title: Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales
text: # Constantes trigonométricas expresadas en radicales reales
  
  Las expresiones algebraicas exactas de valores trigonométricos pueden ser útiles principalmente para obtener soluciones en forma de radicales que permiten simplificar determinados resultados.
  
  Todos los números trigonométricos (senos o cosenos de submúltiplos racionales de 360°) son números algebraicos (es decir, soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros). Además, pueden expresarse en términos de radicales de números complejos; pero no todos ellos pueden expresarse en términos de radicales reales. Cuando lo son, se pueden expresar más específicamente en términos de raíces cuadradas.
  
  Todos los valores de los senos, cosenos y tangentes de los ángulos en incrementos de 3° se pueden expresar en términos de raíces cuadradas, usando identidades (como las del ángulo mitad, las del ángulo doble y las de las sumas y restas de ángulos) y usando los valores conocidos para 0°, 30°, 36°, y 45°. Para un ángulo de un número entero de grados que no es múltiplo de 3° (π/60 radianes), los valores de seno, coseno y tangente no se pueden expresar en términos de radicales reales.
  
  Según el teorema de Niven, los únicos valores racionales de la función seno para los que el argumento es un número racional de grados son 0, 1/2, 1, −1/2 y −1.
  
  Según el teorema de Baker, si el valor de un seno, un coseno o una tangente es algebraico, entonces el ángulo es un número racional de grados o un número trascendente de grados. Es decir, si el ángulo es un número de grados algebraico, pero no racional, todas las funciones trigonométricas tienen valores trascendentes.
  
  ## Alcance de este artículo
  
  La lista de este artículo está incompleta en varios sentidos. Primero, las funciones trigonométricas de todos los ángulos que son múltiplos enteros de los dados también pueden expresarse en radicales, pero algunos se omiten aquí.
  
  En segundo lugar, siempre es posible aplicar la fórmula del ángulo mitad para encontrar una expresión en radicales para una función trigonométrica de la mitad de cualquier ángulo de la lista, aplicando sucesivamente este procedimiento las veces que se desee.
  
  En tercer lugar, existen expresiones en radicales reales para una función trigonométrica de un múltiplo racional de π si y solo si el denominador del múltiplo racional completamente reducido es una potencia de 2 por sí mismo o el producto de una potencia de 2 con el producto de números de Fermat distintos, de los cuales los conocidos son 3, 5, 17, 257 y 65537.
  
  En cuarto lugar, este artículo solo se ocupa de los valores de las funciones trigonométricas cuando la expresión puede obtenerse en radicales reales, es decir, en raíces de números reales. Muchos otros valores de funciones trigonométricas se pueden expresar, por ejemplo, en raíces cúbicas de números complejos que no se pueden reescribir en términos de raíces de números reales. Por ejemplo, los valores de la función trigonométrica de cualquier ángulo que sea un tercio de un ángulo θ considerado en este artículo se pueden expresar en raíces cúbicas y raíces cuadradas usando fórmula de la ecuación cúbica para resolver
  
      $4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=\cos \theta ,$
  
  pero, en general, la solución para el coseno de un tercio de un ángulo implica usar la raíz cúbica de un número complejo (en el denominado casus irreducibilis).
  
  En la práctica, todos los valores de senos, cosenos y tangentes que no se encuentran en este artículo se aproximan utilizando las técnicas descritas en el artículo dedicado a las tablas trigonométricas.
  
  ## Algunos ángulos
  
  Los valores fuera del rango angular [0°, 45°] se deducen trivialmente de los siguientes valores, utilizando simples relaciones de reflexión y simetría. (Véase Lista de identidades trigonométricas)
  
  En las entradas siguientes, cuando un cierto número de grados está relacionado con un polígono regular, la relación es que el número de grados en cada ángulo del polígono es (n - 2) veces el número indicado de grados (donde n es el número de lados). Esto se debe a que la suma de los ángulos de cualquier n-gono es 180° × (n - 2) y, por lo tanto, la medida de cada ángulo de cualquier n-gono regular es 180° × (n - 2) ÷ n. Así, por ejemplo, la entrada "45°: cuadrado" significa que, con n = 4, 180° ÷ n = 45°, y el número de grados en cada ángulo de un cuadrado hay (n - 2) × 45° = 90°.
  
  ### 0°: fundamental
  
      $\operatorname {sen} 0=0\,$
      $\cos 0=1\,$
      $\tan 0=0\,$
      $\cot 0{\text{ está indefinida}}\,$
      $\sec 0=1\,$
      $\csc 0{\text{ está indefinida}}\,$
  
  ### 1.5°: hecatonicoságono regular (polígono de 120 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\operatorname {sen} \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}$
      $\tan \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\tan \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}$
      $\cot \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cot \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}}$
      $\sec \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sec \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {16}{\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}}$
      $\csc \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\csc \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {16}{\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}}$
  
  ### 1.875°: eneacontahexágono regular (polígono de 96 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\operatorname {sen} \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{2}}$
      $\tan \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\tan \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$
      $\cot \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cot \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$
      $\sec \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sec \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$
      $\csc \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\csc \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {2}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}$
  
  ### 2.25°: octacontágono regular (polígono de 80 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\operatorname {sen} \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}$
  
  ### 2.8125°: hexacontatetrágono regular (polígono de 64 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\operatorname {sen} \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$
  
  ### 3°: hexacontágono regular (polígono de 60 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\operatorname {sen} \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,$
      $\cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,$
      $\tan \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,$
      $\cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,$
  
  ### 3,75°: tetracontaoctágono regular (polígono de 48 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\operatorname {sen} \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}$
  
  ### 4.5°: tetracontágono regular (polígono de 40 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\operatorname {sen} \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}$
  
  ### 5.625°: triacontadígono regular (polígono de 32 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\operatorname {sen} \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}$
  
  ### 6°: triacontágono regular (polígono de 30 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {sen} 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,$
      $\cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,$
  
  ### 7,5°: icositetrágono regular (polígono de 24 lados)
  
      $\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\operatorname {sen} \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}$
      $\cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}$
      $\tan \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\tan \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)$
      $\cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)$
  
  ### 9°: icoságono regular (polígono de 20 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {sen} 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}$
      $\cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}$
      $\tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$
  
  ### 11.25°: hexadecágono regular (polígono de 16 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{16}}=\operatorname {sen} 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$
      $\cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$
      $\tan {\frac {\pi }{16}}=\tan 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1$
      $\cot {\frac {\pi }{16}}=\cot 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1$
  
  ### 12°: pentadecágono regular (polígono de 15 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {sen} 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,$
      $\cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,$
      $\tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
      $\cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
  
  ### 15°: dodecágono regular (polígono de 12 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{12}}=\operatorname {sen} 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$
      $\cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}$
      $\tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,$
  
  ### 18°: decágono regular (polígono de 10 lados)
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{10}}=\operatorname {sen} 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {1}{1+{\sqrt {5}}}}\,$
      $\cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$
  
  ### 21°: suma 9° + 12°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {7\pi }{60}}=\operatorname {sen} 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,$
      $\cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,$
      $\tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,$
      $\cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,$
  
  ### 22.5°: octágono regular
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{8}}=\operatorname {sen} 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},$
      $\cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,$
      $\cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta _{S}\,$, el número plateado
  
  ### 24°: suma 12° + 12°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {2\pi }{15}}=\operatorname {sen} 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,$
      $\cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,$
      $\tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,$
      $\cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,$
  
  ### 27°: suma 12° + 15°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {3\pi }{20}}=\operatorname {sen} 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$
      $\cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$
      $\tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$
      $\cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$
  
  ### 30°: hexágono regular
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{6}}=\operatorname {sen} 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,$
      $\cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,$
      $\sec {\frac {\pi }{6}}=\sec 30^{\circ }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\,$
      $\csc {\frac {\pi }{6}}=\csc 30^{\circ }=2$
  
  ### 33°: suma 15° + 18°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {11\pi }{60}}=\operatorname {sen} 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$
      $\cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,$
      $\tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
      $\cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
  
  ### 36°: pentágono regular
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{5}}=\operatorname {sen} 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}$
      $\cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}={\frac {\varphi }{2}},$ donde φ es número áureo;
      $\tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}$
  
  ### 39°: suma 18° + 21°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {13\pi }{60}}=\operatorname {sen} 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,$
      $\cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,$
      $\tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
      $\cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,$
  
  ### 42°: suma 21° + 21°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {7\pi }{30}}=\operatorname {sen} 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,$
      $\cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{8}}\,$
      $\tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\,$
      $\cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-22{\sqrt {5}}}}+3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,$
  
  ### 45°: cuadrado
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}}=\operatorname {sen} 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$
      $\cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,$
      $\cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,$
      $\sec {\frac {\pi }{4}}=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}\,$
      $\csc {\frac {\pi }{4}}=\csc 45^{\circ }={\sqrt {2}}\,$
  
  ### 54°: suma 27° + 27°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {3\pi }{10}}=\operatorname {sen} 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!$
      $\cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}$
      $\tan {\frac {3\pi }{10}}=\tan 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,$
      $\cot {\frac {3\pi }{10}}=\cot 54^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,$
  
  ### 60°: triángulo equilátero
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{3}}=\operatorname {sen} 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$
      $\cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,$
      $\tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$
      $\sec {\frac {\pi }{3}}=\sec 60^{\circ }=2$
      $\csc {\frac {\pi }{3}}=\csc 60^{\circ }={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}={\frac {2}{\sqrt {3}}}\,$
  
  ### 67,5°: suma 7,5° + 60°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {3\pi }{8}}=\operatorname {sen} 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,$
      $\cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,$
      $\tan {\frac {3\pi }{8}}=\tan 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,$
      $\cot {\frac {3\pi }{8}}=\cot 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,$
  
  ### 72°: suma 36° + 36°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {2\pi }{5}}=\operatorname {sen} 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,$
      $\cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,$
      $\tan {\frac {2\pi }{5}}=\tan 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,$
      $\cot {\frac {2\pi }{5}}=\cot 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,$
  
  ### 75°: suma 30° + 45°
  
      $\operatorname {sen} {\frac {5\pi }{12}}=\operatorname {sen} 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,$
      $\cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,$
      $\tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,$
      $\cot {\frac {5\pi }{12}}=\cot 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,$
  
  ### 90°: fundamental
  
      $\operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}=\operatorname {sen} 90^{\circ }=1\,$
      $\cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,$
      $\tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }{\text{ está indefinida}}\,$
      $\cot {\frac {\pi }{2}}=\cot 90^{\circ }=0\,$
      $\sec {\frac {\pi }{2}}=\sec 90^{\circ }{\text{ está indefinida}}\,$
      $\csc {\frac {\pi }{2}}=\csc 90^{\circ }=1\,$
  
  ## Lista de constantes trigonométricas de 2π/n
  
  Para las raíces cúbicas de números no reales que aparecen en esta tabla, se tiene que tomar el valor principal, que es la raíz cúbica con la parte real más grande; esta mayor parte real es siempre positiva. Por lo tanto, las sumas de las raíces cúbicas que aparecen en la tabla son todos números reales positivos.
  
  * SENO:
  * ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\operatorname {sen} \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0\\\hline 2&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\hline 4&1\\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\hline 7&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 11&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}\\\hline 13&\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\\\hline 17&{\frac {1}{4}}{\sqrt {8-{\sqrt {2\left(15+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}\right)}}}}\\\hline 18&{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right)\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\end{array}}$
  * COSENO:
  * ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&1\\\hline 2&-1\\\hline 3&-{\frac {1}{2}}\\\hline 4&0\\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\\\hline 6&{\frac {1}{2}}\\\hline 7&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\\\hline 9&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)\\\hline 11&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&{\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12{\sqrt {-39}}}}+{\sqrt {13}}-1\right)\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}\right)}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\\\hline 17&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)\\\hline 18&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\end{array}}$
  * TANGENTE:
  * ${\begin{array}{r|l|l|l}n&\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0\\\hline 2&0\\\hline 3&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&\pm \infty \\\hline 5&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\sqrt {3}}\\\hline 7&\\\hline 8&1\\\hline 9&\\\hline 10&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&\\\hline 12&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&\\\hline 14&{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064192}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064192}}}}}}}\\\hline 15&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&\\\hline 18&\\\hline 20&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 24&2-{\sqrt {3}}\end{array}}$
  