Polígono regular
# Polígono regular

En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se denominan triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

## Elementos de un polígono regular

* Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
* Vértice, V: punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
* Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los lados.
* Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
* Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
* Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
* Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
* Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
* Sagita, S': parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

## Propiedades de un polígono regular

* Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.

## Ángulos de un polígono regular

### Central

* Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

    $\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ en grados sexagesimales
    $\alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radianes

### Interior

* El ángulo interior, $\beta \,$, de un polígono regular mide:

    $\beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en grados sexagesimales
    $\beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;$ en radianes
* La suma de los ángulos interiores, $\sum \beta \;$, de un polígono regular es de:

    $\sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;$ en grados sexagesimales
    $\sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;$ en radianes

### Exterior

* El ángulo exterior, $\gamma \;$, de un polígono regular es de:

    $\gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;$ en grados sexagesimales
    $\gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;$ en radianes
* La suma de los ángulos exteriores, $\sum \gamma \,$, de un polígono regular es:

    $\sum \gamma =360^{\circ }\;$ en grados sexagesimales
    $\sum \gamma =2\pi \;$ en radianes

## Galería de polígonos regulares

    Triángulo equilátero (3) Cuadrado (4) Pentágono (5) Hexágono (6)
    Heptágono (7) Octágono (8) Eneágono (9) Decágono (10)
    Undecágono (11) Dodecágono (12) Tridecágono (13) Tetradecágono (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

## Área de un polígono regular

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

### En función del perímetro y la apotema

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

    $A={\frac {P\cdot a}{2}}$
* Demostración
* Partiendo del triángulo que tiene por base un lado L, del polígono y altura su apotema a , el área de este triángulo, es:
* $A_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;$
* Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el área del polígono será:
* $A_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;$
* Sabiendo que la longitud de un lado L, por el número n de lados, es el perímetro P, tenemos:
* $A_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;$

O de otro modo

    $A=a\cdot p$

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

### En función del número de lados y la apotema

Sabiendo que:

    $A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}$

Además $\delta ={\frac {\pi }{n}}\$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

    $L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Sustituyendo el lado:

    $A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}$

Finalmente:

    $A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

### En función del número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

    $L=2r\sin({\delta })\;$
    $a=r\cos({\delta })\;$

donde el ángulo central es:

    $\alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;$

sabiendo que el área de un polígono es:

    $A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

    $A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;$

ordenando tenemos:

    $A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;$

sabiendo que:

    $2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;$

resulta:

    $A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;$

o lo que es lo mismo:

    $A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

### En función de la longitud y el número de lados

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

    $A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}$

Sea $\varphi$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

    $\varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

    $\tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}$

Despejando la apotema tenemos:

    $a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}$

Sustituimos la apotema por su valor:

    $\left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\$

Se puede ver en el dibujo que $\tan(\delta )={\frac {1}{\tan(\varphi )}}$ y la fórmula puede escribirse también como $A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

## Apotema y sagita

La apotema, $a$, de un polígono regular de $n$ lados de longitud $L$ viene dada por

    $a={\frac {L}{2\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}$

O bien, en función del circunradio, $R$,

    $a=R\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

La sagita, $s$, de un polígono regular de $n$ lados de longitud $L$ viene dada por

    $s={\frac {L}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)$

O bien, en función del circunradio,

    $s=2\cdot R\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)$

## Diagonales

### Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

* De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
* Esto es válido para los n vértices del polígono.
* Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

    $N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}$

### Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

    $\sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}$

que resulta:

    $\sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}$

de donde deducimos que:

    $d=2r\sin({\alpha })\,$

Sabiendo el valor del ángulo central:

    $d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

### Longitud de las diagonales

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

    $d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}$
    $L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)$
    $d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)$
    $d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}$
    $d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)$
    $d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}$
    $d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)$

## Parametrización de un polígono regular con un triángulo rectángulo.

En una circunferencia de radio establecido, puede construirse un polígono regular inscrito y circunscrito con n lados a regla y compás en algunos casos de polígonos, y se utilizan softwares CAD para mayor precisión. Tomando como referencia el segundo teorema de Tales y el teorema de Pitágoras, es posible relacionar todos los parámetros de un polígono regular sea inscrito y circunscrito con un triángulo rectángulo. Esto se cumple cuando el ángulo theta opuesto al lado del polígono inscrito o circunscrito, cumple con el siguiente criterio: θ = 180°/n , siendo n el número de lados del polígono y debe ser un número entero mayor que 2.

