Tabla de Cayley
# Tabla de Cayley

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.

Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation $θ^n$ = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones.

## Estructura de la tabla

Dado el grupo finito $G={g_1,$ $g_2,$ ..., $g_n},$ su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación $g_i*g_j$ (donde * es la operación del grupo).

## Ejemplos

* Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:

| + | 0 | 1 | 2 |
| - | - | - | - |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

* El grupo simétrico $S_3$ tiene los siguientes elementos:

$id,\ g_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}}\right),\ g_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&3&2\end{array}}\right),g_{4}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&1\end{array}}\right),g_{5}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\end{array}}\right),g_{6}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&1&2\end{array}}\right)$.

La tabla de Cayley para $(S_3,$ $\circ$) es:

| $\circ$ | id | $g_2$ | $g_3$ | $g_4$ | $g_5$ | $g_6$ |
| - | - | - | - | - | - | - |
| id | id | $g_2$ | $g_3$ | $g_4$ | $g_5$ | $g_6$ |
| $g_2$ | $g_2$ | $g_1$ | $g_5$ | $g_6$ | $g_3$ | $g_4$ |
| $g_3$ | $g_3$ | $g_6$ | $g_1$ | $g_5$ | $g_4$ | $g_2$ |
| $g_4$ | $g_4$ | $g_5$ | $g_6$ | $g_1$ | $g_2$ | $g_3$ |
| $g_5$ | $g_5$ | $g_4$ | $g_2$ | $g_3$ | $g_6$ | $g_1$ |
| $g_6$ | $g_6$ | $g_3$ | $g_4$ | $g_2$ | $g_1$ | $g_5$ |

## Propiedades básicas

* Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
* En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo.
