Circuncónica e incónica
# Circuncónica e incónica

En la geometría del triángulo, una circuncónica es una curva cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo dado, y una incónica es una curva cónica inscrita en los lados (incluso extendidos) de un triángulo.

Supóngase que A, B, C son distintos puntos no colineales, y que ΔABC designa el triángulo cuyos vértices son A, B, C. Siguiendo la práctica común, A denota no solo el vértice, sino también el ángulo BAC en el vértice A, y de manera similar para B y C como ángulos en ΔABC. Sean a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, las longitudes de los lados de ΔABC.

En coordenadas trilineales, una circuncónica general es el lugar geométrico de los puntos X = x : y : z que satisfacen la ecuación

    uyz + vzx + wxy = 0,

para algún punto u : v : w. El conjugado isogonal de cada punto X de la circuncónica, que no sea A, B, C, es un punto de la línea

    ux + vy + wz = 0.

Esta línea coincide con la circunferencia circunscrita de ΔABC en 0, 1 o 2 puntos, según la circuncónica sea una elipse, una parábola o una hipérbola.

Una incónica general es tangente a las tres líneas rectas laterales de ΔABC y está dada por la ecuación

    $u^2x^2$ + $v^2y^2$ + $w^2z^2$ − 2vwyz − 2wuzx − 2uvxy = 0.

## Centros y líneas tangentes

### Circuncónica

El centro de una circuncónica general es el punto

    u (− au + bv + cw) : v (au − bv + cw) : w (au + bv − cw).

Las líneas tangentes a una circuncónica general en los vértices A, B, C son, respectivamente,

    wv + vz = 0,
    uz + wx = 0,
    vx + uy = 0.

### Incónica

El centro de una incónica general es el punto

    cy + bz : az + cx : bx + ay.

Las líneas tangentes a una incónica general son las líneas rectas laterales de ΔABC, dadas por las ecuaciones x = 0, y = 0, z = 0.

## Otras características

### Circuncónica

* Cada circuncónica no circular se corta con la circunferencia circunscrita de ΔABC en un punto que no sea A, B o C, a menudo llamado el cuarto punto de intersección, dado por las coordenadas trilineales

       (cx − az) (ay − bx) : (ay − bx) (bz − cy) : (bz − cy) (cx − az)
* Si P = p : q : r es un punto en una circuncónica general, entonces la tangente a la cónica en P viene dada por

       (vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z = 0.
* La circuncónica general se reduce a una parábola si y solo si

       $u^2a^2$ + $v^2b^2$ + $w^2c^2$ − 2vwbc − 2wuca − 2vavab = 0,
    y a una hipérbola si y solo si
       u cos A + v cos B + w cos C = 0.
* De todos los triángulos inscritos en una elipse dada, el centroide del que tiene el área más grande coincide con el centro de la $elipse.^{:p.147}$ La elipse dada, pasando por los tres vértices de este triángulo y centrada en el centroide del triángulo, se llama circunelipse de Steiner.

### Incónica

* Una incónica general se reduce a una parábola si y solo si

       ubc + vca + wab = 0,
    en cuyo caso es tangente externamente a uno de los lados del triángulo y es tangente a los otros dos lados extendidos.
* Supóngase que $p_1$ : $q_1$ : $r_1$ y $p_2$ : $q_2$ : $r_2$ son puntos distintos, y sea

       X = $(p_1$ + $p_2t)$ : $(q_1$ + $q_2t)$ : $(r_1$ + $r_2t).$
    Como el parámetro t se extiende a través del dominio de los números reales, el lugar geométrico de X es una recta. Definiendo
       $X^2$ = $(p_1$ + $p_2t)$ $^2$ : $(q_1$ + $q_2t)$ $^2$ : $(r_1$ + $r_2t)^2,$
    el lugar geométrico de $X^2$ es la incónica, necesariamente una elipse, dada por la ecuación
       $L^4x^2$ + $M^4y^2$ + $N^4z^2$ − $2M^2N^2yz$ − $2N^2L^2zx$ − $2L^2M^2xy$ = 0,
    donde
       L = $q_1r_2$ − $r_1q_2,$
       M = $r_1p_2$ − $p_1r_2,$
       N = $p_1q_2$ − $q_1p_2.$
* Un punto en el interior de un triángulo es el centro de una inelipse del propio triángulo si y solo si el punto se encuentra en el interior del triángulo cuyos vértices se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo $original.^{:p.139}$ Para un punto dado dentro del triángulo medial, la inelipse con su centro en ese punto es $única.^{:p.142}$
* La inelipse con el área más grande es la inelipse de Steiner, también llamada la inelipse del punto medio, con su centro en el $centroide^{:p.145}$ del triángulo. En general, la relación entre el área de la inelipse y el área del triángulo, en términos de las coordenadas baricéntricas de suma unidad $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ del centro de la inelipse, $es^{:p.143}$

       ${\frac {\text{Área de la inelipse}}{\text{Área del triángulo}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},$
    que se maximiza para las coordenadas baricéntricas del centroide $\alpha =\beta =\gamma =1/3.$
* Las líneas que conectan los puntos de tangencia de cualquier inelipse de un triángulo con los vértices opuestos del triángulo son $concurrentes.^{:p.148}$

## Extensión a los cuadriláteros

Todos los centros de inelipses de un cuadrilátero dado caen en el segmento de línea recta que conecta los puntos medios de las diagonales del $cuadrilátero.^{:p.136}$

## Ejemplos

* Circuncónicas
   * Circunferencia circunscrita, la única circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo
   * Circunelipse de Steiner, la única elipse que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene su centro en el centroide del triángulo
   * Hipérbola de Kiepert, la única cónica que pasa por los tres vértices de un triángulo, su centroide y su ortocentro
   * Hipérbola de Jeřábek, una hipérbola centrada en la circunferencia de los nueve puntos de un triángulo y que pasa por los tres vértices del triángulo, así como su circunferencia circunscrita, ortocentro y varios otros centros notables
   * Hipérbola de Feuerbach, una hipérbola equilátera que pasa a través del ortocentro de un triángulo, del punto de Nagel y de varios otros puntos notables, y tiene su centro en el círculo de nueve puntos.
* Incónicas
   * Incírculo, el único círculo que es internamente tangente a los tres lados de un triángulo
   * Inelipse de Steiner, la única elipse que es tangente a los tres lados de un triángulo en sus puntos medios
   * Inelipse de Mandart, la única elipse tangente a los lados de un triángulo en los puntos de contacto de sus excircunferéncias
   * Parábola de Kiepert
   * Parábola de Yff
