title: Sous-représentation
text: # Sous-représentation
  
  En théorie des représentations, une sous-représentation d'une représentation $(\pi ,V)$ d'un groupe G est une représentation $(\rho ,W)$ telle que W est un sous-espace vectoriel de V stable par chaque endomorphisme $\pi (g)$ et $\rho (g)$ est l'endomorphisme induit $\pi (g)_{W}$ pour tout élément g de G.
  
  Une représentation de dimension finie non nulle contient toujours une sous-représentation non nulle qui est irréductible, ce qui se démontre par récurrence sur la dimension. Ce fait est faux en général pour les représentations de dimension infinie.
  
  Par exemple, si $(\pi ,V)$ est une représentation de G, elle admet la sous-représentation triviale (qui peut être de dimension nulle ou pas) :
  
      $V^{G}=\{v\in V\mid \forall g\in G,\ \pi (g)v=v\}.$
  