title: Produit restreint
text: # Produit restreint
  
  En mathématiques, le produit restreint est une construction de la théorie des groupes topologiques.
  
  Soit $I$ un ensemble ; $S$ un sous-ensemble fini de $I$. Si $G_{i}$ est la donnée d'un groupe localement compact pour chaque $i\in I$, et $K_{i}\subset G_{i}$ un sous-groupe compact ouvert pour chaque $i\in I\setminus S$, alors le produit restreint
  
      $\prod _{i}\nolimits 'G_{i}\,$
  
  est le sous-ensemble du produit de $G_{i}$ composé de tous les éléments $(g_{i})_{i\in I}$ tel que $g_{i}\in K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i\in I\setminus S$.
  
  On muni ce groupe de la topologie dont une base d'ensembles ouverts sont de la forme
  
      $\prod _{i}A_{i}\,,$
  
  où $A_{i}$ est ouvert dans $G_{i}$ et $A_{i}=K_{i}$ pour tous sauf un nombre fini $i$.
  
  On peut facilement montrer que le produit restreint est lui-même un groupe localement compact. L'exemple le plus connu de cette construction est celui de l'anneau adélique d'un corps global.
  
  