title: Suite de Riesz
text: # Suite de Riesz
  
  En mathématiques, une suite de vecteurs $(x_n)$ dans un espace de Hilbert $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ est appelée suite de Riesz s'il existe des constantes $0<c\leq C<+\infty$ telles que
  
      $c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$
  
  pour toute suite de scalaires $(a_n)$ dans l'espace $ℓ^2.$
  
  Une suite de Riesz est appelée base de Riesz si
  
      ${\overline {\mathop {\rm {vect}} (x_{n})}}=H$ .
  
  ## Théorèmes
  
  Si H est un espace de dimension finie, alors toute base de H est une base de Riesz.
  
  Soit φ dans l'espace $L^2(R),$ soit
  
      $\phi _{n}(x)=\phi (x-n)$
  
  et soit ${\hat {\varphi }}$ la transformée de Fourier de φ. On définit des constantes c et C telles que $0<c\leq C<+\infty$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:
  
      $1.\quad \forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)$
      $2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C$
  
  La première des conditions ci-dessus est la définition pour que $(φ_n)$ forme une base de Riesz pour le sous-espace qu'elle engendre.
  
  