Teorema de Pohlke
# Teorema de Pohlke

El teorema de Pohlke constituye el principio fundamental de la perspectiva axonométrica. Fue establecido en 1853 por el pintor y maestro de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke (1810-1876). La primera prueba del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz, quien fue alumno de Pohlke. Por lo tanto, el teorema a veces se denomina también teorema de Pohlke y Schwarz.

## Teorema

* Tres segmentos de recta arbitrarios ${\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}$ en un plano con origen común en el punto ${\overline {O}}$, que no estén contenidos en la misma recta, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas $OU,OV,OW$ de un cubo.

Para establecer la correspondencia con un cubo de arista unidad, se tiene que aplicar una escala adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Debido a que una proyección paralela y una escala preservan las proporciones, se puede asignar un punto arbitrario $P=(x,y,z)$ mediante el procedimiento axonométrico descrito más adelante.

El teorema de Pohlke se puede expresar en términos de álgebra lineal como:

* Cualquier transformación afín del espacio tridimensional en un plano puede considerarse como la composición de un semejanza y una proyección paralela.

## Aplicación a la axonometría

El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente simple procedimiento para construir una proyección paralela escalada de un objeto tridimensional, utilizando sus coordenadas:

* Elijánse las proyecciones de los ejes de coordenadas, no contenidas en una misma recta.
* Elegir para los ejes de coordenadas los acortamientos que se quiera $v_{x},v_{y},v_{z}>0$
* La imagen ${\overline {P}}$ de un punto $P=(x,y,z)$ está determinada por los tres pasos siguientes, comenzando en el punto ${\overline {O}}$:

      * Avanzar $(v_{x}\cdot x)$ en dirección ${\overline {x}}$

      * Avanzar $(v_{y}\cdot y)$ en dirección ${\overline {y}}$

      * Avanzar $(v_{z}\cdot z)$ en dirección ${\overline {z}}$

    4. Marcar el punto como ${\overline {P}}$.

Para obtener imágenes sin distorsión, se tienen que elegir coordinadamente los ángulos entre las proyecciones de los tres ejes y los respectivos acortamientos (véase perspectiva axonométrica). Para obtener una proyección ortogonal, solo las imágenes de los ejes son libres y se determinan los acortamientos (véase axonometría ortogonal).

## Observaciones sobre la demostración de Schwarz

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general siguiente:

* Los vértices de cualquier cuadrilátero se pueden considerar como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es semejante a un tetraedro dado, para lo que utilizó un teorema de L’Huilier:
* Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de otro triángulo de una forma dada.
