Número no totiente
# Número no totiente

En teoría de números, un número no totiente es un entero positivo n que no tiene soluciones para la función φ de Euler: no está en el rango de φ, y por lo tanto la ecuación φ(x) = n no tiene solución para ningún x. En otras palabras, n no es totiente si no hay un entero x que tenga exactamente n números coprimos precedentes. Todos los números impares son no totientes, excepto 1, que tiene las soluciones x = 1 y x = 2. Los primeros pares no totientes son

    14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, ... (sucesión A005277 en OEIS)

Menores k tales que el totiente de k es n son (0 si no existe tal k)

    1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0 , 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0 , 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... (sucesión A049283 en OEIS)

Mayores k tales que el totiente de k es n son (0 si no existe tal k)

    2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0 , 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0 , 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... (sucesión A057635 en OEIS)

El número de k tales que φ(k) = n son (comienza con n = 0)

    0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10 , 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0 , 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... (sucesión A014197 en OEIS)

Según la conjetura de Carmichael no hay 1 en esta secuencia.

Un no totiente par es un número primo más uno, pero nunca menos uno, ya que todos los números por debajo de un número primo son, por definición, coprimos con él. Para expresarlo algebraicamente, para p primo: φ(p) = p + 1. Además, un número oblongo n(n - 1) ciertamente no es no totiente si n es primo, ya que $φ(p^2)$ = p(p - 1).

Si un número natural n es totiente, se puede demostrar que n · $2^k$ es un totiente para todo número natural k.

Hay un número infinito de números pares que no son totientes: de hecho, hay infinitos números primos p distintos (como 78557 y 271129, véase número de Sierpiński) tales que todos los números de la forma 2ap son no totientes, y todos los números impares tienen un múltiplo par que es un no totiente.

| n | Números k tales que φ(k)= n | n | Números k tales que φ(k)= n | n | Números k tales que φ(k)= n | n | Números k tales que φ(k)= n |
| - | - | - | - | - | - | - | - |
| 1 | 1, 2 | 37 | | 73 | | 109 | |
| 2 | 3, 4, 6 | 38 | | 74 | | 110 | 121, 242 |
| 3 | | 39 | | 75 | | 111 | |
| 4 | 5, 8, 10, 12 | 40 | 41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150 | 76 | | 112 | 113, 145, 226, 232, 290, 348 |
| 5 | | 41 | | 77 | | 113 | |
| 6 | 7, 9, 14, 18 | 42 | 43, 49, 86, 98 | 78 | 79, 158 | 114 | |
| 7 | | 43 | | 79 | | 115 | |
| 8 | 15, 16, 20, 24, 30 | 44 | 69, 92, 138 | 80 | 123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330 | 116 | 177, 236, 354 |
| 9 | | 45 | | 81 | | 117 | |
| 10 | 11, 22 | 46 | 47, 94 | 82 | 83, 166 | 118 | |
| 11 | | 47 | | 83 | | 119 | |
| 12 | 13, 21, 26, 28, 36, 42 | 48 | 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210 | 84 | 129, 147, 172, 196, 258, 294 | 120 | 143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462 |
| 13 | | 49 | | 85 | | 121 | |
| 14 | | 50 | | 86 | | 122 | |
| 15 | | 51 | | 87 | | 123 | |
| 16 | 17, 32, 34, 40, 48, 60 | 52 | 53, 106 | 88 | 89, 115, 178, 184, 230, 276 | 124 | |
| 17 | | 53 | | 89 | | 125 | |
| 18 | 19, 27, 38, 54 | 54 | 81, 162 | 90 | | 126 | 127, 254 |
| 19 | | 55 | | 91 | | 127 | |
| 20 | 25, 33, 44, 50, 66 | 56 | 87, 116, 174 | 92 | 141, 188, 282 | 128 | 255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510 |
| 21 | | 57 | | 93 | | 129 | |
| 22 | 23, 46 | 58 | 59, 118 | 94 | | 130 | 131, 262 |
| 23 | | 59 | | 95 | | 131 | |
| 24 | 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90 | 60 | 61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198 | 96 | 97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420 | 132 | 161, 201, 207, 268, 322, 402, 414 |
| 25 | | 61 | | 97 | | 133 | |
| 26 | | 62 | | 98 | | 134 | |
| 27 | | 63 | | 99 | | 135 | |
| 28 | 29, 58 | 64 | 85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240 | 100 | 101, 125, 202, 250 | 136 | 137, 274 |
| 29 | | 65 | | 101 | | 137 | |
| 30 | 31, 62 | 66 | 67, 134 | 102 | 103, 206 | 138 | 139, 278 |
| 31 | | 67 | | 103 | | 139 | |
| 32 | 51, 64, 68, 80, 96, 102, 120 | 68 | | 104 | 159, 212, 318 | 140 | 213, 284, 426 |
| 33 | | 69 | | 105 | | 141 | |
| 34 | | 70 | 71, 142 | 106 | 107, 214 | 142 | |
| 35 | | 71 | | 107 | | 143 | |
| 36 | 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126 | 72 | 73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270 | 108 | 109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378 | 144 | 185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630 |
