title: Opérateur différentiel
text: # Opérateur différentiel
  
  En mathématiques, et plus précisément en analyse, un opérateur différentiel est un opérateur agissant sur des fonctions différentiables.
  
  * Lorsque la fonction est à une seule variable, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées ordinaires.
  * Lorsque la fonction est à plusieurs variables, l'opérateur différentiel est construit à partir des dérivées partielles.
  
  Un opérateur différentiel agissant sur deux fonctions $D(f,g)$ est appelé opérateur bidifférentiel.
  
  ## Exemples
  
  L'opération différentielle la plus commune consiste simplement à prendre la dérivée de la grandeur considérée. Les notations usuelles pour désigner la dérivée première par rapport à une variable x sont par exemple :
  
      ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ou $\partial _{x}$, ou encore $D$ ou $D_{x}$.
  
  La notation en D est attribuée à Oliver Heaviside, qui l'a introduite dans son étude des équations différentielles pour noter des opérateurs différentiels de la forme :
  
      $\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$
  
  Pour des dérivées d'ordre n supérieur, ces mêmes opérateurs peuvent s'écrire :
  
      ${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}$, $\partial _{x^{n}}^{n}$ ou encore $D_{x}^{n}$
  
  La notation en "prime" s'utilise plutôt pour exprimer la valeur que prend une fonction dérivée f pour un argument x :
  
      $f'(x)\,\!$, ou : $[f(x)]'\,\!$
  
  Deux opérateurs différentiels particulièrement fréquents sont l'opérateur nabla, défini dans une base cartésienne $(\mathbf {i} _{1},...,\mathbf {i} _{n})$, par :
  
      $\nabla =\sum _{k=1}^{n}{\partial \over \partial x_{k}}\mathbf {i} _{k},$
  
  ainsi que l'opérateur laplacien, défini par :
  
      $\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$
  
  Un autre opérateur utilisé en physique est l'opérateur Θ, dont les vecteurs propres sont les monômes homogènes, défini par
  
      $\Theta =z{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}$ ou, dans le cas de plusieurs variables, $\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.$
  
  ## Notations
  
  Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb {R} ^{n}$, et $x$ un point de $\Omega$. On introduit les $n$ coordonnées $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$. Supposons que l'on ait une fonction des $n$ variables $x_{k}$.
  
  ### Dérivées du premier ordre
  
  Pour simplifier les écritures, on note usuellement la dérivée partielle première par rapport à la coordonnée $x_{k}$ par le symbole :
  
      $\partial _{k}\ =\ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$
  
  On est également amené à introduire l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}$ du premier ordre défini par :
  
      $\mathrm {D} _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ =\ -\ \mathrm {i} \ {\frac {\partial ~~}{\partial x_{k}}}$
  
  Dans cette définition, $\mathrm {i}$ est la « racine de l'unité » complexe : $\mathrm {i} ^{2}=-1$. L'intérêt de définir cet opérateur $\mathrm {D} _{k}$ apparaîtra plus tard, en relation avec la transformée de Fourier.
  
  On utilise les notations sous forme de multi-indices : un multi-indice $\alpha$ est un $n$-uplet d'entiers
  
      $\alpha \ =\ \left(\alpha _{1},\ \dots ,\ \alpha _{n}\right)\ ;\quad \ \alpha _{k}\,\in \,\mathbb {N}$
  
  Sa longueur $|\alpha |$ est définie comme la somme des $\alpha _{i}$ et on définit enfin la multi-factorielle :
  
      $\alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!$
  
  ### Dérivées d'ordres plus élevés
  
  * La dérivée partielle d'ordre $\alpha _{k}$ par rapport à la coordonnée $x_{k}$ correspond au symbole :
  
      $\partial _{k}^{\alpha _{k}}$
  * On définit alors les dérivées partielles, d'ordre global $|\alpha |$ :
  
      $\partial ^{\alpha }\ =\ \partial _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \partial _{n}^{\alpha _{n}}$
  * Et les opérateurs différentiels $\mathrm {D} ^{\alpha }$, d'ordre global $|\alpha |$ :
  
      $\mathrm {D} ^{\alpha }\ =\ \mathrm {D} _{1}^{\alpha _{1}}\ \dots \ \mathrm {D} _{n}^{\alpha _{n}}$
  
  ## Définition d'un opérateur différentiel
  
  ### Définition
  
  Un opérateur différentiel linéaire d'ordre $m$ est défini par :
  
  ${\mathfrak {D}}\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \mathrm {D} ^{\alpha }$
  
  où les $a_{\alpha }(x)$ sont des fonctions de $n$ variables, appelées coefficients de l'opérateur ${\mathfrak {D}}$.
  
  ### Propriété de localité
  
  Un opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est local au sens où, pour déterminer ses effets ${\mathfrak {D}}\,f(x)$ sur une fonction $f(x)$ suffisamment différentiable, seule la connaissance de la fonction dans le voisinage du point $x$ est nécessaire.
  
  ## Transformée de Fourier
  
  ### Introduction de la transformée de Fourier
  
  On définit ici la transformée de Fourier de la fonction $f(x)$ de $n$ variables $x_{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$ par :
  
  ${\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} x\ \mathrm {e} ^{-\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ f(x)$
  
  Dans cette définition :
  
  * on note $\xi$ le $n$-uplet constitué des variables : $\xi _{k}{\mbox{ }}(k=1,...,n)$.
  * la mesure est : $\mathrm {d} x=\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} x_{k}$.
  * le facteur $\langle \xi \,,\,x\rangle$ dans l'exponentielle oscillante désigne le produit scalaire :$\langle \xi \,,\,x\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}\,\xi _{k}$.
  
  La formule de transformation inverse s'écrit alors :
  
  $f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  où la mesure est : $\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ =\ {\frac {\mathrm {d} \xi }{(2\pi )^{n}}}\quad$ avec $\mathrm {d} \xi =\prod _{k=1}^{n}\mathrm {d} \xi _{k}$.
  
  ### Application aux opérateurs différentiels
  
  On applique l'opérateur différentiel $\mathrm {D} _{k}=-\,\mathrm {i} \,\partial _{k}$ à la représentation de Fourier de la fonction $f$. En supposant qu'on puisse intervertir la dérivation et l'intégration, on obtient :
  
      $\mathrm {D} _{k}\,f(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \left(\ -\ \mathrm {i} \ \partial _{k}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  qu'on peut écrire : $({\widehat {\mathrm {D} _{k}\,f}})(\xi )=\xi _{k}\ {\hat {f}}(\xi )$. On en déduit que :
  
      $({\widehat {\mathrm {D} ^{\alpha }\,f}})(\xi )\ =\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  où : $\xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\ \times \ \dots \ \times \ \xi _{n}^{\alpha _{n}}$. L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ vérifie donc la relation :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  On peut intervertir la somme et l'intégrale pour écrire :
  
  $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }\ \right)\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  ### Symbole d'un opérateur différentiel
  
  On appelle symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction $\sigma (x,\xi )$ des $2n$ variables $(x,\xi )$ polynomiale en $\xi$ de degré $m$ :
  
  $\sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$
  
  de telle sorte que :
  
  $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  On constate que cette formule pourrait en fait permettre de définir l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ à partir de son symbole $\sigma$. Cette idée sera mise à profit dans la théorie des opérateurs pseudo-différentiels.
  
  Attention : pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et l'expression $\sigma (x,\xi )\,{\hat {f}}(\xi )$ n'est pas la transformée de Fourier de $({\mathfrak {D}}\,f)(x)$, c’est-à-dire que :
  
      $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  La formule correcte de la transformée de Fourier est calculée dans le paragraphe « Cas général ».
  
  ### Symbole principal d'un opérateur différentiel
  
  On appelle symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ la fonction :
  
      $\sigma _{m}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }(x)\ \xi ^{\alpha }$
  
  ## Classification des opérateurs différentiels
  
  ### Opérateur elliptique
  
  L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si :
  
  $\forall \ \xi \ \in \ \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}\ ,\quad \sigma _{m}(x,\xi )\ \neq \ 0$
  
  ${\mathfrak {D}}$ est dit elliptique dans $\Omega$ s'il est elliptique pour tout point $x\ \in \ \Omega$.
  
  ### Opérateur hyperbolique
  
  L'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ est dit hyperbolique dans la direction $\eta$ au point $x\ \in \ \Omega$ si et seulement si : $\sigma _{m}(x,\eta )\neq 0$ et si, pour tout $\xi$ non colinéaire à $\eta$, les racines $\lambda _{i}$ de l'équation :
  
  $\sigma _{m}(x,\ \xi \ +\ \lambda \,\eta )\ =\ 0$
  
  sont toutes réelles. Si, de plus, les $m$ racines réelles sont toutes distinctes, l'opérateur ${\mathfrak {D}}$ est dit strictement hyperbolique dans la direction $\eta$.
  
  ${\mathfrak {D}}$ est dit (strictement) hyperbolique dans la direction $\eta$ dans $\Omega$ s'il est strictement hyperbolique dans la direction $\eta$ pour tout point $x\ \in \ \Omega$.
  
  ## Exemples importants pour la physique théorique
  
  La physique théorique fait un usage abondant de trois opérateurs d'ordre 2 :
  
  ### Opérateur laplacien
  
  L'opérateur laplacien est un opérateur elliptique, qui s'écrit :
  
  * en coordonnées cartésiennes dans $\mathbb {R} ^{n}$ :
  
      $\Delta \ =\ \sum _{k=1}^{n}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x_{k}^{2}}}$
  * soit en coordonnées cartésiennes tridimensionnelles :
  
      $\Delta \ =\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial z^{2}}}$
  
  Cet opérateur est notamment utilisé en mécanique newtonienne, en électromagnétisme, et en mécanique quantique non relativiste.
  
  ### Opérateur d'alembertien
  
  L'opérateur d'alembertien est un opérateur hyperbolique, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :
  
      $\Box \ =\ {\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}~~}{\partial t^{2}}}\ -\ \Delta$
  
  où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et $c$ une constante positive, homogène à une vitesse. Cet opérateur est utilisé pour décrire la propagation des ondes à la vitesse $c$ dans l'espace-temps. Il est notamment utilisé en acoustique, en électromagnétisme, et en théorie quantique des champs.
  
  ### Opérateur de la chaleur
  
  L'opérateur de la chaleur, qui s'écrit en coordonnées cartésiennes $(x,t)$ dans $\mathbb {R} ^{n+1}$ :
  
      ${\frac {\partial ~}{\partial t}}\ -\ {\tilde {D}}\ \Delta$
  
  où $\Delta$ est le laplacien à $n$ variables d'espace, $t$ est le temps, et ${\tilde {D}}$ est ici une constante, appelée coefficient de diffusion. Cet opérateur est dit parabolique.
  
  ## Opérateur différentiel à coefficients constants
  
  Si les coefficients $a_{\alpha }$ sont indépendants des $n$ variables d'espace $x^{k}$, le symbole de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ est seulement une fonction $\sigma (\xi )$ des $n$ variables $\xi$ polynomiale en $\xi$ :
  
  $\sigma (\xi )=\sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$
  
  de telle sorte que :
  
      $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sigma (\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  Le symbole principal de l'opérateur différentiel ${\mathfrak {D}}$ d'ordre $m$ à coefficients constants est la fonction des $n$ variables $\xi$ :
  
      $\sigma _{m}(\xi )=\sum _{|\alpha |=m}\ a_{\alpha }\ \xi ^{\alpha }$
  
  ## Cas général
  
  On a vu que plus haut :
  
  $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  Pour un opérateur différentiel dont les coefficients $a_{\alpha }(x)$ ne sont pas constants, le symbole $\sigma (x,\xi )$ dépend des coordonnées d'espace $x$, et on a :
  
      $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ \neq \ \sigma (x,\xi )\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  ### Expression de la transformée de Fourier
  
  Partons de la relation générale :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ a_{\alpha }(x)\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  Si l'on introduit la transformée de Fourier des coefficients :
  
      $a_{\alpha }(x)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )$
  
  on obtient :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\eta \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \times \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  soit :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\eta }}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ {\hat {a}}_{\alpha }(\eta )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  A $\xi$ fixé, on fait le changement de variable : $\eta \to t=\xi +\eta$, ce qui donne :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  On reconnait le produit de convolution :
  
      $\left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)\ =\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {\xi }}\ {\hat {a}}_{\alpha }(t-\xi )\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}(\xi )$
  
  d'où :
  
      $({\mathfrak {D}}\,f)(x)\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \int _{\mathbb {R} ^{n}}\mathrm {d} {\tilde {t}}\ \mathrm {e} ^{+\,\mathrm {i} \,\langle \,\xi \,,\,x\,\rangle }\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(t)$
  
  qu'on peut réécrire :
  
  $({\widehat {{\mathfrak {D}}\,f}})(\xi )\ =\ \sum _{|\alpha |=0}^{m}\ \left(\,{\hat {a}}_{\alpha }\ *\ \xi ^{\alpha }\ {\hat {f}}\,\right)(\xi )$
  
  