title: Équation de Sackur-Tetrode
text: # Équation de Sackur-Tetrode
  
  L'équation de Sackur-Tetrode, établie en 1912 par les physiciens Otto Sackur et Hugo Tetrode, donne l'entropie d'un gaz parfait monoatomique, non-dégénéré, non-relativiste.
  
  Soit $\Lambda$ la longueur d'onde thermique de de Broglie : $\Lambda ={\frac {h}{\sqrt {2\pi mkT}}}$, et $\Lambda ^{3}=V_{0}$ le volume correspondant. Alors, l'entropie S = S(U,V,N) du gaz vaut :
  
      ${\frac {S}{kN}}=\ln \left[{\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right]+{\frac {5}{2}}$
  
  soit en développant :
  
      $S=kN\ln \left[\left({\frac {V}{N}}\right)\left({\frac {U}{N}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {3}{2}}kN\left({\frac {5}{3}}+\ln {\frac {4\pi m}{3h^{2}}}\right)$.
  
  On préfère parfois retenir plutôt l'enthalpie libre G = U+NkT -TS = -NkT. Ln P/P(T) avec P(T) = kT/ Vo en chimie :
  
  G =-RT.LnP +cste(T) est le leitmotiv de la loi d'action des masses :
  
  on obtient ainsi les ordres de grandeur des Kp(T) de réactions.
  
  ## Gaz rares
  
  En chimie, on donne l'entropie dans les conditions standard ( 25 °C, P= 1 × $10^5$ Pa). Le calcul pour m = 40 u donne 154,8 J/K/mol
  
  Quelques données CODATA sont :
  
  * Hélium : M = 4.002602 S° = 126.153(2) ;
  * Néon : M = 20.1797 S° = 146.328(3) ;
  * Argon : M = 39.948 S° = 154.846(3) ;
  * Krypton : M = 83.80 S° = 164.085(3) ;
  * Xenon : M = 131.29 S° = 169.685(3) ;
  * Radon : M = 222 S° = 176.23.
  
  On pourra vérifier que les données s'accordent pour donner
  
  S° = S°(M=1) +3/2 R.Ln M avec une assez bonne corrélation à condition de modifier légèrement pour l'hélium la correction de de Boer ; S°(M=1) est même négative, ce qui laisse parfois perplexes certains, inattentifs à la condition de non-dégénerescence.
  
  En comptant en bit/molécule, on retient que pour l'Argon, S° =~ 27 bits/molécule pour M=40 : évidemment il faut S° assez grand, sinon la dégénérescence quantique doit être évaluée.
  
  