title: Reducción de orden
text: # Reducción de orden
  
  En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones ($y_{1}$) es conocida y se busca la segunda ($y_{2}$).
  
  ## Uso
  
  Dada una ecuación diferencial
  
      $y''+p(t)y'+q(t)y=0\,$
  
  y una sola solución ($y_{1}(t)$), y sea la segunda solución definida por
  
      $y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$
  
  donde $v(t)$ es una función arbitraria. Así,
  
      $y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$
  
  y
  
      $y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$
  
  Si se sustituyen por $y$, $y'$, y $y''$ a la ecuación diferencial, entonces
  
      $y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.$
  
  Como $y_{1}(t)$ es solución de la ecuación diferencial original, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, se puede reducir a
  
      $y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0$
  
  que es una ecuación diferencial de primer orden por $v'(t)$. Dividiendo por $y_{1}(t)$, se obtiene
  
      $v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0$
  
  y $v'(t)$ se puede encontrar utilizado el método general:
  
      $v'(t)=C_{1}{\frac {1}{y_{1}^{2}(t)}}e^{-\int p(t)dt}$
  
  Una vez se ha encontrado $v'(t)$, se integra y se sustituye a la ecuación original por $y_{2}$:
  
      $y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,$
  