title: Sous-groupe sous-normal
text: # Sous-groupe sous-normal
  
  En mathématiques, dans le domaine de la théorie des groupes, un sous-groupe H d'un groupe G est un sous-groupe sous-normal de G s'il existe une chaîne finie de sous-groupes du groupe, commençant en H et finissant en G, et dont chaque élément est un sous-groupe normal du suivant.
  
  ## Définition formelle
  
  Formellement, $H$ est $k$-sous-normal dans $G$ s'il existe des sous-groupes
  
      $H=H_{0},H_{1},H_{2},\ldots ,H_{k}=G$
  
  de $G$ tels que $H_{i}$ est normal dans $H_{i+1}$ pour chaque $i$.
  
  Un sous-groupe sous-normal est un sous-groupe qui est $k$-sous-normal pour un entier positif $k$.
  
  ## Historique
  
  Le concept de sous-groupe sous-normal a été introduit sous le nom 'nachinvariante Untergruppe par Helmut Wielandt dans sa thèse d'habilitation en 1939. Wielandt a notamment prouvé que dans un groupe fini, le sous-groupe engendré par deux sous-groupes sous-normaux est lui-même sous-normal, donc que les sous-groupes sous-normaux forment un treillis.
  
  ## Exemple
  
  Le sous-groupe $Z=\{e,((12)(34))\}$ du groupe symétrique $S_{4}$ est un sous-groupe normal du groupe de Klein $V$ qui lui-même est un sous-groupe normal de $S_{4}$. Ainsi, $Z$ est un sous-groupe sous-normal de$S_{4}$, sans être un sous-groupe normal puisque $((12)(34))^{(123)}=(13)(24)$ n'est pas dans $Z$.
  
  ## Propriétés
  
  Quelques exemples et résultats sur les sous-groupes sous-normaux :
  
  * Un sous-groupe 1-sous-normal est un sous-groupe normal propre, et réciproquement.
  * Un groupe de type fini est un nilpotent si et seulement si tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
  * Un sous-groupe quasi-normal (en) et plus généralement un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués d'un groupe fini est sous-normal.
  * Un sous-groupe pronormal (en) qui est aussi sous-normal est un sous-groupe normal. En particulier, un sous-groupe de Sylow est sous-normal si et seulement s'il est normal.
  * Un sous-groupe 2-sous-normal est un sous-groupe qui commute avec tous ses sous-groupes conjugués.
  
  La relation de sous-normalité est transitive : en d'autres termes, un sous-groupe sous-normal d'un sous-groupe sous-normal est sous-normal. La relation de sous-normalité peut donc être définie comme la fermeture transitive de la relation de normalité.
  
  ## Articles liés
  
  * Sous-groupe caractéristique
  * Cœur d'un sous-groupe
  