Espacio normado auxiliar
# Espacio normado auxiliar

En análisis funcional, Alexander Grothendieck (1928-2014) empleó sistemáticamente dos métodos para construir espacios normados a partir de discos con el fin de definir operadores nucleares y espacios nucleares:

       $p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r.$

Si el disco está acotado y es absorbente, entonces los dos espacios normados auxiliares son canónicamente isomorfos (como espacios vectoriales topológicos y espacios normados).

## Inducido por un disco acotado – Discos de Banach

En este artículo, $X$ será un espacio vectorial real o complejo (aunque no necesariamente un EVT) y $D$ será un disco en $X.$

### Espacio seminormado inducido por un disco

Sea $X$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto $D$ de $X,$ el Funcional de Minkowski de $D$ se define por:

* Si $D=\varnothing$, entonces define $p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )$ como la aplicación trivial $p_{\varnothing }=0$ y se asumirá que $\operatorname {expan} \varnothing =\{0\}.$
* Si $D\neq \varnothing$ y si $D$ es absorbente en $\operatorname {expan} D$, entonces denota el funcional de Minkowski de $D$ en $\operatorname {expan} D$ por

    $p_{D}:\operatorname {expan} D\to [0,\infty )$

donde para todos los $x\in \operatorname {expan} D,$ esto se define por :$p_{D}(x):=\inf _\{r:x\in rD,r>0\}.$

Sea $X$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto $D$ de $X$ tal que el $p_{D}$ funcional de Minkowski sea una seminorma en $\operatorname {expan} D,$ denótese por $X_{D}$

    $X_{D}:=\left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)$

que se denomina seminorma inducida por $D,$ donde si $p_{D}$ es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por $D.$

Supuesto (Topología): $X_{D}=\operatorname {expan} D$ está dotado de la topología de la seminorma inducida por $p_{D},$ que se denotará por $\tau _{D}$ o $\tau _{p_{D}}.$

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto $D,$ la estructura algebraica de $X,$ y la topología habitual en $\mathbb {R}$ (ya que $p_{D}$ se define usando solo el conjunto $D$ y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ se denomina "aplicación canónica".

Supóngase que $D$ es un disco. Entonces, $expan⁡D=⋃_{n=1}^∞nD{\textstyle$ \operatorname {expan} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD} para que $D$ sea absorbente en $\operatorname {expan} D,$ el sistema generador de $D.$ El conjunto $\{rD:r>0\}$ de todos los múltiplos escalares positivos de $D$ forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo $\tau _{D}$ en $\operatorname {expan} D.$ El funcional de Minkowski del disco $D$ en $\operatorname {expan} D$ garantiza que $p_{D}$ esté bien definido y forme una seminorma en $\operatorname {expan} D.$ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología $\tau _{D}$ que se definió anteriormente.

### Definición de disco de Banach

Un disco acotado $D$ en un espacio vectorial topológico $X$ tal que $\left(X_{D},p_{D}\right)$ sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en $X.$

Si se muestra que $\left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)$ es un espacio de Banach, entonces $D$ será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga $D$ como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional $p_{D}$ de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si $\left(X_{D},p_{D}\right)$ forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco $D$ y de $p_{D},$ el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que $X$ pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT $X$ sea un subconjunto acotado de $X$ es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT $X$ que lo contiene.

### Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

* Teorema
* Si $D$ es un disco en un espacio vectorial topológico (EVT) $X,$ entonces $D$ está acotado en $X$ si y solo si la aplicación de inclusión $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ es continua.
* Demostración
* Si el disco $D$ está delimitado en el EVT $X$, entonces para todos los entornos $U$ del origen en $X,$ existe algún $r>0$ tal que $rD\subseteq U\cap X_{D}.$
* De ello se deduce que en este caso la topología de $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es más fina que la topología subespacial que $X_{D}$ hereda de $X,$ lo que implica que la aplicación de inclusión $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ es continua.
* Por el contrario, si $X$ tiene una topología EVT tal que $\operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X$ es continua, entonces para cada entorno $U$ del origen en $X$ existe algún $r>0$ tal que $rD\subseteq U\cap X_{D},$ lo que demuestra que $D$ está acotado en $X.$

Hausdorffsidad

El espacio $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es de Hausdorff si y solo si $p_{D}$ es una norma, lo que ocurre si y solo si $D$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial. En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff $X$, de modo que $D$ esté acotado en $X$, entonces $p_{D}$ es una norma. Un ejemplo en el que $X_{D}$ no es de Hausdorff se obtiene dejando que $X=\mathbb {R} ^{2}$ y dejando que $D$ sea el eje $x$.

Convergencia de redes

Supóngase que $D$ es un disco en $X$ tal que $X_{D}$ es de Hausdorff y sea $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ una red en $X_{D}.$ Entonces, $x_{\bullet }\to 0$ en $X_{D}$ si y solo si existe un $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}$ red de números reales tal que $r_{\bullet }\to 0$ y $x_{i}\in r_{i}D$ para todo $i$; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que $r_{i}\geq 0$ para todo $i.$

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si $C\subseteq D\subseteq X$, entonces $\operatorname {expan} C\subseteq \operatorname {expan} D$ y $p_{D}\leq p_{C}$ en $\operatorname {expan} C,$ se define la siguiente aplicación lineal continua:

Si $C$ y $D$ son discos en $X$ con $C\subseteq D$, entonces denomínese a la aplicación de inclusión $\operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}$ la "inclusión canónica" de $X_{C}$ en $X_{D}.$

En particular, la topología subespacial que $\operatorname {expan} C$ hereda de $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es más débil que la topología inducida por la seminorma de $\left(X_{C},p_{C}\right)$.

El disco como bola unitaria cerrada

El disco $D$ es un subconjunto cerrado de $\left(X_{D},p_{D}\right)$ si y solo si $D$ es la bola unitaria cerrada de la seminorma $p_{D}$; esto es

    $D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.$

Si $D$ es un disco en un espacio vectorial $X$ y si existe una topología EVT $\tau$ en $\operatorname {expan} D$ tal que $D$ es un subconjunto cerrado y acotado de $\left(\operatorname {expan} D,\tau \right),$ entonces $D$ es la bola unitaria cerrada de $\left(X_{D},p_{D}\right)$ (es decir, $D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}$) (véase nota al pie para su demostración).

### Condiciones suficientes para un disco de Banach

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, $D$ será un disco Banach en cualquier EVT en el que $D$ esté acotado.

* Teorema
* Sea $D$ un disco en un espacio vectorial $X.$
* Si existe una topología EVT de Hausdorff $\tau$ en $\operatorname {expan} D$ tal que $D$ es un subconjunto secuencialmente completo acotado de $(\operatorname {expan} D,\tau ),$ entonces $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es un espacio de Banach.
* Demostración
* Supóngase sin pérdida de generalidad que $X=\operatorname {expan} D$ y sea $p:=p_{D}$ el funcional de Minkowski de $D.$
* Dado que $D$ es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff, $D$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que $p$ es una norma.
* Sea $\tau _{D}$ la topología de una norma en $X$ inducida por $p$ donde, dado que $D$ es un subconjunto acotado de $(X,\tau ),$ $\tau _{D}$ es más fina que $\tau .$
* Debido a que $D$ es convexo y equilibrado, para cualquier $0<m<n$
* $2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.$
* Sea $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ una secuencia de Cauchy en $\left(X_{D},p\right).$
* Al reemplazar $x_{\bullet }$ con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de $generalidad^†$ que para todo $i,$
* $x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.$
* Esto implica que para cualquier $0<m<n,$
* $x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D$
* de modo que en particular, tomando $m=1$ se deduce que $x_{\bullet }$ está contenido en $x_{1}+2^{-3}D.$
* Dado que $\tau _{D}$ es más fina que $\tau ,$ $x_{\bullet }$ es una secuencia de Cauchy en $(X,\tau ).$
* Para todo $m>0,$ $2^{-(m+2)}D$ es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de $(X,\tau ).$
* En particular, esto es cierto para $x_{1}+2^{-3}D$, por lo que existe algún $x\in x_{1}+2^{-3}D$ tal que $x_{\bullet }\to x$ en $(X,\tau ).$
* Dado que $x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ para todos los $0<m<n,$ fijando $m$ y tomando el límite (en $(X,\tau )$) como $n\to \infty ,$ se deduce que $x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D$ para cada $m>0.$
* Esto implica que $p\left(x-x_{m}\right)\to 0$ es $m\to \infty ,$ lo que implica exactamente que $x_{\bullet }\to x$ en $\left(X_{D},p\right).$
* Esto demuestra que $\left(X_{D},p\right)$ está completo.
* $^†$ Esta suposición está permitida porque $x_{\bullet }$ es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.

Tenga en cuenta que incluso si $D$ no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que $\left(X_{D},p_{D}\right)$ es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco $K$ que satisfaga

    $\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}$

porque $p_{D}=p_{K}.$

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

* Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.
* Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.
* La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.

Supóngase que $D$ es un disco acotado en un EVT $X.$

* Si $L:X\to Y$ es una aplicación lineal continua y $B\subseteq X$ es un disco de Banach, entonces $L(B)$ es un disco de Banach y $L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)$ induce un isomorfismo sobre el EVT $Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).$

### Propiedades de los discos de Banach

Sea $X$ un EVT y $D$ sea un disco limitado en $X.$

Si $D$ es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff $X$, y si $T$ es barrilado en $X$, entonces $T$ absorbe a $D$ (es decir, hay un número $r>0$ tal que $D\subseteq rT.$

Si $U$ es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en $X$, entonces la colección de todos los entornos $rU,$ donde $r>0$ abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en $X.$ Cuando $X$ tiene esta topología, se denota por $X_{U}.$ Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff $X/p_{U}^{-1}(0)$ se denota por ${\overline {X_{U}}}$, de modo que ${\overline {X_{U}}}$ es un espacio de Hausdorff completo y $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r$ es una norma en este espacio que convierte a ${\overline {X_{U}}}$ en un espacio de Banach. El polar de $U,$ $U^{\circ },$ es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en $X^{\prime }$ y, por lo tanto, es infracompleto.

Si $X$ es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado $B$ de $X,$ existe un disco $D$ acotado en $X$ tal que $B\subseteq X_{D},$ y tanto $X$ como $X_{D}$ inducen la misma topología del subespacio en $B.$

## Inducido por un disco radial – cociente

Supóngase que $X$ es un espacio vectorial topológico y $V$ es un conjunto convexo equilibrado y radial. Entonces, $\left\{{\tfrac {1}{n}}V:n=1,2,\ldots \right\}$ es una base del entorno en el origen para alguna topología localmente convexa $\tau _{V}$ en $X.$ Esta topología de EVT $\tau _{V}$ está dada por el funcional de Minkowski, y está formada por $V,$ $p_{V}:X\to \mathbb {R} ,$ que es una seminorma en $X$ definida por $p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r.$ La topología $\tau _{V}$ es de Hausdorff si y solo si $p_{V}$ es una norma, o equivalentemente, si y solo si $X/p_{V}^{-1}(0)=\{0\}$ o equivalente, para lo cual basta que $V$ esté acotado en $X.$ La topología $\tau _{V}$ no tiene por qué ser de Hausdorff, pero $X/p_{V}^{-1}(0)$ sí que lo es. $X/p_{V}^{-1}(0)$ induce una norma sobre $\left\|x+X/p_{V}^{-1}(0)\right\|:=p_{V}(x),$ donde este valor es, de hecho, independiente del representante de la clase de equivalencia $x+X/p_{V}^{-1}(0)$ elegida. El espacio normado $\left(X/p_{V}^{-1}(0),\|\cdot \|\right)$ se denota por $X_{V}$ y su completación se denota por ${\overline {X_{V}}}.$

Si además, $V$ está acotado en $X$, entonces la seminorma $p_{V}:X\to \mathbb {R}$ es una norma, por lo que en particular, $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}.$ En este caso, se toma $X_{V}$ como el espacio vectorial $X$ en lugar de $X/\{0\}$, de modo que la notación $X_{V}$ no sea ambigua (si $X_{V}$ denota el espacio inducido por un disco radial o el espacio inducido por un disco acotado).

La topología cociente $\tau _{Q}$ en $X/p_{V}^{-1}(0)$ (heredada de la topología original de $X$) es más fina (en general, estrictamente más fina) que la topología normal.

### Aplicaciones canónicas

La aplicación canónica es la clase de equivalencia $q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),$ que es continua cuando $X_{V}$ tiene la topología normal o la topología del cociente.

Si $U$ y $V$ son discos radiales tales como $U\subseteq V$, entonces $p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)$, por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua $q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}$, definida enviando $x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)$ a la clase de equivalencia $x+p_{V}^{-1}(0),$ donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia $x+p_{U}^{-1}(0)$ que se elija.

Esta aplicación canónica tiene la norma $\,\leq 1$, y posee una extensión canónica lineal continua única a ${\overline {X_{U}}}$ que se denota por ${\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.$

Supóngase además que $B\neq \varnothing$ y $C$ son discos acotados en $X$ con $B\subseteq C$, de modo que $X_{B}\subseteq X_{C}$ y la inclusión $\operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}$ sea una aplicación lineal continua. Sean $\operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,$ $\operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,$ y $\operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}$ las aplicaciones canónicas. Entonces, $\operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}$ y $q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.$

## Inducido por un disco radial acotado

Supóngase que $S$ es un disco radial acotado. Dado que $S$ es un disco acotado, si $D:=S$, entonces se puede crear el espacio normado auxiliar $X_{D}=\operatorname {expan} D$ con la norma $p_{D}(x):=\inf _{x\in rD,r>0}r$. Como $S$ es radial, $X_{S}=X.$ Dado que $S$ es un disco radial, si $V:=S$, entonces se puede crear el espacio de la seminorma auxiliar $X/p_{V}^{-1}(0)$ con la seminorma $p_{V}(x):=\inf _{x\in rV,r>0}r$. Debido a que $S$ está acotado, esta seminorma es una norma y $p_{V}^{-1}(0)=\{0\}$, por lo que entonces $X/p_{V}^{-1}(0)=X/\{0\}=X.$ Así, en este caso, los dos espacios normados auxiliares producidos por estos dos métodos diferentes dan como resultado el mismo espacio normado.

## Dualidad

Supongamos que $H$ es un disco equicontinuo débilmente cerrado en $X^{\prime }$ (esto implica que $H$ es débilmente compacto) y sea

    $U:=H^{\circ }=\{x\in X:|h(x)|\leq 1{\text{for all }}h\in H\}$

el polar de $H.$ Debido a que $U^{\circ }=H^{\circ \circ }=H$ según el teorema bipolar, se deduce que un funcional lineal continuo $f$ pertenece a $X_{H}^{\prime }=\operatorname {expan} H$ si y solo si $f$ pertenece al espacio dual continuo de $\left(X,p_{U}\right),$ donde $p_{U}$ es el funcional de Minkowski de $U$ definido por $p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r.$

## Conceptos relacionados

Un disco en un EVT se llama infrabornivoro si absorbe todos los discos de Banach.

Un aplicación lineal entre en dos EVT se llama infra-acotada si asigna discos de Banach a discos delimitados.

### Convergencia rápida

Se dice que una sucesión $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ en un EVT $X$ es "rápidamente convergente" a un punto $x\in X$ si existe un disco de Banach $D$ tal que tanto $x$ como la sucesión estén (finalmente) contenidos en $\operatorname {expan} D$ y $x_{\bullet }\to x$ en $\left(X_{D},p_{D}\right).$

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.

