Hosoedro
# Hosoedro

En geometría esférica, un hosoedro n-gonal es un teselado de una superficie esférica mediante lunas, de modo que cada luna comparte los mismos dos vértices polarmente opuestos.

Un hosoedro n-gonal regular tiene símbolo de Schläfli {2, n}, y cada luna esférica tiene un ángulo interior de 2Π/n radianes (en grados sexagesimales, 360/n).

## Hosohedros como poliedros regulares

Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es {m, n}, el número de caras poligonales es:

    $N_{2}={\frac {4n}{2m+2n-mn}}.$

Los sólidos platónicos conocidos en la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.

Al considerar los poliedros como teselados esféricos, esta restricción se puede relajar, ya que los dígonos (2-gonos) se pueden representar como lunas esféricas que tienen áreas distintas de cero.

Permitir que m = 2 hace que

    $N_{2}={\frac {4n}{2\times 2+2n-2n}}=n,$

y admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros. En una superficie esférica, el poliedro {2, n} se representa como n lunas contiguas, con ángulos interiores de 2Π/n. Todas estas lunas esféricas comparten dos vértices comunes.

| Un hosoedro trigonal regular, {2,3}, representado como un mosaico de 3 lunas esféricas sobre una esfera. | Un hosoedro tetragonal regular, {2,4}, representado como un mosaico de 4 lunas esféricas sobre una esfera. |
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Familia de hosoedros regulares · * n22 mutaciones de simetría de teselados de hosoedros regulares: nn :

| Espacio | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Esférico | Euclídeo |
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| Nombre del teselado | (Monogonal) Monógono | Hosohedro digonal | (Triangular) Hosohedro trigonal | (Tetragonal) Hosohedro cuadrado | Hosohedro pentagonal | Hosoedro hexagonal | Hosoedro heptagonal | Hosoedro octogonal | Hosoedro eneagonal | Hosoedro decagonal | Hosoedro hendecagonal | Hosoedro dodecagonal | ... | Hosoedro apeirogonal |
| Imagen del teselado | | | | | | | | | | | | | ... | |
| Símbolo de Schläfli | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | {2,6} | {2,7} | {2,8} | {2,9} | {2,10} | {2,11} | {2,12} | ... | {2,∞} |
| Diagrama de Coxeter-Dynkin | | | | | | | | | | | | | ... | |
| Caras y aristas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | ... | ∞ |
| Vértices | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ... | 2 |
| Configuración de vértices | 2 | 2.2 | $2^3$ | $2^4$ | $2^5$ | $2^6$ | $2^7$ | $2^8$ | $2^9$ | $2^{10}$ | $2^{11}$ | $2^{12}$ | ... | $2^∞$ |

## Simetría caleidoscópica

Las caras 2n digonales en forma de lunas esféricas de un hosoedro 2n, {2,2n}, representan los dominios fundamentales de la simetría diedral en tres dimensiones: la simetría cíclica $C_{nv},$ [n], (* nn), orden 2n. Los dominios de reflexión se pueden mostrar mediante lunas de colores alternativos como imágenes en un espejo.

Bisecar cada luna en dos triángulos esféricos crea una bipirámide n-gonal, que representa el grupo diedral $D_{nh},$ orden 4n.

| Simetría (orden 2n) | $C_{nv},$ [n] | $C_{1v},$ [ ] | $C_{2v},$ [2] | $C_{3v},$ [3] | $C_{4v},$ [4] | $C_{5v},$ [5] | $C_{6v},$ [6] |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| 2n-gonal hosoedro | Símbolo deSchläfli {2,2n} | {2,2} | {2,4} | {2,6} | {2,8} | {2,10} | {2,12} |
| Imagen | Dominios fundamentales en colores alternativos | | | | | | |

## Relación con el sólido de Steinmetz

El hosoedro tetragonal es topológicamente equivalente al sólido de Steinmetz bicilíndrico, la intersección de dos cilindros en ángulos rectos.

## Poliedros derivados

El dual del hosoedro n-gonal {2, n} es el diedro n-gonal, {n, 2}. El poliedro {2,2} es auto-dual, y es a la vez hosoedro y diedro.

Un hosoedro se puede modificar de la misma manera que los otros poliedros para producir una variación truncada. El hosoedro n-gonal truncado es un prisma n-gonal.

## Hosoedro apeirogonal

En el límite, el hosoedro se convierte en un hosoedro apeirogonal como una teselación bidimensional:

## Hosotopos

Los análogos de multidimensionales en general se denominan hosotopos. Un hosotopo normal con símbolo de Schläfli {2, p, ..., q} tiene dos vértices, cada uno con una figura de vértice {p, ..., q}.

El hosotopo bidimensional, {2}, es un dígono.

## Etimología

El término “hosoedro” parece derivar del griego ὅσος ( hosos ) “tantos”, la idea es que un hosoedro puede tener “ 'tantas' caras como se desee”. Fue introducido por Vito Caravelli en el siglo XVIII.

