Función generadora de momentos
# Función generadora de momentos

En probabilidad y estadística, la función generadora de momentos o función generatriz de momentos de una variable aleatoria $X$ es

    $M_{X}(t):=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right],\quad t\in \mathbb {R} ,$

siempre que esta esperanza exista.

La función generatriz de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de $t=0$, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

    $\operatorname {E} \left(X^{n}\right)=M_{X}^{(n)}(0)={\frac {d^{n}M_{X}}{dt^{n}}}(0).$

Si la función generadora de momentos está definida en tal intervalo, entonces determina unívocamente a la distribución de probabilidad.

Un problema clave con las funciones generadoras de momentos es que los momentos y la propia función generatriz no siempre existen, porque las integrales que los definen no son siempre convergentes. Por el contrario, la función característica siempre existe y puede usarse en su lugar.

De forma general, donde $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ es un vector aleatorio n-dimensional, se usa $\mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ en lugar de $tX$:

    $M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left[e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right]$

En ocasiones se escribe $M(t)$ en lugar de $M_{X}(t)$ y se usan las letras f.g.m en lugar del término función generadora de momentos.

## Cálculo

Si $X$ es una variable aleatoria continua con función de densidad $f(x)$, entonces la función generadora de momentos viene dada por:

    $M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots \right)f(x)\,\mathrm {d} x$
    $M_{X}(t)=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots$

donde $m_{i}$ es el $i$-ésimo momento. $M_{X}(-t)$ es, precisamente, la transformada bilateral de Laplace de $f(x)$.

Independientemente de que la distribución de probabilidad sea continua o no, la función generadora de momentos viene dada por la integral de Riemann-Stieltjes

    $M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$

donde $F$ es la función de distribución. Si $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ es una secuencia de variables aleatorias independientes (y no necesariamente idénticamente distribuidas) y

    $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},$

donde las $a_{i}$ son constantes, entonces la función de densidad de $S_{n}$ es la convolución de la función de densidad de cada una de las $X_{i}$ y la función generadora de momentos para $S_{n}$ viene dada por

    $M_{S_{n}}(t)=M_{X_{1}}(a_{1}t)M_{X_{2}}(a_{2}t)\cdots M_{X_{n}}(a_{n}t)$

Para variables aleatorias multidimensionales $X$ con componentes reales, la función generadora de momentos viene dada por

    $M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{\langle t,X\rangle }\right]$

donde t es un vector y $\langle t,X\rangle$ es el producto punto.

## Función generatriz de momentos para algunas distribuciones

* Si $X\sim {\text{Unif}}(a,b)$ entonces $M_{X}(t)={\frac {e^{bt}-e^{at}}{bt-at}}$.
* Si $X\sim {\text{Exp}}(\lambda )$ entonces $M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}$.
* Si $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ entonces $M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }$.
* Si $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ entonces $M_{X}(t)=e^{\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}$.
* Si $X\sim \chi _{n}^{2}$ entonces $M_{X}(t)=(1-2t)^{-n/2}$.

## Ejemplos

### Función generatriz para una variable aleatoria discreta

Si $X\sim \operatorname {Bernoulli} (p)$ entonces la función de probabilidad está dada por

    $\operatorname {P} [X=x]=p^{x}(1-p)^{1-x}$

para $x=0,1$ por lo que la función generatriz de momentos es

    ${\begin{aligned}M_{X}(t)&=\operatorname {E} [e^{tX}]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}\operatorname {P} [X=x]\\&=\sum _{x=0}^{1}e^{tx}p^{x}(1-p)^{1-x}\\&=(1-p)+e^{t}p\\&=1-p+pe^{t}\end{aligned}}$

## Relación con otras funciones

Hay una serie de transformadas relacionadas con la función generatriz de momentos que son comunes en la teoría de probabilidades:

### Función generadora de probabilidad

La función generatriz de momentos y la función generatriz de probabilidades se relacionan por la igualdad

    $M_{X}(t)=G(e^{t})$

donde

    $G(e^{t})={\text{E}}\left({\text{exp}}(t)^{X}\right)$

siempre que ambas existan.

