Elemento mayorante y minorante
# Elemento mayorante y minorante

En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el mayorante o cota superior de un subconjunto B de un conjunto parcialmente ordenado A es un elemento de A mayor o igual que cualquier elemento de B.

## Ejemplo

Así dado el conjunto A:

    $A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ entre sus elementos, que expresaremos $(A,\precsim )$ y siendo x e y elementos de A la relación se representa:

    $x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

Si la relación $(A,\precsim )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

    $x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x$

el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.

Si se cumple que:

    $x\not \precsim y\quad \land \quad y\not \precsim x$

el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.

Dado el conjunto B subconjunto de A

    $B\subset A$
    $B=\{e,f,h,i\}$

Los mayorantes de B son todos los elementos de A que son antecedidos por todos los elementos de B, en este caso: i, j, k y l son mayorantes de B.

## Otras definiciones

Entre todos los mayorantes o cotas superiores del conjunto A en el que se ha definido una relación binaria: $(A,\precsim )$, siendo este conjunto respecto a la relación binaria un conjunto parcialmente ordenado.

Dado el conjunto B subconjunto de A

    $B\subset A$

Se denomina supremo de B a la menor de estas cotas superiores.

Si, además, el supremo pertenece no sólo al conjunto A sino también a B se denomina máximo de B.

    1234 mayorantes: i, j, k, l. mayorantes: no existe mayorantes: i, j, k, l. mayorantes: i, j, k, l. supremo: i. supremo: no existe supremo: i. supremo: i. mayor: i. mayor: no existe mayor: i. mayor: i. minorantes: a. minorantes: a. minorantes: no existe minorantes: a, b, d, e. ínfimo: a ínfimo: a. ínfimo: no existe ínfimo: e. menor: no existe menor: no existe menor: no existe menor: e.

## Ejemplos

* Para el intervalo de números reales (0; 10]: 10 y 11 son mayorantes. 10 sería el supremo del intervalo, y, como además pertenece al mismo, también sería el máximo.
* $[0_^,+\infty )$ no tiene mayorante en $\mathbb {R}$.

## Minorante

En matemáticas, particularmente en teoría del orden y de conjuntos, el minorante o cota inferior de un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado P es un elemento de P menor o igual que cualquier elemento de S.

Entre todos los minorantes o cotas inferiores del conjunto P, se denomina ínfimo de S a la mayor de estas cotas inferiores. Si, además el ínfimo pertenece no sólo al conjunto P sino también a S se denomina mínimo de S.

### Ejemplo

Así dado el conjunto A:

    $A=\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$

Para el conjunto A en el que se ha definido una relación binaria $\precsim$ entre sus elementos, que expresaremos $(A,\precsim )$ y siendo x e y elementos de A la relación se representa:

    $x\precsim y$

que se lee: x antecede a y.

Si la relación $(A,\precsim )$ cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva, es por lo tanto es un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

    $x\precsim y\quad \lor \quad y\precsim x$

el elemento x antecede a y o y antecede a x, se dice que x y y son elementos comparables.

Si se cumple que:

    $x\not \precsim y\quad \land \quad y\not \precsim x$

el elemento x no antecede a y y que y no antecede a x, se dice que x y y son no comparables.

Dado el conjunto B subconjunto de A

    $B\subset A$
    $B=\{e,f,h,i\}$

Los minorante de B son todos los elementos de A que anteceden a todos los elementos de B, en este caso: a, b, d y e son minorantes de B

En el ejemplo c no es minorante de B al ser no comparable con e ni con h.

* Para el intervalo de números reales (0 ; 10]: 0 y -7 son minorantes. 0 sería el ínfimo, pero como no pertenece al intervalo, no sería mínimo del intervalo.
* Para este otro intervalo de números reales $[0_^,+\infty )$ -5 y -23 son minorantes, mientras que 0 es su ínfimo y también el mínimo ya que pertenece al intervalo.

## Programación

Refiere a la propiedad que cumple cierto valor dentro de un conjunto/lista L de valores ordenados. Como ejemplo se encuentra esta definición aplicada a la solución del problema The Playboy Chimp para dar usa solución eficiente en tiempo.

Dado un elemento C que puede o no pertenecer a dicho conjunto. x es cualquier valor de dicho conjunto que puede ser igual a C.

Lower bound: El mayor valor de C que es estrictamente menor. (∃x |x ∈ L: x < C )

Upper bound: El menor valor de C que es estrictamente mayor. (∃x |x ∈ L: x > C )

## Ejemplos de la salida del algoritmo

Cada resultado en Down bound y en Upper bound es el correspondiente al valor en C. C es una lista de números.

L = [2,3,5,7,12,15] ; L es una lista de números naturales

Valor de C = {1,2,3,5,12,15,16,100}

Down bound = {-1, -1, 0, 1, 3, 4, 5, 5}

Upper bound = {0, 1, 2, 3, 5, -1, -1, -1}

