Dominio en estrella
# Dominio en estrella

En geometría, un conjunto $S$ en un espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$ se denomina dominio en estrella (o conjunto convexo estrellado, conjunto en forma de estrella o conjunto radialmente convexo) si existe un $s_{0}\in S$ tal que para todos los $s\in S,$ el segmento de $s_{0}$ a $s$ se encuentre en $S.$. Esta definición se puede generalizar inmediatamente a cualquier espacio vectorial real o complejo.

Intuitivamente, si se piensa en $S$ como una región rodeada por una pared, $S$ es un dominio estelar si se puede encontrar un punto de vista $s_{0}$ en $S$ desde el cual cualquier punto $s$ de $S$ esté dentro de su línea de visión. Un concepto similar, pero distinto, es el de conjunto radial.

## Definición

Dados dos puntos $x$ e $y$ en un espacio vectorial $X$ (como el espacio euclídeo $\mathbb {R} ^{n}$), la envolvente convexa de $\{x,y\}$ se llama intervalo cerrado con puntos finales $x$ e $y$ y se denota por

    $\left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(y-x)[0,1],$

donde $z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}$ para cada vector $z$.

Un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $X$ se dice que tiene forma de estrella desde $s_{0}\in S$ si para cada $s\in S,$ el intervalo cerrado $\left[s_{0},s\right]\subseteq S.$

Un conjunto $S$ tiene forma de estrella y se llama dominio en estrella si existe algún punto $s_{0}\in S$ tal que $S$ tenga forma de estrella desde $s_{0}.$.

Un conjunto que tiene forma de estrella en el origen a veces se denomina conjunto en estrella. Estos conjuntos están cerrados en relación con el funcional de Minkowski.

## Ejemplos

* Cualquier recta o plano en $\mathbb {R} ^{n}$ es un dominio en estrella.
* Una recta o un plano al que se le ha eliminado un solo punto no es un dominio en estrella.
* Si $A$ es un conjunto en $\mathbb {R} ^{n},$, el conjunto $B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}$ obtenido al conectar todos los puntos en $A$ con el origen es un dominio en estrella.
* Cualquier conjunto convexo no vacío es un dominio en estrella. Un conjunto es convexo si y solo si es un dominio en estrella con respecto a cualquier punto de ese conjunto.
* Una figura con forma de cruz es un dominio en estrella, pero no es convexa.
* Un polígono con forma de estrella es un dominio en estrella cuyo límite es una secuencia de segmentos rectilíneos conectados entre sí.

## Propiedades

* La clausura de un dominio en estrella es también un dominio en estrella, pero el interior de un dominio en estrella no es necesariamente un dominio en estrella.
* Cada dominio en estrella es un conjunto contráctil, a través de una homotopía rectilínea. En particular, cualquier dominio en estrella es un conjunto simplemente conexo.
* Cada dominio en estrella, y solo un dominio en estrella, puede reducirse a sí mismo; es decir, para cada relación de dilatación $r<1,$, el dominio puede dilatarse en una relación $r$ tal que el dominio estelar dilatado esté contenido en el dominio estelar original.
* La unión y la intersección de dos dominios en estrella no son necesariamente un dominio en estrella.
* Un dominio en estrella abierto no vacío $S$ en $\mathbb {R} ^{n}$ es de difeomorfo a $\mathbb {R} ^{n}.$
* Dado $W\subseteq X,$, el conjunto $\bigcap _{|u|=1}uW$ (donde $u$ abarca todos los escalares de vector unitario) es un conjunto equilibrado siempre que $W$ tenga forma de estrella respecto al origen (lo que significa que $0\in W$ y $rw\in W$ para todos los $0\leq r\leq 1$ y $w\in W$).
