Integración indefinida
# Integración indefinida

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si $F_1$ y $F_2$ son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que $F_1$ = $F_2$ + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

    $\int {f}$ o bien $\int {f(x)dx}$

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

## Ejemplo

Una primitiva de la función $\scriptstyle f(x)=\cos(x)$ en $\scriptstyle \mathbb {R} ,$ es la función $\scriptstyle F(x)=\sin(x)$ ya que:

   ${\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)\ \forall x\in \mathbb {R}$

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

## Constante de integración

La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el ñ de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces el problema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras.

## Otras propiedades

### Linealidad de la integral indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

* Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
* Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

    $\int (k\cdot f\left(x\right)+l\cdot g\left(x\right))=k\cdot \int {f\left(x\right)}+l\cdot \int {g\left(x\right)}$

### La primitiva de una función impar es siempre par

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

### La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0

En efecto, según la figura, las áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(-a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(-a) = - F(a): F es impar.

### La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).

En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

### Relación entre la integral de una función y la de su inversa

Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de $f^{-1},$ y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de $f^{-1}$ aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.

El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de $f^{-1}$ sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la Función inversa.

### Existencia de primitivas

Cualquier función continua sobre $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ admite localmente una antiderivada o primitiva. Sin embargo en espacios de dimensión finita la continuidad no garantiza la existencia de antiderivadas. Una condición suficiente de existencia de antiderivadas es que la imagen pertenezca a un espacio vectorial conveniente, también llamado $\scriptstyle c^{\infty }$-completo. La propiedad definitoria de dichos espacios es que toda función $f:\mathbb {R} \to E$ con $f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)$ admite una función primitiva. Si el espacio no es $\scriptstyle c^{\infty }$-completo la continuidad o incluso la suavidad de una función no garantiza la existencia de antiderivadas.

## Cálculo de primitivas

### Integrales inmediatas

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

    $\int _{a}^{b}(k\cdot {\mbox{f}}(x)+l\cdot {\mbox{g}}(x))dx=k\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{f}}(x)dx+l\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{g}}(x)dx\,\!$

Aquí están las principales funciones primitivas:

| Función $F\,\!$: primitiva de $f\,\!$ | función $f\,\!$: derivada de $F\,\!$ |
| - | - |
| $f\left(x\right)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k\,\!$ | ${\begin{matrix}f'\left(x\right)=x^{n}&&\mathrm {,para} &n\neq -1\end{matrix}}\,\!$ |
| $f\left(x\right)=e^{x}+k\,\!$ | $f'\left(x\right)=e^{x}\,\!$ |
| $f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+k\,\!$ | $f'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\,\!$ |
| $f\left(x\right)={\frac {x^{1-n}}{1-n}}+k\,\!$ | ${\begin{matrix}f'\left(x\right)={\frac {1}{x^{n}}}&&\mathrm {,para} &n\neq 1\end{matrix}}\,\!$ |
| $f\left(x\right)=-\cos \left(x\right)+k\,\!$ | $f'\left(x\right)=\sin \left(x\right)\,\!$ |
| $f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+k\,\!$ | $f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)\,\!$ |
| $f\left(x\right)=\tan \left(x\right)+k\,\!$ | $f'\left(x\right)={\frac {1}{\cos ^{2}\left(x\right)}}\,\!$ |
| ${\begin{matrix}f\left(x\right)={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+k&&\mathrm {,si} &a>0\end{matrix}}\,\!$ | $f'\left(x\right)=a^{x}\,\!$ |
| $f\left(x\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {x}}^{3}+k\,\!$ | $f'\left(x\right)={\sqrt {x}}\,\!$ |
| $f\left(x\right)=ax+k\,\!$ | $f'\left(x\right)=a\,\!$ |
| $f\left(x\right)=\arctan(x)+k\,\!$ | $f'\left(x\right)={\frac {1}{1+x^{2}}}\,\!$ |

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - $3x^2.$ 2x es la derivada de $x^2,$ $3x^2$ es la de $x^3,$ por lo tanto 2x - $3x^2$ tiene como primitiva $x^2$ - $x^3$ + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición $F(x_0)$ = $y_0$ (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

### Métodos de integración

Tenemos varios métodos a nuestra disposición:

* La linealidad de la integración nos permite descomponer integrales complicadas en otras más sencillas.
* Integración por sustitución, a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo neperiano.
* Integración por partes para integrar productos de funciones.
* El método de la regla de la cadena inversa, un caso especial de la integración por sustitución.
* El método de fracciones parciales nos permite integrar todas las funciones racionales (fracciones de dos polinomios).
* El algoritmo de Risch.
* Integrales también pueden calcularse utilizando tablas de integrales.
