Serie de Taylor
# Serie de Taylor

En matemática, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como $(x-a)^{n}$ llamados términos de la serie, dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto $a$ suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie. A la serie centrada sobre el punto cero, es decir, cuando $a=0$, se le denomina también serie de Maclaurin.

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

* la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
* se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
* es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Algunas funciones no se pueden escribir como serie de Taylor porque tienen alguna singularidad. En estos casos normalmente se puede conseguir un desarrollo en serie utilizando potencias negativas de $x$ (véase Serie de Laurent). Por ejemplo $f(x)=\exp(-1/x^{2})$ se puede desarrollar como serie de Laurent.

## Definición

La serie de Taylor de una función real o compleja $f(x)$ infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

    $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\cdots$

donde $n!$ denota el factorial de $n$. Utilizando la notación sigma, lo anterior puede ser escrito de manera compacta como

    $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

donde $f^{(n)}(a)$ denota la $n$-ésima derivada de $f$ evaluada en el punto $a$. (La derivada de orden cero de $f$ es definida como la propia $f$ y tanto $(x-a)^{0}$ como $0!$ son ambos definidos como $1$.)

En particular, cuando $a=0$, la serie es denominada: serie de Maclaurin.

Cabe destacar que en una serie de Taylor de potencias centrada en $a$ de la forma $∑a_n(x−a)^n{\textstyle$ \sum a_{n}(x-a)^{n}} siempre se puede hacer el cambio de variable $z=x-a$ (con lo que $x=z+a$ en la función a desarrollar original) para expresarla como $∑a_nz^n{\textstyle$ \sum a_{n}z^{n}} centrada en 0. Luego hay que deshacer el cambio de variable. Por ejemplo, si se quiere desarrollar la función $f(x)=x\ln x$ alrededor de a = 1 se puede tomar $z=x-1$, de manera que se desarrollaría $f(z+1)=(z+1)\ln(z+1)$ centrada en 0.

## Ejemplos

La serie de Taylor de un polinomio es el propio polinomio.

La serie de Maclaurin para 1/1−x {\textstyle {\frac {1}{1-x}}} es la serie geométrica

    $\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$

por lo que la serie de Taylor para 1/x {\textstyle {\frac {1}{x}}} en $a=1$ es

    $1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots$

Integrando la serie de Maclaurin de arriba, obtenemos la serie de Maclaurin de $\ln(1-x)$, donde $\ln$ denota el logaritmo natural

    $-x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots$

más general, la serie de Taylor para $\ln(x)$ en un punto arbitrario $a\neq 0$ es

    $(x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}-\cdots$

La serie de Maclaurin de la función exponencial $e^{x}$ es

    ${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \end{aligned}}$

## Historia

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible: el resultado fueron las paradojas de Zenón. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto hasta que lo retomaron Demócrito y después Arquímedes. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama. A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores de la escuela de Kerala de astronomía y matemáticas sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente (véase las Series de Madhava).

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quien recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edimburgo, quien publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

## Función analítica

Si $f(x)$ está dada por una serie de potencias convergente en un disco abierto (o intervalo en la recta real) centrada en $b$ en el plano complejo entonces se dice que es analítica en el disco, por lo que para $x$ en este disco, $f$ está dada por la serie de potencia convergente

    $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}$

derivando con respecto a $x$ la fórmula anterior $n$ veces y evaluando $x=b$ obtenemos

    ${\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

y en tal caso, la expansión en series de potencia coincide con la serie de Taylor. Por lo tanto, una función es analítica en un disco abierto centrado en $b$ si y sólo si su serie de Taylor converge al valor de la función en cada punto en el disco.

Si $f(x)$ es igual a la suma de su serie de Taylor para toda $x$ en el plano complejo entonces $f$ es llamada entera. Los polinomios, la función exponencial $e^{x}$ y las funciones trigonométrica seno y coseno, son ejemplos de funciones enteras. Ejemplos de funciones que no son enteras son el logaritmo, la función trigonométrica tangente y su inversa, arcotangente; para estas funciones la serie de Taylor no converge si $x$ está alejado de $b$, esto es, la serie de Taylor diverge para $x$ si la distancia entre $x$ y $b$ es mayor que el radio de convergencia. La serie de Taylor puede ser usada para calcular el valor de una función entera en cada punto si el valor de la función y todas sus derivadas son conocidas en cada punto.

## Lista de Series de Maclaurin de algunas funciones comunes

A continuación se enumeran algunas series de Maclaurin de funciones básicas. Todos los desarrollos son también válidos para valores complejos de $x$.

### Función exponencial

La función exponencial $e^{x}$ tiene como serie de Maclaurin

    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$

y converge para toda $x$.

### Logaritmo natural

El logaritmo natural (en base $e$) tiene como serie de Maclaurin

    $\ln(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots$
    $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots$

y convergen para $|x|<1$.

    $\ln(x)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n+1}$

### Serie geométrica

La serie geométrica y sus derivadas tienen serie de Maclaurin

    ${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n-1)}{2}}\;x^{n-2}\end{aligned}}$

y todas convergen para $|x|<1$.

### Serie binomial

La series binomial es la serie de potencias

    $(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados

    ${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

(Si $n=0$, este producto es un producto vacío y tiene un valor de $1$). Converge para $|x|<1$ para cualquier $\alpha \in \mathbb {R}$.

Cuando $\alpha =-1$, obtenemos la serie geométrica mencionada anteriormente.

### Funciones trigonométricas

Las función trigonométricas usuales y sus inversas tienen como series de Maclaurin:

    ${\begin{aligned}\operatorname {sen} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\;x^{2n+1}\quad {\mbox{para toda }}x\\\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\;x^{2n}\quad {\mbox{para toda }}x\\\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}\;x^{2n-1}\quad {\mbox{para }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\csc x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n-1}(2^{2n-1}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\quad {\mbox{para }}0<\left|{x}\right|<\pi \\{\text{arcsen }}x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}\;x^{2n+1}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<1\\\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-{\text{arcsen }}x\\\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;x^{2n+1}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<1\end{aligned}}$

Todos los ángulos están expresados en radianes. Los números $B_{k}$ son los números de Bernoulli mientas que $E_{k}$ son los números de Euler.

### Funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen como series de Maclaurin

    ${\begin{aligned}{\text{senh }}x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\quad {\mbox{para toda }}x\\\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\quad {\mbox{para toda }}x\\\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}\;x^{2n-1}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\{\text{arcsenh }}x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<1\\{\text{arctanh }}x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<1\end{aligned}}$

donde los números $B_{k}$ son los números de Bernoulli.

### Función W de Lambert

    $W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{para }}\left|x\right|<{\frac {1}{e}}$

## Serie de Taylor en varias variables

La serie de Taylor se puede generalizar a funciones de más de una variable como

    ${\begin{aligned}f(x_{1},\dots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\dots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\dots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\dots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&+{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{\varphi =1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\dots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{\varphi }}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{\varphi }-a_{\varphi })+\cdots \\\end{aligned}}$

Como ejemplo, para una función de 2 variables $f(x,y)$, la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto $(a,b)$ es:

    $f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)+{\frac {1}{2}}\left(f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\right).$

donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales, esto es

    $f(a,b)+{\frac {\partial f(a,b)}{\partial x}}(x-a)+{\frac {\partial f(a,b)}{\partial y}}(y-b)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial ^{2}f(a,b)}{\partial x^{2}}}(x-a)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f(a,b)}{\partial x\partial y}}(x-a)(y-b)+{\frac {\partial ^{2}f(a,b)}{\partial y^{2}}}(y-b)^{2}\right).$

Una expansión en serie Taylor de segundo orden para funciones escalares de más de una variable puede ser escrito de manera compacta como

    $T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}D^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots$

donde $Df(\mathbf {a} )$ es el gradiente de $f$ en $\mathbf {x} =\mathbf {a}$ y $D^{2}f(\mathbf {a} )$ es la matriz hessiana. Otra forma:

    $T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}^{{\frac {\mathrm {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}$

## Aplicaciones

Además de la obvia aplicación de utilizar funciones polinómicas en lugar de funciones de mayor complejidad para analizar el comportamiento local de una función, las series de Taylor tienen muchas otras aplicaciones.

Algunas de ellas son: análisis de límites y estudios paramétricos de los mismos, estimación de números irracionales acotando su error, la regla de l'Hôpital para la resolución de límites indeterminados, estudio de puntos estacionarios en funciones (máximos o mínimos relativos o puntos sillas de tendencia estrictamente creciente o decreciente), estimación de integrales, determinación de convergencia y suma de algunas series importantes, estudio de orden y parámetro principal de infinitésimos, etc.

