Síndrome de decodificación
# Síndrome de decodificación

La decodificacion mediante síndrome hace uso de la matriz estándar, también llamada matriz típica o arreglo estándar. La matriz estándar reúne a todas las $2^N$ palabras código posibles (N es la longitud de las palabras código) agrupadas en exactamente $2^{N-k}$ co-conjuntos disjuntos puestos en filas de una matriz. Y de una tabla de síndromes calculada a partir de los líderes de cada fila de la matriz estándar.

## Matriz Típica

La matriz típica asociada a un código lineal puede hallarse mediante el mismo código, poniendo en la primera fila a todo el código, con el 0...0 en la primera posición, y la(s) siguiente(s) fila(s) se calculan encontrando la palabra código de menor peso (menor número de unos) que no este en la fila anterior y sumándola al código original

Ejemplo

Sea un código lineal:

$C=\{000,101,011,110\}$

Con matriz generadora:

$G={\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}$

Los co-conjuntos de C son:

000+C={000, 101, 011, 110}{\textstyle 000+C=\{000, 101, 011, 110\}}

$010+C=\{010,111,001,100\}$

Y la matriz típica será:

${\begin{vmatrix}000&101&011&110\\010&111&001&100\end{vmatrix}}$

Donde el líder de cada fila, es el primer elemento de cada fila y es justamente la palabra código de menor peso en la fila.

Una vez hallados todos los líderes, se calcula una tabla de síndromes

## Tabla de síndromes

Para hallar la tabla de síndromes, primero construiremos una tabla con los líderes de cada co-conjunto de la matriz estándar (de cada fila) y los ordenaremos según su peso de menor a mayor.

Una vez construido, hallamos la tabla de síndromes calculando el síndrome de cada líder y colocando su síndrome en la misma posición.

Donde el síndrome se calcula:

$s=v\cdot H^{T}$

Ejemplo

Sea el código lineal

$C=\{000,101,011,110\}$ Con $G={\begin{vmatrix}1&1&1&1\end{vmatrix}}$ Y $H={\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&0&1&0\\1&0&0&1\end{vmatrix}}$

Se obtiene las tablas:

| Tabla de líderes | Tabla de síndromes |
| - | - |
| 0000 | 000 |
| 1000 | 111 |
| 0100 | 100 |
| 0010 | 010 |
| 0001 | 001 |
| 1100 | 011 |
| 1010 | 101 |
| 1001 | 110 |

### Algoritmo de decodificacion

Una vez se reciba una palabra código $v$, se calcula su síndrome $s=v\cdot H^{T}$ y se busca $s$ en la tabla de síndromes.

Entonces tomamos su líder asociado y lo sumamos a la palabra código recibida $v$, y el resultado será la palabra decodificada.

Ejemplo

Tomando en cuenta la anterior tabla de líderes y tabla de síndromes, supongamos que recibimos la palabra $v=0100$, su síndrome será $s=100$ y vemos que el líder asociado es la palabra $0100$, sumamos el líder con la palabra recibida y tendremos:

$w=0100+0100$

$w=0000$

Y $w$ es la palabra decodificada.

* ↑ Torrico Diaz, Lucio Polevoi. Teoria de la Informacion y Codificacion. Instituto de Investigaciones en Informatica. pp. 172-175.
