title: Équation polaire
text: # Équation polaire
  
  Le plan est muni d'un repère orthonormal $(\mathrm {O} ,{\vec {i}},{\vec {j}})$. Si $f$ est une fonction numérique, on peut considérer l'ensemble des points M dont un système de coordonnées polaires $(\rho ,\theta )$ vérifient l'équation :
  
         $\rho =f(\theta )$.
  
  On dit que la courbe plane en question a pour équation polaire :
  
         $\rho =f(\theta )$.
  
  Si $\rho =0$, on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle $({\vec {i}},{\vec {OM}})$.
  
  Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle $\left[\theta _{1},\theta _{2}\right]$ est inclus dans le domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle $\theta _{1}$ à l'angle $\theta _{2}$.
  
  ## Base mobile
  
  On introduit pour chaque valeur de θ une base orthonormale directe $\left({\vec {u}}(\theta ),{\vec {v}}(\theta )\right)$, obtenue par rotation de θ à partir de la base $\left({\vec {i}},{\vec {j}}\right)$. Ainsi
  
      ${\vec {u}}(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\qquad {\vec {v}}(\theta )={\begin{pmatrix}-\sin \theta \\\cos \theta \end{pmatrix}}={\vec {u}}(\theta +{\frac {\pi }{2}})$.
  
  On s'efforcera d'exprimer toutes les notions géométriques à l'aide de cette base. Cependant comme ces deux vecteurs dépendent de θ, il ne faut pas oublier de les dériver eux aussi.
  
      ${\frac {\mathrm {d} {\vec {u}}}{\mathrm {d} \theta }}={\vec {v}}\qquad {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} \theta }}=-{\vec {u}}$.
  
  Remarque : dériver ces vecteurs revient à leur faire subir une rotation de π/2.
  
  ### Vecteur position
  
  Par définition même des coordonnées polaires, ${\vec {u}}$ est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que ${\vec {OM}}$ et ainsi
  
      ${\vec {OM}}=f(\theta ){\vec {u}}$.
  
  Couplée avec les formules de dérivation des vecteurs u et v ci-dessus, cette formule permet de calculer tous les objets de géométrie différentielle usuels.
  
  ### Tangente à la courbe
  
  Si la fonction $f$ est dérivable alors
  
      ${\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}=f'(\theta ){\vec {u}}(\theta )+f(\theta ){\vec {v}}(\theta )$.
  
  Si ce vecteur est non nul, il est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à $\theta$. Alors pour tout point M distinct de l'origine, l'angle $V$ entre le vecteur ${\vec {OM}}$ et le vecteur tangent ${\frac {\mathrm {d} {\vec {OM}}}{\mathrm {d} \theta }}$ vérifie donc :
  
      $\tan V={\frac {f(\theta )}{f'(\theta )}}$ si $f'(\theta )\neq 0$,
      $V=\pm {\frac {\pi }{2}}$ si $f'(\theta )=0$.
  
  ### Abscisse curviligne
  
  Si l'origine est prise en $\theta _{0}$ alors l'abscisse curviligne, c’est-à-dire la longueur algébrique de la courbe entre le point $M(\theta _{0})$ et $M(\theta _{1})$, est :
  
      $\int _{\theta _{0}}^{\theta _{1}}{\sqrt {f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )}}\,\mathrm {d} \theta$.
  
  ### Rayon de courbure
  
  Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.
  
  Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, et si $2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )$ est non nul, le rayon de courbure est :
  
      ${\frac {(f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta ))^{3/2}}{2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )}}$.
  
  ### Point d'inflexion
  
  Si la fonction $f$ est deux fois dérivable, les points d'inflexion se trouvent parmi les points qui annulent la quantité $2f'^{2}(\theta )+f^{2}(\theta )-f(\theta )f''(\theta )$. L'annulation de cette grandeur exprime en effet que les deux premières dérivées vectorielles du rayon-vecteur sont colinéaires.
  
  ## Branches infinies
  
  Pour étudier une branche infinie quand $\theta \to \theta _{0}$, on utilise les coordonnées cartésiennes dans la base $\left({\vec {u}}(\theta _{0}),{\vec {v}}(\theta _{0})\right)$.
  
  ## Équations polaires paramétriques
  
  Si la courbe est donnée par une équation polaire paramétrique r(t), θ(t), les vecteurs vitesse et accélération peuvent être calculés dans la base mobile ; on note par un point la dérivation par rapport au paramètre t :
  
      ${\vec {V}}={\dot {r}}{\vec {u}}+r{\dot {\theta }}{\vec {v}}$ ;
      ${\vec {A}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\vec {u}}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\vec {v}}$.
  
  ## Référence
  
  * ↑ Jean-Pierre Escofier, Toute l'analyse de la licence, Dunod, 2020 (lire en ligne), p. 447.
  