title: Potentiel de Lennard-Jones
text: # Potentiel de Lennard-Jones
  
  Le potentiel de Lennard-Jones, qui est plus précisément une énergie potentielle, décrit l'interaction entre deux atomes au sein d'un gaz monoatomique de type gaz rare. Bien que ne faisant appel qu'à la seule distance entre deux centres il est également utilisé pour l'interaction de molécules. On peut alors l'interpréter comme potentiel moyen. Son expression en fonction de la distance r entre les deux atomes est :
  
      $E_{\mathrm {p} }(r)=4\,E_{0}\,\left[\left({\frac {d}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {d}{r}}\right)^{6}\right]$
  
  Le potentiel s'annule pour r = d et possède un minimum en r/d = $2^{1/6}$ ≈ 1,12246....
  
  Le terme à la puissance 6, terme attractif dominant à grande distance, porte le nom d'interaction de Van der Waals. En revanche, l'exposant 12 du terme répulsif, dominant à courte distance, est empirique : il s'agit là de rendre compte de façon ad hoc de la répulsion de Pauli entre les électrons, qui empêche l'interpénétration mutuelle des nuages électroniques de deux atomes.
  
  Quelques valeurs (k est la constante de Boltzmann) :
  
  | Espèce chimique | d (nm) | $E_0/k$ (K) |
  | - | - | - |
  | Argon | 0,3405 | 119,8 |
  | Krypton | 0,360 | 171 |
  | Néon | 0,278 | 34,9 |
  | Oxygène | 0,346 | 118 |
  | Gaz carbonique | 0,4486 | 189 |
  
  Lorsque l'on ne connaît pas les caractéristiques du potentiel pour une interaction hétérogène entre les atomes i et j, on utilise les lois empiriques suivantes :
  
      $d_{ij}={\frac {d_{ii}+d_{jj}}{2}}$
      ${E_{0}}_{ij}={\sqrt {{E_{0}}_{ii}{E_{0}}_{jj}}}$
  
  Ce potentiel a été très largement utilisé en utilisant la procédure suivante pour les gaz :
  
      Mesure (en général la viscosité) → Calcul des paramètres de la loi → utilisation pour calculer les autres coefficients de transfert (coefficients de diffusion, conductivité).
  
  On utilise plutôt aujourd'hui le potentiel SSH (Schwartz, Slawsky, Herzfeld), plus précis, recalé par tranches par comparaison à des expériences de spectroscopie.
  
  Le problème de Lennard-Jones à N atomes (connu aussi sous le nom de problème LJ cluster dans la littérature anglo-saxonne) consiste à trouver la configuration spatiale d'une molécule à N atomes minimisant l'énergie potentielle totale de la molécule. Cette configuration est en principe celle que prendra physiquement la molécule, puisque la plus stable. Ce problème a des applications pratiques dans de nombreux domaines (chimie, biologie), et se ramène à un problème de minimisation non linéaire à 3N variables. Ces problèmes ont été $traités^,$ jusqu'à N = 1000 en utilisant des algorithmes stochastiques (recuit simulé, algorithmes génétiques), mais la preuve d'optimalité des solutions est extrêmement difficile à établir, le record actuel étant de N = 5.
  
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  ## Référence
  
  * 1 2 (en) Joseph O. Hirschfelder, Charles F. Curtiss et Robert B. Bird, Molecular Theory of Gases and Liquids, John Wiley and Sons, 1966 (ISBN 978-0-471-40065-3)
  * ↑ (en) Karl F. Herzfeld et Theodore A. Litovitz, Absorption and Dispersion of Ultrasonic Waves, Academic Press, 1959
  * ↑ Lennard-Jones Clusters
  * ↑ A List of the Global Minimal Energies and Coordinates of the LJ Clusters
  * ↑ La première preuve d'optimalité pour le cluster de Lennard-Jones à cinq atomes, Charlie Vanaret, Jean-Baptiste Gotteland, Nicolas Durand, Jean-Marc Alliot, onzièmes Journées Francophones de Programmation par Contraintes (JFPC 2015), juin 2015, Bordeaux
  