title: Paire de Ruth-Aaron
text: # Paire de Ruth-Aaron
  
  En mathématiques récréatives, une paire de Ruth-Aaron est constituée de deux entiers naturels consécutifs (par exemple 714 et 715) pour lesquels les sommes des facteurs premiers de chaque entier sont égales.
  
      714 = 2 × 3 × 7 × 17
      715 = 5 × 11 × 13
      et 2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29
  
  Si l'on ne compte que les facteurs premiers distincts, les premières paires de Ruth-Aaron sont :
  
  (5, 6), (24, 25), (49, 50), (77, 78), (104, 105), (153, 154), (369, 370), (492, 493), (714, 715), (1682, 1683), (2107, 2108).
  
  (Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la suite A006145 de l'OEIS.)
  
  En comptant les facteurs premiers répétés (par exemple 8 = 2 × 2 × 2 et 9 = 3 × 3 avec 2 + 2 + 2 = 3 + 3), les premières paires de Ruth-Aaron sont :
  
  (5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331).
  
  (Le plus petit des deux nombres de chaque paire est listé dans la  A039752.)
  
  Ces nombres ont été nommés par Carl Pomerance en l'honneur des joueurs de baseball Babe Ruth et Hank Aaron, parce que le nombre total de coups de circuit de la carrière en saison régulière de Babe Ruth était égal à 714, un record que Aaron éclipsa le 8 avril 1974, lorsqu'il frappa le 715e coup de circuit de sa carrière. Pomerance était alors mathématicien à l'université de Géorgie. Un étudiant d'un collègue de Pomerance remarqua que les sommes des facteurs premiers de 714 et de 715 étaient égales.
  
  ## Triplets de Ruth-Aaron
  
  Les triplets de Ruth-Aaron (recouvrant les paires de Ruth-Aaron) existent aussi :
  
  * lorsque l'on ne compte que les facteurs premiers distincts :
  
      89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419
      89460295 = 5 × 4201 × 4259
      89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389
      et 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465
      151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411
      151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089
      151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021
      et 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589
  
  (le plus petit nombre de chaque paire est listé dans la suite A227654 de l'OEIS) ;
  
  * en comptant les facteurs premiers répétés :
  
      417162 = 2 × 3 × 251 × 277
      417163 = 17 × 53 × 463
      417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499
      et 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533
      6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197
      6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881
      6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707
      et 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428
  
  (ce sont les deux seuls triplets inférieurs à $10^{13}).$
  
  