title: Pendule adiabatique
text: # Pendule adiabatique
  
  Un pendule adiabatique est un pendule dont la trajectoire est décrite par l'équation différentielle :
  
  ${\ddot {x}}+\omega ^{2}(t)\cdot {x}=0$
  
  ## Adiabatisme
  
  Lorsque la pulsation $\omega$ varie lentement, on envisage une adiabatisme mécanique. L'analyse WKB (Gregor Wentzel - Hendrik Anthony Kramers - Léon Brillouin) montre bien qu'il existe un invariant adiabatique :
  
  $E(t)=\hbar \cdot {\omega (t)}$
  
  c’est-à-dire $l(t)^{3}\theta (t)^{4}={\text{cste}}$
  
  ## Haute fréquence
  
  L'analyse WKB convient particulièrement quand la pulsation devient très élevée (c-à-d quand $l(t)$ tend vers zéro ou $g(t)$ tend vers l'infini, dans l'analyse pendulaire).
  
  Alors la solution approchée est :
  
  $x(t)\simeq A{\sqrt[{4}]{l(t)}}\cdot \exp(\imath S(t))+B{\sqrt[{4}]{l(t)}}\cdot \exp(-\imath S(t))$
  
  où $S(t)$ est la phase approchée, c’est-à-dire l'eikonale, primitive de la pulsation. Et les coefficients $A$ et $B$ sont ajustés au mieux avec les conditions initiales.
  
  