Espacio de Ptak
# Espacio de Ptak

Un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo $X$ es B-completo o un espacio de Ptak, si cada subespacio $Q\subseteq X^{\prime }$ está cerrado en la topología *débil en $X^{\prime }$ (es decir, $X_{\sigma }^{\prime }$ o $\sigma \left(X^{\prime },X\right)$) siempre que $Q\cap A$ esté cerrado en $A$ (cuando a $A$ se le da la topología subespacial de $X_{\sigma }^{\prime }$) para cada subconjunto equicontinuo $A\subseteq X^{\prime }$.

La completitud de B está relacionada con la completitud de $B_{r}$, donde un EVT localmente convexo $X$ es $B_{r}$-completo si cada subespacio denso $Q\subseteq X^{\prime }$ está cerrado en $X_{\sigma }^{\prime }$ siempre que $Q\cap A$ esté cerrado en $A$ (cuando $A$ tiene dada la topología del subespacio de $X_{\sigma }^{\prime }$) para cada subconjunto equicontinuo $A\subseteq X^{\prime }$.

## Caracterizaciones

En esta sección, $X$ será un espacio vectorial topológico (EVT) localmente convexo.

Las siguientes expresiones son equivalentes:

* $X$ es un espacio de Ptak.
* Cada aplicación lineal casi abierta continua de $X$ en cualquier espacio localmente convexo $Y$ es un homomorfismo topológico.

      * Una aplicación lineal $u:X\to Y$ se llama casi abierta si para cada entorno $U$ del origen en $X$, $u(U)$ es denso en algún entorno del origen en $u(X).$

Los siguientes enunciados también son equivalentes:

* $X$ es $B_{r}$ completo.
* Cada aplicación lineal continua biunívoca, casi abierta de $X$ en cualquier espacio localmente convexo $Y$ es un isomorfismo de un EVT.

## Propiedades

Cada espacio de Ptak es completo. Sin embargo, existen espacios de Hausdorff localmente convexos completos que no son espacios de Ptak.

* Teorema del homomorfismo
* Cada aplicación lineal continua desde un espacio de Ptak a un espacio barrilado es un homomorfismo topológico.

Sea $u$ una aplicación lineal casi abierta cuyo dominio es denso en un espacio completo $B_{r}$ $X$ y cuyo rango es un espacio localmente convexo $Y$. Supóngase que la gráfica de $u$ está cerrada en $X\times Y$. Si $u$ es inyectiva o si $X$ es un espacio de Ptak, entonces $u$ es una aplicación abierta.

## Ejemplos y condiciones suficientes

Existen espacios $B_r$ completos que no son B completos.

Cada espacio de Fréchet es un espacio de Ptak. El dual fuerte de un espacio reflexivo de Fréchet es un espacio de Ptak.

Cada subespacio vectorial cerrado de un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo $B_r)$ es un espacio de Ptak (respectivamente, un espacio completo $B_{r}$), y cada cociente de Hausdorff de un espacio de Ptak es un espacio de Ptak. Si cada cociente de Hausdorff de un EVT $X$ es un espacio $B_r$ completo, entonces $X$ es un espacio B completo.

Si $X$ es un espacio localmente convexo tal que existe una sobreyección casi abierta continua $u:P\to X$ de un espacio de Ptak, entonces $X$ es un espacio de Ptak.

Si un EVT $X$ tiene un hiperplano cerrado que es B completo (respectivamente, $B_r$ completo), entonces $X$ es B completo (respectivamente, $B_r$ completo).

