Grupo poliédrico
# Grupo poliédrico

Grupos de puntos en tres dimensiones :

| Simetría involutiva $C_s,$ (*) [ ] = | Simetría cíclica $C_{nv},$ (*nn) [n] = | Simetría diédrica $D_{nh},$ (*n22) [n,2] = |
| - | - | - |
| Grupo poliédrico, [n,3], (*n32) |||
| Simetría tetraédrica $T_d,$ (*332) [3,3] = | Simetría octaédrica $O_h,$ (*432) [4,3] = | Simetría icosaédrica $I_h,$ (*532) [5,3] = |

En geometría, un grupo poliédrico (o también grupo poliedral) es cualquiera de los grupos de simetría correspondiente a alguno de los sólidos platónicos.

## Grupos

Hay tres grupos poliédricos:

* El grupo tetraédrico de orden 12, el grupo de simetría rotacional del tetraedro regular. Es isomorfo a $A_4.$
   * Los conjugados de T son:
      * La identidad
      * 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido horario
      * 4 × rotación de 120°, orden 3, en sentido antihorario
      * 3 × rotación de 180°, orden 2
* El grupo octaédrico de orden 24, grupo de simetría rotacional del cubo y el octaedro regular. Es isomorfo a $S_4.$
   * Las clases de conjugación de O son:
      * La identidad
      * 6 × rotación de ±90° alrededor de los vértices, orden 4
      * 8 × rotación de ±120° alrededor de los centros de los triángulos, orden 3
      * 3 × rotación de 180° alrededor de los vértices, orden 2
      * 6 × rotación de 180° alrededor de los puntos medios de las aristas, orden 2
* El grupo icosaédrico de orden 60, grupo de simetría rotacional del dodecaedro regular y el icosaedro regular. Es isomorfo a $A_5.$
   * Las clases de conjugación de I son:
      * La identidad
      * 12 × rotación de ±72°, orden 5
      * 12 × rotación de ±144°, orden 5
      * 20 × rotación de ±120°, orden 3
      * 15 × rotación de 180°, orden 2

Estas simetrías se duplican a 24, 48 y 120 respectivamente para los grupos reflexivos completos. Las simetrías de reflexión tienen 6, 9 y 15 planos de reflexión respectivamente. La simetría octaédrica, [4,3] puede verse como la unión de 6 planos de reflexión de simetría tetraédrica [3,3] con 3 otros planos de reflexión del grupo diédrico $Dih_2,$ [2,2]. La simetría tetraédrica es otra duplicación de la simetría tetraédrica.

Las clases de conjugación de la simetría tetraédrica completa, $T_d≅S_4,$ son:

* La identidad
* 8 × rotación de 120°
* 3 × rotación de 180°
* 6 × reflexión en un plano a través de dos ejes de rotación
* 6 × rotorreflexión de 90°

Las clases de conjugación de simetría piritoédrica, $T_h,$ incluyen las de T, con las dos clases de 4 combinadas, y cada una con inversión:

* La identidad
* 8 × rotación de 120°
* 3 × rotación de 180°
* La inversión
* 8 × rotorreflexión 60°
* 3 × reflexión en un plano

Las clases de conjugación del grupo octaédrico completo, $O_h≅S_4$ × $C_2,$ son:

* La inversión
* 6 × rotorreflexión de 90°
* 8 × rotorreflexión de 60°
* 3 × reflexión en un plano perpendicular a un eje cuádruple
* 6 × reflexión en un plano perpendicular a un eje doble

Las clases de conjugación de simetría icosaédrica completa, $I_h≅A_5$ × $C_2,$ incluyen también cada una con su inversión:

* La inversión
* 12 × rotorreflexión de 108°, orden 10
* 12 × rotorreflexión de 36°, orden 10
* 20 × rotorreflexión de 60°, orden 6
* 15 × reflexión, orden 2

## Grupos poliédricos quirales

Grupos poliédricos quirales :

| Nombre (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Puntos de rotación $#_{valencia}$ | Diagramas | Diagramas | Diagramas | Diagramas |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Nombre (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Puntos de rotación $#_{valencia}$ | Ortogonal | Estereográfico | Estereográfico | Estereográfico |
| T (332) | $[3,3]^+$ | 12 | $A_4$ | $4_3$ $3_2$ | | | | |
| $T_h$ (3*2) | $[4,3^+]$ | 24 | $A_4×2$ | $4_3$ $3_{*2}$ | | | | |
| O (432) | $[4,3]^+$ | 24 | $S_4$ | $3_4$ $4_3$ $6_2$ | | | | |
| I (532) | $[5,3]^+$ | 60 | $A_5$ | $6_5$ $10_3$ $15_2$ | | | | |

## Grupos poliédricos completos

Grupos poliédricos completos :

| Weyl Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Número de Coxeter (h) | Planos especulares (m) | Diagramas especulares | Diagramas especulares | Diagramas especulares | Diagramas especulares |
| - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
| Weyl Schoe. (Orb.) | Notación de Coxeter | Orden | Estructura abstracta | Número de Coxeter (h) | Planos especulares (m) | Ortogonal | Estereográfico | Estereográfico | Estereográfico |
| $A_3$ $T_d$ (*332) | [3,3] | 24 | $S_4$ | 4 | 6 | | | | |
| $B_3$ $O_h$ (*432) | [4,3] | 48 | $S_4×2$ | 8 | 3 6 | | | | |
| $H_3$ $I_h$ (*532) | [5,3] | 120 | $A_5×2$ | 10 | 15 | | | | |
