Distribución de objetos en recipientes
# Distribución de objetos en recipientes

Dentro de la teoría combinatoria algunos problemas de recuento y un gran número de cuestiones combinatorias pueden ser resueltas y descritas en forma de distribuciones de objetos en recipientes («bolas en cajas»).

Existen numerosos casos dentro de este tipo de distribuciones, ya que se clasifican según si los objetos o las cajas son distinguibles o indistinguibles y también teniendo en cuenta el tipo de aplicación a la que están asociadas, es decir, las diferentes restricciones sobre las distribuciones.

Teniendo en cuenta lo anterior, nos encontramos con algunos de los siguientes casos, llamados modelos de ocupación:

## Objetos y recipientes distinguibles (numerables)

Consideramos $n$ cajas distinguibles y $k$ bolas distinguibles.

Y también, teniendo en cuenta las aplicaciones de un conjunto de $k$ elementos en uno de $n$ elementos, dicho de otra manera, las posiciones que pueden tomar los objetos en las diferentes cajas. Algunos de los casos que nos encontramos son:

* Que puedan quedar cajas vacías (aplicación cualesquiera), para ello $n$ puede tomar cualquier valor y puede haber más de un objeto en una caja:
   * Variaciones con repetición: $VR_{n}^{k}$
* Ateniendo a la condición de que haya un único objeto por recipiente (aplicación inyectiva), posible solo si $n>=k$, mayor o igual número de cajas que de bolas:
   * Variación: $V_{n}^{k}$
* Con la condición anterior de que haya un único objeto por recipiente y que además no haya ningún recipiente vacío (aplicación biyectiva), tiene que ocurrir que $n=k$, mismo número de cajas que de bolas:
   * Permutación: $P{n}$

## Objetos indistinguibles y recipientes distinguibles

Consideramos $k$ bolas indistinguibles y $n$ cajas distinguibles. Ahora no se hace la pregunta de «qué bolas van en cada una de las cajas», ya que no las podemos numerar. Los casos destacados son:

* En el caso de que puedan quedar cajas vacías y en donde $n$ puede tomar cualquier valor, es decir, sin ninguna restricción (aplicación cualesquiera):
   * Combinaciones con repetición: $CR_{n,k}$
* Con la condición de que no se permitan cajas vacías (aplicación sobreyectiva), en donde $k>=n$, mayor número de objetos que de recipientes:
   * $CR_{n}^{k-n}=C_{k-1}^{n-1}\,$
* Con la condición de que haya un único objeto por recipiente (aplicación inyectiva), en donde tiene que ocurrir que $n>=k$ :
   * Combinaciones: $C_{n,k}$

## Objetos y recipientes indistinguibles

Tenemos $k$ bolas y $n$ cajas. En este caso ambas son indistinguibles, no numerables. Estas distribuciones corresponden con las particiones del entero $k$:

* Suponiendo de que no haya cajas vacías, siendo $k>=n$. La solución es el número de particiones de $k$ con exactamente $n$ partes:
   * $p_{n}(k)$
* Si nos fijamos en el número de cajas, la solución es el número total de particiones de $k$:
   * $p(k)=\sum _{i=1}^{k}p_{i}(k)$

       Obteniendo $p_{n}(k)$ y $p(k)$ a partir de Reglas de recurrencia.

## Objetos distinguibles y recipientes indistinguibles

Consideramos $k$ bolas distinguibles y $n$ cajas indistinguibles. Las posibles situaciones que se pueden encontrar:

* La aplicación sea "cualesquiera":
   * Los posibles casos de distribuciones se calculan mediante $\sum _{k=1}^{n}(n,k)=\sum _{i=1}^{n}S(n,i)$
* La aplicación sea inyectiva, por lo que cada objeto solo puede estar en un recipiente:
   * El número de casos de distribuciones es de 1
* La aplicación sea sobreyectiva, cada recipiente tiene al menos un objeto:
   * Los casos de distribuciones vienen dados por Números de Stirling de segunda especie $S(n,k)$
* La aplicación sea biyectiva, por lo tanto a cada uno de los recipiente se le asigna un solo objeto:
   * El número de casos posibles es de 1
