Deducción de la fórmula de Bhaskara
# Deducción de la fórmula de Bhaskara

La fórmula de Bhaskara o fórmula general para las ecuaciones cuadráticas es una regla general que permite determinar las raíces de un polinomio de segundo grado. Fue deducida por el famoso matemático indio Bhaskara.

Lo que se busca es determinar los valores $x_{1},x_{2}\,$ para los cuales la ecuación $ax^{2}+bx+c=0\,$ tiene solución:

## Demostración sencilla por cambio de variable

Demostración por traslado de la función:

La ecuación de segundo grado representa una parábola, y su mínimo o máximo lo encontramos igualando su derivada a 0, (punto en que la pendiente es 0).

$f(x)=ax^{2}+bx+c\Rightarrow f'(x)=2ax+b=0\Rightarrow x=-{\frac {b}{2a}}\,$

.1-Trasladaremos la función de modo que este punto se encuentre en el punto 0 del eje "x".

de esta forma, el eje "y ", dividirá la función en dos partes simétricas:

Matemáticamente equivale al cambio de variable: $x=z-{\frac {b}{2a}}\,$

$f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}}{2^{2}a}}-bz+bz-{\frac {b^{2}}{2a}}+c\Rightarrow f(z)=az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}$

2.-Resolvemos la ecuación cuando $f(z)=0$, que nos dará dos soluciones simétricas respecto del eje y

$az^{2}+{\frac {b^{2}-2b^{2}+2^{2}ac}{2^{2}a}}=0\Rightarrow az^{2}={\frac {b^{2}-2^{2}ac}{2^{2}a}}\Rightarrow z={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}$

3.-Ya solo nos queda deshacer el cambio de variable:

$x=z-{\frac {b}{2a}}={\frac {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-2^{2}ac}}}{2a}}\,$

Demostración por cambio de variable:

Se puede simplificar aplicando el cambio de variable $2m=b/a$ y $n=c/a$. Así la ecuación queda:

       $ax^{2}+bx+c=0\,$
* Se aplica el cambio de variable

       $x^{2}+2mx+n=0\,$
* Sumando $m^{2}$ para ajustar cuadrados, y restando n en ambos miembros

       $x^{2}+2mx+m^{2}=m^{2}-n\,$
* Y seguidamente contrayendo de la siguiente manera

       $(x+m)^{2}=m^{2}-n\,$
* Se aplica la raíz cuadrada a ambos lados

       $x+m=\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$
* Restando $m$ a ambos lados

       $x=-m\pm {\sqrt {m^{2}-n}}\,$
* Deshaciendo la sustitución, $m=b/2a$ y $n=c/a$

       $x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\,$
* Y operando se obtiene la siguiente ecuación:

       $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$

## Demostración

* Partiendo de la ecuación

       $ax^{2}+bx+c=0\,$ con $a\neq 0$
* Se multiplica por $4a$

       $4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\,$
* Seguidamente se suma $b^{2}$

       $b^{2}+4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=b^{2}\,$
* Reordenando se observa que es el cuadrado de la suma y por tanto:

       $4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac\,$
* Y contrayendo la identidad notable

       $(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\,$
* Aplicación de la raíz cuadrada a ambos lados

       $2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$
* Restando $b$ a ambos lados de la igualdad

       $2ax=-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}\,$
* Como $a\neq 0$ se divide entre $2a$

       $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,$
