Polinomios de Dickson
# Polinomios de Dickson

En matemáticas, los polinomios de Dickson, denotados como $D_n(x,α),$ forman una secuencia polinomial introducida por Leonard Eugene Dickson (1897). Fueron redescubiertos por Brewer (1961) en su estudio de las sumas de Brewer y, en ocasiones, aunque raramente, también se los conoce como polinomios de Brewer.

Sobre los números complejos, los polinomios de Dickson son esencialmente equivalentes a los polinomios de Chebyshov con un cambio de variable, y, de hecho, los polinomios de Dickson a veces se denominan como polinomios de Chebyshov.

Generalmente se estudian sobre un cuerpo finito, donde a veces pueden no ser equivalentes a los polinomios de Chebyshov. Una de las principales razones de interés en estos polinomios es que para α fijo, dan muchos ejemplos de polinomios de permutación; polinomios que actúan como permutaciones de campos finitos.

## Definición

### Primer tipo

Para n > 0 entero y α en un anillo conmutativo R con identidad (a menudo elegido para ser el campo finito $F_q$ = GF(q)) los polinomios de Dickson (de primer tipo) sobre R están dados por

    $D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.$

Los primeros polinomios de Dickson son

    ${\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}$

También pueden ser generados por relación de recurrencia para n ≥ 2,

    $D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,$

con las condiciones iniciales $D_0(x,α)$ = 2 y $D_1(x,α)$ = x.

### Segundo tipo

Los polinomios de Dickson de segundo tipo, $E_n(x,α),$ están definidos por

    $E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.$

No se han estudiado mucho y tienen propiedades similares a las de los polinomios de Dickson de primer tipo. Los primeros polinomios de Dickson de segundo tipo son

    ${\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}$

También pueden ser generados por la relación de recurrencia para n ≥ 2,

    $E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,$

con las condiciones iniciales $E_0(x,α)$ = 1 y $E_1(x,α)$ = x.

## Propiedades

Los $D_n$ son los únicos polinomios monónicos que satisfacen la ecuación funcional

    $D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},$

donde α ∈ $F_q$ y u ≠ 0 ∈ $F_{q2}.$

También satisfacen una regla de composición,

    $D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\biglD_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\biglD_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.$

$E_n$ también satisface una ecuación funcional

    $E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,$

para y ≠ 0, $y^2$ ≠ α, con α ∈ $F_q$ y y ∈ $F_{q2}.$

El polinomio de Dickson y = $D_n$ es una solución de la ecuación diferencial ordinaria

    $\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,$

y el polinomio de Dickson y = $E_n$ es una solución de la ecuación diferencial

    $\left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.$

Sus funciones generadoras ordinarias son

    ${\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}$

## Enlaces a otros polinomios

Por la relación de recurrencia anterior, los polinomios de Dickson son sucesiones de Lucas. Específicamente, para α = −1, los polinomios de Dickson de primer tipo son polinomios de Fibonacci, y los polinomios de Dickson de segundo tipo son polinomios de Lucas.

Por la regla de composición anterior, cuando α es idempotente, la composición de los polinomios de Dickson del primer tipo es conmutativa.

* Los polinomios de Dickson con el parámetro α = 0 dan monomios

    $D_{n}(x,0)=x^{n}\,.$
* Los polinomios de Dickson con el parámetro α = 1 están relacionados con los polinomios de Chebyshov $T_n(x)$ = cos (n arccos x) de primer tipo de

    $D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.$
* Dado que el polinomio de Dickson $D_n(x,α)$ se puede definir sobre anillos con idempotencias adicionales, $D_n(x,α)$ a menudo no está relacionado con un polinomio de Chebyshov.

## Polinomios de permutación y polinomios de Dickson

Un polinomio de permutación (para un campo finito dado) es uno que actúa como una permutación de los elementos del campo finito.

El polinomio de Dickson $D_n(x,$ α) (considerado como una función de x con α fijo) es un polinomio de permutación para el campo con elementos de q si y solo si n es coprimo con respecto a $q^2$ − 1.

Fried (1970) demostró que cualquier polinomio integral que sea un polinomio de permutación para infinitos campos principales es una composición de polinomios de Dickson y de polinomios lineales (con coeficientes racionales). Esta afirmación se conoce como la conjetura de Schur, aunque en realidad Schur no hizo esta conjetura. Dado que el artículo de Fried contenía numerosos errores,Turnwald (1995) proporcionó una redacción corregida, y posteriormente Müller (1997) dio una prueba más simple en la línea de un argumento debido a Schur.

Además,Müller (1997) demostró que cualquier polinomio de permutación sobre el campo finito $F_q$ cuyo grado es simultáneo a q y menor que $q^{1/4}$ debe ser una composición de polinomios de Dickson y de polinomios lineales.

## Generalización

Los polinomios de Dickson de ambos tipos sobre campos finitos se pueden considerar como miembros iniciales de una secuencia de polinomios de Dickson generalizados conocidos como polinomios de Dickson de tipo (k + 1)th. Específicamente, para α ≠ 0 ∈ $F_q$ con q = $p^e$ para algunos p primarios y cualquier número entero n ≥ 0 y 0 ≤ k < p, el 'n polinomio de Dickson del tipo (k + 1)th' sobre $F_q,$ denotado por $D_{n,k}(x,α),$ se define mediante

    $D_{0,k}(x,\alpha )=2-k$

y

    $D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.$

$D_{n,0}(x,α)$ = $D_n(x,α)$ y $D_{n,1}(x,α)$ = $E_n(x,α),$ mostrando que esta definición unifica y generaliza los polinomios originales de Dickson.

Las propiedades significativas de los polinomios de Dickson también se generalizan:

* Relación de recurrencia: para n ≥ 2,

       $D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,$
    con las condiciones iniciales $D_{0,k}(x,α)$ = 2 − k y $D_{1,k}(x,α)$ = x.
* Ecuación funcional:

       $D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,$
    donde y ≠ 0, $y^2$ ≠ α.
* Función generadora:

       $\sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.$
