title: Points cocycliques
text: # Points cocycliques
  
  En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.
  
  Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.
  
  ## Quatre points cocycliques
  
  Propriété — Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Alors $A$, $B$, $C$, $D$ sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés
  
  $\left({\overrightarrow {CA}},{\overrightarrow {CB}}\right)=\left({\overrightarrow {DA}},{\overrightarrow {DB}}\right)\mod \pi .$
  
  La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.
  
  Si $a,b,c,d$ sont les affixes respectives de $A,B,C,D$, la condition précédente s'écrit aussi
  
  $\arg \left({\frac {c-b}{c-a}}\right)=\arg \left({\frac {d-b}{d-a}}\right)\mod \pi$
  
  D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :
  
  $[a,b,c,d]=\left({\frac {c-b}{c-a}}\right):\left({\frac {d-b}{d-a}}\right)$
  
  Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.
  
  Théorème — Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :
  
      $AB\cdot CD\pm AC\cdot DB\pm AD\cdot BC=0$.
  
  L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -.
  
  