Conjuntos prevalentes y cautos
# Conjuntos prevalentes y cautos

En matemáticas, las nociones de prevalente y cauto son conceptos similares a "casi en todas partes" y "medida cero", que se adaptan bien al estudio de los espacios de dimensión infinita y que hacen uso de la invariancia a la traslación de la medida de Lebesgue en espacios reales de dimensión finita. El término "cauto" (originalmente shy en inglés) fue sugerido por el matemático estadounidense John Milnor.

## Definiciones

### Prevalencia y cautela

Sea $V$ un espacio vectorial topológico real y sea $S$ un subconjunto de $V$ con medida de Borel. Se dice que $S$ es prevalente si existe un subespacio de dimensión finita $P$ de $V,$ llamado conjunto sonda, tal que para todo $v\in V$ se tiene que $v+p\in S$ para casi todo $\lambda _{P}$ $p\in P,$ donde $\lambda _{P}$ denota la medida de Lebesgue dimensional $\dim(P)$ en $P.$ Dicho de otra manera, para cada $v\in V$ de Lebesgue: casi todos los puntos del hiperplano $v+P$ se encuentran en $S.$

Se dice que un subconjunto que no es de Borel de $V$ es prevalente, si contiene un subconjunto de Borel prevalente.

Se dice que un subconjunto de Borel de $V$ es cauto si su complemento es prevalente; se dice que un subconjunto de $V$ que no es de Borel es cauto si está contenido dentro de un subconjunto de Borel cauto.

Una definición alternativa, y un poco más general, es definir un conjunto $S$ como cauto si existe una medida transversal para $S$ (que no sea una medida trivial).

### Prevalencia local y cautela

Se dice que un subconjunto $S$ de $V$ es localmente cauto si cada punto $v\in V$ tiene un entorno $N_{v}$ cuya intersección con $S$ es un conjunto cauto. Se dice que $S$ es localmente prevalente si su complemento es localmente cauto.

## Teoremas sobre prevalencia y cautela

* Si $S$ es cauto, también lo es cada subconjunto de $S$ y cada traslación de $S.$
* Todo conjunto cauto de Borel $S$ admite una medida transversal que es finita y tiene soporte compacto. Además, esta medida se puede elegir de modo que su soporte tenga un diámetro arbitrariamente pequeño.
* Cualquier conjunto numerable finito o unión de conjuntos cautos también es cauto. De manera análoga, prevalece la intersección contable de conjuntos prevalentes.
* Cualquier conjunto cauto también lo es localmente. Si $V$ es un espacio separable, entonces cada subconjunto localmente cauto de $V$ también lo es.
* Un subconjunto $S$ de un espacio euclídeo $n$-dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ es cauto si y solo si tiene medida de Lebesgue cero.
* Cualquier subconjunto prevalente $S$ de $V$ es denso en $V.$
* Si $V$ es de dimensión infinita, entonces cada subconjunto compacto de $V$ es cauto.

En lo sucesivo, se entiende por "casi todos" que la propiedad indicada se cumple en un subconjunto predominante del espacio en cuestión.

* Casi todas las funciones continuas desde el intervalo $[0,1]$ hasta la recta real $\mathbb {R}$ son funciones diferenciables; aquí el espacio $V$ es $C([0,1];\mathbb {R} )$ con la topología inducida por la norma del supremo.
* Casi todas las funciones $f$ en un espacio $L^{p}$ $L^{1}([0,1];\mathbb {R} )$ tienen la propiedad de que

    $\int _{0}^{1}f(x)\,\mathrm {d} x\neq 0.$ Claramente, la misma propiedad se cumple para los espacios de funciones $k$-veces diferenciables $C^{k}([0,1];\mathbb {R} ).$
* Para $1<p\leq +\infty ,$ casi todas las secuencias $a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in \ell ^{p}$ tienen la propiedad de que la serie

    $\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}$

diverge.

* Versión de prevalencia del teorema de embebido de Whitney: Sea $M$ una variedad compacta de clase $C^{1}$ y dimensión $d$, contenida en $\mathbb {R} ^{n}.$ Para $1\leq k\leq +\infty ,$, casi todas las funciones de $C^{k}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{2d+1}$ es un encaje de $M.$
* Si $A$ es un subconjunto compacto de $\mathbb {R} ^{n}$ con dimensión de Hausdorff-Besicovitch $d,$ $m\geq ,$ y $1\leq k\leq +\infty ,$ entonces, para casi todas las funciones $C^{k}$, $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},$ $f(A)$ también tiene dimensión de Hausdorff $d.$
* Para $1\leq k\leq +\infty ,$ casi todas las funciones $C^{k}$ $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ tienen la propiedad de que todos sus puntos periódicos son hiperbólicos. En particular, lo mismo es válido para todos los puntos del período $p$, para cualquier número entero $p.$
