k^J ∈ (^d)^J 2^θ (k^J, α^J -λ^J)∑_⊂ J(2^ -( k^, l^ -λ^)∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    2^ ( κ^, l^ -λ^)
    ×2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ = 
    
    c_9∑_ k^J ∈ (^d)^J∑_⊂ J 
    2^θ (k^J, α^J -λ^J) -θ ( k^, l^ -λ^)
    ×(∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ =
    
    c_9∑_⊂ J∑_ k^J ∈ (^d)^J 
    2^θ (k^J, α^J -λ^J) -θ ( k^, l^ -λ^)
    ×(∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ.


Для оценки правой части (2.3.11) при λ∈_+^d: λ < α, 
фиксируем ϵ∈_+^d, для которого соблюдаются условия 
α -λ -ϵ >0, l -α -ϵ >0, и положим 
J = {1, …, d}∖ J. Используя неравенство 
Гёльдера, для J ⊂{1,…,d}: J ∅, ⊂ J, 
k^J ∈ (^d)^J приходим к неравенству

    2.3.12(∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    2^ ( κ^, l^ -λ^) 2^(κ, λ)Ω^' l χ_(κ)(f,
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ =
    (∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^,
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^-(κ, α) 2^ (κ^, l^ -λ^) 
    2^(κ, λ) 2^(κ^J ∖, ϵ^J ∖)
    × 2^-(κ^, ϵ^) 2^-(κ^J ∖, 
    ϵ^J ∖) 2^ (κ^, ϵ^) 
    2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, 
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ≤
    (∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 2^-θ^' (κ,
    α -λ) 2^θ^' (κ^J ∖, 
    ϵ^J ∖)
    2^θ^' (κ^, l^ -λ^ -ϵ^))^θ / θ^'
    ×(∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ (2^-(κ^J ∖,
    ϵ^J ∖) 2^ (κ^, ϵ^)
    2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, 
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ).


Оценивая правую часть (2.3.12), для J ⊂{1,…,d}: J ∅, 
⊂ J, k^J ∈ (^d)^J имеем

    2.3.13(∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 2^-θ^' (κ, α -λ) 
    2^θ^' (κ^J ∖, ϵ^J ∖) 
    2^θ^' (κ^, l^ -λ^ -ϵ^))^θ / θ^' = 
    (∑_κ^J∈ (_+^d)^J,
    κ^∈ (_+^d)^: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖∈ (_+^d)^J ∖: 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^-θ^' (κ^J, α^J -λ^J)
    × 2^-θ^' (κ^J ∖, α^J ∖ -
    λ^J ∖ -ϵ^J ∖) 
    2^θ^' (κ^, l^ -α^ -ϵ^))^θ /
    θ^' = 
    ((∑_κ^J∈
    (_+^d)^J 2^-θ^' (κ^J,
     α^J -λ^J))  
    ×(∑_κ^J ∖∈ (_+^d)^J ∖: 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^-θ^' (κ^J ∖, α^J ∖ 
    -λ^J ∖ -ϵ^J ∖))  
    ×(∑_κ^∈ (_+^d)^: κ^≤ k^ 
    2^θ^' (κ^, l^ -α^ -ϵ^)))^θ / θ^' = 
    ((∏_j ∈J
    (∑_κ_j =0^∞
    2^-θ^'κ_j (α_j -λ_j)))  
    × (∏_j ∈ J ∖ (∑_κ_j = k_j +1^∞ 
    2^-θ^'κ_j (α_j -λ_j -ϵ_j))) ·
    (∏_j ∈ (∑_κ_j =0^ k_j 
    2^θ^'κ_j (l_j -α_j -ϵ_j))))^θ / θ^'≤
    ( c_10 (∏_j ∈ J ∖ 
    2^-θ^' k_j (α_j -λ_j -ϵ_j)) 
    (∏_j ∈ 2^θ^' k_j
    (l_j -α_j -ϵ_j) ))^θ / θ^' = 
    
     c_11(2^-θ^' (k^J ∖, α^J ∖ -
    λ^J ∖ -ϵ^J ∖) 
    2^θ^' (k^, l^ -α^ -ϵ^))^θ / θ^' = 
    
    c_11 2^-θ (k^J ∖, α^J ∖
    -λ^J ∖ -ϵ^J ∖) 
    2^θ (k^, l^ -α^ -ϵ^).


Соединяя (2.3.11), (2.3.12), (2.3.13), получаем неравенство

    2.3.14∫_ (I^d)^J  (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J) 
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤
    
    c_9∑_⊂ J∑_ k^J ∈ (^d)^J 
    2^θ (k^J, α^J -λ^J) -θ ( k^, l^ -λ^)
    × c_11 2^-θ (k^J ∖, α^J ∖ 
    -λ^J ∖ -ϵ^J ∖)
    2^θ (k^, l^ -α^ -ϵ^)
    (∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ (2^-(κ^J ∖,
    ϵ^J ∖) 2^ (κ^, ϵ^)
    2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ) = 
    
    c_12∑_⊂ J∑_ k^J ∈ (^d)^J 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^)) 
    ∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖(2^-(κ^J ∖,
    ϵ^J ∖) 2^ (κ^, ϵ^)
    2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ = 
    
     c_12∑_⊂ J∑_ k^J ∈ (^d)^J∑_κ∈_+^d: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^))  
    × (2^-(κ^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ (κ^, ϵ^) 2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ = 
    
     c_12∑_⊂ J∑_ k^J ∈ (^d)^J, κ∈_+^d: 
    κ^≤ k^, κ^J ∖ > k^J ∖ 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^))  
    × (2^-(κ^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ (κ^, ϵ^) 2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ = 
    
    c_12∑_⊂ J∑_κ∈_+^d∑_ k^J ∈ (^d)^J: 
    κ^≤ k^, κ^J ∖ > k^J ∖ 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^))  
    × (2^-(κ^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ (κ^, ϵ^) 2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ = 
    
    c_12∑_⊂ J∑_κ∈_+^d
    (2^-(κ^J ∖, ϵ^J ∖) 
    2^(κ^, ϵ^) 2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ
    ∑_ k^J ∈ (^d)^J: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^)), 
    
     J ⊂{1,…,d}: J ∅.


Оценивая правую часть (2.3.14), для J ⊂{1,…,d}: J
∅, ⊂ J, κ∈_+^d имеем

    ∑_ k^J ∈ (^d)^J: κ^≤ k^, 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    (2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^)) = 
    ∑_ k^∈ (^d)^: κ^≤ k^, 
    k^J ∖∈ (^d)^J ∖: 
    κ^J ∖ > k^J ∖ 
    2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)
    2^ -θ (k^, ϵ^) = 
    (∑_ k^∈ (^d)^: κ^≤ k^ 
    2^ -θ (k^, ϵ^)) 
    (∑_k^J ∖∈ (^d)^J ∖: 
    κ^J ∖ > k^J ∖
    2^θ (k^J ∖, ϵ^J ∖)) = 
    ( ∏_j ∈ (∑_ k_j = κ_j^∞ 
    2^ -θ k_j ϵ_j)) (∏_j ∈ J ∖ 
    (∑_k_j =1^κ_j -1 2^θ k_j ϵ_j)) ≤
    
    c_13 (∏_j ∈ 2^ -θκ_j ϵ_j) 
    (∏_j ∈ J ∖
    2^θκ_j ϵ_j) = 
    c_13 2^ -θ (κ^, ϵ^) 
    2^θ(κ^J ∖, ϵ^J ∖).


Подставляя эту оценку в (2.3.14) и учитывая (2.3.3), получаем, что для 
J ⊂{1,…,d}: J ∅, справедливо неравенство

    2.3.15∫_ (I^d)^J  (t^J)^-^J -θ (α^J -λ^J)
    (Ω^(l -λ) χ_J(^λ F, t^J)_L_p(^d))^θ dt^J ≤
    
    c_12∑_⊂ J∑_κ∈_+^d(2^-(κ^J ∖, ϵ^J ∖) 
    2^(κ^, ϵ^) 2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, 
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ
    × c_13 2^ -θ (κ^, ϵ^)
    2^θ (κ^J ∖, ϵ^J ∖) = 
    
    c_14∑_⊂ J∑_κ∈_+^d(2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, 
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d) )^θ≤
    
    c_15∑_κ∈_+^d (2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ = 
    
    c_15 ( f _L_p(I^d)^θ +∑_κ∈_+^d ∖{0} 
    (2^(κ, α)Ω^' l χ_(κ)(f, 
    c_3 (2^-κ)^(κ))_L_p(I^d))^θ) ≤
    
    c_16( f_L_p(I^d)^θ +∑_⊂Ν_1,d^1: ∅∫_(_+^d)^ (t^)^-^ -θα^ (Ω^' l χ_(f,
    t^)_L_p(I^d))^θ dt^) ≤
    
    c_17 f _(S_p, θ^α B)^'(I^d)^θ.


Соединяя (2.3.7), (2.3.9), (2.3.15), приходим к (2.3.2), чем завершаем
доказательство теоремы при θ∞. При θ = ∞ 
доказательство теоремы проводится по той же схеме с заменой в соответствующих 
местах операции суммирования на операцию взятия супремума или максимума.
□

Следствие

В условиях теоремы 2.3.1 при ł∈_+^d: ł < α, имеет место 
включение

    2.3.16
    (S_p, θ^α B)^'(I^d) ⊂ (S_p, θ^α B)^ł(I^d),

и для любой функции f ∈ (S_p, θ^α B)^'(I^d) 
выполняется неравенство

    2.3.17 f_(S_p, θ^α B)^ł(I^d)≤ C
     f_(S_p, θ^α B)^'(I^d).


Для получения (2.3.16), (2.3.17) достаточно применить (2.3.1), оценку

    (ℰ^d,α,p,θ f) |_I^d_(S_p, θ^α B)^ł(I^d)≤ℰ^d,α,p,θ f_(S_p, θ^α B)^ł(^d)

и неравенство (2.3.2) при 
λ = łχ_J, J ⊂{1,…,d}.
Из (1.1.9), (1.1.10) и (2.3.16), (2.3.17)
вытекает, что (S_p, θ^α B)^'(I^d) = 
(S_p, θ^α B)^ł(I^d), и нормы на этих пространствах 
·_(S_p, θ^α B)^'(I^d),
·_(S_p, θ^α B)^ł(I^d) эквивалентны 
при ł∈_+^d: ł < α.

Отметим также, что из теоремы 2.3.1 и (1.1.6) следует, что при 
λ∈_+^d: λ < α, имеет место включение
^λ|_(S_p, θ^α B)^'(I^d)∈ℬ((S_p, θ^α B)^'(I^d),
(S_p, θ^α -λ B)^'(I^d)). 


1
1
Бесов О. В. 
Продолжение функций за пределы области с сохранением дифференциально- 
разностных свойств в L_p // 
Матем. сб., 66(108):1 (1965), 80–96.
2
Бесов О. В., Ильин В. П.
Естественное расширение класса областей в теоремах вложения //
Матем. сб., 75(117):4 (1968), 483–495.
3
Брудный Ю. А 
Теорема продолжения для одного семейства функциональных прост­ранств // 
Зап. научн. сем. ЛОМИ, 56 (1976), 170–173.
4
Буренков В. И., Файн Б. Л.
О продолжении функций из анизотропных пространств с сохранением класса //
Тр. МИАН СССР, 150 (1979), 52–66.
5
Шварцман П. А.
Теоремы продолжения с сохранением локально-аппроксимационных свойств функций в неизотропном случае //
Зап. научн. сем. ЛОМИ, 113 (1981), 247–252.
6
Файн Б. Л.
О продолжении функций из анизотропных пространств Соболева //
Тр. МИАН СССР, 170 (1984), 248–272.
7
Коновалов В. Н. 
Продолжение функций многих переменных с сохранением дифференциально-разностных 
свойств //
Укр. мат. журн. 36:3 (1984), 304–308.
8
Кудрявцев С. Н.
Продолжение функций из неизотропных пространств Никольского – Бесова 
и приближение их производных //
Изв. РАН. Сер. матем., 82:5 (2018),  78–130.
9
Kudryavtsev S. N.
Extending functions from nonisotropic Nikolskii-Besov spaces and 
approximating their derivatives (with supplement), 2018, 132 pp., arXiv:
https://arxiv.org/abs/1703.09734v3
10
Джабраилов А. Д.  
Теоремы о продолжении функций из пространств S_p^r W, 
S_p,θ^r B за пределы области Ω //
Тр. МИАН СССР, 131 (1974), 81–93.
11
Кудрявцев С. Н.
Приближение производных функций конечной гладкости из неизотропных классов //
Изв. РАН. Сер. матем. 68:1 (2004), 79–122.
12
Кудрявцев С. Н.
Обобщённые ряды Хаара и их применение //
Analysis Mathematica, 37:2 (2011), 103–150.
13
Никольский С. М. 
Функции с доминирующей смаешанной производной,
удовлетворяющей кратному условию Гёльдера // 
Сибирский математический журнал. 4:6 (1963), 1342–1364.
14
Аманов Т. И.
Пространства дифференцируемых функций с доминирующей смешанной производной // 
Издательство "Наука" КазССР. Алма-Ата.1976.
15
Никольский С. М.
Приближение функций многих переменных и теоремы вложения // М.: Наука. 1977.
16
Кудрявцев С. Н. 
Приближение и восстановление производных для функций, 
удовлетворяющих смешанным условиям Гёльдера // 
Изв. РАН. Сер. матем. 71:5 (2007), 37–80.
17
Кудрявцев С. Н.
Аналог теоремы Литтлвуда-Пэли для ортопроекторов на подпространства 
всплесков, 2015, 93 с., arXiv: 
https://arxiv.org/abs/1504.00348
18
Чуи Ч. К.
Введение в вейвлеты // М.: Мир, 2001.

