title: Subgrupo conmutador
text: # Subgrupo conmutador
  
  En matemáticas, el subgrupo conmutador de un grupo G, es el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
  
     $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$
  
  denominado conmutador de a con b.
  
  Al subgrupo conmutador también se le conoce como subgrupo derivado de G y se simboliza por $G'$ o $[G,G]$. Esto significa que si $x\in [G,G]$ entonces x se escribe como una palabra de conmutadores esto es,
  
         $x=a_{1}b_{1}{a_{1}}^{-1}{b_{1}}^{-1}a_{2}b_{2}{a_{2}}^{-1}{b_{2}}^{-1}\cdots a_{r}b_{r}{a_{r}}^{-1}{b_{r}}^{-1}$.
  
  Se puede demostrar que [G,G] es un subgrupo normal y que el grupo cociente $G/[G,G]$ es abeliano. El subgrupo conmutador es el menor que verifica esa propiedad, es decir: si $H\vartriangleleft G$ verifica que $G/H$ es abeliano entonces $[G,G]\subseteq H$.
  
  La construcción $G/[G,G]$ recibe el nombre de abelianización de G.
  
  ## Proposiciones
  
  Baumslag y Chandler en su Teoría de grupos enuncian las siguientes proposiciones:
  
  * El inverso de un conmutador es un conmutador.
  * G'-subgrupo derivado de G- es un subgrupo normal en G.
  * G es conmutativo si, sólo si G' ={e}, i.e. G es conmutativo si y solo si su subgrupo conmutador es el subgrupo que contiene únicamente al elemento neutro.
  
  ### Serie normal y serie derivada
  
  Dado un grupo $G$, La serie derivada es una construcción iterada, definida de la siguiente manera:
  
      $G^{(0)}:=G$
      $G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}$
  
  Los grupos $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ se denominan segundo grupo derivado, tercer grupo derivado, y así en adelante y forman la serie normal descedente.
  
      $\cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G$
  
  se denomina la serie derivada. Esta no debe confundirse con la serie central inferior, cuyos términos son $G_{n}:=[G_{n-1},G]$.
  
  Para un grupo finito, la serie derivada termina en un grupo perfecto, que puede o no ser trivial. Para un grupo infinito, la serie derivada no necesita terminar en una etapa finita, y puede continuar hasta infinitos números ordinales mediante recursión transfinita, obteniendo así la serie derivada transfinita, que finalmente termina en el núcleo perfecto del grupo.
  
  ## Bibliografía
  
  * Rotman, Joseph J. (1999). An Introduction to the Theory of Groups. Springer. ISBN 0387942858. |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
  * Lang, Serge (2005). Algebra. Springer. ISBN 038795385X. |fechaacceso= requiere |url= (ayuda)
  * Datos: Q522216
  