Función biyectiva
# Función biyectiva

En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida.

Formalmente, dada una función $f$:

    ${\begin{array}{rccl}f:&X&\longrightarrow &Y\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}$

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

    $\forall y\in Y\;:\quad \exists !\ x\in X\;/\quad f(x)=y$

Es decir, para todo $y$ de $Y$ se cumple que existe un único $x$ de $X$, tal que la función evaluada en $x$ es igual a $y$.

Dados dos conjuntos finitos $X$ e $Y$, entonces existirá una biyección entre ambos si y solo si $X$ e $Y$ tienen el mismo número de elementos.

## Proposición

Si $f\,$ es una función real biyectiva, entonces su función inversa $f^{-1}\,$ existe y también es biyectiva.

### Ejemplo

La función:

    $f(x)=\alpha x+\beta \,,$ con $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ y $\alpha \neq 0$

es biyectiva.

Luego, su inversa:

    $f^{-1}(x)={\frac {x-\beta }{\alpha }}\,$

también lo es.

El siguiente diagrama de grafos bipartitos se puede ver que la función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva:

| Función | Inyectiva | No inyectiva |
| - | - | - |
| Sobreyectiva | | |
| No sobreyectiva | | |

## Ejemplos

Asientos y alumnos en una sala de clase

En una clase hay un determinado número de asientos. Un grupo de estudiantes ingresa a la clase y el profesor les pide a todos que se sienten. Después de hacer una rápida observación de la sala de clase, el profesor declara con seguridad que hay una biyectividad entre el grupo de estudiantes y la cantidad de asientos, donde cada estudiante está emparejado con el asiento que le corresponde. Lo que el profesor tuvo que observar para poder hacer esta declaración es:

* Todos los estudiantes estaban sentados (nadie estaba de pie),
* Ningún estudiante estaba sentado en más de un asiento,
* Cada asiento estaba ocupado (no había asientos vacíos)
* Ningún asiento estaba ocupado por más de un estudiante.

El profesor, gracias a esa observación, pudo concluir que había igual cantidad de asientos como de estudiantes, sin tener que contar la cantidad de asientos.

## Cardinalidad y biyectividad

Dados dos conjuntos $\scriptstyle A$ y $\scriptstyle B$, entre los cuales existe una función biyectiva $\scriptstyle f:A\to B$ tienen cardinales que cumplen

   ${\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B)\,$

## Homeomorfismo

Se define un homeomorfismo (no confundir con homomorfismo ) como una aplicación entre dos espacios topológicos verificando ser una transformación biyectiva y bicontinua.

