Coeficiente trinomial
# Coeficiente trinomial

Partiendo de la definición de coeficiente binomial y de su expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica), se puede extender la idea de coeficientes binomiales a lo que se denominan coeficientes trinomiales, con los cuales se puede desarrollar el teorema del trinomio.

## Pasos previos

En la fórmula algebraica de los coeficientes binomiales [el coeficiente biniomial ${n \choose k}$ está dado por la fórmula ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica para obtener la referencia completa)], se obtiene que la suma de los números en el denominador es igual al numerador. Esto se puede expresar como $n=k+(n-k)$

Si se define un $r_{1}=k$ y un $r_{2}=n-k$ [$r_{1}$ y $r_{2}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$)] se obtiene que ${n \choose k}={n! \choose r_{1}!\cdot r_{2}!}$, por lo tanto se puede usar la notación ${n \choose r_{1},r_{2}}$ para referirse a la misma expresión algebraica (véase coeficiente binomial, apartado definición algebraica).

## Definición

Si $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$) y $r_{1}+r_{2}+r_{3}=n$, entonces el coeficiente trinomial ${n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}$ queda definido como ${n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdot r_{2}!\cdot r_{3}!}}$

Como se ha definido anteriormente, si $r_{1}+r_{2}+r_{3}=n$, por la propiedad conmutativa de la multiplicación:

${n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}$ = ${n \choose r_{1},r_{3},r_{2}}$ = ${n \choose r_{2},r_{1},r_{3}}$ = ${n \choose r_{2},r_{3},r_{1}}$ = ${n \choose r_{3},r_{1},r_{2}}$ = ${n \choose r_{3},r_{2},r_{1}}$

Por lo que se concluye que si $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$) y $r_{1}+r_{2}+r_{3}=n$ existen 3! maneras de representar el mismo coeficiente trinomial.

## Ejemplo

Si se quiere calcular el valor de ${n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}$, siendo $n=10$, $r_{1}=2$, $r_{2}=3$, $r_{3}=5$ $\Longrightarrow$${10 \choose 2,3,5}$:

Aplicando la definición ${n \choose r_{1},r_{2},r_{3}}={\frac {n!}{r_{1}!\cdot r_{2}!\cdot r_{3}!}}$:

${10 \choose 2,3,5}={\frac {10!}{2!\cdot 3!\cdot 5!}}=2520$

Como se puede comprobar $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ son enteros positivos ($r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$ $\in \mathrm {Z} ^{+}$) y $r_{1}+r_{2}+r_{3}=n$

