title: Cuádrica
text: # Cuádrica
  
  Una superficie cuádrica es una superficie determinada por una ecuación de la forma: $P(x_{1},x_{2}...x_{n})=0\$
  
  donde P es un polinomio de segundo grado en las coordenadas $x_{1},x_{2}...x_{n}\$.
  
  Cuando no se precisa, es una superficie del espacio tridimensional real usual, en un sistema de coordenadas ortogonal y unitario, y las coordenadas se llaman x, y, z.
  
  ## Historia
  
  Fueron los matemáticos griegos de la antigüedad quienes iniciaron el estudio de las cuádricas, con el cono (una cuádrica) y sus secciones, que son las cónicas, curvas en un plano bidimensional, aunque no emplearon ecuaciones.
  
  ## Definición algebraica
  
  Una cuádrica o superficie cuádrica, es una hipersuperficie D-dimensional representada por una ecuación de segundo grado con variables (coordenadas) espaciales. Si estas coordenadas son $\{x_{1},x_{2},...x_{D}\}\,$, entonces la cuádrica típica en ese espacio se define mediante la ecuación algebraica:
  
      $\sum _{i,j=1}^{D}Q_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{D}P_{i}x_{i}+R=0$
  
  donde Q es una matriz cuadrada de dimensión (D), P es un vector de dimensión (D) y R es una constante. Si bien Q, P y R son por lo general reales o complejos, una cuádrica puede definirse en general sobre cualquier anillo.
  
  ### Ecuación cartesiana
  
  La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:
  
      $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\,$
  * La definición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.
  
  Por ejemplo, la ecuación:
  
      $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2xz=0\$
  
  es de segundo grado pero, también se puede escribir como:
  
      $(x+y+z)^{2}=0\$
  
  que equivale a:
  
      $x+y+z=0\$,
  
  una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, se descartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.
  
  * A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece de términos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:
  
      $D=0,E=0,F=0$
  
  entonces los términos lineales para cada variable:
  
      $Gx,Hy,Iz$
  
  pueden asimilarse a los cuadráticos:
  
      $Ax^{2},By^{2},Cz^{2}$
  
  mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar la ecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, $(0,0,0)$, sino en un punto de coordenadas implícitas en la nueva forma).
  
  ### Ecuación normalizada
  
  La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en el origen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:
  
      $\pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\pm 1=0$
  
  ## Tipos de cuádricas
  
  Por medio de traslaciones y rotaciones cualquier cuádrica se puede transformar en una de las formas "normalizadas". En el espacio tridimensional euclídeo, existen 16 formas normalizadas; las más interesantes son las siguientes:
  
  | a≠b≠c → elipsoide | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
  | - | - |
  | a≠b → esferoide (caso particular de elipsoide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
  | esfera (caso particular de esferoide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}-1=0\,$ |
  | paraboloide |
  | → paraboloide hiperbólico (caso particular de paraboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,$ |
  | → paraboloide elíptico (caso particular de paraboloide) | Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «http://localhost:6011/es.wikipedia.org/v1/»:): {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \, |
  | → paraboloide circular (caso particular de paraboloide elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,$ |
  | hiperboloide |
  | → hiperboloide elíptico de una hoja (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
  | → hiperboloide circular de una hoja (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}-1=0\,$ |
  | → hiperboloide elíptico de dos hojas (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0\,$ |
  | → hiperboloide circular de dos hojas (caso particular de hiperboloide) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}+1=0\,$ |
  | cilindro |
  | → cilindro elíptico (caso particular de cilindro) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
  | → cilindro circular (caso particular de cilindro elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-1=0\,$ |
  | → cilindro hiperbólico (caso particular de cilindro) | ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-1=0\,$ |
  | → cilindro parabólico (caso particular de cilindro) | $x^{2}+2ay=0\,$ |
  | cono elíptico | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$ |
  | → cono circular (caso particular de cono elíptico) | ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,$ |
  
  En el espacio proyectivo real, el elipsoide, el hiperboloide elíptico y el paraboloide elíptico son similares; los dos paraboloides hiperbólicos tampoco se diferencian entre ellos (por ser superficies regladas; el cono y el cilindro tampoco son distintos entre sí (por ser cuádricas "degeneradas"). En el espacio proyectivo complejo todas las cuádricas no degeneradas resultan indistinguibles entre ellas.
  
  