Valor p-ádico
# Valor p-ádico

En teoría de números, el valor p-ádico (también conocido como valoración p-ádica u orden p-ádico) de un número entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p dado que divide a n.

Se denota como $\nu _{p}(n)$. De manera equivalente, $\nu _{p}(n)$ es el exponente con el que aparece $p$ en la descomposición en factores primos de $n$.

El valor p-ádico es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual. Mientras que el espacio métrico completo de los números racionales con respecto al valor absoluto habitual da como resultado los números reales $\mathbb {R}$, al completar los números racionales con respecto al valor absoluto $p$-ádico se obtienen como resultado los números p-ádicos $\mathbb {Q} _{p}$.

## Definición y propiedades

Sea p un número primo.

### Enteros

La valoración p-ádica de un entero $n$ se define como

    $\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0,\end{cases}}$

donde $\mathbb {N}$ denota el conjunto de los números naturales y $m\mid n$ denota la divisibilidad de $n$ por $m$. En particular, $\nu _{p}$ es una función $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$.

Por ejemplo, $\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$ y $\nu _{5}(-12)=0$ dado que $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$.

La notación $p^{k}\parallel n$ a veces se usa para referirse a $k=\nu _{p}(n)$.

Si $n$ es un entero positivo, entonces

    $\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$;

esto se sigue directamente de que $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$.

### Números racionales

La valoración p-ádica se puede extender a los números racionales como la función

    $\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

definida por

    $\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

Por ejemplo, $\nu _{2}{\bigl{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ y $\nu _{3}{\bigl{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ dado que ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.

Algunas de sus propiedades son:

    $\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$
    $\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

Además, si $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$, entonces

    $\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

donde $\min$ es el mínimo (es decir, el menor de los dos).

## Valor p-ádico absoluto

El valor absoluto p-ádico sobre los números racionales $\mathbb {Q}$ es la función

    $|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

definida por

    $|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

Por lo tanto, $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ para todos los $p$ y, por ejemplo, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ y ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

El valor absoluto p-ádico satisface las siguientes propiedades:

    No negativo$|r|_{p}\geq 0$ Definido positivo$|r|_{p}=0\iff r=0$ Multiplicativo$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ No arquimediano$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

De la multiplicatividad $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ se deduce que $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ para las raíces de la unidad $1$ y $-1$, y en consecuencia, también que $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ La subaditividad $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ se deriva de la desigualdad triangular no arquimediana $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$.

La elección de la base p en la potenciación $p^{-\nu _{p}(r)}$ no hace ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto:

    $\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

donde el producto se toma entre todos los números primos p y el valor absoluto habitual, denotado como $|r|_{0}$. Esto se deriva simplemente de tomar la factorización en números primos: cada factor de potencia primo $p^{k}$ contribuye con su recíproco a su valor absoluto p-ádico, y luego el valor absoluto habitual arquimediano los cancela a todos.

El valor absoluto p-ádico a veces se denomina "norma p-ádica", aunque en realidad no es una norma propiamente dicha porque no cumple con el requisito de homogeneidad.

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto $\mathbb {Q}$ con una métrica (no arquimediana e invariante respecto a las traslaciones):

    $d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

definido por

    $d(r,s)=|r-s|_{p}.$

La operación de completar $\mathbb {Q}$ con respecto a esta métrica conduce al conjunto $\mathbb {Q} _{p}$ de los números p-ádicos.

