title: Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie
text: # Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie
  
  El teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie es un teorema en la topología simpléctica que generaliza el teorema de Darboux.
  
  ## Enunciado
  
  El enunciado es el que sigue. Sea M una variedad simpléctica de dimensión 2n con forma simpléctica ω. Sean
  
      $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{r}(r\leq n)$
  
  funciones diferenciables en un entorno abierto V de a cuyas diferenciales son linealmente independientes en cada punto, o equivalentemente
  
      $df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,$
  
  donde
  
      ${f_i,$ $f_j}$ = 0.
  
  (En otras palabras, están en involución dos a dos.) Aquí {-,-} es el paréntesis de Poisson. Entonces existen funciones
  
      $f_{r+1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$
  
  definidas en un entorno abierto $U\subset V$ de a tales que
  
      $(f_i,$ $g_i)$
  
  es una carta simpléctica de M, es decir, ω se expresa en U como
  
      $\omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}$.
  