Teoría de cuerpos de clases
# Teoría de cuerpos de clases

En matemáticas, la teoría de cuerpos de clases es una rama esencial de la teoría de números algebraicos que tiene por objeto la clasificación de las extensiones abelianas, o ya sea, las galoisianas y grupos de Galois comutativos, de un cuerpo dado. Más precisamente, trata la manera de describir y construir estas extensiones en términos de propiedades aritméticas del propio cuerpo básico.

Se atribuye a Hilbert el mérito de ser uno de los pioneros de la noción de campo de clases. Sin embargo, esta noción ya era conocida por Kronecker y, en realidad, fue Weber quien acuñó el término antes de que se publicaran los artículos fundamentales de Hilbert. Las ideas relevantes se desarrollaron en el periodo de varias décadas, dando lugar a un conjunto de conjeturas de Hilbert que fueron posteriormente demostradas por Takagi y Artin (con la ayuda del teorema de Chebotarev).

Uno de los principales resultados es: dado un campo numérico F, y escribiendo K para el máxima extensión abeliana unramificada de F, el grupo de Galois de K sobre F es canónicamente isomorfo al grupo de clase ideal de F. Esta afirmación se generalizó a la llamada ley de reciprocidad de Artin; en el lenguaje idélico, escribiendo $C_F$ para el grupo de clase ideal de F, y tomando L como cualquier extensión abeliana finita de F, esta ley da un isomorfismo canónico

    $\theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),$

donde $N_{L/F}$ denota el mapa de normas idélicas de L a F. Este isomorfismo se denomina mapa de reciprocidad.

El teorema de existencia afirma que el mapa de reciprocidad puede utilizarse para dar una biyección entre el conjunto de extensiones abelianas de F y el conjunto de subgrupos cerrados de índice finito de $C_{F}.$.

Un método estándar para desarrollar la teoría de campos de clases globales desde la década de 1930 fue construir la teoría de campos de clases locales, que describe extensiones abelianas de campos locales, y luego utilizarla para construir la teoría de campos de clases globales. Esto lo hicieron primero Emil Artin y John Tate utilizando la teoría de la cohomología de grupos, y en particular desarrollando la noción de formaciones de clases. Más tarde, Neukirch encontró una demostración de los principales enunciados de la teoría global de campos de clases sin utilizar ideas cohomológicas. Su método era explícito y algorítmico.

Dentro de la teoría de campos de clases se puede distinguir teoría de campos de clases especiales y teoría de campos de clases generales.

La teoría de campos de clases explícitas proporciona una construcción explícita de extensiones abelianas maximales de un campo numérico en diversas situaciones. Esta parte de la teoría consiste en el teorema de Kronecker-Weber, que puede usarse para construir las extensiones abelianas de $\mathbb {Q}$, y la teoría de la multiplicación compleja para construir extensiones abelianas de campos CM.

Existen tres generalizaciones principales de la teoría de campos de clases: la teoría de campos de clases superiores, el programa de Langlands (o 'correspondencias de Langlands') y la geometría anabeliana.

## Descripción general

Tradicionalmente comprendía el estudio de las extensiones abelianas, es decir, de las extensiones de Galois cuyo grupo de Galois es abeliano, para este caso la teoría se desarrolló durante 1850-1930. En el caso de las extensiones no abelianas, los primeros resultados importantes empezaron a obtenerse hace 25 años y forman parte del programa de Langlands.

Gran parte de la investigación en el caso abeliano se centra en el famoso Jugendtraum de Kronecker, es decir, el deseo de encontrar funciones capaces de generar la extensión abeliana maximal para cada cuerpo numérico. (Si el campo es Q, las funciones generadoras son las funciones ciclotómicas exp(iσ).)

Sea K un cuerpo numérico. El grupo de Galois de la extensión abeliana maximal es un grupo topológico compacto abeliano de grado infinito sobre K. Kronecker demostró que, cuando K es el cuerpo de los números racionales, este grupo es un producto infinito del grupo aditivo de los enteros p-ádicos tomado sobre todo número primo p, y de un producto infinito de grupos cíclicos finitos. La generalización de este teorema fue resultado de un gran proyecto histórico que incluyó a las formas cuadráticas y su teoría de género, las leyes de reciprocidad, la teoría de ideales, extensiones ciclotómicas y de Kummer.

Iniciando con la tesis de Tate en los años cincuenta, todos los resultados fueron reescritos en términos de la cohomología de grupos. Después hubo un periodo de quiescencia que fue bruscamente interrumpido en los sesenta por las conjeturas de Langlands.

## Formulación en lenguaje contemporáneo

En lenguaje matemático moderno, la teoría de campos de clases (CFT) puede formularse como sigue. Consideremos la extensión abeliana máxima A de un campo local o global K. Es de grado infinito sobre K; el grupo de Galois G de A sobre K es un grupo profinito infinito, por tanto un «grupo topológico compacto», y es abeliano. Los objetivos centrales de la teoría de campos de clases son: describir G en términos de ciertos objetos topológicos apropiados asociados a K, describir extensiones abelianas finitas de K en términos de subgrupos abiertos de índice finito en el objeto topológico asociado a K. En particular, se desea establecer una correspondencia unívoca entre las extensiones abelianas finitas de K y sus grupos norma en este objeto topológico para K. Este objeto topológico es el grupo multiplicativo en el caso de campos locales con campo de residuos finito y el grupo de clase idele en el caso de campos globales. La extensión abeliana finita correspondiente a un subgrupo abierto de índice finito se denomina campo de clase para ese subgrupo, lo que dio nombre a la teoría.

El resultado fundamental de la teoría general de los campos de clase afirma que el grupo G es naturalmente isomorfo al completación profinita de $C_K,$ el grupo multiplicativo de un campo local o el grupo de clase idele del campo global, con respecto a la topología natural sobre $C_K$ relacionada con la estructura específica del campo K. Equivalentemente, para cualquier extensión finita de Galois L de K, existe un isomorfismo (la mapa de reciprocidad de Artin)

    $\operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})$

de la abelianización del grupo de Galois de la extensión con el cociente del grupo de clases de ídolos de K por la imagen de la norma del grupo de clases de ídolos de L.

Para algunos campos pequeños, como el campo de los números racionales $\mathbb {Q}$ o su extensión imaginaria cuadráticas existe una teoría más detallada muy explícita pero demasiado específica que proporciona más información. Por ejemplo, el grupo de Galois absoluto abelianizado G de $\mathbb {Q}$ es (naturalmente isomorfo a) un producto infinito del grupo de unidades de los Enteros p-ádicos tomados sobre todos los números primoss p, y la extensión abeliana máxima correspondiente de los racionales es el campo generado por todas las raíces de la unidad. Esto se conoce como el teorema de Kronecker-Weber, originalmente conjeturado por Leopold Kronecker. En este caso el isomorfismo de reciprocidad de la teoría de campos de clases (o mapa de reciprocidad de Artin) también admite una descripción explícita debido al teorema de Kronecker-Weber. Sin embargo, las construcciones principales de tales teorías más detalladas para campos de números algebraicos pequeños no son extensibles al caso general de campos de números algebraicos, y en la teoría general de campos de clases se utilizan principios conceptuales diferentes.

El método estándar para construir el homomorfismo de reciprocidad es construir primero el isomorfismo de reciprocidad local desde el grupo multiplicativo de la terminación de un campo global al grupo de Galois de su máxima extensión abeliana (esto se hace dentro de la teoría de campos de clases locales) y luego probar que el producto de todos esos mapas de reciprocidad local cuando se define sobre el grupo idele del campo global es trivial sobre la imagen del grupo multiplicativo del campo global. Esta última propiedad se denomina ley de reciprocidad global y es una generalización de gran alcance de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

Uno de los métodos para construir el homomorfismo de reciprocidad utiliza la formación de clases que deriva la teoría de campos de clases a partir de axiomas de la teoría de campos de clases. Esta derivación es puramente teórica de grupos topológicos, mientras que para establecer los axiomas hay que utilizar la estructura de anillos del campo terreno..

Hay métodos que usan grupos de cohomología, en particular el grupo de Brauer, y hay métodos que no usan grupos de cohomología y son muy explícitos y fructíferos para las aplicaciones.

## Historia

Los orígenes de la teoría de campos de clases se encuentran en la ley de reciprocidad cuadrática demostrada por Gauss. La generalización tuvo lugar como un proyecto histórico a largo plazo, en el que intervinieron formas cuadráticass y su teoría del género, el trabajo de Ernst Kummer y Leopold Kronecker/Kurt Hensel sobre ideales y terminaciones, la teoría ciclotómica y extensión de Kummer.

Las dos primeras teorías de campo de clases fueron teorías de campo de clases ciclotómicas y de multiplicación compleja muy explícitas. Utilizaban estructuras adicionales: en el caso del campo de los números racionales utilizan raíces de la unidad, en el caso de extensiones cuadráticas imaginarias del campo de los números racionales utilizan curvas elípticas con multiplicación compleja y sus puntos de orden finito. Mucho más tarde, la teoría de Shimura proporcionó otra teoría de campos de clases muy explícita para una clase de campos de números algebraicos. En característica positiva $p$, Yukiyosi Kawada e Ichiro Satake utilizaron la dualidad de Witt para obtener una descripción muy sencilla de la parte $p$ del homomorfismo de reciprocidad.

Sin embargo, estas teorías tan explícitas no podían extenderse a campos numéricos más generales. La teoría general de campos de clases utilizaba conceptos y construcciones diferentes que funcionan sobre cualquier campo global.

Los famosos problemas de David Hilbert estimularon un mayor desarrollo, que condujo a la leyes de reciprocidad, y a las pruebas de Teiji Takagi, Phillip Furtwängler, Emil Artin, Helmut Hasse y muchos otros. El teorema de existencia de Takagi, de importancia crucial, ya se conocía en 1920, y todos los resultados principales alrededor de 1930. Una de las últimas conjeturas clásicas en demostrarse fue la propiedad de principalización. Las primeras demostraciones de la teoría de campos de clases utilizaban métodos analíticos sustanciales. En la década de 1930 y posteriormente se hizo un mayor uso de las extensiones infinitas y de la teoría de Wolfgang Krull de sus grupos de Galois. Esto se combinó con la dualidad de Pontryagin para dar una formulación más clara aunque más abstracta del resultado central, la ley de reciprocidad de Artin. Un paso importante fue la introducción de los idelos por Claude Chevalley en la década de 1930 para sustituir a las clases ideales, esencialmente clarificando y simplificando la descripción de las extensiones abelianas de campos globales. La mayoría de los resultados centrales se demostraron en 1940.

Más tarde los resultados se reformularon en términos de cohomología de grupos, que se convirtió en una forma estándar de aprender la teoría de campos de clases para varias generaciones de teóricos de números. Un inconveniente del método cohomológico es su relativa inexplicitud. Como resultado de las contribuciones locales de Bernard Dwork, John Tate, Michiel Hazewinkel y una reinterpretación local y global de Jürgen Neukirch y también en relación con el trabajo sobre fórmulas de reciprocidad explícitas de muchos matemáticos, en la década de 1990 se estableció una presentación muy explícita y libre de cohomología de la teoría de campos de clases. (Véase, por ejemplo, Class Field Theory, de Neukirch).

## Generalizaciones de la teoría de campos de clases

Existen tres generalizaciones principales, cada una de ellas de gran interés. Son: el programa de Langlands, la geometría anabeliana y la «teoría de campos de clases superiores».

A menudo, la correspondencia de Langlands se considera como una teoría de campos de clase noabeliana. Si y cuando esté completamente establecida, contendría una cierta teoría de extensiones de Galois noabelianas de campos globales. Sin embargo, la correspondencia de Langlands no incluye tanta información aritmética sobre extensiones de Galois finitas como la teoría de campos de clases en el caso abeliano. Tampoco incluye un análogo del teorema de existencia en la teoría de campos de clases: el concepto de campos de clases está ausente en la correspondencia de Langlands. Existen otras teorías no abelianas, locales y globales, que proporcionan alternativas al punto de vista de la correspondencia de Langlands.

Otra generalización de la teoría de campos de clases es la geometría anabeliana, que estudia algoritmos para restaurar el objeto original (por ejemplo, un campo de números o una curva hiperbólica sobre él) a partir del conocimiento de su grupo de Galois absoluto completo o grupo fundamental algebraico.

Otra generalización natural es la teoría de campos de clases superiores, dividida en teoría de campos de clases locales superiores y teoría de campos de clases globales superiores. Describe extensiones abelianas de campo local superiores y campos globales superiores. Estos últimos son campos de funciones de esquemas de tipo finito sobre enteros y sus localizaciones y terminaciones apropiadas. Utiliza teoría K algebraica, y los grupos K de Milnor apropiados generalizan el $K_{1}$ utilizado en la teoría de campos de clases unidimensionales.

