title: Pentacontagone
text: # Pentacontagone
  
  Un pentacontagone est un polygone à 50 sommets, donc 50 côtés et 1 175 diagonales.
  
  La somme des angles internes d'un pentacontagone non croisé vaut 8 640 degrés.
  
  ## Pentacontagones réguliers
  
  Un pentacontagone régulier est un pentacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a dix : neuf étoilés (notés {50/k} pour k impair de 3 à 23 sauf 5 et 15) et un convexe (noté {50}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le pentacontagone régulier ».
  
  * Les dix pentacontagones réguliers avec, pour chacun, le symbole de Schläfli et l'angle interne.
  * {50}, 172,8°
  * {50/3}, 158,4°
  * {50/7}, 129,6°
  * {50/9}, 115,2°
  * {50/11}, 100,8°
  * {50/13}, 86,4°
  * {50/17}, 57,6°
  * {50/19}, 28,8°
  * {50/21}, 14,4°
  * {50/23}, 43,2°
  
  ## Caractéristiques du pentacontagone régulier
  
  Chacun des 50 angles au centre mesure ${\frac {360^{\circ }}{50}}=7{,}2^{\circ }$ et chaque angle interne mesure ${\frac {8\,640^{\circ }}{50}}=172{,}8^{\circ }$.
  
  Si a est la longueur d'une arête :
  
  * le périmètre vaut $P=50\,a$ ;
  * l'aire vaut $A={\frac {50}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{50}}\right)$ ;
  * l'apothème vaut $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{50}}\right)$ ;
  * le rayon vaut $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{50}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{50}}\right)}}$.
  