title: Équation d'Allen-Cahn
text: # Équation d'Allen-Cahn
  
  L’équation d'Allen-Cahn est l'équation de réaction-diffusion du processus de séparation de phases dans des systèmes d'alliage à composantes multiples avec des transitions ordre-désordre. Son nom fait référence à ses inventeurs, John W. Cahn et son étudiant Sam Allen.
  
  ## Formalisme
  
  C'est l'écoulement par gradient sur $L^2$ de la fonctionnelle d'énergie libre de Ginzburg-Landau. L'équation est étroitement liée à l'équation de Cahn-Hilliard.
  
  L'équation décrit l'évolution temporelle d'une variable d'état scalaire $\eta$ dans un domaine $\Omega$ durant un intervalle de temps ${\mathcal {T}}$, et $s'écrit^,$ :
  
      ${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\ \ {\text{sur}}\ \ \Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\ \ {\text{sur}}\ \ \partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},$
      $\quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\ \ {\text{sur}}\ \ \partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\ \ {\text{sur}}\ \ \Omega \times \{0\},$
  
  où $M_{\eta }$ est la mobilité, $f$ est un double puits de potentiel, ${\bar {\eta }}$ est le contrôle de la variable d'état à la portion de la frontière $\partial _{\eta }\Omega$, $q$ est le contrôle des sources à $\partial _{q}\Omega$, $\eta _{o}$ est la condition initiale, et $m$ est la normale extérieure à $\partial \Omega$.
  
  