Operador lineal discontinuo
# Operador lineal discontinuo

En matemáticas, las aplicaciones lineales forman una clase importante de funciones "simples" que conservan la estructura algebraica de los espacios vectoriales, y se utilizan a menudo como aproximaciones a funciones más generales (véase aproximación lineal). Si los espacios involucrados también son espacios topológicos (es decir, espacios vectoriales topológicos), entonces tiene sentido preguntar si todas las aplicaciones lineales son continuas. Resulta que para aplicaciones definidas en espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita (como por ejemplo, los espacios vectoriales normados de dimensión infinita), la respuesta generalmente es no: existen aplicaciones lineales discontinuas. Si el dominio de definición es completo, es más complicado. Aunque se puede demostrar que tales aplicaciones existen, la prueba se basa en el axioma de elección, que no proporciona ningún ejemplo explícito.

## Una aplicación lineal de un espacio de dimensión finita es siempre continua

Sean X e Y dos espacios normados, y sea $f:X\to Y$ una aplicación lineal de X a Y. Si X es de dimensión finita, elíjase una base $\left(e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}\right)$ en X que pueda considerarse como vectores unitarios. Entonces,

    $f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i}),$

y así, por la desigualdad triangular,

    $\|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|.$

Dejando que

    $M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\},$

y utilizando el hecho de que

    $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|$

para algunos C>0 (que se deduce del hecho de que dos normas cualesquiera en un espacio de dimensión finita son equivalentes), se encuentra que

$\|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|$

Por lo tanto, $f$ es un operador lineal acotado y, en consecuencia, es continuo. De hecho, para ver esto, simplemente obsérvese que f es lineal, y de ello se deduce que $\|f(x)-f(x')\|=\|f(x-x')\|\leq K\|x-x'\|$ para alguna constante universal K. Así, para cualquier $\epsilon >0$, se puede elegir $\delta \leq \epsilon /K$ para que $f(B(x,\delta ))\subseteq B(f(x),\epsilon )$ ($B(x,\delta )$ y $B(f(x),\epsilon )$ son las bolas normalizadas alrededor de $x$ y $f(x)$), lo que da continuidad.

Si X es de dimensión infinita, esta prueba fallará, ya que no hay garantía de que exista el elemento supremo M. Si Y es el espacio cero {0}, la única aplicación entre X e Y es la aplicación "cero", que es trivialmente continua. En todos los demás casos, cuando "X" es de dimensión infinita y "Y" no es el espacio cero, se puede encontrar una aplicación discontinua de "X" a "Y".

## Un ejemplo concreto

Ejemplos de mapas lineales discontinuos son fáciles de construir en espacios que no están completos; en cualquier secuencia de Cauchy $e_{i}$ de vectores linealmente independientes que no tenga límite, existe un operador lineal $T$ tal que las cantidades $\|T(e_{i})\|/\|e_{i}\|$ crecen sin límite. En cierto sentido, los operadores lineales no son continuos porque el espacio tiene "huecos".

Por ejemplo, considere el espacio X de función infinitamente diferenciable de valor real en el intervalo [0, 1] con norma del supremo, es decir,

$\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|.$

El mapa derivada-en-un-punto, dado por

$T(f)=f'(0)\,$

definida en X y con valores reales, es lineal, pero no continua. De hecho, considere la secuencia

$f_{n}(x)={\frac {\sin(n^{2}x)}{n}}$

para $n\geq 1.$ Esta secuencia converge uniformemente a la función constantemente cero, pero

$T(f_{n})={\frac {n^{2}\cos(n^{2}\cdot 0)}{n}}=n\to \infty$

como $n\to \infty$ en lugar de $T(f_{n})\to T(0)=0$, lo que sería válido para un mapa continuo. Tenga en cuenta que T tiene un valor real, por lo que en realidad lo es un funcional lineal en X (un elemento del espacio dual algebraico $X^*).$ La aplicación lineal X → X que asigna a cada función su derivada es igualmente discontinua. Tenga en cuenta que aunque el operador derivativo no es continuo, es closed.

El hecho de que el dominio no esté completo aquí es importante. Los operadores discontinuos en espacios completos requieren un poco más de trabajo.

## Un ejemplo no constructivo

Una base algebraica para los número real como espacio vectorial sobre número racional se conoce como Base (álgebra) (tenga en cuenta que algunos autores usan este término en un sentido más amplio para referirse a una base algebraica de "cualquier" espacio vectorial). Tenga en cuenta que dos números noncommensurable cualesquiera, digamos 1 y $\pi$, son linealmente independientes. Se puede encontrar una base de Hamel que los contenga y definir un mapa $f:\mathbb {R} \to R$ de modo que $f(\pi )=0,$ f actúe como identidad en el resto de la base de Hamel y extenderlo a todo $\mathbb {R}$ por linealidad. Sea ${r_n}_n$ cualquier secuencia de racionales que converge a $\pi$. Entonces $lim_n$ $f(r_n)$ = π, pero $f(\pi )=0.$ Por construcción, f es lineal sobre $\mathbb {Q}$ (no sobre $\mathbb {R}$), pero no continua. Tenga en cuenta que f tampoco es measurable; una función real additive es lineal si y solo si es medible, por lo que para cada función hay un Conjunto de Vitali. La construcción de "f" se basa en el axioma de elección.

Este ejemplo se puede ampliar a un teorema general sobre la existencia de aplicaciones lineales discontinuas en cualquier espacio normado de dimensión infinita (siempre que el codominio no sea trivial).

## Teorema general de existencia

Se puede demostrar que los mapas lineales discontinuos existen de manera más general, incluso si el espacio está completo. Sean X e Y espacio vectorial normado sobre el campo K donde $K=\mathbb {R}$ o $K=\mathbb {C} .$ Supongamos que X es de dimensión infinita y Y no es el espacio cero. Encontraremos una aplicación lineal discontinua f de X a K, lo que implicará la existencia de una aplicación lineal discontinua g de X a Y dado por la fórmula $g(x)=f(x)y_{0}$ donde $y_{0}$ es un vector arbitrario distinto de cero en Y.

Si "X" es de dimensión infinita, mostrar la existencia de un funcional lineal que no es continuo equivale a construir "f" que no está acotado. Para eso, considere un sucesión (matemática) $(e_n)_n$ ($n\geq 1$) de vectores dependencia e independencia lineal en X, que normalizamos. Entonces, definimos

$T(e_{n})=n\|e_{n}\|\,$

para cada $n=1,2,\ldots$ Complete esta secuencia de vectores linealmente independientes hasta un vector space basis de X definiendo T en los otros vectores en la base que será cero. T así definido se extenderá únicamente a un mapa lineal en X y, dado que claramente no está acotado, no es continuo.

Observe que al utilizar el hecho de que cualquier conjunto de vectores linealmente independientes se puede completar hasta una base, implícitamente utilizamos el axioma de elección, que no era necesario para el ejemplo concreto de la sección anterior.

## Papel del axioma de elección

Como se señaló anteriormente, el axioma de elección (AC) se utiliza en el teorema de existencia general de aplicaciones lineales discontinuas. De hecho, no existen ejemplos constructivos de aplicaciones lineales discontinuas con dominio completo (por ejemplo, Espacio de Banach). En el análisis, tal como lo practican habitualmente los matemáticos en activo, siempre se emplea el axioma de elección (es un axioma de Axiomas de Zermelo-Fraenkel teoría de conjuntos); así, para el analista, todos los espacios vectoriales topológicos de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas.

Por otra parte, en 1970 Robert M. Solovay exhibió un model de teoría de conjuntos en el que todo conjunto de reales es mensurable. Esto implica que no existen funciones reales lineales discontinuas. Claramente, la CA no se sostiene en el modelo.

El resultado de Solovay muestra que no es necesario suponer que todos los espacios vectoriales de dimensión infinita admiten aplicaciones lineales discontinuas, y existen escuelas de análisis que adoptan un punto de vista más constructivist. Por ejemplo, H. G. Garnir, al buscar los llamados "espacios oníricos" (espacios vectoriales topológicos en los que cada aplicación lineal en un espacio normado es continua), se vio obligado a adoptar ZF + DC + BP (la elección dependiente es una forma debilitada y el Baire property es una negación de AC fuerte) como sus axiomas para probar el Garnir–Wright closed graph theorem que establece, entre otras cosas, que cualquier aplicación lineal desde un F-space a un TVS es continua. Yendo al extremo de constructivism, está Ceitin's theorem, que afirma que toda función es continua (esto debe entenderse en la terminología del constructivismo, según el cual solo las funciones representables se consideran funciones). Estas posturas las sostiene solo una pequeña minoría de matemáticos en activo.

El resultado es que la existencia de aplicaciones lineales discontinuas depende de AC; Es consistente con la teoría de conjuntos sin AC que no hay aplicaciones lineales discontinuas en espacios completos. En particular, ninguna construcción concreta como la derivada puede lograr definir una aplicación lineal discontinua en todas partes de un espacio completo.

## Operadores cerrados

Muchos operadores lineales discontinuos que ocurren naturalmente son closed, una clase de operadores que comparten algunas de las características de los operadores continuos. Tiene sentido preguntar qué operadores lineales en un espacio dado son cerrados. El teorema de la gráfica cerrada afirma que un operador cerrado "definido en todas partes" en un dominio completo es continuo, por lo que para obtener un operador cerrado discontinuo, se deben permitir operadores que no estén definidos en todas partes.

Para ser más concreto, sea $T$ un mapa de $X$ a $Y$ con el dominio $\operatorname {Dom} (T),$ escrito $T:\operatorname {Dom} (T)\subseteq X\to Y.$. No perdemos mucho si reemplazamos X por el cierre de $\operatorname {Dom} (T).$. Es decir, al estudiar operadores que no están definidos en todas partes. , uno puede restringir su atención a operador densamente definido sin pérdida de generalidad.

Si el grafo $\Gamma (T)$ de $T$ es cerrado en $X\times Y,$ lo llamamos T'cerrado. De lo contrario, considere su cierre ${\overline {\Gamma (T)}}$ en $X\times Y.$. Si ${\overline {\Gamma (T)}}$ es en sí mismo el gráfico de algún operador ${\overline {T}},$, $T$ se llama cerrable y ${\overline {T}}$ se llama cierre de $T.$.

Entonces, la pregunta natural que cabe plantearse acerca de los operadores lineales que no están definidos en todas partes es si se pueden cerrar. La respuesta es "no necesariamente"; de hecho, todo espacio normado de dimensión infinita admite operadores lineales que no se pueden cerrar. Como en el caso de los operadores discontinuos considerados anteriormente, la demostración requiere el axioma de elección y, por lo tanto, en general no es constructiva, aunque nuevamente, si "X" no es completo, hay ejemplos construibles.

De hecho, hay incluso un ejemplo de un operador lineal cuyo gráfico tiene cierre "todo" de $X\times Y.$. Tal operador no se puede cerrar. Sea X el espacio de polinomio desde [0,1] a $\mathbb {R}$ e Y el espacio de funciones polinómicas de [2,3] a $\mathbb {R}$. Son subespacios de C([0,1]) y C([2,3]) respectivamente, y por tanto espacios normados. Defina un operador T que lleve la función polinómica x ↦ p(x) en [0,1] a la misma función en [2,3]. Como consecuencia de Teorema de aproximación de Weierstrass, la gráfica de este operador es densa en $X\times Y,$, por lo que proporciona una especie de mapa lineal máximamente discontinuo (confiera nowhere continuous function). Tenga en cuenta que X no está completo aquí, como debe ser el caso cuando existe un mapa construible.

## Impacto para espacios duales

El espacio dual de un espacio vectorial topológico es la colección de mapas lineales continuos desde el espacio hasta el campo subyacente. Por lo tanto, el hecho de que algunos mapas lineales no sean continuos para espacios normados de dimensión infinita implica que para estos espacios, es necesario distinguir el espacio dual algebraico del espacio dual continuo que es entonces un subconjunto adecuado. Ilustra el hecho de que se necesita una dosis adicional de precaución al realizar análisis en dimensiones infinitas.

espacios iónicos en comparación con los de dimensión finita.

## Más allá de los espacios normados

El argumento a favor de la existencia de mapas lineales discontinuos en espacios normados se puede generalizar a todos los espacios vectoriales topológicos metrizables, especialmente a todos los espacios de Fréchet, pero existen espacios vectoriales topológicos localmente convexos de dimensión infinita tales que cada funcional es continuo. Por otro lado, Teorema de Hahn–Banach, que se aplica a todos los espacios localmente convexos, garantiza la existencia de muchos funcionales lineales continuos y, por tanto, un gran espacio dual. De hecho, a todo conjunto convexo, el Funcional de Minkowski asocia un funcional lineal continuo. El resultado es que los espacios con menos conjuntos convexos tienen menos funcionales y, en el peor de los casos, un espacio puede no tener ningún funcional distinto del funcional cero. Este es el caso de los espacios $L^{p}(\mathbb {R} ,dx)$ con $0<p<1,$, de lo que se deduce que estos espacios no son convexos. Tenga en cuenta que aquí se indica Medida de Lebesgue en la línea real. Hay otros espacios $L^{p}$ con $0<p<1$ que tienen espacios duales no triviales.

Otro ejemplo es el espacio de función medible de valor real en el intervalo unitario con quasinorm dado por

$\|f\|=\int _{I}{\frac {|f(x)|}{1+|f(x)|}}dx.$

Este espacio no localmente convexo tiene un espacio dual trivial.

Se pueden considerar espacios aún más generales. Por ejemplo, la existencia de un homomorfismo entre group métricos separables completos también se puede demostrar de forma no constructiva.

