Teorema de Zsigmondy
# Teorema de Zsigmondy

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide $a^n$ - $b^n$ y no divide $a^k-b^k$ por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:

* n = 1, a − b = 1; entonces $a^n$ − $b^n$ = 1 que no tiene divisores primos
* n = 2, a + b una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de $a^2$ - $b^2$ = (a + $b)(a^1$ - $b^1)$ debe estar contenido en $a^1$ - $b^1,$ que también es par
* n = 6, a = 2, b = 1; entonces $a^6$ − $b^6$ = 63 = $3^2×7$ = $(a^2$ − $b^2)^2(a^3$ − $b^3)$

Esto generaliza el teorema de Bang, que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces $2^n$ − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún $2^k$ − 1 con k < n.

De manera similar, $a^n$ + $b^n$ tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de $2^3$ + $1^3$ = 9.

El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.

## Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

## Generalizaciones

Sea $(a_{n})_{n\geq 1}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto

${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.$

es decir, el conjunto de índices $n$ tal que cada primo dividiendo $a_{n}$también divide algunos $a_{m}$ para algunos $m<n$. Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es $\{1,2,6,12\}$, y el de la secuencia de Pell es $\{1\}$. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier demostraron que, en general, si $(a_{n})_{n\geq 1}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$ (ver OEIS: A285314, solo hay 13 $n$, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.

También se sabe que si $(W_{n})_{n\geq 1}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ es finito. Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$.

