Radio de convergencia
# Radio de convergencia

En matemáticas, según el teorema de Cauchy-Hadamard, el radio de convergencia de una serie de la forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$, con $a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R}$, viene dado por la expresión:

    ${\frac {1}{r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}$

## Definición

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$, con $a_{n},x,x_{0}\in \mathbb {R}$, recibe el nombre de serie de potencias centrada en $x_{0}$. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de $x$ que verifica que $|x-x_{0}|<r$, donde r es un número real radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de $x$ pertenecientes al intervalo $(x_{0}-r,$ $x_{0}+r)$, ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para $x_{0}$, $r=0$. Si lo hace para cualquier valor de $x$, $r=$ $\infty \,\!$

## Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

### Radio de convergencia finito

La función $1/(1-x)$ en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencias $x-x_{0}=x-0=x$, tiene el siguiente aspecto:

    ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots$

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es $r=1$. Eso significa que para calcular si se toma cualquier valor cuya distancia al $x_{0}=0$ es menor que $r=1$, por ejemplo el $x=0.25$, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

    $\sum _{n=0}^{\infty }0.25^{n}=1+0.25+0.25^{2}+0.25^{3}+\ldots ={\frac {4}{3}}$.

(La cuenta se puede hacer por serie de potencia). Y por otro lado

    ${\frac {1}{1-0.25}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}$.

Pero si se toma un elemento fuera del radio de convergencia, por ejemplo el $x=2$, al remplazarlo en la serie, esta será divergente (por eso el nombre de radio de convergencia). Efectivamente:

    $\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}=1+2+2^{2}+2^{3}+\ldots =\infty$.

### Distancia a la singularidad

El cálculo del radio de convergencia no es simple. Veamos una función con dos desarrollos en serie con distintos centros y analicemos sus radios de convergencia. La misma función $1/(1-x)$ en su desarrollo con centro $x_{0}=3$ tiene la forma:

    ${\frac {1}{1-x}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {x-3}{4}}-{\frac {(x-3)^{2}}{8}}+{\frac {(x-3)^{3}}{16}}-\ldots$

Pero en este caso su radio de convergencia es $r=2$. Notemos que la función $1/(1-x)$ tiene una singularidad en el 1; y que en los dos caso anteriores el radio de convergencia coincide con la distancia del centro a la singularidad: $|0-1|=1$ y $|3-1|=2$. Esto puede llevarnos a pensar que las funciones de variable real que no tengan singularidades tendrán radio de convergencia infinito, lo cual no es así. En el siguiente ejemplo:

    $f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$

Podemos ver que no se anula el denominador para ningún punto y que por tanto: $Domf(x)=\mathbb {R}$. No obstante, la serie se puede expresar como:

    $f(x)={\frac {1}{1-(-x^{2})}}$

y gracias al desarrollo como serie de potencias de ${\frac {1}{1-x}}$ queda: $1-x^{2}+x^{4}-x^{6}...=\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}x^{2k}}$. Con el criterio del cociente podemos comprobar que el radio de convergencia es $r=1$. Este resultado tiene que ver con que las raíces de $x^{2}+1$ sí existen en el plano complejo y son $x=i$ y en $x=-i$, ambas a distancia 1 del origen, punto en el que desarrollamos la serie. Más información en

### Radio de convergencia infinito

Por ejemplo, la función exponencial $e^{x}$ puede desarrollarse en series de potencia de $x-0=x$, de hecho

    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots$

y esto vale para todo real $x$ por eso el radio de convergencia será infinito.

