Cociente de Fermat
# Cociente de Fermat

En teoría de números, el cociente de Fermat $q_{p}$ de un número entero a con respecto a un número primo impar p se define como

    $q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},$

o también

    $\delta _{p}(a)={\frac {a-a^{p}}{p}}$.

Este artículo trata sobre la primera definición; para la segunda véase p-derivación. El cociente lleva el nombre del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665).

Si la base a es coprima respecto al exponente p entonces el pequeño teorema de Fermat afirma que $q_p(a)$ será un número entero. Si la base a también es generadora del grupo multiplicativo de enteros módulo p, entonces $q_p(a)$ será un número cíclico y p será un número primo largo.

## Propiedades

A partir de la definición, es obvio que

    ${\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{since }}2\mid p-1)\end{aligned}}$

En 1850, Ferdinand Eisenstein demostró que si a y b son coprimos con respecto a p, entonces:

    ${\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}$

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con las propiedades de los logaritmos. Estas propiedades implican que

    ${\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}$

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein permite obtener el corolario siguiente:

    $q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.$

De esto se sigue que:

    $q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.$

## Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que

    $\sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.$

Aquí $W_{p}$ es el cociente de Wilson.

## Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat con base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del rango {1, ..., p − 1} :

    $-2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$

Autores posteriores demostraron que el número de términos requeridos en tal representación podría reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

    $-3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$
    $4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$
    $2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

    $-3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$
    $-5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.$

## Primos de Wieferich generalizados

Si $q_p(a)$ ≡ 0 (mod p) entonces $a^{p−1}$ ≡ 1 (mod $p^2).$ Los números primos para los que esto es cierto cuando a = 2 se denominan primos de Wieferich. En general, se denominan primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de $q_p(a)$ ≡ 0 (mod p) para valores pequeños de a son :

    a p (comprobado hasta 5 × $10^{13})$ Secuencia OEIS 12, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ... (All primes) (sucesión A000040 en OEIS) 21093, 3511 (sucesión A001220 en OEIS) 311, 1006003 (sucesión A014127 en OEIS) 41093, 3511 52, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 (sucesión A123692 en OEIS) 666161, 534851, 3152573 (sucesión A212583 en OEIS) 75, 491531 (sucesión A123693 en OEIS) 83, 1093, 3511 92, 11, 1006003 103, 487, 56598313 (sucesión A045616 en OEIS) 1171 122693, 123653 (sucesión A111027 en OEIS) 132, 863, 1747591 (sucesión A128667 en OEIS) 1429, 353, 7596952219 (sucesión A234810 en OEIS) 1529131, 119327070011 (sucesión A242741 en OEIS) 161093, 3511 172, 3, 46021, 48947, 478225523351 (sucesión A128668 en OEIS) 185, 7, 37, 331, 33923, 1284043 (sucesión A244260 en OEIS) 193, 7, 13, 43, 137, 63061489 (sucesión A090968 en OEIS) 20281, 46457, 9377747, 122959073 (sucesión A242982 en OEIS) 212 2213, 673, 1595813, 492366587, 9809862296159 (sucesión A298951 en OEIS) 2313, 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 (sucesión A128669 en OEIS) 245, 25633 252, 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 263, 5, 71, 486999673, 6695256707 2711, 1006003 283, 19, 23 292 307, 160541, 94727075783

Para obtener más información, consúltese fermatquotient.com ( y).

Las soluciones más pequeñas de $q_p(a)$ ≡ 0 (mod p) con a= n son:

    2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (sucesión A039951 en OEIS)

Un par (p, r) de números primos tales que $q_p(r)$ ≡ 0 (mod p) y q' 'r(p) ≡ 0 (mod r) se llama par de Wieferich.

