title: Loi de Lambert
text: # Loi de Lambert
  
  La loi de Lambert indique que, pour une source lumineuse orthotrope, l'exitance est proportionnelle à la luminance et le coefficient de proportionnalité est $\pi$$^,.$ Autrement dit, si $M$ désigne l'exitance et $L$ la luminance, pour une source lumineuse orthotrope, on a :
  
  $M=\pi \cdot L$
  
  Certains auteurs appellent loi de Lambert, ou loi en cosinus de Lambert, la relation qui exprime l'intensité lumineuse $I$ d'une source orthotrope en fonction de l'intensité lumineuse dans l'axe normal à la surface $I(0)$ et de l'angle $\theta$ par rapport à cette normale :
  
  $I(\theta )=I(0)\,\cos \theta$
  
  ## Démonstration
  
  On utilise les coordonnées sphériques, angles de colatitude (ou zénithal) $\theta$ et d'azimut (ou longitude) $\phi$.
  
  L'exitance est définie comme l'intégrale de la luminance sur le demi-espace (2π stéradians) :
  
         $M=\int _{2\pi }L\cos \theta \,\mathrm {d} \Omega$,
  
  avec
  
         $d\Omega ={\frac {\mathrm {d} S}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi$.
  
  $L$ étant identique dans toutes les directions, on peut écrire :
  
         $M=L\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =2\pi L\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta$.
  
  On effectue le changement de variable $\mu =\sin \theta$ et on obtient
  
         $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \,\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{1}\mu \,\mathrm {d} \mu ={\frac {1}{2}}$,
  
  d'où l'on déduit la loi de Lambert.
  
  