Teorema de Euler (geometría diferencial)
# Teorema de Euler (geometría diferencial)

En el campo matemático de la geometría diferencial, el teorema de Euler es un resultado acerca de cómo determinar la curvatura en los puntos de una curva inscrita en una superficie. El teorema establece la existencia en cada punto de la superficie de dos curvaturas principales y de las correspondientes direcciones principales asociadas en las que la superficie se curva más y se curva menos. El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler, quien lo demostró en 1760.

## Desarrollo

Más precisamente, sea M una superficie en el espacio euclídeo tridimensional y p un punto en M. El plano normal a la superficie en p es un plano que pasa por el punto p y contiene el vector normal a M. Por cada vector unitario tangente a M en p, pasa un plano normal $P_X$ que genera una curva plana al seccionar M. Esa curva tiene una cierta curvatura $κ_X$ cuando se considera inscrita en el plano $P_X.$ Siempre que no todas las curvaturas $κ_X$ sean iguales, existe algún vector unitario $X_1$ para el cual $k_1$ = $κ_{X1}$ es lo más grande posible, y otro vector unitario $X_2$ para el que $k_2$ = $κ_{X2}$ es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que $X_1$ y $X_2$ son perpendiculares entre sí y que, además, si X es cualquier vector que forme un ángulo θ con $X_1,$ entonces

| $\kappa _{X}=k_{1}\cos ^{2}\theta +k_{2}\sin ^{2}\theta .\,$ | (1) |
| - | - |

Las cantidades $k_1$ y $k_2$ se denominan curvaturas principales, y $X_1$ y $X_2$ son las direcciones principales correspondientes. La ecuación (1) a veces se denomina ecuación de Euler.

Si θ es ángulo que forma la tangente a una curva (inscrita en la superficie) en un punto dado p con respecto al vector $X_1,$ la fórmula de Euler permite obtener la curvatura de la curva en p.

