Relación (matemáticas)
# Relación (matemáticas)

En matemáticas, una relación en un conjunto es alguna clase de vínculo que puede darse o puede no darse (sin posibilidad de estados intermedios) entre dos miembros de un conjunto determinado. Por ejemplo, "ser menor que" es una relación en el conjunto de los números naturales; que se verifica por ejemplo entre 1 y 3 (lo que se expresa como 1<3), y también entre 3 y 4 (denotado como 3<4); pero que no se da entre 3 y 1 ni tampoco entre 4 y 4. Otro ejemplo puede ayudar a clarificar el concepto: "ser hermana de" es una relación en el conjunto de todas las personas, se cumple, por ejemplo entre Marie Curie y Bronisława Dłuska, y viceversa. Los miembros del conjunto no pueden estar en relación "hasta cierto punto": o están en relación, o no lo están.

## Características generales

Formalmente, una relación R sobre un conjunto X puede verse como un conjunto de pares ordenados (x, y) de miembros de X. La relación R se mantiene entre x e y si (x, y) es miembro de R.

Por ejemplo, la relación "ser menor que" en los números naturales genera un conjunto infinito de pares de números naturales denominado $R_{menor},$ que contiene tanto a (1,3) como a (3,4), pero ni a (3,1) ni a (4,4).

La relación "es un divisor de" en el conjunto de números naturales de un dígito es lo suficientemente pequeña como para mostrarse aquí:

    $R_{div}=$ {(2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (3,9), (4,8) };

por ejemplo, 2 es un divisor no trivial de 8, pero no al revés, por lo tanto (2,8) ∈ $R_{div};$ y en cambio, (8,2) ∉ $R_{div}.$

Si R es una relación que se cumple para x e y, a menudo se escribe xRy. Para las relaciones más comunes en matemáticas, se introducen símbolos especiales, como "<" para "es menor que", y "|" para "es un divisor no trivial de", y, el más conocido símbolo "=" para "es igual que". Por ejemplo, "1<3", "1 es menor que 3", y "(1,3) ∈ $R_{menor}"$ significa lo mismo; algunos autores también escriben "(1,3) ∈ (<)".

A continuación se mencionan algunas propiedades de las relaciones:

* Una relación R es reflexiva si xRx se cumple para todos los x, e irreflexiva si xRx se cumple para ningún x.
* Es simétrica si xRy siempre implica yRx y asimétrica si xRy implica que yRx es imposible.
* Es transitiva si xRy y yRz siempre implican que xRz.

Por ejemplo, "es menor que" es una relación irreflexiva, asimétrica y transitiva, pero no reflexiva ni simétrica. La relación "es hermano de" es transitiva, pero no reflexiva (por ejemplo, Pierre Curie no es hermano de sí mismo), ni simétrica ni asimétrica; si bien ser irreflexivo o no puede ser una cuestión de definición (¿es cada mujer hermana de sí misma?). La relación "es antepasado de" es transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.

Se conocen teoremas matemáticos sobre combinaciones de propiedades de relación, como "Una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica".

De particular importancia son las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de propiedades. Un conjunto parcialmente ordenado está definido mediante una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva, una relación de equivalencia es una relación reflexiva, simétrica y transitiva, una función es una relación única por la derecha y total por la izquierda (véase más adelante).

Dado que las relaciones operan sobre conjuntos, se pueden manipular mediante operaciones de conjuntos, incluidas operaciones como la unión, la intersección y la complementación, y satisfaciendo las leyes de un álgebra de conjuntos. Más allá de este hecho, están disponibles operaciones como la inversa de una relación y la composición de relaciones, que satisfacen las leyes de un cálculo de relaciones.

El concepto anterior de relación se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes ("relación heterogénea", como en el caso de la relación "se encuentra en" definida entre el conjunto de todos los puntos y el de todas las rectas en geometría), relaciones entre tres o más conjuntos (relación finita, como en el caso de "la persona x vive en la ciudad y en el momento z"), y relaciones entre clases (como en el caso de "es un elemento de" en la clase de todos los conjuntos; véase relación binaria).

## Definición

Dado un conjunto X, una relación R sobre X es un conjunto de par ordenado de elementos de X, formalmente: R ⊆ {(x,y): x,y ∈ X}.

La declaración (x, y) ∈ R se interpreta como que "x está R-relacionada con y"; y escrita en notación de infijo toma la forma xRy. El orden de los elementos es importante; si x ≠ y entonces yRx puede ser verdadero o falso independientemente de xRy. Por ejemplo, 3 divide a 9, pero 9 no divide a 3.

## Representación de relaciones

* La representación de la relación $R_{el}=$ {(x,y)∈ℝ×ℝ: $x^2+xy+y^2=$ 1 }, cuyo gráfico 2D genera una elipse
* yx
* 1
* 2
* 3
* 4
* 6
* 12
* Representación de $R_{div}$ como matriz boleana ||||||
* Representación de $R_{div}$ como un diagrama de Hasse (líneas negras) y como un grafo dirigido (todas las líneas)

Una relación R sobre un conjunto finito X puede representarse como:

* Grafo dirigido: Cada miembro de X corresponde a un vértice; una arista dirigida de x a y existe si, y solo si, (x,y) ∈ R.
* Boolean matrix: Los miembros de X están organizados en alguna secuencia fija $x_1,...,x_n;$ la matriz tiene dimensiones n×n, siendo el elemento en la línea i, columna j, , si $(x_i,x$ $_j)$ ∈ R, y , en caso contrario.
* 2D-plot: Como generalización de una matriz booleana, una relación en el conjunto -infinito- ℝ de número real se puede representar como una figura geométrica bidimensional: usando Coordenadas cartesianas, dibuje un point en (x,y ) siempre que (x,y) ∈ R.

Una relación transitiva R en un conjunto finito X también se puede representar como

* Diagrama de Hasse: Cada miembro de X corresponde a un vértice; Los bordes dirigidos se dibujan de manera que exista un camino (teoría de grafos) de x a y si, y solo si, (x,y) ∈ R. En comparación con una representación de gráfico dirigido, un diagrama de Hasse necesita menos aristas, lo que da lugar a una imagen menos enredada. Dado que la relación "existe un camino dirigido de x a y" es transitiva, en los diagramas de Hasse solo se pueden representar relaciones transitivas. Por lo general, el diagrama está diseñado de manera que todos los bordes apunten hacia arriba y se omiten las flechas.

Por ejemplo, en el conjunto de todos los divisores de 12, defina la relación $R_{div}$ por

    x $R_{div}$ y si x es un divisor de y, y admás x≠y.

Formalmente, X = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } y $R_{div}$ = { (1,2), (1,3), (1,4), (1 ,6), (1,12), (2,4), (2,6), (2,12), (3,6), (3,12), (4,12), (6,12 ) }. La representación de $R_{div}$ como una matriz booleana se muestra en la tabla del medio; En la imagen de la izquierda se muestra la representación como diagrama de Hasse y como gráfico dirigido.

Los siguientes son equivalentes:

* x $R_{div}$ y es verdadero.
* (x, y) ∈ $R_{div}.$
* Existe una ruta de x a y en el diagrama de Hasse que representa $R_{div}.$
* Existe una arista de x a y en el gráfico dirigido que representa $R_{div}.$
* En la matriz booleana que representa $R_{div},$ el elemento en la línea x, columna y es "".

Como otro ejemplo, defina la relación $R_{el}$ en ℝ mediante

    x $R_{el}$ y si $x^2+xy+y^2=1.$

La representación de $R_{el}$ como un gráfico 2D obtiene una elipse, ver imagen de la derecha. Dado que ℝ no es finito, no se puede utilizar ni un gráfico dirigido ni una matriz booleana finita, ni un diagrama de Hasse para representar $R_{el}.$

## Propiedades de las relaciones

Algunas propiedades importantes que puede tener una relación R sobre un conjunto X son:

### Reflexive

    para todos los x ∈ X, xRx. Por ejemplo, ≥ es una relación reflexiva pero > no lo es.

### Irreflexiva (o estricta)

    para todos los x ∈ X, no xRx. Por ejemplo, > es una relación irreflexiva, pero ≥ no lo es.

Las 2 alternativas anteriores no son exhaustivas; por ejemplo, la relación roja y= $x^2$ que se muestra en el siguiente diagrama no es irreflexiva ni reflexiva, ya que contiene el par (0, 0), pero no (2, 2), respectivamente.

### Symmetric

    para todos los x, y ∈ X, si xRy entonces yRx. Por ejemplo, "es un pariente consanguíneo de" es una relación simétrica, porque x es un pariente consanguíneo de y si y solo si y es un pariente consanguíneo de x.

### Antisymmetric

    para todos los x, y ∈ X, si xRy y yRx entonces x= y. Por ejemplo, ≥ es una relación antisimétrica; también lo es >, pero vacuously (la condición en la definición siempre es falsa).

### Asymmetric

    para todos los x, y ∈ X, si xRy entonces no yRx. Una relación es asimétrica si y solo si es a la vez antisimétrica e irreflexiva. Por ejemplo, > es una relación asimétrica, pero ≥ no lo es.

Nuevamente, las 3 alternativas anteriores están lejos de ser exhaustivas; Como ejemplo de los números naturales, la relación xRy definida por x > 2 no es simétrica (por ejemplo, 5R1, pero no 1R5) ni antisimétrica (por ejemplo, 6R4, pero también 4R6), y mucho menos asimétrico.

### Transitive

    para todos los x, y, z ∈ X, si xRy y yRz entonces xRz. Una relación transitiva es irreflexiva si y solo si es asimétrica. Por ejemplo, "es antepasado de" es una relación transitiva, mientras que "es padre de" no lo es.

### Connected

    para todos los x, y ∈ X, si x ≠ y entonces xRy o yRx. Por ejemplo, en los números naturales, < está conexo, mientras que "es un divisor de" no lo es (por ejemplo, ni 5R7 ni 7R5).

### Strongly connected

    para todos los x, y ∈ X, xRy o yRx. Por ejemplo, en los números naturales, ≤ está fuertemente conexo, pero < no lo está.

Propiedades de unicidad:

### Inyectiva (también llamado único por la izquierda)

    Para todos los x, y, z ∈ X, si xRy y zRy entonces x= z. Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son inyectivas, pero la roja no lo es (ya que relaciona −1 y 1 con 1), ni la negra (ya que relaciona −1 y 1 con 0). .

### Funcional (también llamado derecha única, derecha definida o univalente)

    Para todos los x, y, z ∈ X, si xRy y xRz entonces y= z. Esta relación se llama función parcial. Por ejemplo, las relaciones roja y verde en el diagrama son funcionales, pero la azul no lo es (ya que relaciona 1 con −1 y 1), ni la negra (ya que relaciona 0 con −1 y 1). .

Propiedades de totalidad:

### Serial (también llamado total o left-total)

    Para todo x ∈ X, existe algún y ∈ X tal que xRy. Esta relación se denomina función multivaluada. Por ejemplo, las relaciones rojo y verde en el diagrama son totales, pero la azul no lo es (ya que no relaciona −1 con ningún número real), ni la negra (ya que no relaciona 2 con ningún número real). ). Como otro ejemplo, > es una relación serial sobre números enteros. Pero no es una relación serial sobre los números enteros positivos, porque no hay y en los números enteros positivos tales que 1 > y. Sin embargo, < es una relación serial entre los números enteros positivos, los números racionales y los números reales. Cada relación reflexiva es serial: para un x determinado, elija y= x.

### Sobreyectiva (también llamada total derecha o sobre)

    Para todo y ∈ Y, existe un x ∈ X tal que xRy. Por ejemplo, las relaciones verde y azul en el diagrama son sobreyectivas, pero la roja no lo es (ya que no relaciona ningún número real con −1), ni la negra (ya que no relaciona ningún número real con 2). ).

### Combinaciones de propiedades

    Relations by property Reflexivity Symmetry Transitivity Connectedness Example Partial order  Refl  Antisym  Sí Subconjunto Strict partial order  Irrefl  Asym  Sí Strict subset Orden total  Refl  Antisym  Sí  Sí Orden alfabético Strict total order  Irrefl  Asym  Sí  Sí Strict alphabetical order Relación de equivalencia  Refl  Sym  Sí Equality

Las relaciones que satisfacen ciertas combinaciones de las propiedades anteriores son particularmente útiles y, por lo tanto, han recibido nombres propios.

**Relación de equivalencia**


    Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva. También es una relación simétrica, transitiva y serial.

, ya que estas propiedades implican reflexividad.

Pedidos:

**Orden parcial**


    Una relación que es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

**Orden parcial etricto**


    Una relación que es irreflexiva, antisimétrica y transitiva.

**Orden total**


    Relación reflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa.

**Orden total estricto**


    Una relación irreflexiva, antisimétrica, transitiva y conexa.

Propiedades de unicidad:

**Uno a uno**


    Inyectivo y funcional. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es uno a uno, pero las rojas, azules y negras no lo son.

**Uno a muchos**


    Inyectivo y no funcional. Por ejemplo, la relación azul en el diagrama es de uno a muchos, pero las rojas, verdes y negras no lo son.

**Muchos a uno**


    Funcional y no inyectivo. Por ejemplo, la relación roja en el diagrama es de muchos a uno, pero las verdes, azules y negras no lo son.

**Muchos a muchos**


    No inyectivo ni funcional. Por ejemplo, la relación negra en el diagrama es de muchos a muchos, pero las rojas, verdes y azules no lo son.

Propiedades de unicidad y totalidad:

**A function**


    Relación funcional y total. Por ejemplo, las relaciones roja y verde en el diagrama son funciones, pero las azules y negras no lo son.

**An injection**


    una función que es inyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una inyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

**A surjection**


    Una función que es sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una sobreyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

**A función biyectiva**


    Función que es inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la relación verde en el diagrama es una biyección, pero las rojas, azules y negras no lo son.

## Operaciones sobre relaciones

### Union

    Si R y S son relaciones sobre X, entonces R ∪ S= {(x, y) | xRy or xSy} es el union relation de R y S. El elemento de identidad de esta operación es la relación vacía. Por ejemplo, ≤ es la unión de < y =, y ≥ es la unión de > y =.

### Intersection

    Si R y S son relaciones sobre X, entonces R ∩ S= {(x, y) | xRy and xSy} es el intersection relation de R y S. El elemento de identidad de esta operación es la relación universal. Por ejemplo, "es una carta inferior del mismo palo que" es la intersección de "es una carta inferior que" y "pertenece al mismo palo que".

### Composition

    Si R y S son relaciones sobre X, entonces S ∘ R= {(x, z) | there exists y ∈ X such that xRy and ySz} (también indicado por R; S) es el composition relation de R y S. El elemento de identidad es la relación de identidad. El orden de R y S en la notación S ∘ R, utilizada aquí, concuerda con el orden de notación estándar para función compuesta. Por ejemplo, la composición "es madre de" ∘ "es padre de" produce "es abuelo materno de", mientras que la composición "es madre de" ∘ "es madre de" produce "es abuela de". Para el primer caso, si x es el padre de y e y es la madre de z, entonces x es el abuelo materno de z. .

### Converse

    Si R es una relación entre los conjuntos X e Y, entonces $R^T=$ {(y, x) | xRy} es la relación inversa de R sobre Y y X. Por ejemplo, = es el recíproco de sí mismo, al igual que ≠, y < y > son recíprocos entre sí, al igual que ≤ y ≥.

### Complement

    Si R es una relación sobre X, entonces R= {(x, y) | x, y ∈ X and not xRy} (también denotado por R o ¬ R) es la relación complementaria de R. Por ejemplo, = y ≠ son complementos de cada uno, al igual que ⊆ y ⊈, ⊇ y ⊉, y ∈ y ∉, y, para orden total, también < y ≥, y > y ≤. El complemento de relación inversa $R^T$ es el inverso del complemento: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$

### Restriction

    Si R es una relación sobre X y S es un subconjunto de X, entonces $R_{|S}=$ {(x, y) | xRy and x, y ∈ S} es la relación restricción de R a S. La expresión $R_{|S}=$ {(x, y) | xRy and x ∈ S} es la relación de restricción a la izquierda de R a S; la expresión $R^{|S}=$ {(x, y) | xRy and y ∈ S} se llama relación de restricción a la derecha de R a S. Si una relación es reflexive, irreflexiva, symmetric, antisymmetric, asymmetric, transitive, total, trichotomous, conjunto parcialmente ordenado, orden total, preorden total, total preorder (orden débil) o relación de equivalencia, entonces también lo son sus restricciones. Sin embargo, el cierre transitivo de una restricción es un subconjunto de la restricción del cierre transitivo, es decir, en general no es igual. Por ejemplo, restringir la relación "x es padre de y" a mujeres produce la relación "x es madre de la mujer y"; su cierre transitivo no relaciona a una mujer con su abuela paterna. Por otro lado, la clausura transitiva de "es padre de" es "es antepasado de"; su restricción a las mujeres relaciona a una mujer con su abuela paterna.

Una relación R sobre los conjuntos X e Y se dice que está contenido en una relación S sobre X e Y, se escribe $R\subseteq S,$ si R es un subconjunto de S, es decir, para todos $x\in X$ y $y\in Y,$ si xRy, entonces xSy. Si R está contenida en S y S está contenida en R, entonces R y S se llaman iguales escritas ' 'R' = 'S'. Si R está contenida en S pero S no está contenida en R, entonces se dice que R es más pequeño que S, escrito R ⊊ S . Por ejemplo, en los número racional, la relación > es menor que ≥ e igual a la composición > ∘ >..

## Teoremas sobre las relaciones

* Una relación es asimétrico si, y solo si, es antisimétrico e irreflexivo.
* Una relación transitiva es irreflexiva si, y solo si, es asimétrica.
* Una relación es reflexiva si, y solo si, su complemento es irreflexivo.
* Una relación es fuertemente conexa si, y solo si, es conexa y reflexiva.
* Una relación es igual a su inversa si, y solo si, es simétrica.
* Una relación es conexa si, y solo si, su complemento es antisimétrico.
* Una relación es fuertemente conexa si, y solo si, su complemento es asimétrico.
* Si la relación R está contenida en la relación S, entonces
   * Si R es reflexivo, conexo, fuertemente conexo, total izquierdo o total derecho, entonces también lo es S.
   * Si S es irreflexiva, asimétrica, antisimétrica, única por la izquierda o única por la derecha, entonces también lo es R.
* Una relación es reflexiva, irreflexiva, simétrica, asimétrica, antisimétrica, conexa, fuertemente conexa y transitiva si su recíproca lo es, respectivamente.

## Ejemplos

* Teoría del orden, incluidos conjunto parcialmente ordenado:
   * Desigualdad matemática
   * Mayor qué o igual a
   * Desigualdad matemática
   * Menos que o igual a
   * Divisibilidad (uniformemente)
   * Subconjunto de
* Relación de equivalencia:
   * Equality
   * Parallel con (para espacio afín)
   * Está en función biyectiva con
   * Isomorphic
* Tolerance relation, una relación reflexiva y simétrica:
   * Relación de dependencia, una relación de tolerancia finita
   * Relación de dependencia, el complemento de alguna relación de dependencia.
* Kinship relations

## Generalizaciones

El concepto anterior de relación se ha generalizado para admitir relaciones entre miembros de dos conjuntos diferentes. Dados los conjuntos X e Y, una relación binaria R sobre X e Y es un subconjunto de {(x,y): x∈X, y∈Y}. Cuando X= Y, se obtiene el concepto de relación descrito anteriormente; a menudo se le llama relación homogénea (o endorelación) para distinguirla de su generalización. Las propiedades y operaciones anteriores marcadas como "" y "", respectivamente, se generalizan a relaciones heterogéneas. Un ejemplo de relación heterogénea es "el océano x limita con el continente y". Los ejemplos más conocidos son functions con distintos dominios y rangos, como $sqrt:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} _{+}.$

