title: Symbole delta de Kronecker
text: # Symbole delta de Kronecker
  
  En mathématiques, le symbole delta de $Kronecker^,,$ également appelé symbole de $Kronecker^,^,^,$ ou delta de $Kronecker^,^,^,,$ est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.
  
      $\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}$
  
  ou, en notation tensorielle :
  
      $\delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}$
  
  où $δ_i$ et $δ^j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la i-ème (respectivement la j-ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).
  
  Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :
  
      $\delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}$
  
  ## Histoire
  
  L'éponyme du symbole de $Kronecker^,^,$ est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en $1866^,^,.$
  
  ## Exemples
  
  Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :
  
  * en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire :$(\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ;
  * lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications :$\sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.$
  