Relación antisimétrica
# Relación antisimétrica

Una relación binaria $R$ sobre un conjunto $A$ es antisimétrica cuando se da que si dos elementos de $A$ se relacionan entre sí mediante $R$, entonces estos elementos son iguales.

Es decir,

    $\forall a,b\in A\;:\quad aRb\quad \land \quad bRa\quad \Rightarrow \quad a=b$

Para todo a, b de A, si se cumple que a está relacionado con b y b está relacionado con a, entonces a es igual a b.

En tal caso, se dice que $R$ cumple con la propiedad de antisimetría.

La aplicación de cualquier relación $R$ sobre un conjunto $A$, se representa con el par ordenado $(A,R)$.

## Representación

Sea $R$ una relación antisimétrica aplicada sobre un conjunto $A$, entonces $R$ tiene una representación particular para cada forma de describir una relación binaria.

* Como pares ordenados, $\forall a,b\in A,\ (a,b)\in R\land (b,a)\in R\;\Rightarrow \;a=b$.
* Como matriz de adyacencia $M$, la matriz $M+M^{t}\,$ no tiene ningún 1 salvo, a lo sumo, en la diagonal principal.
* Como grafo, dos nodos no podrán estar conectados por dos aristas dirigidas en ambas direcciones. Sin embargo, sí podría tener bucles.

## Ejemplos

Sea $A$ un conjunto cualquiera:

* Sea $(A,\geq )$, $\geq$ ("mayor o igual que") es antisimétrica, al igual que $>\,$ ("mayor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
* Sea $(A,\leq )$, $\leq$ ("menor o igual que") es antisimétrica, al igual que $<\,$ ("menor estricto que"), pues en este último caso, el antecedente de la definición nunca se cumple.
* La relación "ser más alto que" es antisimétrica, pues el hecho que a sea más alto que b y b sea al mismo tiempo más alto que a, es imposible.

## Antisimetría $\neq$ asimetría

La antisimetría no es lo opuesto de la simetría.

Existen relaciones que son simétricas y antisimétricas al mismo tiempo (como la igualdad), otras que no son simétricas ni antisimétricas, otras que son simétricas pero no antisimétricas (como la relación de congruencia módulo n), y otras que son antisimétricas pero no simétricas (como la relación "menor que").

