Binomio
# Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

## Ejemplos

* $a+b$.
* $a^{2}b^{5}c^{2}z-b^{3}c^{9}d^{2}$.
* $3\tan ^{2}\phi \,-\,{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}$: es una diferencia de expresiones trigonométricas.

## Binomios notables

* $x^{2}+y^{2}$. Suma de cuadrados.
* $x^{2}-y^{2}$. Diferencia de cuadrados.
* $x^{3}+y^{3}$. Suma de cubos.
* $x^{3}-y^{3}$. Diferencia de cubos.
* $x^{n}+y^{n}$. Suma de n-esimas potencias.
* $x^{n}-y^{n}$. Diferencia de n-ésimas potencias.

## Operaciones con binomios

### Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

   $c(a+b)=ca+cb$

o realizando la operación:

   ${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &&c\\\hline &ca&+cb\end{array}}$

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

    $3x(4x-6y)=(3x)(4x)+(3x)(-6y)=12x^{2}-18xy$

O también:

    ${\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\times &&3x\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}$

### Suma por diferencia

El binomio $a^{2}-b^{2}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

    $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$.

Demostración:

    ${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}$

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: $a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}$.

### Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales $(ax+b)$ $(cx+d)$ es:

    $(ax+b)(cx+d)=acx^{2}+axd+bcx+bd=acx^{2}+(ad+bc)x+bd$
    ${\begin{array}{rrr}&ax&+b\\\times &cx&+d\\\hline &adx&+bd\\acx^{2}&+bcx&\\\hline acx^{2}&+(ad+bc)x&+bd\end{array}}$

### Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:$(a+b)^{n}$, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: $(p+q)^{2}$

### Cuadrado de un binomio

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

   $(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$.

La operación se efectúa del siguiente modo:

   ${\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma $a^{2}+2ab+b^{2}$, se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

   $(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab+b^{2}$

La operación se efectúa del siguiente modo:

   ${\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}$

Ejemplo:

    $(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}+2(2x)(-3y)+(-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}$

## Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática $y=x^{2}$, se desarrolla el binomio ${(x+h)}^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}$. El coeficiente del término en $h$ que es $2x$ es la derivada de $x^{2}$. Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de $h$, el término lineal es $2xh$.

Igualmente, para $y=x^{3}$ se desarrolla $(x+h)^{3}$. En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de $h$ es $3x^{2}$, que es la derivada de $x^{3}$.

