Relación finita
# Relación finita

Una relación finita R de n conjuntos (también denominada relación n-aria) es una generalización de la noción de relación matemática binaria para más de dos elementos. Se define como un subconjunto del producto cartesiano de los conjuntos $A_{1},\ldots ,A_{n}$, llamados el esquema de la relación:

    $R\subseteq A_{1}\times \cdots \times A_{n}$

La relación indica si los elementos de los conjuntos están relacionados entre sí, es decir, si cada posible tupla que toma valores del esquema pertenece o no pertenece a la relación.

Una relación se representa como:

    $R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\;\in \;A_{1}\times \cdots \times A_{n}\;\mid \;R(a_{1},\ldots ,a_{n})\}$

Por ejemplo, podemos representar la siguiente relación R "x cree que a y le gusta z", en el conjunto de personas P = {Alicia, Benito, Carlos, Diana}, donde el esquema es el producto cartesiano $P_1$ × $P_2$ × $P_3:$

    R = {(Alicia, Benito, Diana), (Carlos, Alicia, Benito), (Carlos, Carlos, Alicia), (Diana, Diana, Diana)}.

R se puede representar también con esta tabla:

Relación R "x cree que a y le gusta z" :

| P | P | P |
| - | - | - |
| Alicia | Benito | Diana |
| Carlos | Alicia | Benito |
| Carlos | Carlos | Alicia |
| Diana | Diana | Diana |

El orden de las tabla no es relevante pero las columnas sí, ya que las filas de las relaciones son tuplas ordenadas.

Una relación se describe como: La relación n-aria es el conjunto tuplas ordenadas $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ pertenecientes al producto cartesiano $A_{1}\times \cdots \times A_{n}$ donde $a_{i}\in A_{i}$, para cada $i\in \{1,\ldots ,n\}$, cuya condición $R(a_{1},\ldots ,a_{n})$ se satisface.

Un caso particular se presenta cuando todos los conjuntos de la relación son iguales: $A_{1}=\cdots =A_{n}$, es decir $A\times \ldots \times A$ y se describe como $A^{n}\,$:

    $R\subseteq A^{n}$

## Clasificación

Las relaciones se clasifican con base en el número de conjuntos del producto cartesiano, el cual es el número de tuplas:

    Relación unaria (Un conjunto): $R\subseteq A,\;R(a)$
    Relación binaria (Dos conjuntos): $R\subseteq A_{1}\times A_{2},\;R(a_{1},a_{2})$
    Relación ternaria (Tres conjuntos): $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3},\;R(a_{1},a_{2},a_{3})$
    Relación cuaternaria (Cuatro conjuntos): $R\subseteq A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\times A_{4},\;R(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$
    Relación n-aria (Con $n$ conjuntos): $R\subseteq A_{1}\times ...\times A_{n},\;R(a_{1},\ldots ,a_{n})$
