Fractional differential operators and Toeplitz matrices
Philippe Rambour Abdellatif Seghier

Tunneling and bound states in near-edge NbN-Bi_2Se_3 junctions fabricated by deposition through a wire shadow mask 
    G. Koren
    December 30, 2023
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 Opérateurs différentiels fractionnaire et matrices de Toeplitz.

Dans ce travail on généralise à certains opérateurs fractionnaires la  méthode utlisée pour 
 pour inverser les opérateurs différentiels 
 d^2n/dx^2n en inversant une matrice de Toeplitz. 
 L'intért de ce travail est de montrer que l'on retrouve facilement par ce moyen les résultats fournis par les méthodes classiques d'analyse.
           
          
          
 Fractional differential operators and Toeplitz matrices.

In this work we generalize to few fractional differential operators the  method used to reverse differential operators
d^2n/dx^2n by inverting a Toeplitz matrix. The interest of this work is to show that the method provides by the classical analytic methods of the analysis are easily founded by this means.
        
   










§ INTRODUCTION

L'étude du calcul fractionnel est un sujet ancien puisqu'il a été initié il y a a peu près 300 ans par 
G.W Leibniz et L. Euler. Il est de nouveau d'actualité depuis les années 1970
et intervient dans la modèlisation de nombreux probèmes (voir <cit.>,<cit.>).
Les dérivées fractionnaires qui vont nous occuper ici sont principalement les dérivées de Marchaud et de Grunwald-Letnikov . On sait que ces dérivées sont en fait reliées entre elles et permettent également de retrouver les dérivées de Riemann-Liouville et
 de Caputo (voir <cit.> pour les dérivées de Riemann-Liouville et de Caputo, 
 et <cit.> pour les dérivées fractionnaires en général).

L'objectif de ce travail est d'introduire ces opérateurs, en particulier la dérivée fractionnaire inférieure ou supérieure de Marchaud sur un intervalle, au moyen 
d'une discrétisation de la fonction à  dériver et d'une matrice de Toeplitz au symbole bien choisi. C'est à dire que ce travail s'inscrit dans la lignée des travaux qui ont pour ambition d'associer un opérateur à une matrice de Toeplitz et 
l'inverse de cet opérateur à l'inverse de cette même matrice.
L'exemple considéré ici est principalement celui qui consiste à résoudre des équations différentielles 
fractionnaires sur un intervalle avec ou sans conditions de Dirichlet.  On résoud des équations faisant intervenir des dérivées fractionnaires 
d'ordre α= 2p_α+α'  avec 2 p_α =[α] et 
0< α<1.  Si p_α=0 on ne demande pas à la solution de vérifier de conditions aux bord de l'intervalle, et si p_α>0 la solution doit vérifier 
p_α conditions initiales à chaque extémité de l'intervalle. Il est à noter que nous retrouvons les résultats classiques à quelques variantes près. Ainsi les dérivées de Marchaud supérieures ou inférieures sont-elles définies pour des fonctions vérifiant des hypothèses différentes de celles que l'on considère habituellement. Les énoncés établis ici considérées ici portent sur des fonctions localement contractantes, où dont les dérivées sont localement contractantes, sur un intervalle donné, alors que dans le cas classique 
on considère plutt des fontions absolument continues ou 
de dérivées absolument continues, sur l'intervalle étudié 
(voir <cit.>, et se rapporter aux théorèmes <ref> et <ref>) (voir toujours <cit.> et 
les énoncés <ref>, <ref> et 
<ref> dans cet article). 

Rappelons qu'une matrice de Toeplitz d'ordre N de symbole h est la matrice T_N (h) définie par 
( T_N(h) )_(k+1,l+1 = ĥ (k-l) pour 0≤ k,l≤ N et où ĥ (s) désigne le coefficient de Fourier d'ordre s.
Nous généralisons ici une méthode bien connue dans le cas 
des équations différentielle du type 
d^2n f/dt^2n (<cit.>,<cit.>, <cit.>, et aussi <cit.> pour une autre approche) avec conditions initiales. 
Cette méthode est basée sur l'inversion de certaines matrices de Toeplitz. 
Cette méthode consiste à discrétiser l'équation au moyen de la matrice de Toeplitz 
d'ordre N de symbole f_2n défini par 
θ↦| 1- e^iθ| ^2n = 
2^2n|sin (θ/2)| ^2n. 
Si 0<x<1 et ψ une fonction appartenant à C^2n([0,1]) on montre que la limite 
lim_N → + ∞∑_l=0^N(T_N (f_2n))_k+1,l+1ψ (l/N), avec k=[Nx], n'est rien d'autre, à un coefficient près, que (-1)^nd^2n fψ/dt^2n. L'inversion de la matrice de Toeplitz T_N(f_n) fournit alors un noyau de Green associé aux conditions initiales 
 f^(0)(0)=f^(1)(0)=⋯=f^(n-1)(0)=0 et f^(0)(1)=f^(1)(1)=⋯=f^(n-1)(1)=0.

 Ici nous considérons pour α>0 la matrice de Toeplitz d'ordre N de symbole 
 φ_α= lim_R→ 1^-φ_α,R où φ_α,R 
  est la fonction définie sur ]-π,π[ par 
 θ↦ (1-Re^iθ)^α(1+R e^-iθ)^α.
 Pour f une fonction définie sur ]0,1[ et 0< x< 1 on étudie alors la limite
 
    lim_N→ +∞ N ^α(∑_l=0^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l) =( D_α (f)) (x),   avec   
    k=[Nx],
 
en posant (X_N)_l= f(l/N) si l≠ 0,1,
(X_N)_0=(X_N)_1=0.
Nous posons alors les définitions suivantes.

On dira qu'une fonction f est localement contractante sur un intervalle ]a,b[ si pour tout intervalle [δ_1, δ_2] contenu dans 
[a,b] il existe un réel K 
vérifiant, pour tout z,z' dans [δ_1, δ_2] :

    | f(z) -f(z')|≤ K | z-z'|.



Pour tout intervalle ]a,b[ et tout réel γ∈ [0,1[ on notera 
L^1_1-α (]a,b[) l'ensemble des fonctions f définies sur ]a,b[
vérifiant pour un réel γ∈ [0, 1-α] f(x) =O(x^-γ), f(1-x) = O(x^-γ) quand x→ 0 par valeur positives .

On considère alors les fonctions localement contractantes sur ]0,1[ et dans 
L^1_1-α (]a,b[) pour γ∈ [0, 1-α].

On montre (voir le théorème <ref>) que si α∈ ]0,1[ cette limite existe pour de telles fonctions et vaut est, pour x∈]0,1[ ou pour x∈ [0,1] selon les hypothèses,


    2^α/Γ(-α)(
     ∫_0^x| x-t|^-α-1(f(t)- f(x))dt - f(x) ((x)^-α/α))

c'est à dire que nous retrouvons la dérivée fractionnaire inférieure de Marchaud d'ordre α sur (0,1).
On peut d'ailleurs vérifier que si l'on choisit comme symbole la fonction 
φ̃_α= lim_R→ 1^-φ̃_α,R où 
φ̃_α,R 
  est la fonction définie sur ]-π,π[ par 
 θ↦ (1+Re^iθ)^α(1-R e^-iθ)^α
cette même limite nous donne  la dérivée fractionnaire supérieure de Marchaud d'ordre α sur (0,1). 
Considèrons la dérivée fractionnaire de 
Grünwald-Letnikov calculée en un réel x d'un intervalle [a,b] et donnée pour une fonction f définie sur [a,b] par 

    ((D_G L^α)f )(x) = lim_Δ x → 01/(Δ x)^α∑_n=0^x-a/Δ x
    (-1)^nΓ(α+1)/Γ(n+1)Γ(α-n+1) f(x-nx).

Si l'on choisit Δ x = 1/N,
[a,b]=[0,1] alors 

    ( D_G L^α)(x) = lim_N→ +∞  
    N^α∑_l=0^k
    (-1)^lΓ(α+1)/Γ(k-l+1)Γ(α-(k-l)+1) f(l/N)

avec k=[Nx].
Un calcul identique à celui effectué dans la démonstration du théorème 
<ref> permet d'obtenir, en choisissant judicieusement le symbole de la matrice deToeplitz utilisée, que pour une fonction contractante sur 
[0,1] on a  (D_G L^α)(x) = ( D_α (f)) (x).

En adaptant à la dimension un des formules d'inversion des matrices de Toeplitz à blocs établies dans <cit.> on peut obtenir les coefficients de la matrice T_N^-1 (φ_α,R). On peut alors définir une 
intégration fractionnaire notée J_α pour une fonction 
f définie sur [0,1]. Pour x∈ [0,1] (J_α (f)) (x) sera définie si la limite 
quand R tend vers 1 par valeurs inférieurs et quand N tend vers plus l'infini
de ∑_l=0^N(T_N^-1 (φ_α,R))_k+1,l+1
existe et est finie.
En particulier pour α∈ ]0,1[ et f une fonction localement contractante sur ]0,1[ et dans 
L^1_1-α([a,b]) on obtient que pour x∈ ]0,1[ (J_α (f)) (x) existe et vaut  (propriété 
<ref>)

    (J_α (f)) (x) = 1/2^αΓ (α)∫_0^xf(t)/(x-t)^1-αdt.

L'existence de J_α nous permet  de résoudre des équations différentielles fractionnaires. Par exemple pour α∈ ]0,1[ on obtient 
que pour une fonction ψ contractante sur ]0,1[ la fonction h= J_α(ψ)
est définie sur ]0,1[ et est solution  pour tout x∈ ]0,1[ de l'équation
D_α (y) = ψ (voir la propriété <ref> et le corollaire <ref>. 

On étend ensuite ce résultat à D_α pour α≥1. Soit α un réelt etn un entier positif. SI f est une fonction n fois dérivable   dans ]0,1[ 
 vérifiant f(0)=f^(1)(0)=⋯= f^(n-1)(0)=0,
 f(1)= f^(1)(1)= ⋯=f^(n-1)(1)=0 et f^(n) contractante.
 Alors  f est D^α+n dérivable si et seulement si f^(n) est
 α dérivable et de plus pour tout réel x dans ]0,1[ 
 
    D^α+n (f) (x) = (2)^nD^α (f^(n)) (x).

 
Si n=2p J_n(f) est défini à partir du noyau de Green 
défini  pour 0≤ x,y≤ 1 par la formule 

    G_p(x,y) = x^py^p/((p-1)!)^2∫_max (x,y)^1(t-x)^p-1 (t-y)^p-1/t^2p dt
        si   (x,y)≠ (0,0)

  et G(0,0)=0.
 
  On rappelle qu'il a été établi dans (<cit.>) que 
  G_p est le noyau de Green associé à l'opérateur 
  différentielle (-1)^p d^2p/dx^2p sur [0,1] associé 
  aux conditions initiales 
  
    f^(0) (0) = f^(1) (0)= ⋯ = f^(p-1) (0)=0,
         
       f^(0) (1) = f^(1) (1)= ⋯ = f^(p-1) (1)=0.
 
   On pose alors 
 J_n (f) = (-1)^p ∫_0^1G_p(x,t) f(t) dt, puis 
 où J̃_α = J_n_α∘ J_α-n_α.

 On peut à ce moment là  utiliser les noyau de Green obtenus dans <cit.>
 résoudre des équations différentielles du type D_α (y) = ψ avec 
 conditions de Dirichlet comme dans le théorème :
  
  On considère un réel positif α, de partie entière n_α.
 on suppose que n_α =2p_α est un entier pair  et
  on se donne une fonction  ψ localement contractante sur ]0,1[ et dans L^1_1-α([0,1]). Alors 
  la fonction J̃_α (ψ) est solution sur ]0,1[
  de l'équation différentielle 
  D_α(y)=ψ
  avec les conditions initiales 
  y(0)=y^(1)(0)= ⋯=y^(p_α-1)(0)=0

  et 
  y(1)=y^(1)(1)= ⋯=y^(p_α-1)(1)=0.
 

 On peut ensuite par homothétie définir les dérivées D_α,a,b 
 et les primitives J̃_α,a,b sur tout intervalle 
 [a,b] et résoudre des équations différentielles à conditions initiales 
 sur un intervalle [a,b] grâce à un théorème analogue 
 au th́éorème <ref>. 
 Pour 0<α<1 par un passage à la limite si,   lim_a→ -∞, b → + ∞(D_α,a,b (f))(x) /(b-a)^-α existe et est fini.
on définit la dérivée 

    ( D_α,∞ (f)) =  2^α/Γ (-α)∫_-∞^x (x-u)^-α-1 ( f(u) - f (x)) du.

On  définit de même ( J_α,∞ (f)) (x) = lim_a→ -∞, b → + ∞(J_α,a,b (f))(x) /(b-a)^α 
 si cette limite existe et est finie.
 On remarque que D_α,∞ est une dérivée de Marchaud.
Dans ce cas si ψ est une fonction localement contractante, à support compact, (donc en fait contractante et intégrable) on peut également résoudre sur 
 ℝ l'équation 
 différentielle (D_α,∞ (y) (x)=ψ(x) en posant 
 y=J_α,∞.

 En conclusion ce travail met en évidence le lien profond qui existe entre certaines matrices de Toeplitz et des opérateurs différentiels d'une part, et entre l'inverse de ces matrices et l'inverse de ces opérateurs d'autre part.  Les formules d'inversion des matrices de Toeplitz peuvent alors permettre d'inverser ces opérateurs.  
 

§ LA DÉRIVATION FRACTIONNAIRE D_Α



 §.§ Définition de la fonction φ_α

Rappelons que nous notons par χ la fonction θ↦ e^iθ.
Pour α>0, R∈ ]0,1[ et θ∈ ]-π,π] nous définissons les fonctions φ_α,R et φ_α par 
φ_α,R  = 
(1-Rχ)^α (1+R χ̅)^α= (1-R^2-Rχ+Rχ̅)^α.
et φ_α= lim_R→1_-φ_α,R

Nous allons maintenant déterminer l'asymptotique des coefficients de Fourier 
de la fonction 
φ_α
 
Si α désigne un réel strictement supérieur à 
-1/2 non entier, on a
 pour tout entier n suffisamment grand, 
 
    {[                                  φ_α(n)                                       =            n^-α-12^α/Γ (-α) + o(n^-α-1)                              si   n > 0;                                  φ_α(n)                                       = (-1)^n (- n)^-α-12^α/Γ (-α)+ +o(n^-α-1)                             si   n < 0. ].



Rappelons tout d'abord que pour tout réel non entier α
et tout R∈ [0,1[ nous avons 

    (1+Rχ)^-α = ∑_u≥ 0β_u^(α) R^u χ^u

avec (voir <cit.>)

    β_u^(α) = u^α-1/Γ (α)
    + O (u^α-2).

Posons δ _n^(α,R) le coefficient de Fourier d'ordre n de 
φ_α,R, et  δ _n^(α) celui de 
φ_α.

Nous avons 

    δ _n^(α,R) = ∑_u≥ 0β_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u

si n est un entier positif et

    δ _n^(α,R) = ∑_u≥ 0β_u^(-α)β_-n+u^(-α) (-1)^-n+u R^-n+2u

si n est un entier négatif.

Pour n un entier positif suffisamment grand et 
γ un réel dans ]0,1[ 
écrivons

    δ _n^(α,R) = ∑_u=0 ^n^γβ_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u
    + ∑_u >n^γβ_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u.

En écrivant pour u et n assez grand le terme  
β_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u
sous la forme 
a_u b_u + O(u^-α-2 n^-α-1) avec 
a_u= u^-α-1 (n+u)^-α-1,
b_u= (-1)^u R^n+2u
il est facile de vérifier, en utilisant une sommation d'Abel, que 

    |∑_u >n^γβ_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u|≤ K_1(n^γ)^-α-1 n^-α-1.

Nous avons d'autre part 

    ∑_u=0 ^n^γβ_u^(-α)β_n+u^(-α) (-1)^u R^n+2u =
     n^-α-1 R^n/Γ (-α)( ∑_u=0 ^n^γβ_u^(-α) 
    (-1)^u R^2u + τ( γ))

avec 

    |τ( γ) |≤ K_3( ∑_u=0 ^n^γu/n) 
    ≤ K_4( n^2γ-1)

Enfin nous obtenons, en utilisant les propriétés des séries alternées,  

    ∑_u=0 ^n^γβ_u^(-α) 
    (-1)^u R^2u = (1+R^2)^α + K_5 n^(-α -1)γ

On peut d'autre part vérifier que les constantes K_i, 1≤ i ≤ 5 qui apparaissent dans 
les équations (<ref>)(<ref>)(<ref>)
sont indépendantes de R et de n. 
Nous pouvons donc affirmer que pour de entier n 
suffisamment grand et γ bien choisi 
δ_n ^(α,R) = n^-α-1 (1+R^2)^α R^n/Γ (-α) 
+o(n^-α-1)
uniformément par rapport à R.
Soit en faisant tendre R vers 1 :

    δ_n ^(α) =  n^-α-1 2^α/Γ (-α) +o(n^-α-1).

De la même manière on obtient le théorème
pour n < 0 à partir de (<ref>).



 §.§ Définition de la dérivation D_α


Soient α est un réel strictement supérieur à zéro 
et  f une fonction définie sur [0,1]. On dira que f est α dérivable en x∈ [0,1] 
 si et seulement si il existe un réel, noté ( D_α (f)) (x) tel que 
 
    lim_N→ +∞ N ^α(∑_l=0^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l) =( D_α (f)) (x),   avec   
    k=[Nx].



Soit α∈ ]0,1[ et f une fonction localement contractante définie sur ]0,1[, appartenant à 
L_1-α^1(]a,b[).  
 Alors ( D_α (f)) (x) existe et vaut 

    ( D_α (f)) (x) = 2^α/Γ(-α)(
     ∫_0^x| x-t|^-α-1(f(t)- f(x))dt - f(x) ((x)^-α/α))

 pour tout x∈ ]0,1[.
 
 
 Si les quantités f(0) ou f(1) ne sont pas définies, on pose f(0) ou f(1)=0.
  
 
 Dans la suite de cette démonstration nous poserons 
 C_α= 2^α/Γ(-α).
 Pour N fixé posons k tel que [Nx]=k et ϵ un réel positif suffisamment petit.
 On a 
 
    ∑_l=0^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l   =
     ∑_l=0^k-[Nϵ]-1T_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l +∑_l=k-[Nϵ]^k+[Nϵ]T_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l
       + ∑_l=k+[Nϵ]+1^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l.

  Ce qui peut s'écrire aussi 
    
    ∑_l=0^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l   =
      ∑_l=0^k-[Nϵ]-1φ_α 
      (k-l)
      f(l/N) +∑_l=k+[Nϵ]+1^Nφ_α (k-l)  
      f(l/N) 
        - ( ∑_l < k-[Nϵ]φ_α 
     (k-l)
        +∑_l>k+[Nϵ]φ_α 
        (k-l))
        f(k/N) +R_ϵ,N

avec, en utilisant la convergence de la série 
∑_u∈ℤφ_α(u), et la locale convergence,

    R_ϵ,N = ∑_l=k+[Nϵ]^k-[Nϵ]φ_α(k-l) 
    ( f(l/N)-f(k/N)).


    | R_ϵ,N|≤ϵ∑_l = k-[Nϵ]+1^l=k+[Nϵ]-1|φ_α (k-l)|≤ϵ  M
 
  (M est un réel indépendant de N).
  Ce qui devient 
  
    ∑_l=0^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l   =∑_l=0^k-[Nϵ]-1φ_α 
    (k-l)
     ( f(l/N) -f(k/N)) 
     
        +∑_l=k+[Nϵ]+1^Nφ_α 
     (k-l)  
    ( f(l/N -f(k/N)) 
       
     - ( ∑_l < 0φ_α 
     (k-l)
      +∑_l>Nφ_α (k-l))
      f(k/N) +R_ϵ,N

  On obtient, en utilisant le théorème <ref>  
 
    ∑_l=k+[Nϵ]+1^N φ_α (k-l)
        ( f(l/N) -f(k/N)) 
     = 
       C_α∑_l=k+[Nϵ]+1^N (-1)^k-l 
     (l-k)^-α-1( f(l/N) -f(k/N)) +o(N^-α).
 
Une sommation d'Abel donne que 

    |∑_l=k+[Nϵ]+1^N (-1)^k-l
     (l-k)^-α-1( f(l/N) -f(k/N))| 
     =O( (N) ^-α-1ϵ ^-α).

 En effet il vient, avec la formule d'Euler et Mac-Laurin,
 
    |∑_l=k+[Nϵ]+1^N (-1)^k-l
     (l-k)^-α-1( f(l/N) -f(k/N))|≤| C_α|( S_1 + S_2 +S_3)

 avec, en utilisant les hypothèses faites sur f  
 
    S_1= (Nϵ)^-α-1ϵ + k^-α-1| f(1) - f(k/N) | = O( N^-α-1ϵ ^-α),


    S_2    = ∑_l=k+[Nϵ]+1^N| (l-k)^-α-1 - (l-k-1)^-α-1||  f(l/N) -f(k/N)|
       ≤ O( ∑_l=k+[Nϵ]+1^N (l-k-1)^-α-2)
       = O( (Nϵ)^-α-1),

 et enfin 
 
    S_3= ∑_l=k+[Nϵ]+1^N| (l-k)^-α-1||  f(l/N) -f(l-1/N)|.

 On utilise la décomposition  
 
    S_3    =∑_l=k+[Nϵ]+1^N- [Nϵ]| (l-k)^-α-1||  f(l/N) -f(l-1/N)|
       + ∑_l=N-[Nϵ]+1^N| (l-k)^-α-1||  f(l/N) -f(l-1/N)|

 Soit ϵ_0 un réel positif tendant vers zéro. Si K_ϵ_0 est tel que pour tous les réel x et x' dans 
 [x+ϵ, 1-ϵ_0] on a | f(x) - f(x') |≤ K_ϵ_0| x - x'|
 alors 

    ∑_l=k+[Nϵ]+1^N- [Nϵ_0]| (l-k)^-α-1||  f(l/N) -f(l-1/N)|≤   ≤ K_ϵ_0∑_l=k+[Nϵ]+1^N-[Nϵ] (k-l)^-α-11/N
       = O( N^-α-1ϵ^-α).

 D'autre part l'hypothèse 
 f∈ L^1_1-α([0,1]),  implique l'existence d'un réel γ∈ [0, 1-α] tel que 
 
    ∑_l=N-[Nϵ_0]+1^N| (l-k)^-α-1||  f(l/N) -f(l-1/N)| = O(N^γ (N-k)^α-1ϵ_0) = o(1)

 On remarque enfin que si α∈ ]0, 1[ et 
ϵ= N^-τ on peut choisir τ 
de manière à ce que 1/α+1>τ>α 
ce qui implique 
 
    ∑_l=k+[Nϵ]+1^Nφ_α (k-l)  ( f(l/N) - f(k/N))
    = o(N^-α_0)

pour tout réel α_0∈ ]0, α[.
et 
R_ϵ,N = o(N^-α).
D'autre part 

    ∑_l=0^k-[Nϵ]-1φ_α 
      (k-l)  
     ( f(l/N) -f(k/N))
      = C_α N^-α∫_0 ^x-ϵ| x-t| ^-α-1(f(t) -f(x) ) dt +o(N^-α).

 et aussi 
 
    ( ∑_l < 0φ_α (k-l)
        +∑_l>Nφ_α (k-l))
        f(k/N)  = C_α N^-αx^-α/αf(x)
       +o(N^-α).

   Nous avons donc obtenu
 
    N^α∑_l=1^NT_N(φ_α)_k+1,l+1(X_N)_l 
     = 
    C_α( ∫_0 ^x-ϵ| x-t| ^-α-1(f(t) - f(x) ) dt-  x^-α/α f(x) )
    +o(1).

 


Nous avons de plus 
  
 Soit 0<α<1 et f∈ L^1_1-α([0,1[) une fonction localement contractante sur [0,1[,
 vérifiant f(0)=0.
 Alors ( D_α(f))(0) existe et vaut
 zéro
  
 
Soit  ϵ_1∈ ]0,1[.
On a 
 
    ∑_l=0^Nφ_α (-l) f(l/N) 
     = ∑_l=0^ [Nϵ_1]φ_α (-l)  
     (f(l/N)-f(0))
    +∑_l= [Nϵ_1]+1^Nφ_α(-l) 
    f(l/N) .

Grâce à l'hypothèse contractante 

    ∑_l=0^ [Nϵ_1]φ_α (-l) 
     (f(l/N)-f(0))
    ≤  O( ϵ_1)=o(N^-α) 
    ,

si on choisit ϵ_1= N^-γ_1 avec 1>γ_1>α.
D'autre part en utilisant la démonstration du théorème <ref> il vient 

    ∑_l= [Nϵ_1]+1^Nφ_α(-l) 
    f(l/N)  = O(N^-α-1ϵ_1^-α)

ce qui implique qu'il faut finalement choisir α<γ_1≤1/α.
La propriété est alors démontrée.

  
  Soit <α<1 et  f∈ ]0,1] est une fonction localement  contractante sur ]0,1], 
  et appartenant à L^1_γ(]0,1]), avec  0<γ<1-α, vérifiant 
  f(1)=0.
  Alors 
 ( D_α(f))(1) existe et vaut 
 2^α/Γ(-α)( ∫_0^1 t^-α-1 f(t) dt ).
  
 
En posant [Nϵ_2]= N^-γ avec 1>γ>0 
on écrit 

    ∑_l=0^Nφ_α(N-l) f(l/N) 
     = ∑_l=0^N- [Nϵ_1]φ_α (N-l) f(l/N)
    +∑_l= N- [Nϵ_1]-1^Nφ_α  (N-l)  (f(l/N)-f(1)).

On raisonne ensuite comme pour la démonstration du lemme <ref>. Comme dans la démonstration du théorème <ref> on obtient 

    ∑_l=0^ N- [Nϵ_1]φ_α (k-l) f(l/N) 
    = O(N^-α-1ϵ_1^-α)=o(N^-α).

On conclut en remarquant  que 

    |∑_l= N- [Nϵ_1]-1^Nφ_α (N-l)  (f(l/N)-f(1))|
    =≤ O( 1/N) ∑ (N-l)^-α= 
    O( N^-αϵ_1^1-α)= o(N^-α).


  

 §.§ Composition avec les dérivées entières

 
 Pour N un entier naturel on considère X_N le vecteur de ℝ^N+1
 défini par X_N= ( f(i/N))_(i∈0,⋯, N).  Pour tout entier k vérifiant 
 n<k<N-n, et pour toute fonction  f ∈ C^n]0,1[ on a alors 
 (T_N (φ_n) X_N)_k= (2)^n/N^n f^(n) (k/n) + o(1/N^n).
 
 
 On vérifie facilement que pour tout entier q 
 on a pour i,j vérifiant q<i,j<N-q
 
    ( T_N(φ_1) T_N(φ_q-1))_i,j 
     = T_N(φ_q)_i,j.

 Si n est maintenant un entier fixé, on a n-1 constantes a_i,1, 2≤ i ≤ n telles que 
  pour 1<j<N-1,
 
    (T_N(φ_1) X_N)_j= (-2)( 1/N f^(1) (j/N) 
     + ∑_i=2^n a_i,1
     f^(i) (j/N)) + o (1/N^n).

 En utilisant l'équation (<ref>) on obtient l'existence de n-3 constantes a_i,2,  3≤ i ≤ n telles que 
pour 2<j'<N-2 
 
    (T_N(φ_2) X_N)_j' =
      4 1/N^2 f^(2) (j'/N) 
     + ∑_i=3^n-1 a_i,2
     f^(i) (j'/N)+  a_n,1(f^(n) (j'+1/N) - f^(n) (j'-1/N))+o (1/N^n),

 ce qui donne 
 
    (T_N(φ_2) X_N)_j' =
      4 1/N^2 f^(2) (j'/N) 
     + ∑_i=3^n-1 a_i,2
     f^(i) (j'/N)+ o (1/N^n).

  En répétant le principe suffisamment de fois on obtient le lemme.
   
 
 Soit α∈ ]0,1[ et n un entier. On suppose que f est une fonction n fois dérivable   dans [0,1] 
 vérifiant f(0)=f^(1)(0)=⋯= f^(n-1)(0)=0,
 f(1)= f^(1)(1)= ⋯=f^(n-1)(1)=0 et f^(n) contractante.
 Alors  f est D^α+n dérivable si et seulement si f^(n) est localement contractante et dans 
 L^1_1-α([0,1]). Alors pour tout réel x dans ]0,1[ 
 
    D^α+n (f) (x) = 2^nD^α (f^(n)) (x).

 
 
 Les hypothèses sur f^(n)  permettent d'affirmer,
 grâce au théorème <ref> que D_α (f^(n)) (x) 
 est bien défini pour x ∈ ]0,1[.
 
 Cette propriété et une conséquence directe du lemme ci-dessous
 
  Soit α∈ ]0,1[ et n un entier. On suppose que f dérivable
  dans [0,1] 
 vérifiant f(0)=f(1)=0, et f^(1) contractante.
 Alors  f est D^α+1 dérivable en x∈ ]0,1[ si et seulement si f^(1) est  α dérivable en x et 
 
    D^α+1 (f) (x) = (2) D^α (f^(1)) (x).

 
 
 Posons k l'entier tel que k=[Nx]. On sait que 

    D^α+1 (f) (x) = 
    N^α+1∑_l=0^N φ_α+1 (k-l)
    f(l/N) +o(1).

Ce qui peut s'écrire aussi 

    D^α+1 (f) (x) = 
    N^α+1∑_l=0^N 
    ( 
    φ_α (k-l+1) φ_1 (-1)+
    φ_α (k-l-1) φ_1 (1)
    )f(l/N) +o(1).

Ce qui s'écrit encore

    D^α+1 (f) (x) = 
    N^α+1∑_h=1^N-1φ_α (k-h)
    ( φ_1(-1) f(h+1/N)+φ_1(1) f(h-1/N))+
    R_N+o(1)

avec R_N= φ_α (k-N) φ_1(1) f (N-1/N)+
 φ_α(k) φ_1(-1) f (1/N)=o(N^-α-2).
 Puisque  f^(1)  est contractante nous pouvons écrire, c étant un réel dans 
 ]h-1/N,h+1/N[  
 
    φ_1(-1) f(h+1/N)+φ_1(1) f(h-1/N)
     = 2/N f^(1)(c)= 2/N( f^(1)(h/N) + O(1/N))

 ce qui donne 
 
    D^α+1 (f) (x)    = 
    2N^α∑_h=1^N-1φ_α (k-h)
    ( f^(1) (h/N) +O(1/N) ) +o(1)
       = N^α∑_h=0^Nφ_α (k-h)
    f^(1) (h/N) +o(1)

avec R'_N=-2 N^α( φ_α (k-N) f^(1)(1)+ 
φ_α (k) f^(1)(0)).
Ce qui achève de prouver le lemme.
 La réciproque s'obtient en remontant les calculs.
 
 
 Si α∈ ]0,1[ et si  f 
 est  une fonction dérivable de dérivée contractante sur [0,1],  vérifiant de plus f(0)=f(1)=0, alors un calcul direct permet de vérifier que D^α (f) est dérivable sur ]0,1[ et de dérivée D^α (f').
 Si on suppose de plus f'(0)=f'(1) =0 alors ce résultat peut être étendu à 
 [0,1] tout entier.






 

  

§ LA FORMULE D'INVERSION DES MATRICES DE TOEPLITZ À COEFFICIENTS RÉELS

  Classiquement, on sait calculer explicitement les coefficients de l'inverse  d'une matrice de Toeplitz de symbole positif f qui vérifie ln f ∈ L^1 (𝕋). Ces formules 
  utilisent fortement le fait qu'une telle fonction f peut s'écrire f = g g̅ avec 
  g ∈ H^+ (𝕋) ( <cit.>) où
  H^+(𝕋) = { h∈ L^2 (𝕋) |ĥ (s)=0 ∀ s, s<0}. Certains problèmes, notamment la recherche des valeurs
  propres, nécessitent d'inverser des matrices de Toeplitz dont le symbole 
  n'est pas nécessairement positif (voir, par exemple, <cit.> <cit.>).
  Pour ce faire, nous allons considérer des fonctions f qui ne s'annulent pas sur le tore  admettant une décomposition  f=g_1g_2, avec 
   g_1, g_1^-1∈ H^+(𝕋), g̅_2, g̅_2^-1∈ H^+(𝕋).
   Nous posons  Φ_N = χ^N+1g_1/g2 et 
   Φ̃_N = χ^-N-1g_2/g1, 
   où χ désigne la fonction définie par θ↦ e^iθ.
    Nous  considérons alors les opérateurs de Hankel, H_Φ_N et H_Φ̃_N
   définis par 
   
    H_Φ_N : H^+ (𝕋)↦H^+^⊥ (𝕋)  ϕ↦π_- ( Φ_N (ϕ)

   
    H_Φ̃_N : H^+^⊥(𝕋) ↦ H^+ (𝕋)
         ψ↦π_+ (Φ̃_N) (ψ).
 
   
   Dans la suite nous désignerons par 𝒫_N l'ensemble des polynômes 
   trigonométriques de degré inférieur ou égal à N, et nous notons 
   π_+ la projection orthogonale de L^2(𝕋) dans H^+ (𝕋) 
   et  π_+ la projection orthogonale de L^2(𝕋) dans H^+^⊥.
   Enfin si g∈ L^2(𝕋) nous notons par 
   d_∞(g,𝒫_N) la quantité 
   inf_q∈𝒫_N‖ g-q‖_∞, où 
   ‖ g-q‖_∞ = sup_θ∈ [0, 2π[| g (θ) -q (θ)|.
  Nous pouvons alors énoncer le théorème :
  
  Si la fonction f est comme ci-dessus, on suppose que les fonctions g_1 et g_2 vérifient 
  
    lim_N→ + ∞ d_∞( 1/| g_2| ^2, 𝒫_N) =0
        et   
      d_∞( 1/| g_1| ^2, 𝒫_N) < + ∞

  ou
   
    lim_N→ + ∞ d_∞( 1/| g_1| ^2, 𝒫_N) =0
        et   
      d_∞( 1/| g_2| ^2, 𝒫_N) <+ ∞

  alors, pour N suffisamment grand,
  
  
  * l'inégalité ‖ H_Φ̃_N H_Φ_N‖_2<1 est vérifiée (ce qui assure bien sûr l'inversibilité de l'opérateur 
  I - H_Φ̃_N H_Φ_N),
  
  * la matrice T_N(f) est inversible,
  
  * pour tout polynôme Q dans 𝒫_N, on a 
 
    T_N^-1 (f) (Q) =
      π_+(Q g_2^-1) g_1^-1 - π_+ ( (( I- H_Φ̃_N H_Φ_N )^-1π_+( π_+ (Q g_2^-1) Φ̃_N)) Φ_N ) g_1^-1.

  
   
  Ce théorème a été obtenu dans <cit.> pour inverser des matrices à blocs que nous interprétons comme des matrices de Toeplitz tronquées dont le symbole 
  est une fonction matricielle contenue dans L^2_ℳ_n (𝕋)
  ={ M : 𝕋→ℳ_n (ℂ) |∫_𝕋‖ M‖_2^2 dσ< + ∞}, où 
 ‖ M ‖_2= [  (M M ^*]^1/2 et où σ est la mesure de Lebesgue su le tore 𝕋. Néanmoins, il est facile de vérifier 
  qu'avec les hypothèses que nous nous sommes données (voir <cit.>, lemme 7.1.5 et corollaire 7.1.6), la démonstration se transpose
  sans difficulté au cas des matrices de Toeplitz dont le symbole est une fonction de 
  𝕋 dans ℂ. 

  Nous posons ici :
 g_1,R = (1+R χ)^α et 
 g_2,R= (1-R χ̅)^α, 
 et nous allons inverser la matrice 
 T_N,α,R de symbole g_1,R g_2,R =
  (1-R^2 +R χ -Rχ)^2α.
  Nous noterons T_N,α,R la matrice 
  T_N(ϕ_α,R).


§ CALCUL DES COEFFICIENTS DE (T^-1_N,Α,R)



 §.§ Notations

Dans la suite de ce paragraphe nous supposerons 1>α>0.
On note  β_u,1,R et β_u,2,R les coefficients de Fourier 
de g_1,R ^-1 et g_2,R^-1. Nous avons évidemment pour u≥ 0 
β_u,1,R = (-1)^u R^uβ_u^(α) et 
β_u,2,R =  R^uβ_-u^(α) avec (voir <cit.>)

    β_u^(α) = u^α-1/Γ (α) 
    +u^α-2/Γ (α-1)+o(u^α-2).

D'après le théorème <ref>
nous avons pour 0≤ k,l≤ N 

    (T^-1_N,α,R)_k+1,l+1 = T_1,N,k,l,R+ T_2,N,k,l,R

avec 

    T_1,N,k,l,R= ⟨π_+( χ^l/g_2,R)|π_+( χ^k/g_1,R)⟩

et 

    T_2,N,k,l,R= ⟨π_+(( I- H_Φ̃_N,R H_Φ_N,R )^-1π_+( π_+ (χ^l/ g_2,R) Φ̃_N,R))|π_+(Φ_Nπ_+(χ^k/g_1,R))
      ⟩.

  Pour alléger les notations  nous noterons dans la suite du texte  
  T_1,k,l,R pour T_1,N,k,l,R et 
  T_2,k,l,R pour T_2,N,k,l,R.


 §.§ Calcul de T_1,k,l,R


Supposons tout d'abord : k= [Nx], l=[Ny], avec 0<x<y≤1.

Avec les notations ci-dessus nous avons 

    T_1,k,l,R   = ⟨π_+(∑_u≥ 0β_u^(α) (-1)^uR^uχ^l-u)
    |π_+( ∑_v≥ 0  R^vβ_v^(α)χ^k-v) ⟩
       = ⟨∑_u= 0^l (-1)^uβ_u^(α) R^uχ^l-u|∑_v= 0 ^k R^vβ_v^(α)χ^k-v⟩.

Ce qui donne 

    T_1,k,l,R   = ∑_u=0^k R^l-k+2u (-1)^l-k+uβ_l-k+u^(α)β_u^(α)
       =(-R)^l-k(∑_u=0^k_0 R^2u (-1)^l-k+uβ_l-k+u^(α) +∑_u=k_0+1^k R^2u (-1)^uβ_l-k+u^(α)β_u^(α))

où k_0=N^β où β est un réel strictement compris entre 0 
  et 1. 
  Une sommation d'Abel permet de vérifier que 
  
    ∑_u=k_0+1^k R^2u (-1)^u β_l-k+u^(α)β_u^(α) = O( (l-k)^α-1 
     k_0^α-1) = O( N^(β+1)(α-1)).

   En posant  
   ψ_1 (l-k,u) =  β_l-k+u^(α)- (l-k)^α-1/Γ (α) 
  on peut écrire 
  
    ∑_u=0^k_0 R^2u (-1)^u β_l-k+u^(α)β_u^(α)   = (l-k)^α-1/Γ (α)∑_u=0^k_0 R^2u (-1)^u β_u^(α)ψ_1( l-k,u)
       + ∑_u=0^k_0 (-1)^u R^2uβ_u^(α)(l-k)^α-1/Γ (α)

 ce qui donne 
 
    ∑_u=0^k_0 R^l-k+2u (-1)^u β_l-k+u^(α)β_u^(α) = R^l-k(l-k)^α-1/Γ (α)∑_u=0^k_0 R^2u (-1)^u β_u^(α) 
     + O ( (l-k)^α-2 k_0^α).

 Enfin puisque
  ∑_u>k_0 R^2u(-1)^uβ_u^(α)=
   O(k_0^α-1) nous pouvons énoncer la propriété suivante :
 
En supposant k= [Nx], l=[Ny], avec 0< x≠ y≤1 on a, pour tout réel β∈ ]0,1[ et pour N assez grand : 
 
    T_1,k,l,R = (-1)^l-k  R^| l-k|| l-k| ^α-1/Γ (α) 
     (1+R^2)^α(1+R_1| l-k|)   avec  | R_1| l-k||≤ M_1 (l-k)^β(α-1),

 M_1 étant une constante indépendante de k et l.
 
  

 §.§ Estimation de T_2,k,l,R

  On a (voir l'appendice pour la démonstration
  de ce résultat)
 
Pour tout intervalle [δ_1,δ_2] contenu dans [0,1] 
T_2,k,l,R =o(N^α-1) uniformément pour 
tout (x,y) dans [δ_1, δ_2]× [0,1],



§ INVERSION DE L'OPÉRATEUR DIFFÉRENTIEL D_Α
POUR Α∈ ]0,1[.

  

 §.§ Deux lemmes techniques

  Pour la suite de nos calcul nous allons devoir utiliser 
  ls deux lemmes suivants. 
   
  Soit β un réel dans ]0,1[.
  
  Si | l-k| > N^β
  alors pour tout β_1∈ ]0,1[ et pour N assez grand 
  on a 
  
    T_1,k,l,R= (-1)^| l-k| R^| l-k|| l-k|^α-1/Γ (α)
      (1+R^2)^-α(1+R_4(| l-k| ))

  avec | R_4(l-k)| <  K_4  (l-k)^β_1(α-1) 
  le réel  
  K_4 étant une constante indépendante de k, l 
  et R.
   
  Ce lemme est en fait une variante de la  propreété <ref> et il se démontre de la même manière.
    
  Soit α∈ ]0,1[ et f une fonction localement contractante sur ]0,1[ et dans L^1 _1-α([0,1]) 
  pour 0≤γ≤ 1-γ. 
  Alors pour un entier N fixé suffisamment grand, et pour k =[Nx], 0<x<1
  
    lim_R→ 1∑_l=0^N T_1,k,l,R f(l/N)
      = N^α1/2^αΓ (α)∫_0^x f(t)/(t-x)^1-αdt+ o(N^α).

  
  
  On peut écrire 
  
    ∑_l=0^N  T_1,k,l,R f(l/N)    = 
      ∑_l=0^k-k_0-1  T_1,k,l,R f(l/N)+
      ∑_l=k-k_0^k+k_0 T_1,k,l,R f(l/N)
       +
      ∑_l=k+k_0+1^N T_1,k,l,R f(l/N)

  où k_0= N^β, avec β∈ ]0,1[ (la valeur de β sera précisée ultérieurement). 
  En utilisant le calcul de T_1,k,l,R et le lemme <ref> 
  on obtient si β_1 comme dans le lemme 
  <ref> 
  
    ∑_l=k+k_0+1^N  T_1,k,l,R f(l/N) 
      = ∑_l=k+k_0+1^N( (-1)^k-l R^k-l| k-l| ^α-1/Γ (α)
      (1+R^2)^-α f(l/N) )+ 
      O ( (l-k)^(α-1)(β_1+1))

ce qui donne, si β_1 bien choisi,

    ∑_l=k+k_0+1^N  T_1,k,l,R f(l/N) 
      = ∑_l=k+k_0+1^N( (-1)^k-l R^k-l| k-l| ^α-1/Γ (α)
      (1+R^2)^-α f(l/N) )+ 
     o(N^α)

uniformément par rapport à R. D'où :

    lim_R → 1∑_l=k+k_0+1^N  T_1,k,l,R f(l/N) 
    = 1/2^αΓα∑_l=0^k-k_0-1( (-1)^k-l| k-l| ^α-1 f(l/N) )
     +o(N^-α).

Une sommation d'Abel permet d'écrire, puisque on a, par convention, posé f(N) =f(0) =0,

    |∑_l=k+k_0+1^N-1 (-1)^k-l| k-l|^α-1 f(l/N) 
    |   ≤|(N-k)^α-1 f(1) +(k_0+1)^α-1 f(k+k_0+1/N)|
       + 
    ∑_l=k+k_0+1^N-1|| k-l+1| ^α-1 f(l+1/N) - | k-l|^α-1 f(l/N)
    |.

On écrit 

    ∑_l=k+k_0+1^N-1|| k-l+1| ^α-1 f(l+1/N) - | k-l| ^α-1 f(l/N)|≤∑_l=k+k_0+1^N-1|| k-l+1| ^α-1 f(l+1/N) 
    
       -| k-l| ^α-1 f(l+1/N)| 
    +|| k-l| ^α-1 f(l+1/N) - | k-l| ^α-1 f(l/N)|.

Les hypothèses faites sur f donnent, si k' =[Nx'] avec x<x'<1.

    ∑_l=[Nx']^N-1|| k-l+1| ^α-1 f(l+1/N) 
    
       -| k-l| ^α-1 f(l+1/N)|
       ≤ O(N^γ) ∑_l=[Nx']^N-1| k-l| ^α-1 = O(N^γ+α-1)
    =o(N^α).

Et d'autre part 

    ∑_l=k+k_0+1^[Nx']-1|| k-l+1| ^α-1 f(l+1/N) 
    -| k-l| ^α-1 f(l+1/N)|
    =o(N^α).

Enfin la somme

    || k-l| ^α-1 f(l+1/N) - | k-l| ^α-1 f(l/N)|
 
a été traitée dans la démonstration du théorème <ref>, on sait qu'elle est d'ordre o(N^α).
Ce qui implique finalement 

    ∑_l=k+k_0+1^N| (k-l+1)^α-1 f(l+1/N) - (k-l)^α-1 f(l/N)|
    = o(N^α).

Et on peut conclure 

    lim_R→ 1∑_l=0^k-k_0-1  T_1,k,l,R f(l/N) =o(N^α).

On a d'autre part, si β choisi de tel manière que
0<β<α :

    ∑_l=k-k_0^k+k_0  T_1,k,l,R f(l/N) =O(N^β)=o(N^α).

Et enfin, comme pour la précédente somme  

    ∑_l=0^k-k_0-1 T_1,k,l,R f(l/N)
      = ∑_ l=0^k-k_0-1( R^k-l(k-l)^α-1/Γ (α)
      (1+R^2)^-α f(l/N) )+o(N^α),

uniformément par rapport à R,
soit

    lim_R→ 1∑_l=0^l=k-k_0-1T_1,k,l,R f(l/N)
    =  1/Γ (α) 2^α∑_l=0^ l=k-k_0-1(  (l-k)^α-1 f(l/N) )+O( N^α).

  Ce qui donne facilement 

    lim_R→ 1∑_l=0^l=k-k_0-1 T_1,k,l,R f(l/N)
    = N^α1/Γ (α)2^α∫_0^x (t-x)^α-1f(t) dt 
    +o(N^α).

  
  

 §.§ Définition de l'opérateur J_α pour 0<α<1.

   
 Soit f une fonction définie sur ]0,1[. Pour  x ∈ ]0,1[ et α un réel positif  on notera 
 J_α( f(x)) le réel, s'il existe 
 
    lim_N→ + ∞, R→ 1^- 
     N^-α∑_l=0^N(T_N,α,R^-1)_k+1,l+1 f( l/N)
     =J_α (x)

 avec lim_N→ + ∞k/N=x.

En utilisant le lemme <ref> on peut écrire 
 
Si α∈ ]0,1[ et f une fonction localement contractante sur ]0,1[ et dans L^1_1-α (]0,1[) alors pour x∈ ]0,1[ on a 
  
    J_α (x) = 1/2^αΓ (α)∫_0^x  f(t)/(t-x)^1-α dt.


  

 §.§ Résolution d'une équation différentielle fractionnaire dans ]0,1[ pour 
  α∈]0,1[.

    
   Soient une fonctions f  localement contractantes sur ]0,1[, appartenant  à L_1-α^1([0,1])  et  telle
   qu'il existe une fonction ψ définie et bornée sur ]0,1[ telle que  que  ψ = D_α (f) sur [0,1].    Alors pour tout  x∈ ]0,1[ la quantité ( J_α (ψ) )(x) 
   est définie et on a 
  f(x)=( J_α (ψ) )(x). 
  
 
  
  
 Soit N fixé. D'après la démonstration du théorème
  <ref> en choisissant un réel ϵ_1>0 assez petit
 on a , uniformément pour  t vérifiant 
  1-ϵ_1>t>ϵ_1 
  
    N^α∑_j=0^N (T_N
      ( φ_α))_k+1,j+1 f(j/N) -
      (D_α f)(t) = o(1)

 Définissons maintenant les vecteurs X_N et 
 Y_N de ℝ^N+1 de la manière suivante.
 
    (X_N)_(0)=(X_N)_(1)=0, (X_N)_k = f(k/N), 
       pour   1≤ k ≤ N-1,

 
    (Y_N)_(0)=(Y_N)_(1)=0, (Y_N)_k = ψ(k/N), 
       pour   [Nϵ_1]≤ k ≤ N-[Nϵ_1],

 et enfin 
 (Y_N)_k= N^α∑_l=0^N 
 (T_N,α,R)_k+1,l+1 (X_N)_l
 pour 0≤ l≤ [Nϵ]-1 et
 N-[Nϵ]+1≤ l ≤ N.
 Nous pouvons écrire, en notant T_N,α,R la matrice 
 T_N(φ_α,R ),
 
    N^α( T_N,α,R (X_N) )
     = Y_N+R_N

 avec, en utilisant l'équation (<ref>),
 (R_N)_k= o(1) uniformément pour [Nϵ_1]≤ k ≤ N-[Nϵ-1] et (R_N)_k = 0 pour 0≤ k≤ 
 [Nϵ_1]-1
 et N-[Nϵ]+1≤ k≤ N.
 On a évidemment pour k compris entre [Nϵ_1]
 et N-[Nϵ_1],
  
    (X_N)_k=
     N^-α(T_Nα,R ^-1 ( Y_N+ R_N))_k.

Soit maintenant x∈ ]0,1[. On peut se ramener à x∈ [ϵ_1, 1-ϵ_1]. On a  [Nx]=O(N) ce qui implique, pour N assez grand :
N-[Nϵ_1]>[Nx]>[Nϵ_1].
  Si k=[Nx] nous avons donc :
  
    (X_N)_k= N^-α( T_N,α,R^-1Y_N)_k
      + (  T_N,α,R^-1R_N)_k.

  Nous pouvons écrire 
  
    N^-α( ( T_N (ϕ_α) )^-1Y_N)_k   =   N^-α∑_l=0^[Nϵ]-1(T_N,α,R ^-1)_(k+1,l+1) (Y_N)_l
       +   N^-α∑_[Nϵ]^N-[Nϵ](T_N,α,R ^-1)_(k+1,l+1) (Y_N)_l
        +   N^-α∑_N-[Nϵ]+1^N
     (  T_N,α,R^-1) _(k+1,l+1) (Y_N)_l.

  L'étude des coefficients de T_N,α,R^-1 permet d'écrire,   
    N^-α∑_l=0^[Nϵ]-1(T_N,α,R ^-1)_(k+1,l+1 (Y_N)_l =O(ϵ_1)

  et 
 
    N^-α∑_l=N-[Nϵ]+1^N
     (T_N,α,R^-1)_(k+1,l+1 (Y_N)_l
      =O(ϵ_1).

 D'autre part on a aussi, toujours grâce à l'étude
 des coefficients de ( T_N,α,R)^-1 :
  
    N^-α∑_l=[Nϵ]^N-[Nϵ](T_N,α,R^-1)_(k+1,l+1 (R_N)_l
      =o(1).

  C'est à dire que 
  
    (X_N)_k= N^-α∑_l=[Nϵ]^N-[Nϵ](T_N,α,R ^-1)_(k+1,l+1 (Y_N)_l
      +o(1)+O(ϵ_1).

  Par des arguments identiques à ceux déjà utilisés et en considérant ϵ_1 suffiasamment petit on obtient 
  
    (X_N)_k= N^-α∑_l=0^N( T_N,α,R^-1)_(k+1,l+1 (Y_N)_l
      + o(1).

  Ce qui implique 
  ψ (x) = (J_α(f))(x),  en passant à la limite sur N et R.
  
    Nous obtenons immédiatement le corollaire suivant : 
  
  Soit α∈ ]0,1[ et ψ une fonction localement contractante sur ]0,1[ 
  appartenant à L^1_1-α ([a,b]). Alors la fonction J_α (f) définie sur [0,1] par 
  (J_α(ψ))(x)= 1/2^αΓα)∫_0^xψ(t)/(x-t)^1-α dt est définie sur [0,1], localement contractante sur ]0,1[, appartient à l' ensemble L^1_1-α([a,b]), et est solution sur ]0,1[ de l'équation différentielle D_α (y) =ψ.
  
   
  Il est clair que la fonction J_α(ψ) est définie sur [0,1].
  Cette fonction est également localement contractante sur [0,1]. En effet 
   notons par K le réel positif tel que 
  pour tout x,x'∈ [δ_1,δ_2]⊂ ]0,1[ on ait |ψ(x') -ψ(x)|≤ K | x'-x|.
  En effet, si on suppose δ_1≤ x≤ x'≤δ_2 on a 
  
    |( J_α(ψ)) (x') - ( J_α(ψ)) (x)|≤|∫_0^x(ψ (x'-u) -ψ(x-u) ) u^α-1du | 
      +|∫_x^x'ψ (x'-u) u^α-1 du|.

  La valeur absolue de la première intégrale est majorée par 
  K | x'-x|∫_0^1 u^α-1 du.
  la seconde vérifie 
  
    |∫_x^x'ψ (x'-u) u^α-1 du|   ≤∫_x^x'|ψ(x'-u) -ψ(0)| u^α-1 du 
       ≤  K ∫_x^x' (x'-u) u^α-1 du ≤ K (x'-x)∫_0^1 u^α-1 du

  Ceci suffit à prouver que la fonction J_α(ψ) est  contractante sur 
  [δ_1,δ_2]. On vérifie également facilement que 
 J_α (ψ)∈ L^1_1-α([0,1]). 
   La quantité (D_α( J_α(ψ)) ) (x) est donc bien définie 
   pour tout x dans ]0,1[. Si ψ' = D_α( J_α(ψ)), 
   En utilisant la propriété  <ref> on sait  que J_α(ψ') est défini et vaut J_α(ψ), autrement dit 
   J_α(ψ-ψ')=0. Cette fonction est donc indéfiniment dérivable sur 
   ]0,1[, ce qui ne se peut que si ψ=ψ'. 
    

Puisque la fonction nulle est une fonction contractante 
sur [0,1] qui vaut zéro en zéro on déduit du corollaire 
<ref> l'équivalence D_α(f) (x) =0  f(x)=0
∀ x ∈ ]0,1[.

       

 §.§  L'opérateur J_n pour n entier

  Pour toute fonction f dans C([0,1)], et tout entier naturel non nul pair n=2p on pose  
  J_n (f) = (-1)^p ∫_0^1G_p(x,t) f(t) dt,
  avec , pour 0≤ x,y≤ 1 
  
    G_p(x,y) = x^py^p/((p-1)!)^2∫_max (x,y)^1(t-x)^p-1 (t-y)^p-1/t^2p dt
        si   (x,y)≠ (0,0)

  et G(0,0)=0.
  
  On rappelle qu'il a été établi dans (<cit.>) que 
  G_p est le noyau de Green associé à l'opérateur 
  différentielle (-1)^p d^2p/dx^2p (f) sur [0,1] associé 
  aux conditions initiales 
  
    f^(0) (0) = f^(1) (0)= ⋯ = f^(p-1) (0)=0,
         
       f^(0) (1) = f^(1) (1)= ⋯ = f^(p-1) (1)=0.

    Nous pouvons alors énoncer les lemmes suivants 
   
   Si n est un entier pair non nul et si f est une fonction continue sur [0,1] alors 
   
    (-1)^n/2 D_n∘ J_n(f) = f

  
  C'est une conséquence immédiate de la définition de 
  J_n et du rappel ci-dessus.
     
   Si n est un entier pair non nul et si f est une fonction de classe C^n sur [0,1]vérifiant les conditions initiales 
   
    f^(0) (0) = f^(1) (0)= ⋯ = f^(p-1) (0)=0,
         
       f^(0) (1) = f^(1) (1)= ⋯ = f^(p-1) (1)=0,
 
   on a 
      
    J_n∘ D_n(f)=f.

  
  
  D'après le lemme précédente 
  D_n( J_n∘ D_n (f) ) =
  D_n(f). Les fonctions J_n∘ D_n (f) et 
  f diffèrent donc sur [0,1] d'un polynôme de degré n-1.
  Mais d'après la définition de J_n et les conditions 
  imposées à f ce polynôme est nécessairement nul.
  
  

 §.§ L'opérateur J̃_α

  Dans la suite on définira pour tout entier non nul n pair 
   J̃_n par
  J̃_n= J_n.
  Enfin si α est un réel positif de partie entière 
  n_α=2 p_α on pose 
  J̃_α= J̃_n_α∘ J_α-n_α.
  

 §.§ Résolution d'une équation différentielle factionnaire sur ]0,1[ 
   sur α> 0

   Dans la suite on posera D_α (f) = D_α-n_αD_n_α
   pour tout réel de partie entière paire n_α.
Nous pouvons énoncé le théorème suivant :
    
  On considère un réel positif α, de partie entière n_α.
 On suppose que n_α =2p_α est un entier pair  et
  on se donne une fonction contractante ψ localement contractante sur ]0,1[ et dans 
  L^1_1-α([a,b]). Alors 
  la fonction J̃_α (ψ) est solution sur ]0,1[
  de l'équation différentielle 
  D_α(y)=ψ
  avec les conditions initiales 
  y(0)=y^(1)(0)= ⋯=y^(p_α-1)(0)=0

  et 
  y(1)=y^(1)(1)= ⋯=y^(p_α-1)(1)=0.
 
 
Dans cette démonstration nous poserons  α'=α-n_α.
Le cas α'=0 ayant en fait été traité plus haut on supposera 0<α'<1.
La fonction ψ étant contractante on a vu (voir le corollaire <ref>) que 
la fonction y_0 = J_α'(ψ) est conctractante sur [0,1] et 
vérifie, pour tout x dans ]0,1[, (D_α'(y_0)) (x) = ψ.
On vérifie facilement que y_0 est continue sur [0,1] la fonction y=J_n_α(y_0) 
est définie sur [0,1], et vérifie D_n_α (y) =y_0 avec 
les conditions initiales  y(0)=y^(1)(0)= ⋯=y^(p_α-1)(0)=0

  et 
  y(1)=y^(1)(1)= ⋯=y^(p_α-1)(1)=0.

  On peut alors remarquer que par construction 
  y= J_n_α∘ J_α' (ψ)=J̃_α (ψ).
  On vérifie de plus, toujours par construction, pour tout x dans ]0,1[ 
 (D_α(y)) (x)  =  ( D_α'∘ D_n_α(y))(x) 
 =  (D_α(y_0)) (x)= ψ (x),ce qui achève la démonstration.
 
  
       

 §.§ Ecriture intégral de l'opérateur J̃_̃α̃ f

      En tenant compte de la propriété <ref> nous pouvons écrire 
      
       Soit α = 2p_α+α' avec p_α∈ℕ^⋆
      et 0<α'<1.
      Pour une fonction f vérifiant les hypothèses du théorème
      <ref> et pour α>1 non entier on a, pour tout réel x 
      dans ]0,1[ : 
           
    (J̃_α(f))(x) =
          2^α/Γ (α)∫_0^1 G_p_α (x,y)
          ∫_0^y (t-y)^α^'-1f(t) dt dy.

            
      

§ DÉRIVÉE SUR UN INTERVALLE QUELCONQUE

      

 §.§ Dérivée d'ordre α, 0<α<1 sur un intervalle

      Nous considérons maintenant une fonction f définie sur un intervalle 
      [a,b], a<b quelconque. Nous noterons alors f_a,b la fonction définie 
      pour tout t∈ [0,1] par f(t) =  a + t (b-a). Si α∈ [0,1] nous dirons que 
      f est α fois dérivable en x ∈ ]a,b[ si f_a,b est α dérivable en
      x-a/b-a.
      Nous poserons alors 
      
    ( D_α,a,b (f) ) (x) = ( D_α (f_a,b) ) ( x-a/b-a).

      et, toujours pour une fonction f définie sur [a,b] nous définirons 
      
    ( J_α,a,b (f) ) (x) = ( J_α (f_a,b) ) (x-a/b-a),

      si, bien sr, cette dernière quantité est définie.
      Nous avons alors l'analogue de la propriété <ref>:
       
      Pour tout intervalle [a,b], si f et ψ sont deux fonctions localement contractantes sur ]a,b[ appartenant à 
      L^1_1-α([a,b]) telles que 
      ψ =D_α,a,b (f) on a pour tout 
      x∈ ]a,b[
           
    (J_α,a,b (ψ))(x)= f(x).

      

Nous avons donc 
( D_α(f_a,b)) (x-a/b-a) 
= ψ (x) ce qui donne aussi, pour tout t∈ ]0,1[ 
( D_α(f_a,b) ) (t) = ψ_a,b (t).
C'est à dire que pour tout t∈ ]0,1[ on a 
(J_α (ψ_a,b) ) (t) =  f_a,b(t)
ou encore, en posant t=x-a/b-a
(J_α (ψ_a,b) ) (x-a/b-a) = 
 f_a,b(x-a/b-a),
 c'est à dire (J_α,a,b (ψ))(x)= f(x).
 


 §.§ Expression intégrale

Dans ce paragraphe on suppose toujours α∈ ]0,1[.
On vérifie alors facilement les deux résultats suivants :

Si f est une fonction localement contractante sur  ]a,b[ appartenant à L^1_1-α([a,b]) nous pouvons écrire pour tout x∈ ]a,b[ 

    (D_α,a,b (f))(x)  =(b-a)^α2^α/Γ (-α)(∫_a^x (x-u)^-α-1 ( f(u) - f (x)) du -
    f(x) 
    (x-a)^-α/α)
  
et 

    ( J_α,a,b(f)) (x) = (b-a)^-α/2^αΓ (α)∫_a^x f( u)/(x-u)^1-αdu.





 §.§ Dérivée entière sur un intervalle

    Comme plus haut on pose pour tout entier naturel n 
    
    ( D_n,a,b f )(x) = (D_n (f_a,b)) (x-a/b-a),

    et si n pair on définit 
    
    (J_n,a,b f) (x)=(J_n (f_a,b)) (x-a/b-a)
          si   n=2p,

    
    (J_n,a,b f) (x)=(J_1,a,b∘ J_n-1 (f_a,b)) (x-a/b-a)
          si   n=2p+1.

     On a comme plus haut, si f est continue sur [a,b]
    
    (D_n,a,b∘ J_n,a,b)(f) = f.

    On obtient aussi comme dans le cas des dérivées sur 
    [a,b] d'ordre α avec 0<α<1
    
    On suppose la fonction f de classe C^n sur [a,b]
    vérifiant les conditions initiales 
    
    f^(0) (a) = f^(1) (a) =⋯ = f^(p-1) (a)=0,
         f^(0) (b) = f^(1) (b) =⋯ = f^(p-1) (b)=0.

    Alors, pour tout x ∈ ]a,b[ 
    
    (J_2p,a,b∘ D_2p,a,b(f) )  (x) = f (x).
  
    
      

 §.§ L'opérateur J̃_α,a,b

    On peut définir comme précédemment l'opérateur J̃_α,a,b 
    à partir de J_n,a,b pour n entier pair et J_α,a,b pour 0<α<1. 
    C'est à dire que pour α>0 de partie entière paire on pose 
    J̃_α,a,b = J_n_α,a,b∘ J_α-n_α,a,b
    avec n_α = [α]. Nous avons alors l'écriture intégrale, si 
    n_α=2p_α, et pour x∈ ]a,b[
  
    (J̃_α,a,b(f) (x)) = (-1)^p C^-1_p_α,α∫_x^b (x-a)^p_α(u-a)^p_αΨ_1,α,a,b(u,x)
        Ψ_2,α,a,b(u,x) du

      avec C_p_α,α = (b-a)^2p+α (p-1)!2^αΓ(α)

    
    Ψ_1,α,a,b(u,x) = ∫_u^b(z-x)^p_α-1  (z-u)^p_α-1/(z-a)^2p_αdz
         et  Ψ_2,α,a,b(u,x)= ∫_a^uf(t)/(u-t)^1-αdt .

        On obtient alors l' énoncé analogue au théorème <ref>
    
  On considère un réel positif α, de partie entière n_α.
 on suppose que n_α =2p_α est un entier pair  et
  on se donne une fonction localement contractante ψ sur ]a,b[ et appartenant à L^1_1-α([a,b]). Alors 
  la fonction J̃_α,a,b (ψ) est solution sur ]a,b[
  de l'équation différentielle 
  D_α,a,b(y)=ψ
  avec les conditions initiales 
  y(a)=y^(1)(a)= ⋯=y^(p_α-1)(a)=0

  et 
  y(b)=y^(1)(b)= ⋯=y^(p_α-1)(b)=0.
 
  

 §.§ L'opérateur D_α,∞

  
Si f est une fonction contractante sur [a,b], de support contenu dans ]a,b[ 
nous pouvonsécrire, pour tout intervalle [a',b'] contenant [a,b] 
et pour tout x dans ]a,b[ :

    (D_α,a,b (f))(x) / (b-a)^α -f(x) (x-a)^-α/α
    = (D_α,a',b' (f))(x) / (b'-a')^α-f(x) (x-a')^-α/α
 

    J_α,a,b (x) (b-a)^α = J_α,a',b' (x) (b'-a')^α.
 

Cette conduite nous conduit à poser la définition 

On se donne un réel α∈ ]0,1[.
On dit qu'une fonction f est D_α,∞ dérivable en x si 
lim_a→ -∞, b → + ∞,a<x<b(D_α,a,b (f))(x) /(b-a)^α existe et est fini.
On a alors 

    ( D_α,∞ (f)) (x)=  2^α/Γ (-α)∫_-∞^x (x-u)^-α-1 ( f(u) - f (x)) du.


On pose alors 
( J_α,∞ (f)) (x) = lim_a→ -∞, b → + ∞,a<x<b(J_α,a,b (f))(x) (b-a)^α 
 si cette limite existe et est finie.
 Alors 
 
    ( J_α,∞ (f)) (x) = 
     1/2^αΓ (α)∫_-∞^xf( u)/(x-u)^1-αdu.


On remarque que si f est une fonction à support compact les quantités 
( D_α,∞ (f)) (x) et ( J_α,∞ (f)) (x) sont 
bien définies. 


On peut remarquer que J_α,∞ correspond à la dérivée de Weyl-Liouville pour 0<α<1, et que D_α,∞ est une dérivée fractionnaire de Marchaud.

Nous pouvons alors énoncer la propriété suivante :

Si B est un réel strictement positif fixé, et ψ une fonction contractante sur ℝ à support compact. Alors pour tout x réel la fonction f(x) = (J_α,∞(ψ))(x) est solution de 
l'équation D_α,∞ (f) (x) = ψ(x).


Les hypothèses de la proposition impliquent que la quantité 
f(x) = (J_α,∞(ψ))(x) est définie pour tout réel x.
Soit x un réel fixé.


Si A est un réel supérieur à x posons f_A = 2A^α J_α,-A,A (ψ).
Alors d'après le théorème <ref> tout 
z∈]-A,A[ vérifie 1/(2A)^α( D_α,-A,A (f_A)) (z) = ψ (z).
Soit ϵ>0. Si A est assez grand on peut trouver un réel B, A>B>0,
x∈ ]-B,B] et  tel que pour y∈ [-B,B]

    |1/2A^α(D_α,-A,A f_A) (y) 
    -( D_α,∞f_A) (y) |≤ϵ,

soit 

    |ψ (y) -(D_α,∞ f_A) (y)|≤ϵ.

D'autre part nous pouvons remarquer que pour tout y∈ [-B,B] 
f(y) = f_A(y)
 en posant f = J_α,∞ (ψ), 
et toujours en supposant  A et B suffisamment grands on conclut.

  

§ APPENDICE : CALCUL DE T_2,K,L,R.

  Pour un entier k> on note γ_1,-k et γ_2,-k le coefficient de Fourier d'ordre -k de ( 1+Rχ/1-Rχ̅)^α 
  et de ( 1- R χ̅/1+R χ)^α.
  

 §.§  Calcul de γ_1,-k,R et γ_2,k,R pour k suffisamment grand

  Dans ce paragraphe on supposera 
  k =[Nx], avec x>1. Pour 
  α∈ ]0,1[ on notera également 
  δ _u,α le coefficient de Fourier de | 1-χ| ^2α. On sait que 
  δ_u,α= C_α| u| ^-2α-1
  +o(u^-2α-1) avec C_α=.

  On peut remarquer que 
  
    ( 1-Rχ/1+Rχ̅)^α 
      = (| 1- R χ̅| ^2/1-R^2χ̅^2)^α.

  On a donc :
  
    γ_1,-k=⟨(∑_v∈ℤδ_v,α (R χ̅)^v ) (∑_u≥ 0β_u^(α) (R χ̅)^2u) |χ^k⟩,

  soit 

    γ_1,-k= ∑_u ≥ 0β_u ^(α)δ_k-2u,α
       R^k = ∑_i=1^4 S_i

  avec 
 
    S_1 =  ∑_u = 0^k_0β_u ^(α)δ_k-2u,α
      R^k,    S_2 = ∑_u =k_0+1^(k-k_0)/2-1
      (-1)^k-2uβ_u ^(α)δ_k-2u,α
      R^k

  
    S_3= ∑_u= k-k_0/2 ^(k+k_0)/2β_u ^(α)δ_k-2u,α R^k,    S_4= ∑_k+k_0)/2+1β_u ^(α)δ_k-2u,α R^k,

  où k_0= N^β avec β un réel dans ]0,1[ 
  qui sera fixé ultérieurement. Nous allons évaluer successivement les sommes S_1, S_2, S_3, S_4.
 Nous avons les estimations suivantes :
  
 
  * 
    | S_1| = O (k^-2α-1 (N^β)^α 
      = O( N^-2α -1+ βα),

  
  * 
    | S_2|≤C_α/Γ (α)∑_u =k_0+1^(k-k_0)/2-1 u^α-1 (k-2u)^-2α-1 R^k  (1+o(1))

  d'où l'existence d'un réel K>0 tel que 

    |  S_2|≤ K C_α/Γ (α) 
        k_0^α-1∑_u =k_0+1^(k-k_0)/2-1  (k-2u)^-2α-1 R^k

    et donc 
    
    |  S_2|  =O( k_0^-α-1)

    
  * 
    S_3   = 1/Γ (α)∑_u= (k-k_0)/2^(k+k_0)/2 u^α-1δ_k-2u R^k-2u( 1+o(1))
       = -k^α-1/Γ (α)( ∑_u≤ (k-k_0)/2| k-2u| ^-2α-1 R^k-2u∑_u≥ (k+k_0)/2| k-2u| ^-2α-1R^k-2u) ( 1+o(1))

     soit 
     
    | S_3| = O(k^α-1 k_0^-2α-1)=O(N^α-1-(2α+1)β).

     
  * 
    | S_4| = O(
       ∑_u= k+k_0/2 ^+ ∞ 
       u^α-1 (2u- k)^-2α-1)

   Il existe donc un réel K' strictement positif tel que  
   
    | S_4|≤ K'
         ∑_u= k+k_0/2 ^+ ∞ 
       u^α-1 (2u- k)^-2α-1 R^k

   Soit 
    | S_4| = O ( N^α-1-2αβ).

   
  Les équations (<ref>), (<ref>), (<ref>), (<ref>)
  permettent d'écrire que pour un bon choix de 
  β on a 
  
    |γ_1,-k| = 
      O (N^-1-α/2-ϵ_1)

  avec ϵ_1>0.

  
  De même on obtient 
  
    ( 1-Rχ̅/1+R χ)^α 
      = (| 1- R  χ| ^2/1-R^2 χ^2)^α.

  On a donc :
  
    γ_2,k=⟨(∑_v∈ℤδ_v,α (R  χ)^v ) (∑_u≥ 0β_u^(α) (R χ)^2u) |χ^k⟩,

  c'est à dire qu'on obtient comme précédemment 
  
    |γ_2,k| = 
      O (N^-1-α/2-ϵ_2)

  avec ϵ_2>0


  

 §.§ Calcul des coefficients 
 π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R) et 
  π_+( π_+(χ^k/g̅_1,R) Φ̅_N,R)

  Avec les notations introduites ci-dessus nous avons : 
  
    π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R) 
         = ∑_u=0^lβ_l-u^(α) R^l-uπ_+( ∑_v∈ℤχ^v+u-N-1γ_2,v)
       = ∑_u=0^lβ_l-u^(α) R^l-u∑_w=0^+∞χ^wγ_2,w+N+1-u

  et de même nous obtenons
  
    π_+( π_+(χ^k/g̅_1,R) Φ̅_N,R) 
      = ∑_v=0^kβ_k-v^(α) R^k-v(-1)^k-v∑_w=0^+∞γ̅_1,-(w+N+1-v)χ^w.

  

 §.§  Calcul de ( I-H_Φ̃_N H_Φ_N)^-1π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R).

  On a 
 
    H_Φ_N( π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R)))     =
     ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_w_0=0^+∞γ_2,w_0+N+1-u,Rπ_- (  ∑_v∈ℤγ_1,v,Rχ^w_0+v+N+1)
       = ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_w_1=0^+∞(∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R)
     χ^-w_1

  Si maintenant nous posons F_1(u,w_1) = 
 ∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R
  nous avons :
  
    H_Φ̃_N( H_Φ_N(π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R)))   =  
       ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_w_1=0^+∞F_1(u,w_1) π_+(∑_v∈ℤχ^v-w_1-N-1γ_2,R,v) 
       = ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_w_2=0^+∞(∑_w_1=0^+∞F_1(u,w_1)   
     γ_2,w_2+w_1+N+1,R) χ^w_2

  ou encore, en posant F_2(u,w_2) = ∑_w_1=0^+∞F_1(u,w_1)   
 γ_2,w_2+w_1+N+1,R, 
 
    H_Φ̃_N( H_Φ_N(π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R)))
     =  ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_w_2=0^+∞ F_2(u,w_2) χ^w_2.
 
  On montre alors par récurrence que 
  
    ( I-H_Φ̃_N H_Φ_N)^-1π_+( π_+(χ^l/g_2,R) Φ̃_N,R) = 
     ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_m=0^+∞∑_w_2m=0^+∞ F_2m(u,w_2m) χ^w_2m.

  Avec pour tout entier n, 2≤ n≤ m
  F_2n(u,w_2n) = ∑_w_2n-1=0^∞F_2n-1(u,w_p)   
 γ_2,w_2n+w_2n-1+N+1,R
 et 
 F_2n-1(u,w_2n-1) = 
  ∑_w_2n-2^+∞γ_1,-(w_2n-1+w_2n-2+N+1)
  F_2n-2 et avec 
  F_1,F_2 comme plus haut.
  On obtient alors 
  
    T_2,k,l,R =  ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_v=0^kβ^(α)_k-v (-1)^k-v R^k-v∑_m=0^+∞∑_w_2m=0^+∞ F_2m(u,w_2m)γ̅_1,-(w_2m+N+1-v),R.

 Ce qui s'écrit aussi, 
  
    T_2,k,l,R   =  ∑_u=0^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_v=0^kβ^(α)_k-v R^k-v (-1)^k-v∑_m=0^+∞∑_w_2m=0^+∞γ̅_1,-(w_2m+N+1-v),R
       ∑_w_2n-1=0^+∞γ_2,w_2m+w_2m-1+N+1,R⋯∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R.
 


 §.§ Majoration de T_2,k,l,R

Dans un premier temps nous supposons  0<x<1, 0<y<1. Posons ϵ = min (ϵ_1, ϵ_2) (avec les notations du paragraphe 4.3.1).
En utilisant les majorations 

    |γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R|≤C_1/(N+1-u)^1+α/2+ϵC_1/(N+1+w_0)^1+α/2+ϵ


    |γ_2,w_2p+w_2p-1N+1,R|≤C_1/(N+1+w_2p-1)^1+α/2+ϵ  ∀ p∈ [1,m]


    |γ_1,- (w_2p+w_2p+1N+1),R|≤C_1/(N+1+w_2p)^1+α/2+ϵ  ∀ p∈ [1,m-1]

on obtient l'existence d' une constante C telle que  pour k,l vérifiant k=[Nx], l=[Ny] on ait 

    | T_2,k,l,R|≤(  ∑_u=0^lβ^(α)_l-uC/(N+1-u)^1+α/2+ϵ)
    ( ∑_v=0 ^kβ_k-v^(α)C/(N+1-v)^α/2+ϵ) 
    ( ∑_m=0^+∞(C/N^α/2+ϵ)^2m),

ce qui implique qu'il existe une constante M telle que 
 
    | T_2,k,l R|≤ M  ( ∑_u=0^lβ_l-u^(α)N^-1-α/2-ϵ/(1-y)^1+α/2+ϵ) ( ∑_v=0^kβ_k-v^(α)N^-α/2-ϵ/(1-x)^α/2+ϵ)

 d'òù pour tout 0<δ_1<δ_2<1 on a 
| T_2,k,l R| =o(N^α-1) uniformément sur pour x,y dans 
[δ _1,δ _2].

Avec les notations ci-dessus supposons maintenant que 
 x∈ [δ _1,δ _2] et y∈ [δ_2,1].
 Nous pouvons 
 décomposer T_2,k,l,R en deux sommes, 
 Σ_1 et Σ_2 avec 
   
    Σ_1   =  ∑_u=0^l-[Nδ_1]β^(α)_l-u R^l-u∑_v=0^kβ^(α)_k-v R^k-v∑_m=0^+∞∑_w_2m=0^+∞γ̅_1,-(w_2m+N+1-v),R
       ∑_w_2n-1=0^+∞γ_2,w_2m+w_2m-1+N+1,R⋯∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R.
 
  et 
    
    Σ_2   =  
      ∑_u=l-[Nδ_2]+1^lβ^(α)_l-u R^l-u∑_v=0^kβ^(α)_k-v R^k-v∑_m=0^+∞∑_w_2m=0^+∞γ̅_1,-(w_2m+N+1-v),R
       ∑_w_2n-1=0^+∞γ_2,w_2m+w_2m-1+N+1,R⋯∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R.
 
On a comme précédemment 
Σ_1 = O(N^α-1-ϵ).
Par contre on peut écrire, pour 
u∈ [  [Nδ_2]+1, N ]

    ∑_w_0=0^+∞γ_1,-(w_1+w_0+N+1)γ_2,w_0+N+1-u,R   ≤∑_w_0=0^+∞C_2/(N+1)^1+α/2+ϵC_2/(w_0+1)^1+ϵ
       ≤ A_ϵC_2/(N+1)^1+α/2+ϵ

avec 
A_ϵ = ∑_w_0=0^+∞C/(w_0+1)^1+ϵ.
On obtient alors un réel C'tel que 

    Σ_2≤( ∑_u=0^lβ^(α)_l-uC'/(N+1)^1+α/2+ϵ)
    ( ∑_v=0 ^kβ_k-v^(α)C'/(N+1-v)^α/2+ϵ) 
    ( ∑_m=0^+∞(A C'/N^α/2+ϵ)^2m),

et on retrouve 
 Σ_2= o(N^α-1) et donc 
 T_2,k,l,R =o(N^α-1) uniformément pour 
tout (x,y) dans [δ_1, δ_2]× [δ_2,1].

Supposons maintenant y∈ [0,δ_1].
On a toujours l'équation (<ref>) et 
∑_u=0^l  |β_l-u^(α)|≤ K_δ_1 N^α, où K_δ_1 est une constant qui ne dépend que de δ_1.
On obtient donc encore une fois 
T_2,k,l,R =o(N^α-1) uniformément pour 
tout (x,y) dans [δ_1, δ_2]× [0,δ_1].

Nous pouvons donc énoncer la proposition <ref>


         
    
  
 


