Desigualdad triangular
# Desigualdad triangular

La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría euclidiana que establece:

* En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.

Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:

   $a<(b+c),\qquad b<(a+c),\qquad c<(a+b)$

donde a, b y c son los lados.

## Espacios vectoriales normados

El teorema puede generalizarse a espacios vectoriales normados, obteniéndose la siguiente versión de la desigualdad triangular:

* En todo espacio vectorial normado $V,\forall x,y\in V,\ \ \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\|$

En el caso particular de considerar la recta real como espacio vectorial normado con el valor absoluto como norma obtenemos la siguiente versión del teorema:

* Para cualesquiera dos números a y b se cumple: $|a+b|\leq |a|+|b|$

cuya demostración es:

### Demostración

(Ámbito → ℝ). Haciendo uso de las propiedades del valor absoluto, es posible escribir:

    $-|a|\leq a\leq |a|$
    $-|b|\leq b\leq |b|$

Sumando ambas inecuaciones:

    $-(|a|+|b|)\leq a+b\leq |a|+|b|$

A su vez, usando la propiedad de valor absoluto $|c|\leq d$ si y solo si $-d\leq c\leq d$ en la línea de arriba queda:

    $|a+b|\leq |a|+|b|$

### Generalización de la desigualdad triangular

La desigualdad triangular puede generalizarse a un número arbitrario de sumandos:

   $|x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|+\cdots +|x_{n}|$,

es decir:

   $\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|.$

donde n es un número natural, y los $x_{i}$ son números reales.

* Demostración
* La demostración es un ejemplo clásico de prueba por inducción matemática.
* Como casos iniciales observamos que para n=1:
* $|x_{1}|\leq |x_{1}|$
* puesto que el símbolo $\leq$ es una disyunción lógica (menor o igual) que contempla ya el caso de igualdad
* Cuando n=2, obtenemos la desigualdad triangular clásica
* $|x_{1}+x_{2}|\leq |x_{1}|+|x_{2}|$
* Supongamos ahora que la condición se ha verificado hasta un cierto valor k de n. Esto es, asumimos que se ha verificado
* $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$
* Queda por demostrar que la afirmación es cierta también para el siguiente valor, k+1.
* Partimos de la siguiente expresión:
* $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|=\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|$
* y observando que $\sum _{i=1}^{k}x_{i}$ es un número real y $x_{k+1}$ es otro, podemos aplicar la desigualdad triangular para dos sumandos:
* $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|+|x_{k+1}|$
* Aplicamos ahora la afirmación para n=k sumandos
* $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|.$
* la cual habíamos supuesto como cierta y la sustituimos para obtener
* $\left|\sum _{i=1}^{k}x_{i}+x_{k+1}\right|\leq \sum _{i=1}^{k}|x_{i}|+|x_{k+1}|.$
* Sin embargo, esta última expresión es precisamente
* $\sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$
* de manera que hemos demostrado
* $\left|\sum _{i=1}^{k+1}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{k+1}|x_{i}|.$
* y por medio de inducción matemática, el resultado queda establecido para cualquier valor de n.

Esta desigualdad puede generalizarse aún más para integrales (Riemann, Riemann-Stieltjes, Lebesgue-Stieltjes, etc):

   $\left|\int _{A}f(x){\text{d}}\mu (x)\right|\leq \int _{A}|f(x)|{\text{d}}\mu (x)$

así como también para espacios $L^p.$ Sea S un espacio medible, sea 1 ≤ p ≤ ∞ y sea f y g elementos de $L^p(S).$ Entonces f + g es de $L^p(S),$ y se tiene

   $\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

con la igualdad para el caso1 < p < ∞ si y sólo si f y g son positivamente linealmente dependientes (que significa que f = λg o g = λf para algún λ ≥ 0).

Igual que la desigualdad de Hölder, la desigualdad de Minkowski se puede especificar para sucesiones y vectores haciendo:

    $\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

para todos los números reales (o complejos) $x_1,$ ..., $x_n,$ $y_1,$ ..., $y_n$ y donde n es el cardinal de S (el número de elementos de S).

