title: Équation de Hill
text: # Équation de Hill
  
  L'équation de Hill est une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaisant :
  
      ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(t)x=0$ avec f une fonction périodique.
  
  Cette équation a été introduite par George William Hill en 1886 et revient notamment de manière récurrente en physique.
  
  On peut toujours, à l'aide d'un changement de variable obtenir une équation similaire où f est π-périodique. On peut alors la réécrire sous la forme d'une série de Fourier :
  
      ${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\left(\theta _{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }\theta _{n}\cos(2nt)+\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}\sin(2mt)\right)y=0$
  
  Un cas important de cette classe d'équation est l'équation de Mathieu, où $f(t)=a-2q\cos(2t)$ et l'équation de Meissner avec $f(t)=\alpha ^{2}+\omega ^{2}\operatorname {sgn}(\cos(t))$.
  
  Les solutions de l'équation de Hill sont développées dans la théorie de Floquet.
  
  