Semieje mayor
# Semieje mayor

En matemáticas, el semieje mayor de una elipse es la mitad del diámetro más largo; su símbolo es a. En astronomía, es equivalente a la distancia media de un objeto que orbita alrededor de otro, ya que el objeto central (por ejemplo, el Sol) ocupa uno de los focos.

El semieje mayor (semieje mayor semiaxis) es el semidiámetro más largo o la mitad del eje mayor, y por tanto va desde el centro, pasando por un foco, hasta el perímetro. El semieje menor (semieje menor) de una elipse o hipérbola es un segmento de recta que forma ángulo recto con el semieje mayor y tiene un extremo en el centro de la sección cónica. Para el caso especial de una circunferencia, las longitudes de los semiejes son ambas iguales al radio de la circunferencia.

La longitud del semieje mayor a de una elipse se relaciona con la longitud del semieje menor b a través de la excentricidad e y el Sección cónica#semilato recto. latus rectum es la cuerda paralela a la directriz y que pasa por un foco; su semilongitud es el semilatus rectum (ℓ). $\ell$, como sigue:

    ${\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}$

## Elipse

La ecuación de una elipse es

    ${\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1,$

donde (h, k) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas, en la que un punto arbitrario viene dado por (x, y).

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima $r_{\text{max}}$ y $r_{\text{min}}$ de la elipse a un foco -es decir, de las distancias de un foco a los puntos extremos del eje mayor: $a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.$ En astronomía estos puntos extremos se denominan ápsides.

El semieje menor de una elipse es la media geométrica de estas distancias:

    $b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.$

La excentricidad de una elipse se define como

    $e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},$

así que

    $r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).$

Consideremos ahora la ecuación en coordenadas polares, con un foco en el origen y el otro en la dirección $\theta =\pi$:

    $r(1+e\cos \theta )=\ell .$

El valor medio de $r=\ell /(1-e)$ y $r=\ell /(1+e)$, para $\theta =\pi$ y $\theta =0$ es

    $a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.$

En una elipse, el semieje mayor es la media geométrica de la distancia del centro a cualquiera de los focos y la distancia del centro a cualquiera de las directivas.

El semieje menor de una elipse va desde el centro de la elipse (un punto a mitad de camino y sobre la línea que discurre entre los focos) hasta el borde de la elipse. El semieje menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de línea más largo perpendicular al eje mayor que une dos puntos del borde de la elipse.

El semieje menor b se relaciona con el semieje mayor a a través de la excentricidad e y el recto semilatino. $\ell$, de la siguiente manera:

    ${\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\mathbb {N} ya\ell &=b^{2}.\end{aligned}}$

Una parábola puede obtenerse como el límite de una secuencia de elipses en las que se mantiene fijo un foco mientras se permite que el otro se aleje arbitrariamente en una dirección, manteniendo fijo el $\ell$. Así, a y b tienden al infinito, a más rápido que b.

La longitud del semieje menor también podría hallarse mediante la siguiente fórmula:

    $2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},$

donde f es la distancia entre los focos, p y q son las distancias de cada foco a cualquier punto de la elipse.

## Hiperbola

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si ésta es a en la dirección x la ecuación es:

    ${\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.$

En términos del semilato recto y la excentricidad tenemos

    $a={ell \over e^{2}-1}.$ Se trata de un eje transversal de una hiperbólica.

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor.

En una hipérbola se puede trazar un eje conjugado o eje menor de longitud $2b$, correspondiente al eje menor de una elipse, perpendicular al eje transversal o eje mayor, conectando este último los dos vértices (puntos de inflexión) de la hipérbola, intersecándose ambos ejes en el centro de la misma. Los puntos extremos $(0,\pm b)$ del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas sobre/bajo los vértices de la hipérbola. Cualquiera de las dos mitades del eje menor se denomina semieje menor, de longitud b. Denotando la longitud del eje semimayor (distancia del centro a un vértice) como a, las longitudes de los ejes semimor y semimayor aparecen en la ecuación de la hipérbola respecto a estos ejes de la siguiente manera:

    ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

El semieje menor es también la distancia de uno de los focos de la hipérbola a una asíntota. A menudo se denomina parámetro de impacto, y es importante en física y astronomía, y mide la distancia por la que una partícula perderá el foco si su viaje no es perturbado por el cuerpo en el foco.

El semieje menor y el semieje mayor se relacionan a través de la excentricidad, de la siguiente manera:

    $b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.$

Nótese que en una hipérbola b puede ser mayor que a.

## Astronomía

El semieje mayor es una de las características más importantes de una órbita, junto con su período orbital. Puede ser matemáticamente probado que para un cuerpo orbitando, el semieje mayor representa la distancia media del cuerpo a la fuente central gravitacional. Para los objetos del sistema solar, el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita por la tercera ley de Kepler, originalmente descrita como:

    $P^{2}=ka^{3}\,$

donde P es el período medido en años, a es el semieje mayor medido en unidades astronómicas y k una constante de proporcionalidad.

Esta fórmula fue modificada por Newton al desarrollar su teoría gravitatoria, expresándola como:

    $P^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

donde G es la Constante de gravitación universal y M es la masa del cuerpo central.

### Semieje mayor y semieje menor de las órbitas de los planetas

Las órbitas de los planetas se citan siempre como ejemplos de elipses (primera ley de Kepler). Sin embargo, la mínima diferencia entre los ejes semimayor y semiminor muestra que son prácticamente circulares en apariencia. Esa diferencia (o relación) se basa en la excentricidad y se calcula como ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$, que para las excentricidades típicas de los planetas arroja resultados muy pequeños.

La razón de la suposición de órbitas elípticas prominentes radica probablemente en la diferencia mucho mayor entre el afelio y el perihelio. Esa diferencia (o ratio) también se basa en la excentricidad y se calcula como ${\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}$. Debido a la gran diferencia entre el afelio y el perihelio, Segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.

| | Excentricidad | Semieje mayor a (AU) | Semieje menor b (AU) | Diferencia (%) | Perihelio (AU) | Afelio (AU) | Diferencia (%) |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| Mercurio | 0.206 | 0.38700 | 0.37870 | 2.2 | 0.307 | 0.467 | 52 |
| Venus | 0.007 | 0.72300 | 0.72298 | 0.002 | 0.718 | 0.728 | 1.4 |
| Tierra | 0.017 | 1.00000 | 0.99986 | 0.014 | 0.983 | 1.017 | 3.5 |
| Marte | 0.093 | 1.52400 | 1.51740 | 0.44 | 1.382 | 1.666 | 21 |
| Júpiter | 0.049 | 5.20440 | 5.19820 | 0.12 | 4.950 | 5.459 | 10 |
| Saturno | 0.057 | 9.58260 | 9.56730 | 0.16 | 9.041 | 10.124 | 12 |
| Urano | 0.046 | 19.21840 | 19.19770 | 0.11 | 18.330 | 20.110 | 9.7 |
| Neptuno | 0.010 | 30.11000 | 30.10870 | 0.004 | 29.820 | 30.400 | 1.9 |
