On one approach to definition of singular differential operators
A. A. Vladimirov

1200
lainenc
mssym
epsf
T2A
utf-8
4000
10000
10000
1.5em

17truecm
24truecm
0truecm
-0.5truecm

labx1440
larm1000
cmr10
lati1000
labx1000
cmmi10 '177
cmsy10 '60
cmex10
eufm10
larm0800
cmr8
lati0800
labx0800
cmmi8 '177
cmsy8 '60
cmex8
eufm8
larm0600
cmr6
lati0600
labx0600
cmmi6 '177
cmsy6 '60
eufm6
larm0500
cmr5
lati0500
labx0500
cmmi5 '177
cmsy5 '60
eufm5
cmmib10 '177
cmmib8 '177
cmmib7 '177
cmmib6 '177
cmmib5 '177
0
	
	00011122233312pt
	height8.5pt depth3.5pt width0pt
	
0
	
	00011122233311pt
	5pt
	5pt
	height7pt depth2pt width0pt
	

157


` 11
`1̈3
"#1#1<190#1>191#1

@bel#1#2l@#1#2
11.aux
11
	1111
	.aux
	

@̧section
@̧subsection
@̧subsubsection
@̧equation
@̧bibl
@̧enum
@̧section 0
@̧subsection 0
@̧subsubsection 0
@̧equation 0
@̧bibl 0
@̣enum
@̣enum=0pt
@l
111@bel#1@l
	
#1()



§ #
1@̧section 1
	3ex plus 0.5ex minus 0.1ex
	0pt plus 1fill0pt plus 1fill@̧section . #125000
	1ex plus 0.25ex
	@l@̧section.
	@̧subsection 0
	@̧subsubsection 0
	@̧equation 0



 §.§ @̧subsection 1
	1ex plus 0.1ex minus 0.05ex@̧subsection. 
	@l@̧section.@̧subsection
	@̧subsubsection 0@̧equation 0




  §.§.§ @̧subsubsection 1
	1ex plus 0.1ex minus 0.05ex
	@̧subsection.@̧subsubsection. 
	@l@̧section.@̧subsection.
		@̧subsubsection


@̧equation 1
	@l@̧section.@̧subsection.
	@̧equation@̧equation

#1@̧bibl 1
	[@̧bibl]
	@l@̧bibl

<ref>ref#1.#2:@#2@#1
	#1=@̧section #2#1.#2
<ref>eqref#1.#2.#3:#1=@̧section#2=@̧subsection
	(#3)#2(#3)#1.#2(#3)
<ref>1l@#1??@l@#1:
	<ref>ref@
(<ref>)1l@#1(??)@l@#1:
	<ref>eqref@
<cit.>1l@#1??l@#1

#110ptto
	0pt plus 1fil##   
	0pt##   
	##0pt plus 1fil   
	0pt###1

Im
im
supp
vrai sup
rank
@C
@W
@#10#1 W@0@ii00.65@
0.35@ii#1^∘

`=̈12
"0@0E
`=̈13
#1#2
	0#1^∘.@̣enum=0@̣enum 2pt@̧enum=0
	
  * @̧enum 10pt
	to @̣enum@̧enum^∘.
	#2

Доказатель
	ство. 
0pt□

` 12
11.aux



УДК 517.9845pt
0pt plus 1fill0pt plus 1fillОб одном подходе к определению сингулярных дифференциальных операторов2exА.А. Владимиров[]Работа поддержана
РФФИ, грант  16-01-00706.
0.25cm

    0.75 0cm 0cm
    	 Аннотация: На основе представления о тройках банаховых пространств
    	даётся определение и характеризация основных свойств широкого класса
    	граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений произ­вольного
    	(в том числе нечётного) порядка с сингулярными коэффициентами.


0.5cm



§ ВВЕДЕНИЕ



 §.§ В
 работе [<cit.>] была указана конструкция, позволяющая дать
корректное определение ряда граничных задач для дифференциальных уравнений вида

    ∑_k=0^n(-1)^n-k(p_ky^(n-k))^(n-k)=f

с сингулярными коэффициентами p_k∈ W_2^-k[0,1]. В случае n=2 при этом было
показано, что действие соответствующих неограниченных операторов в пространстве
L_2[0,1] допускает описание посредством систем обычных дифференциальных уравнений
для абсолютно непрерывных функций. Применительно к задачам более высоких порядков
аналогичные представления явным образом не указывались, хотя возможность такого
указания в свете развитой теории была совершенно прозрачной. Значимость конструкции
из [<cit.>] может быть продемонстрирована, например, развитым на её основе
в работе [<cit.>] простым подходом к изучению осцилляционных свойств
собственных функций сингулярных обыкновенных дифференциальных операторов —
включая ряд так называемых "<многоточечных"> задач, рассмотрение которых ранее
обычно проводилось с использованием весьма трудоёмких косвенных методов
(см. имеющиеся в [<cit.>] ссылки).

Идеологические основы подхода работы [<cit.>] были заложены в более ранней
работе [<cit.>], где схожим способом изучались дифференциальные уравнения
второго порядка.

В последнее время интерес к этой тематике возобновился.
Так, в работе [<cit.>] были — вне связи с подходом
работы [<cit.>] — предложены регуляризованные представления для формально
несколько более широкого, нежели рассмотренный в [<cit.>], класса
дифференциальных уравнений чётного порядка. Поэтому представляется не лишённым
интереса вопрос о расширении границ применения использованной в [<cit.>]
методики. Характеризации некоторых возможных направлений такого расширения
и посвящается настоящая статья.



 §.§ С
труктура статьи имеет следующий вид. В <ref> даётся определение
и указываются важнейшие свойства вспомогательных функциональных пространств,
используемых далее при описании основных объектов изучения. В <ref>
непосредственно определяются и исследуются операторы, отвечающие допустимым
в рамках развиваемой теории граничным задачам для дифференциальных уравнений
с сингулярными коэффициен­тами. Наконец, в <ref> приводятся примеры
приложения развитой теории к ряду конкретных ситуаций.

Все рассматриваемые далее линейные пространства предполагаются комплексными.

Наименьшим натуральным числом на всём протяжении статьи считается 0.





§ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА



 §.§ П
усть A — такая система функций класса L_1[0,1], что для каждой пары
натуральных индексов i и j⩽ i+1 найдётся соответствующая ей функция
A_ij∈ L_1[0,1]. Символом C_A^n[0,1] мы далее будем обозначать
подпространство в пространстве {C[0,1]}^n+1 непрерывных вектор-функций
с n+1 компонентами, выделенное системой понимаемых в смысле обобщённого
дифференцирования уравнений

    Y_i'=∑_j=0^i+1A_ijY_j,     i<n.()

Символом W_s,A^n[0,1], где n>0 и s∈ [1,∞), мы будем обозначать
результат пополнения прост­ранства C_A^n[0,1] по норме

    Y_W_s,A^n[0,1]⇌∑_i=0^n-1Y_i_C[0,1]+
    		(∫_0^1|A_n-1,n|·|Y_n|^s dx)^1/s.

Наконец, символами _A^n[0,1] и _s,A^n[0,1] мы будем обозначать
подпространства, получаемые замыканием в пространствах C_A^n[0,1]
и W_s,A^n[0,1], соответственно, множеств принадлежащих этим пространствам
финитных на интервале (0,1) вектор-функций. Тривиальным образом имеет место
следующий факт:



  §.§.§ 
prop:1.1.1
Если при каждом i<n первообразная функции |A_i,i+1| строго монотонна,
то естественное вложение Y↦ Y_0 пространства W_1,A^n[0,1]
в пространство C[0,1] является инъективным.


Обычные соболевские пространства W_s^n[0,1] и _s^n[0,1], где s∈
[1,∞), в рамках изложенной конструкции отвечают (с точностью до выбора
эквивалентной нормы) ситуации

    A_ij(x)≡1   при j=i+1, 0   иначе.




 §.§ О
бозначим символом M_n решение понимаемой в смысле обобщённого
дифферен­цирования начальной задачи

    (M_n)_ij'= -1em∑_k=0^inf{n-1,i+1} -1em
    		A_ik· (M_n)_kj,    
    		(M_n)_ij(0)=1   при i=j, 0   иначе,

где каждый из индексов i и j пробегает промежуток {0,…,n-1}.
Очевидным образом, каждая из функций (M_n)_ij принадлежит классу W_1^1[0,1].
Сопоставляя в каждой точке x∈ [0,1] имеющей размер n× n матрице
элементов (M_n)_ij(x) обратную матрицу элементов (M_n^-1)_ij(x),
получаем набор также принадлежащих классу W_1^1[0,1] функций (M_n^-1)_ij.
При этом всякая вектор-функция Y∈ W_1,A^n[0,1] восстанавливается по своей
последней компоненте согласно правилам

    Y_i(x)=∑_j=0^n-1(M_n)_ij(x)·[Y_j(0)+
    		∫_0^x A_n-1,n(t)· (M_n^-1)_j,n-1(t)Y_n(t) dt],
    		     i<n.()




  §.§.§ 
prop:1.2.1
Пусть при некотором n>0 первообразная функции |A_n-1,n| строго
монотонна. Тогда естественное вложение пространства C_A^n[0,1] в пространство
C_A^n-1[0,1] имеет плотный образ.

Зафиксируем произвольную вектор-функцию Y∈ C_A^n-1[0,1] и поста­вим ей
в соответствие вектор-функцию Φ∈{C[0,1]}^n вида

    Φ_i(x)≡ Y_i(x)-∫_0^x[∑_j=0^inf{n-1,i+1} -1em A_ij(t)Y_j(t)] dt,     i<n.

Зафиксируем также последовательность {Y_α}_α=0^∞
вектор-функций класса C_A^n[0,1], удовлетво­ряющих при i<n равенствам
(Y_α)_i(0)=Y_i(0) и таких, что первообразные суммируемых функций
A_n-1,n· (Y_α)_n равномерно стремятся при α→∞ к функции
Φ_n-1. Из пред­ставления (<ref>) и соотношений (M_n^-1)_j,n-1∈ W_1^1[0,1] тогда немедленно вытекает факт равномерной сходимости
функциональных последовательностей {(Y_α)_i}_α=0^∞,
где i<n. Тривиальные тождества

    Y_n-1(0)+∫_0^x A_n-1,n(t)(Y_α)_n(t) dt=(Y_α)_n-1(x)-
    		∫_0^x[∑_j=0^n-1 A_n-1,j(t)(Y_α)_j(t)
    		] dt

вместе с известными общими свойствами интегральных уравнений первого рода
озна­чают теперь, что пределом последовательности образов вектор-функций
Y_α∈ C_A^n[0,1] является в точности исходная вектор-функция
Y∈ C_A^n-1[0,1].




  §.§.§ 
prop:mallev
Пусть при некотором n>0 первообразная функции |A_n-1,n| строго
монотонна, а набор суммируемых функций {f_j}_j=0^n удовлетворяет тождеству

    (∀ Y∈_A^n[0,1])    ∑_j=0^n∫_0^1 f_jY_j dx=0.()

Тогда существует функция h∈ W_1^1[0,1], при почти всех x∈ [0,1]
удовлетворяющая равен­ствам f_n(x)=A_n-1,n(x) h(x). При этом
справедливо также тождество

    (∀ Y∈_A^n-1[0,1])    ∑_j=0^n-1∫_0^1 g_jY_j dx=0,

где положено

    g_j⇌f_j-A_n-1,j h,   при j<n-1,
    		f_n-1-A_n-1,n-1 h-h',   при j=n-1.


С учётом представления (<ref>), заведомо найдётся функция
φ∈ W_1^1[0,1], удовлетворяющая тождеству

    (∀ Y∈_A^n[0,1])    ∫_0^1 [f_n+
    		A_n-1,n φ] Y_n dx=0.

Функция f_n+A_n-1,nφ∈ L_1[0,1] при этом заведомо принадлежит
линейной оболочке набора {A_n-1,n·
(M_n^-1)_j,n-1}_j=0^n-1, что автоматически означает существование
функции h∈ W_1^1[0,1] с требуемым свойством. Выражая
теперь, с использованием определе­ния (<ref>), в тождестве (<ref>)
суммируемую функцию A_n-1,nY_n через функции набора {Y_i}_i=0^n-1
и интегрируя по частям, убеждаемся в справедливости соотношения

    (∀ Y∈_A^n[0,1])    ∑_j=0^n-1∫_0^1 g_jY_j dx=0.

Учёт утверждения <ref> завершает доказательство.




 §.§ С
имволом Y^∧∈ C^2n, где Y∈ W_1,A^n[0,1], мы далее будем
обозначать вектор гранич­ных значений

    Y^∧_k⇌Y_k(0)   при k<n, Y_k-n(1)   иначе.

На основе произвольно фиксированной матрицы U∈ C^2n× 2n
могут быть определены подпространства C_A,U^n[0,1] и W_s,A,U^n[0,1],
выделенные, соответственно, внутри C_A^n[0,1] и W_s,A^n[0,1] системой
граничных условий UY^∧=0.

На указанных подпространствах могут быть заданы полулинейные функционалы вида

    ⟨ F,Y⟩≡∑_i=0^n
    		∫_0^1 f_iY_i dx   при Y∈ C_A,U^n[0,1],∑_i=0^n-1∫_0^1 f_iY_i dx+
    		∫_0^1 |A_n-1,n|^1/s f_nY_n dx   
    		при Y∈ W_s,A,U^n[0,1],()

где f_i∈ L_1[0,1]. В случае рассмотрения пространства W_s,A,U^n[0,1] здесь
дополнительно предполагается, что выполнено условие f_n∈ L_s/(s-1)[0,1],
причём для почти любого x∈ [0,1] из равенства A_n-1,n(x)=0 следует
равенство f_n(x)=0. Первообразные всех функций |A_i,i+1|, где i<n,
мы на протяжении настоящего пункта считаем строго монотонными.
Из представления (<ref>) немедленно вытекает, что всякий функционал
вида (<ref>) может быть переписан в форме

    ⟨ F,Y⟩≡∫_0^1 gY_n dx+
    		∑_i=0^n-1μ_iY_i(0)   при Y∈ C_A,U^n[0,1],∫_0^1 |A_n-1,n|^1/s gY_n dx+
    		∑_i=0^n-1μ_iY_i(0)   при Y∈ W_s,A,U^n[0,1],()

где g∈ L_1[0,1] в случае пространства C_A,U^n[0,1],
и g∈ L_s/(s-1)[0,1] в случае пространства W_s,A,U^n[0,1]. Из того же
представления легко получается, что всякий функционал вида (<ref>)
допускает обратную перезапись в форме (<ref>). Сказанное означает
замкнутость линейного множества функционалов вида (<ref>) в сопряжённом
к рассматриваемому пространстве. Из известной теоремы об общем виде полулинейного
непрерывного функционала на лебеговском пространстве легко выводится также,
что в случае пространства W_s,A,U^n[0,1] множество функционалов
вида (<ref>) в точности совпадает с сопряжённым пространством.

Пространство заданных на C_A,U^n[0,1] функционалов вида (<ref>)
мы будем далее обоз­начать символом W_1,A,U^-n[0,1]. Аналогичным образом,
пространство таких функциона­лов, заданных на W_s,A,U^n[0,1], мы будем
обозначать символом W_s/(s-1),A,U^-n[0,1].





§ СИНГУЛЯРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ



 §.§ П
усть B — система функций, обладающая аналогичными системе A свойствами
и такая, что при почти всех x∈ [0,1] равенства A_n-1,n(x)=0
и B_m-1,m(x)=0 равносильны. Пусть также зафиксирован параметр
s∈ [1,+∞), две матрицы V∈ C^2m× 2m,
Q∈ C^2m× 2n и система функций со следующими свойствами:


  * ∙ p_nm,p_nm^-1∈ L_∞[0,1].


  * ∙ p_im∈ L_s/(s-1)[0,1] при i<n, причём в случае s≠ 1
для почти любого x∈ [0,1] из равенства B_m-1,m(x)=0 следует равенство
p_im(x)=0.


  * ∙ p_nj∈ L_s[0,1] при j<m, причём для почти любого
x∈ [0,1] из равенства A_n-1,n(x)=0 следует равенство p_nj(x)=0.


  * ∙ p_ij∈ L_1[0,1] при i<n и j<m.

Тогда может быть задан ограниченный оператор T W_s,A,U^n[0,1]→
W_s,B,V^-m[0,1] вида

    to eq:kvdif 1truecm
    		⟨ TY,Z⟩≡∫_0^1 |A_n-1,n|^1/s· |B_m-1,m|^(s-1)/s p_nmY_nZ_m dx++∑_i=0^n-1∫_0^1 |B_m-1,m|^(s-1)/s p_imY_i
    		Z_m dx+∑_j=0^m-1∫_0^1 |A_n-1,n|^1/s 
    		p_njY_nZ_j dx+ 4truecm+∑_i=0^n-1∑_j=0^m-1∫_0^1 p_ijY_i
    		Z_j dx+⟨ QY^∧,Z^∧⟩.




  §.§.§ Всякий оператор T вида (<ref>) фредгольмов индекса n-m- U+
 V.


Справедливость доказываемого утверждения легко устана­вливается на основе
представления (<ref>), а также факта наличия у оператора
T̂ L_s([0,1]; |A_n-1,n|)→ L_s([0,1]; |B_m-1,m|) вида 

    T̂y⇌|A_n-1,n B_m-1,m|^1/s 
    		p_nmy

обратного с оценкой нормы _x∈ [0,1]|p_nm^-1(x)|.




 §.§ Р
езультаты предыдущего параграфа показывают, что в случае строгой монотонно­сти
первообразных функций |B_j,j+1| уравнения TY=F допускают эквивалентную запись
в форме граничных задач для систем дифференциальных уравнений для абсо­лютно
непрерывных функций. А именно, для искомого решения Y∈ W_s,A,U^n[0,1]
с очевидностью могут быть определены квазипроизводные y^[i]⇌
Y_i∈ W_1^1[0,1], где i<n, удовлетво­ряющие системе уравнений

    (y^[i])'=∑_j=0^i+1A_ijy^[j],     i<n-1.()

Далее, из утверждения <ref> вытекает существование квазипроизводной
y^[n]∈ W_1^1[0,1], удовлетворяющей соотношению

    |A_n-1,n|^1/sY_n=p_nm^-1·[B_m-1,m
    		|B_m-1,m|^(s-1)/s· y^[n]-∑_i=0^n-1p_imy^[i]
    		+f_m],()

а тогда и уравнению

    (y^[n-1])'   =∑_i=0^n-1[A_n-1,i-p_nm^-1p_im 
    		A_n-1,n|A_n-1,n|^1/s]· y^[i]+   eq:kvdif2    3truecm+
    		p_nm^-1A_n-1,nB_m-1,m |A_n-1,n|^1/s 
    		|B_m-1,m|^(s-1)/s· y^[n]+p_nm^-1A_n-1,nf_m
    		|A_n-1,n|^1/s.

Наконец, утверждение <ref> вместе с соотношением (<ref>)
означают существование квазипроизводных y^[n+m-j-1]∈ W_1^1[0,1], где j<m-1,
подчиняющихся уравнениям

    to eq:kvdif3 1truecm
    		(y^[n+m-j-1])'=∑_i=0^n-1[p_ij-
    		p_nm^-1p_imp_nj]· y^[i]++[p_nm^-1·B_m-1,m |B_m-1,m|^(s-1)/s· p_nj-
    		B_m-1,j]· y^[n]- 4truecm-∑_k=sup{j,1}^m-1B_k-1,j
    		y^[n+m-k]-f_j+p_nm^-1p_njf_m,     j<m.

При этом, очевидным образом, оказывается справедливым тождество

    ⟨ TY-F,Z⟩≡⟨ QY^∧-Y^∨,Z^∧⟩,

где положено

    Y^∨_k⇌y^[n+m-k-1](0)   при k<m,
    		-y^[n+2m-k-1](1)   иначе.

Соответственно, исходное уравнение TY=F равносильно системе дифференциальных
урав­нений (<ref>), (<ref>) и (<ref>), рассмотренной
совместно с набором граничных условий

    UY^∧=0,     QY^∧-Y^∨∈ V^*.




 §.§ П
усть теперь для рассматриваемых пространств W_s,A,U^n[0,1]
и W_s,B,V^-m[0,1], а также некоторого гильбертова пространства H,
зафиксированы вложения I W_s,A,U^n[0,1]→ H и J H→
W_s,B,V^-m[0,1]. В этом слу­чае оператор T задаёт на пространстве H
линейное отношение T^∙⇌ J^-1TI^-1 с графиком

    {(y,z)∈ H× H : (∃ Y∈ W_s,A,U^n[0,1])  
    		(IY=y)&(TY=Jz)}.

Если при некотором λ∈ C оператор T-λ JI является ограниченно
обратимым, то очевидным образом определена также и ограниченная резольвента

    (T^∙-λ)^-1=I·(T-λ JI)^-1J.()

Соответственно, график отношения T^∙ в этом случае заведомо замкнут.
Если дополнительно резольвента (<ref>) инъективна и имеет плотный образ,
то отношение T^∙ представляет собой оператор с плотной областью определения.



  §.§.§ Если вложения I W_s,A,U^n[0,1]→ H и J H→
W_s,B,V^-m[0,1] инъективны и име­ют плотные образы, то допускающая
представление (<ref>) резольвента отношения T^∙ также инъективна
и имеет плотный образ.





  §.§.§ 
prop:nein
Пусть вложение J H→ W_s,B,V^-m[0,1] инъективно, и пусть
для некоторого ограни­ченного оператора K W_1,A,U^n[0,1]→
C_B,V^m[0,1] в случае s=1 или 5000 K W_s,A,U^n[0,1]→
W_s/(s-1),B,V^m[0,1] в случае s≠ 1 справедливо тождество
⟨ z,IY⟩≡⟨ Jz,KY⟩. Пусть также равенство ⟨ TY,
KY⟩=0 возможно лишь в случае Y=0. Тогда линейное отношение T^∙
представляет собой оператор. Если при этом индекс оператора T равен нулю,
то существует ограниченный оператор T^-1, а область определения оператора
T^∙ плотна в H.

Если пара (0,z)∈ H× H принадлежит графику отношения T^∙,
то должна существовать вектор-функция Y∈ W_s,A,U^n[0,1] со свойствами TY=Jz
и IY=0. При этом, однако, должны выполняться также равенства

    ⟨ TY,KY⟩   =⟨ Jz,KY⟩   =⟨ z,IY⟩   =0,

согласно сделанным предположениям гарантирующие справедливость равенства Y=0,
а потому и равенства z=0.

Далее, всякая вектор-функция Y∈ W_s,A,U^n[0,1] со свойством TY=0 заведомо
удовлетворяет равенству ⟨ TY,KY⟩=0, а потому является нулевой.
Соответственно, факт ограни­ченной обратимости оператора T в случае равенства
его индекса нулю немедленно вытекает из альтернативы Фредгольма.

Наконец, если вектор z∈ H ортогонален образу оператора IT^-1J,
то должны быть справедливы равенства

    0   =⟨ z,IT^-1Jz⟩   =⟨ Jz,KT^-1Jz⟩   =⟨ T·[T^-1Jz],K·[T^-1Jz]⟩,

согласно сделанным предположениям гарантирующие выполнение равенства T^-1Jz=0,
а потому и равенства z=0.




  §.§.§ 
prop:sekt
Пусть для некоторого ограниченного оператора K W_1,A,U^n[0,1]→
C_B,V^m[0,1] в случае s=1 или K W_s,A,U^n[0,1]→
W_s/(s-1),B,V^m[0,1] в случае s≠ 1 справедливо тождество
⟨ z,IY⟩≡⟨ Jz,KY⟩, и пусть числовая область значений
оператора K^*T включается в некоторый сектор комплексной плоскости, имеющий
вершиной точку 0. Тогда числовая область значений отношения T^∙
включается в тот же сектор.

Если пара (y,z)∈ H× H принадлежит графику отношения T^∙,
то должна существовать вектор-функция Y∈ W_s,A,U^n[0,1] со свойствами IY=y
и TY=Jz. Выполняющиеся при этом равенства

    ⟨ z,y⟩   =⟨ Jz,KY⟩   =⟨ TY,KY⟩

как раз и гарантируют справедливость доказываемого утверждения.




  §.§.§ 
prop:sim
Пусть вложение I W_s,A,U^n[0,1]→ H инъективно, для некоторого
ограниченного оператора K W_1,A,U^n[0,1]→ C_B,V^m[0,1] в случае s=1
или 5000 K W_s,A,U^n[0,1]→ W_s/(s-1),B,V^m[0,1]
в случае s≠ 1 справедливо тождество ⟨ z,IY⟩≡⟨ Jz,KY⟩, а оператор K^*T является симметрическим. Тогда при любом
невещественном λ∈ C оператор T-λ JI, если является
фредгольмовым с нулевым индексом, обладает ограниченным обратным.

В рассматриваемом случае для всякой вектор-функции Y∈ W_s,A,U^n[0,1]
справедливо равенство

    ⟨ (T-λ JI)Y,KY⟩=-λ·IY^2.

Соответственно, уравнение (T-λ JI)Y=0 не может иметь нетривиальных решений,
что, согласно альтернативе Фредгольма, как раз и означает справедливость
доказываемого утверждения.


Отметим в заключение, что, согласно утверждению 2.1.3
работы [<cit.>], в случае инъек­тивности и плотности вложений I
W_s,A,U^n[0,1]→ H и J H→ W_s,B,V^-m[0,1], а также
непустоты резольвентного множества пучка T^♮λ↦
T-λ JI, спектр оператора T^∙ в точности совпадает со спектром
пучка T^♮.





§ ПРИМЕРЫ



 §.§ В
 качестве первого примера рассмотрим задачу Дирихле для дифференциального
уравнения

    (py”)”-(q'y')'+r”y=f∈ L_2[0,1],

где p,p^-1∈ L_∞[0,1] и q,r∈ L_2[0,1] (классический случай, когда
коэффициенты p, q' и r” предполагаются гладкими, связан с существенно более
сильными ограничениями). Этой задаче отвечает оператор T_2^2[0,1]→_2^-2[0,1] вида

    ⟨ Ty,z⟩≡∫_0^1[(py”-qy'+ry) z”+
    		(-qy”+2ry') z'+ry”z] dx.

Данный оператор имеет форму (<ref>), и потому уравнение T^∙ y=f
для соответ­ствующего неограниченного оператора в пространстве L_2[0,1]
равносильно граничной задаче

    1(y^[0])'   =y^[1], (y^[1])'   =-p^-1ry^[0]+
    		p^-1qy^[1]+p^-1y^[2], (y^[2])'   =p^-1qry^[0]+
    		(2r-p^-1q^2)y^[1]-p^-1qy^[2]-y^[3],
    		(y^[3])'   =-p^-1r^2y^[0]+p^-1qry^[1]+p^-1ry^[2]-f,


    0pt
    	y^[0](0)=y^[1](0)=y^[0](1)=y^[1](1)=0.

Указанная система уравнений, ожидаемым образом, в точности совпадает с системой
из леммы 2 работы [<cit.>].

Развитая выше теория, однако, может быть приложена и к случаю коэффициентов
существенно более широкого вида. В частности, пусть коэффициент p^-1 есть
обобщённая производная некоторой строго возрастающей функции H∈ C[0,1],
коэффициент q принадлежит классу L_2([0,1]; H'), а коэффициент r —
классу L_2([0,1]; H')∩ L_1[0,1]. Тогда могут быть введены в рассмотрение
функции ξ,η∈ W_1^1[0,1] со свойствами

    ξ(x+H(x)-H(0) 1+H(1)-H(0))≡ x,    η(x+H(x)-H(0) 1+H(1)-H(0))≡ H(x),

а также связанная с ними система суммируемых функций

    A_ij⇌ξ'   при i=0, j=1,η'   при i=1, j=2, 0   иначе.

Рассматриваемая задача получит при этом трактовку T^∙ y=f,
где действующий в про­странстве L_2[0,1] неограниченный оператор T^∙=
(I^*)^-1TI^-1 строится на основе инъективного вложения I_2,A^2[0,1]→ L_2[0,1] вида

    [IY](x)≡ Y_0(x+H(x)-H(0) 1+H(1)-H(0))

и оператора T_2,A^2[0,1]→_2,A^-2[0,1] вида

    ⟨ TY,Z⟩≡∫_0^1[η'·(Y_2-σ Y_1+
    		ρ Y_0) Z_2+(-η'σ Y_2+2ξ'ρ Y_1) Z_1+η'ρ Y_2 Z_0] dx,

где положено σ⇌ q∘ξ и ρ⇌
r∘ξ. Результаты предыдущего параграфа позволяют теперь представить исходную
задачу в форме

    1(y^[0])'   =ξ'y^[1], (y^[1])'   =-η'ρ y^[0]+
    		η'σ y^[1]+η'y^[2],
    		(y^[2])'   =η'σρ y^[0]+(2ξ'ρ-
    		η'σ^2)y^[1]-η'σ y^[2]-ξ'y^[3],
    		(y^[3])'   =-η'ρ^2y^[0]+η'σρ y^[1]+
    		η'ρ y^[2]-f∘ξ,


    0pt
    	y^[0](0)=y^[1](0)=y^[0](1)=y^[1](1)=0,

где y^[0]=y∘ξ.



 §.§ В
 качестве второго примера возьмём задачу периодического типа
для дифферен­циального уравнения третьего порядка

    -iy”'-(py')'+q'y=f∈ L_2[0,1],()

где p,q∈ L_1[0,1]. В случае задач нечётного порядка естественным является
рассмо­трение ситуации s=1, в отличие от типичного для чётного случая равенства
s=2. Соответственно, свяжем с задачей пару пространств

    W_1,A,U^2   ⇌{y∈ W_1^2[0,1] : 
    			y(1)-y(0)=y'(1)-y'(0)=0},
    		C_B,V^1   ⇌{y∈ C^1[0,1] : y(1)-y(0)=0}.

Умножая обе стороны уравнения (<ref>) на компоненту Z_0 произвольной
вектор-функции Z∈ C_B,V^1[0,1], интегрированием по частям убеждаемся
в справедливости равенства T^∙ y=f, где отношение T^∙ отвечает
оператору T W_1,A,U^2[0,1]→ W_1,B,V^-1[0,1] вида

    ⟨ TY,Z⟩≡∫_0^1[(iY_2+pY_1-qY_0) Z_1-
    		qY_1 Z_0] dx.

Результаты предыдущего параграфа дают теперь для уравнения T^∙ y=f
эквивалентное представление

    1(y^[0])'   =y^[1], (y^[1])'   =-iqy^[0]+ipy^[1]
    		-iy^[2], (y^[2])'   =-qy^[1]-f,


    0pt
    	y^[0](1)-y^[0](0)=y^[1](1)-y^[1](0)=y^[2](1)-y^[2](0)=0.

На ос­нове утверждений <ref> и <ref>, с учётом наличия
ограниченного вложения прост­ранства W_1,A,U^2[0,1] в пространство
C_B,V^1[0,1], легко показывается также, что в случае вещественнозначности
коэффициентов p,q∈ L_1[0,1] неограниченный оператор T^∙ является
самосопряжённым.



 §.§ В
 качестве последнего примера рассмотрим задачу Дирихле для исследовавшегося
в рабо­тах [<cit.>] и [<cit.>] уравнения

    -d dG(dy dH)=f∈ L_2([0,1]; G'),

где H∈ C[0,1] есть некоторая неубывающая функция со свойствами H(0)=H(1)-1=0,
а неубывающая функция G∈ C[0,1] допускает представление G(x)≡ N(H(x)).
В этом случае решение задачи заведомо  может быть записано в виде y=Iu,
где вложение I_2^1[0,1]→ L_2([0,1]; G') — вообще говоря,
не инъективное — подчиняется тождеству [Iu](x)≡ u(H(x)). Кроме того,
заведомо найдётся функция g∈ L_2([0,1]; N'), для которой композиция g∘ H
будет совпадать в пространстве L_2([0,1]; G') с исходной правой частью f,
а потому и подчиняться тождеству

    (∀ v∈_2^1[0,1])    ⟨ I^*f,v⟩=
    		∫_0^1 gv dN.

Соответственно, исходная задача допускает переформулировку (I^*)^-1TI^-1y=f,
где T_2^1[0,1]→_2^-1[0,1] есть обычный оператор двукратного
дифференцирования

    ⟨ Tu,v⟩≡∫_0^1 u'v' dx.

Утверждения <ref> и <ref> вместе с очевидным фактом
положительности оператора T позволяют гарантировать корректную определённость,
самосопряжённость и положи­тельность действующего в пространстве L_2([0,1]; G')
неограниченного оператора T^∙⇌ (I^*)^-1TI^-1.



0.4cm
0cm0cm plus 1fill0cm
Литература200000.4cm20000
Vl:2004 А.А. Владимиров. О сходимости последовательностей
обыкновенных дифференциальных опе­раторов // Матем. заметки. — 2004. —
Т. 75,  6. — С. 941–943.

Vl:2016 А.А. Владимиров. К вопросу об осцилляционных свойствах
положительных дифференциаль­ных операторов с сингулярными коэффициентами //
Матем. заметки. — 2016. — Т. 100,  6. — С. 800–806.

NSh:1999 М.И. Нейман–заде, А.А. Шкаликов. Операторы
Шрёдингера с сингулярными потенциалами из прост­ранств мультипликаторов //
Матем. заметки. — 1999. — Т. 66,  5. — С. 723–733.

MSh:2016 К.А. Мирзоев, А.А. Шкаликов. Дифференциальные
операторы чётного порядка с коэффициен­тами-распределениями //
Матем. заметки. — 2016. — Т. 99,  5. — С. 788–793.

Vl:2014 А.А. Владимиров. Теоремы о представлении и вариационные
принципы для самосопряжённых опера­торных матриц // arXiv:1403.2253.

Fr:2011 U. Freiberg. Refinement of the spectral asymptotics
of generalized Krein Feller operators // Forum Math. — 2011. — V. 23. —
P. 427–445.

Vl:2012 А.А. Владимиров. Об одном классе сингулярных задач
Штурма–Лиувилля // arXiv:1211.2009.
