Bisectriz
# Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.

## Propiedades

* La bisectriz es el eje de simetría del ángulo
* Los puntos de la bisectriz son equidistantes a los dos lados del ángulo

### Observación

* Dos rectas, al intersecarse, determinan cuatro ángulos consecutivos y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos consecutivos .

En la figura, la bisectriz del ángulo xOy (en amarillo) es (z'), y la del ángulo x'Oy es (w'). Se cortan formando un ángulo recto. En efecto, si llamamos a la amplitud de xOz, y b la de yOw, observamos que 2a + 2b es la amplitud del ángulo xOx' = 180°, es un ángulo plano. Luego zOw mide a + b = 90°.

### Bisectrices en el triángulo

* En un triángulo isósceles el eje de simetría contiene una bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
* En un triángulo equilátero cada eje de simetría contiene un bisectriz, una mediana, una altura y una mediatriz.
* Las tres bisectrices de los ángulos internos de un triángulo se cortan en un único punto, que equidista de los lados. Este punto se llama el incentro del triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Esta circunferencia es tangente a cada uno de los lados del triángulo.

### Relación métrica

* ab = mn + $d^2,$ siendo m, n los segmentos que determina la bisectriz interna d, sobre el lado c = m+n

### Longitud

1. Para bisectriz interior $l_{A}={\frac {2}{b+c}}{\sqrt {bcp(p-a)}}$ siendo $p={\frac {a+b+c}{2}}$ el semiperímetro.

2. Bisectriz interior del ángulo A: $l_{A}={\frac {\sqrt {bc[(b+c)^{2}-a^{2}]}}{b+c}}$, en función de los tres lados a,b y c.

3. Para la bisectriz exterior $l_{A}^{e}={\frac {2}{b-c}}{\sqrt {bc(p-b)(p-c)}}$.

Para la bisectriz de los otros ángulos se sigue el patrón del caso dado, contraponiendo los otros elementos, de manera cíclica.

## Ecuaciones de las bisectrices

### En el plano cartesiano

Sean la rectas

* R_1 cuya ecuación normal es xcosμ + y senμ = p
* R_2 siendo su ecuación normal xcosω + y senω = q

En tal caso la ecuación cartesiana en el plano de las rectas bisectrices, se hallan sumando y restando las ecuaciones de L_1 y L_2

**Ejemplo**

Sean

    R_1: 4x+3y -8 = 0; normalizando ${\frac {4}{5}}x+{\frac {3}{5}}y={\frac {8}{5}}$
    R_2: 3x -4y +12 = 0, cuya ecuación normal es ${\frac {3}{5}}x-{\frac {4}{5}}y=-{\frac {12}{5}}$
    Sumando las ecuaciones : ${\frac {7}{5}}x-{\frac {1}{5}}y=-{\frac {4}{5}}$, ecuación de la recta bisectriz L_1
    Restando las ecuaciones : ${\frac {1}{5}}x+{\frac {7}{5}}y={\frac {20}{5}}$ ecuación de la bisectriz L_2

### En el espacio $E^n$

Sean las ecuaciones vectoriales.

    R_1 M + αu, donde u es vector unitario director, α recorre ℝ, M punto de $R^n$ está de la recta L_1
    R_2 N+ βv, siendo v un vector director unitario, β cualquier número real, N punto de $R^n$ está de la recta L_2

Entonces las ecuaciones vectoriales de las rectas bisectrices de las rectas L_1 y L_2, que se cortan en el punto H son:

    L_1: $H+{\frac {1}{2}}(u+v)$
    L-2: $H+{\frac {1}{2}}(u-v)$
