Algoritmo de Levenberg-Marquardt
# Algoritmo de Levenberg-Marquardt

En matemáticas y computación, el algoritmo de Levenberg-Marquardt (LMA o simplemente LM), también conocido como el método de mínimos cuadrados amortiguados (DLS), se utiliza para resolver problemas de mínimos cuadrados no lineales. Estos problemas de minimización surgen especialmente en el ajuste de curvas de mínimos cuadrados.

El LMA se usa en muchas aplicaciones de software para resolver problemas genéricos de ajuste de curvas. Sin embargo, como ocurre con muchos algoritmos de ajuste, el LMA solo encuentra un mínimo local, que no es necesariamente el mínimo global. El LMA interpola entre el algoritmo de Gauss-Newton (GNA) y el método de descenso de gradiente. El LMA es más robusto que el GNA, lo que significa que en muchos casos encuentra una solución incluso si comienza muy lejos del mínimo final. Para funciones de buen comportamiento y parámetros de inicio razonables, el LMA tiende a ser un poco más lento que el GNA. El LMA también se puede ver como Gauss-Newton utilizando un enfoque de región de confianza.

El algoritmo fue publicado por primera vez en 1944 por Kenneth Levenberg, mientras trabajaba en el Arsenal del Ejército de Frankford. Fue redescubierto en 1963 por Donald Marquardt, quien trabajó como estadístico en DuPont, e independientemente por Girard Wynne y Morrison.

## El problema

La aplicación principal del algoritmo de Levenberg-Marquardt se encuentra en el problema de ajuste de curvas de mínimos cuadrados: dado un conjunto de $m$pares de datos empíricos ( x $_i$ , y $_i$ ) de variables independientes y dependientes, encuentre los parámetros β de la curva del modelo f ( x , β ) de modo que la suma de los cuadrados de las desviaciones S ( β ) se minimice:

    ${\hat {\boldsymbol {\beta }}}\in \operatorname {argmin} \limits _{\boldsymbol {\beta }}S({\boldsymbol {\beta }})\equiv \operatorname {argmin} \limits _{\boldsymbol {\beta }}\sum _{i=1}^{m}[y_{i}-f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})]^{2},$ que se supone que no está vacío.

## La solución

Al igual que otros algoritmos de minimización numérica, el algoritmo de Levenberg-Marquardt es un procedimiento iterativo. Para iniciar una minimización, el usuario debe proporcionar una estimación inicial del vector de parámetros β. En los casos con solo un mínimo, una conjetura estándar no informada como β $^T$ = (1, 1, ..., 1) funcionará bien; en los casos con múltiples mínimos, el algoritmo converge al mínimo global solo si la estimación inicial ya es algo cercana a la solución final.

En cada paso de iteración, el vector parámetro β se reemplaza por una nueva estimación β + δ. Para determinar δ , la función $f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})$se aproxima por su linealización:

    $f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})\approx f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})+\mathbf {J} _{i}{\boldsymbol {\delta }},$

donde

    $\mathbf {J} _{i}={\frac {\partial f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})}{\partial {\boldsymbol {\beta }}}}$

es el gradiente (fila-vector en este caso) de f con respecto a β .

La suma $S({\boldsymbol {\beta }})$de desviaciones cuadradas tiene su mínimo en un gradiente de cero con respecto a β . La anterior aproximación de primer orden de $f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})$da

    $S({\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})\approx \sum _{i=1}^{m}[y_{i}-f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})-\mathbf {J} _{i}{\boldsymbol {\delta }}]^{2},$

o en notación vectorial,

    ${\begin{aligned}S({\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})&\approx \|\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})-\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}\|^{2}\\&=[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})-\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}]^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})-\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}]\\&=[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]-[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]^{\mathrm {T} }\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}-(\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }})^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]+{\boldsymbol {\delta }}^{\mathrm {T} }\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}\\&=[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]-2[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]^{\mathrm {T} }\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}+{\boldsymbol {\delta }}^{\mathrm {T} }\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} {\boldsymbol {\delta }}.\end{aligned}}$

Tomando la derivada de $S({\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\delta }})$con respecto a δ y establecer el resultado a cero da

    $(\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} ){\boldsymbol {\delta }}=\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})],$

donde $\mathbf {J}$ es la matriz jacobiana, cuya fila i es igual a $\mathbf {J} _{i}$, y donde $\mathbf {f}$y $\mathbf {y}$son vectores con i-componente $f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }})$y $y_{i}$respectivamente. Este es un conjunto de ecuaciones lineales, que se pueden resolver para δ .

La contribución de Levenberg es reemplazar esta ecuación por una "versión amortiguada":

    $(\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} +\lambda \mathbf {I} ){\boldsymbol {\delta }}=\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})],$

donde I es la matriz de identidad, dando como incremento δ al vector de parámetros estimado β.

El factor de amortiguamiento (no negativo) λ se ajusta en cada iteración. Si la reducción de S es rápida, se puede usar un valor más pequeño, acercando el algoritmo al algoritmo de Gauss-Newton, mientras que si una iteración produce una reducción insuficiente del residual, λ puede aumentarse, dando un paso más cerca del descenso del gradiente dirección. Tenga en cuenta que el gradiente de S con respecto a β es igual a $-2{\big\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})]{\big )}^{\mathrm {T} }$. Por lo tanto, para valores grandes de λ, el paso se tomará aproximadamente en la dirección del gradiente. Si la longitud del paso calculado δ o la reducción de la suma de cuadrados del último vector de parámetros β + δ cae por debajo de los límites predefinidos, la iteración se detiene, y el último vector de parámetros β se considera la solución.

Si el valor del factor de amortiguamiento λ es grande en relación con la norma de $J^TJ,$ no es necesario resolver el sistema con matriz $J^TJ$ + λI , dado que esta matriz se puede aproximar mediante λI. En este caso el algoritmo realiza una actualización en la dirección del gradiente, con un paso pequeño: $\delta ={\frac {1}{\lambda }}\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})].$

R. Fletcher proporcionó la idea de que podemos escalar cada componente del gradiente según la curvatura, de modo que haya un movimiento más grande a lo largo de las direcciones donde el gradiente es más pequeño. Esto evita la convergencia lenta en la dirección del gradiente pequeño. Por lo tanto, Fletcher en su artículo de 1971 "Una subrutina de Marquardt modificada para mínimos cuadrados no lineales", reemplazó la matriz de identidad I con la matriz diagonal que consiste en los elementos diagonales de $J^TJ,$ lo que hace que la escala de la solución sea invariante:

    $[\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} +\lambda \operatorname {diag} (\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }\mathbf {J} )]{\boldsymbol {\delta }}=\mathbf {J} ^{\mathrm {T} }[\mathbf {y} -\mathbf {f} ({\boldsymbol {\beta }})].$

Un factor de amortiguación similar aparece en la regularización de Tikhonov, que se utiliza para resolver problemas lineales mal planteados, así como en la regresión de crestas, una técnica de estimación en estadística.

### Elección del parámetro de amortiguación

Se han presentado varios argumentos más o menos heurísticos para la mejor opción para el parámetro de amortiguación λ. Existen argumentos teóricos que muestran por qué algunas de estas opciones garantizan la convergencia local del algoritmo; sin embargo, estas elecciones pueden hacer que la convergencia global del algoritmo sufra de las propiedades indeseables del descenso más pronunciado, en particular, una convergencia muy lenta cerca del óptimo.

Los valores absolutos de cualquier elección dependen de qué tan escalada esté el problema inicial. Marquardt recomendó comenzar con un valor λ $_0$ y un factor ν>1. Configurando inicialmente λ = $λ_0$ y calculando la suma residual de cuadrados S (β) después de un paso desde el punto de inicio con el factor de amortiguamiento de λ = $λ_0$ y en segundo lugar con $λ_0/ν.$ Si ambos de estos son peores que el punto inicial, entonces la amortiguación se incrementa por multiplicación sucesiva por ν hasta que se encuentra un punto mejor con un nuevo factor de amortiguación de $λ_0ν^k$ para algunos k .

Si el uso del factor de amortiguación λ / ν da como resultado una reducción en el residuo al cuadrado, esto se toma como el nuevo valor de λ (y la nueva ubicación óptima se toma como la obtenida con este factor de amortiguación) y el proceso continúa; si el uso de λ/ν resultó en un peor residuo, pero el uso de λ resultó en un mejor residual, entonces λ se mantiene sin cambios y el nuevo óptimo se toma como el valor obtenido con λ como factor de amortiguamiento.

## Ejemplo

En este ejemplo tratamos de ajustar la función $y=a\cos(bX)+b\sin(aX)$utilizando el algoritmo de Levenberg-Marquardt implementado en Octave GNU como la función leasqr. Las gráficas muestran una mejor adaptación progresiva para los parámetros a = 100, b = 102 utilizados en la curva inicial. Solo cuando los parámetros en el último gráfico son elegidos más cercanos al original, las curvas se ajustan exactamente. Esta ecuación es un ejemplo de condiciones iniciales muy sensibles para el algoritmo de Levenberg-Marquardt. Una de las razones de esta sensibilidad es la existencia de múltiples mínimos: la función $\cos(\beta x)$tiene mínimos en el valor del parámetro ${\hat {\beta }}$y ${\hat {\beta }}+2n\pi$.

