Tabla de senos de Madhava
# Tabla de senos de Madhava

La tabla de senos de Madhava, compuesta en el siglo XIV por el matemático y astrónomo indio de la escuela de Kerala, Madhava de Sangamagrama, enumera los senos trigonométricos de veinticuatro ángulos que son múltiplos de 3.75°, es decir, de 1/24 de un ángulo recto (3.75°, 7.50°, 11.25°, ... hasta 90.00°). La tabla está codificada en las letras del alfabeto Devanagari usando el sistema Katapayadi. Esto le da a las entradas de la tabla la apariencia de los versos de un poema en sánscrito.

Aún no se ha encontrado el trabajo original de Madhava que contiene la tabla de senos, que aparece reproducida en el Aryabhatiyabhashya de Nilakantha Somayaji (1444-1544) y también en el comentario Yuktidipika/Laghuvivrti del Tantrasamgraha escrito por Sankara Variar (circa. 1500-1560).

## La tabla

La siguiente imagen muestra la tabla de senos de Madhava incluida en elDevanagari, reproducida en la obra de C. K. Raju titulada "Cultural Fundations of Mathematics" (Fundamentos culturales de las matemáticas). Las primeras doce líneas constituyen las entradas en la tabla. La última palabra en la decimotercera línea indica que se corresponden "según lo dicho por Madhava" (véase la primera imagen del artículo).

## Valores en la tabla de Madhava

Para comprender el significado de los valores tabulados por Madhava, considérese un ángulo cuya medida es A. Dado un círculo de radio unidad y de centro O, el arco PQ del círculo subtiende el ángulo A respecto al centro O. Trazar el segmento QR perpendicular de Q a OP; entonces la longitud del segmento de línea RQ es el valor del seno trigonométrico del ángulo A. Sea PS un arco del círculo cuya longitud es igual a la longitud del segmento RQ. Para varios ángulos A, la tabla de Madhava da las medidas de los ángulos correspondientes $\angle$ POS en minutos de arco, segundos de arco y sexagésimas de segundo de arco.

Como ejemplo, sea A un ángulo cuya medida sea 22.50°. En la tabla de Madhava, la entrada correspondiente a 22.50° es la medida en minutos de arco, segundos de arco y sexagésimas de segundos de arco del ángulo cuya medida en radianes es el valor moderno de sen 22.50°. El valor numérico moderno de sin 22.50° es 0.382683432363 y,

    0.382683432363 radianes = 180 / π × 0.382683432363 grados = 21.926145564094 grados.

y

    21.926145564094 grados = 1315 arcminutos 34 arcsegundos 07 sexagésimas de arcosegundo.

En el sistema Katapayadi los dígitos están escritos en el orden inverso. Así, en la tabla de Madhava, la entrada que corresponde a 22.50° es 70435131.

## Deducción de los senos trigonométricos de la tabla de Madhava

Para un ángulo cuya medida es A, se tiene que

    $\angle POS=m{\text{ arcominutos, }}s{\text{ arcosegundos, }}t{\text{ sexagésimas de arcosegundo}}$

Entonces

    ${\begin{aligned}\sin(A)&=RQ\\&={\text{longitud del arco }}PS\\&=\angle POS{\text{ en radianes}}\\&={\frac {\pi }{180\times 60}}\left(m+{\frac {s}{60}}+{\frac {t}{60\times 60}}\right).\end{aligned}}$

Cada una de las líneas de la tabla especifica ocho dígitos. Considerando que los dígitos correspondientes al ángulo A (leídos de izquierda a derecha) sean

    $d_{1}\quad d_{2}\quad d_{3}\quad d_{4}\quad d_{5}\quad d_{6}\quad d_{7}\quad d_{8}$

Entonces, de acuerdo con las reglas del sistema Katapayadi utilizado por los matemáticos de Kerala, se tiene

    ${\begin{aligned}m&=d_{8}\times 1000+d_{7}\times 100+d_{6}\times 10+d_{5}\\s&=d_{4}\times 10+d_{3}\\t&=d_{2}\times 10+d_{1}\end{aligned}}$

## El valor de Madhava de pi

Para completar los cálculos numéricos, se debe tener conocimiento del valor de pi($\pi$), para lo que se utiliza el calculado por el propio Madhava. Nilakantha Somayaji recogió este valor de π en su Āryabhaṭīya-Bhashya de la siguiente manera:

La transliteración de las dos últimas líneas toma la forma:

    vibudha-netra-gaja-ahi-hutāśana
    tri-guṇa-veda-bha-vāraṇa-bāhavaḥ
    nava-nikharva-mite vr̥tivistare
    paridhi-mānam idaṁ jagadur budhāḥ

Las diversas palabras indican ciertos números codificados en un esquema conocido como el sistema bhūtasaṃkhyā. El significado de las palabras y los números codificados por ellas (comenzando con el lugar de las unidades) se detallan en la siguiente traducción del versículo: "Dioses (vibudha : 33), ojos (netra : 2), elefantes (gaja : 8), serpientes (ahi : 8), incendios (hutāśana : 3), tres (tri : 3), cualidades (guṇa : 3), vedas (veda : 4), nakṣatras (bha : 27), elefantes (vāraṇa : 8) y armas (bāhavaḥ : 2) - los sabios dicen que esta es la medida de la circunferencia cuando el diámetro de un círculo es nava-nikharva (900.000.000.000)".

Entonces, en la traducción del poema usando el sistema bhūtasaṃkhyā, simplemente se leerá:

    "2827433388233 es, como dicen los sabios, la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es nava-nikharva (900.000.000.000)"

Es decir, se debe dividir 2827433388233 (el número de las dos primeras líneas del poema en orden inverso) por nava-nikharva (900.000.000.000) para obtener el valor de pi (π). Este cálculo produce el valor de π = 3,1415926535922, utilizado por Madhava en sus cálculos posteriores, y que tiene una precisión de 11 decimales.

## Ejemplo

La tabla de Madhava enumera los siguientes dígitos correspondientes al ángulo de 45.00°:

    $5\quad 1\quad 1\quad 5\quad 0\quad 3\quad 4\quad 2$

Esto produce el ángulo con medida

    ${\begin{aligned}m&=2\times 1000+4\times 100+3\times 10+0{\text{ arcominutos}}\\&=2430{\text{ arcominutos}}\\s&=5\times 10+1{\text{ arcosegundos}}\\&=51{\text{ arcseconds}}\\t&=1\times 10+5{\text{ sexagésimas de arcosegundo}}\\&=15{\text{ sexagésimas de arcosegundo}}\end{aligned}}$

El valor del seno trigonométrico de 45.00° dado en la tabla de Madhava es

    $\sin 45^{\circ }={\frac {\pi }{180\times 60}}\left(2430+{\frac {51}{60}}+{\frac {15}{60\times 60}}\right)$

Sustituyendo el valor de π calculado por Madhava en la expresión anterior, se obtiene sin 45° como 0.70710681.

Este valor se puede comparar con el valor exacto moderno de sen 45.00°, es decir, 0.70710678.

## Comparación de los valores sinusoidales modernos y de Madhava

En la tabla que figura a continuación, la primera columna contiene la lista de los veinticuatro ángulos que comienza con 3.75 y termina con 90.00. La segunda columna contiene los valores tabulados por Madhava en Devanagari, en la forma en la que el propio Madhava los dio (tomados del Comentario Malayalam de Karanapaddhati por P. K. Koru, ligeramente diferentes de la tabla dada en Fundamentos culturales de las matemáticas por C. K. Raju). La tercera columna contiene transliteraciones ISO 15919 de las líneas dadas en la segunda columna. Los dígitos codificados por las líneas en la segunda columna se dan en números arábigos en la cuarta columna. Los valores de los senos trigonométricos derivados de los números especificados en la tabla de Madhava se enumeran en la quinta columna. Estos valores se calculan utilizando el valor aproximado de 3.1415926535922 para π obtenido por Madhava. A modo de comparación, los valores exactos de los senos trigonométricos de los ángulos se dan en la sexta columna.

## Método de cálculo de Madhava

No ha sobrevivido ningún trabajo de Madhava que detalle los métodos que utilizó para el cálculo de la tabla de senos. Sin embargo, a partir de los escritos de matemáticos posteriores de Kerala como Nilakantha Somayaji (Tantrasangraha) y Jyeshtadeva (Yuktibhāṣā), que dan amplias referencias de los logros de Madhava, se conjetura que calculó su tabla de senos utilizando el desarrollo en serie de potencia del seno:

    $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$
