Fórmula de Hadjicostas
# Fórmula de Hadjicostas

En matemáticas, la fórmula de Hadjicostas es una fórmula que relaciona una cierta integral doble con valores de la función gamma y la función zeta de Riemann. Es llamada en honor a Petros Hadjicostas.

## Enunciado

Sea s un número complejo con s ≠ -1 y Re(s) > −2. Entonces

    $\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}(-\log(xy))^{s}\,dx\,dy=\Gamma (s+2)\left(\zeta (s+2)-{\frac {1}{s+1}}\right).$

Aquí Γ es la función Gamma y ζ es la función zeta de Riemann.

## Antecedentes

La primera instancia de la fórmula fue demostrada y usada por Frits Beukers en su artículo de 1978 paper dando una demostración alternativa al teorema de Apéry. Él demostró la fórmula cuando s = 0, y demostró una formulación equivalente para el caso s = 1. Esto permitió a Petros Hadjicostas conjeturar la fórmula descrita arriba en 2004, y en una semana había sido demostrada por Robin Chapman. Él demostró que la fórmula se cumple cuando Re(s) > −1, y entonces se puede extender ese resultado por extensión analítica para llegar al resultado completo.

## Casos especiales

Así como en los dos casos en lo que Beukers obtiene expresiones alternativas para ζ(2) y ζ(3), la fórmula puede usarse para expresar la constante de Euler–Mascheroni como una integral doble haciendo tender s a −1:

    $\gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(1-xy)(-\log(xy))}}\,dx\,dy.$

Esta última fórmula fue descubierta primero por Jonathan Sondow y es la referida en el título del artículo de Hadjicostas.

