title: Longueur de Monin-Obukhov
text: # Longueur de Monin-Obukhov
  
  La longueur d'Obukhov (L) est un paramètre utilisé en micrométéorologie, en météorologie de la convection et en dispersion atmosphérique ayant la dimension d'une longueur. Elle décrit les effets de la flottabilité (somme vectorielle de la Poussée d'Archimède et du poids de l'air) sur les flux turbulents, principalement dans la partie inférieure de la couche limite atmosphérique. Elle a été introduite pour la première fois par Alexandre Oboukhov en 1946. Elle est aussi connue comme longueur de Monin Obukhov, vu son importance dans la théorie de la similarité développée par Monin et Obukhov.
  
  ## Formulation
  
  Soit q le flux de chaleur sensible (exprimé en K m /s) défini par :
  
  $q={H \over C_{p}\rho }$
  
  où $C_{p}$ la capacité thermique massique, H est le flux d'énergie reçue par le sol (en W/m²) et $\rho$ est la masse volumique de l'air.
  
  La longueur d'Obukhov dépend de la turbulence et du flux de chaleur sensible H selon :
  
      $L=-{{u_{\ast }^{3}{\overline {{\theta }_{v}}}} \over {kgq}}$
  
  On obtient donc :
  
  $L=-{\frac {u_{\ast }^{3}\ {\overline {{\theta }_{v}}}}{kg\ \left({\frac {H}{\rho C_{p}}}\right)}}$
  
  où $u_{\ast }$ est la vitesse de frottement, ${\bar {\theta }}_{v}$ est la température potentielle virtuelle moyenne, $\rho$ est la masse volumique de l'air, $C_{p}$ sa capacité thermique massique, g l'accélération de la pesanteur et k est la constante de von Kármán.
  
  Soit $Z_{m}$ l'épaisseur de la couche limite. On rappelle que la vitesse convective $w_{\ast }$ est définie par :
  
  $w_{\ast }=\left({\frac {qZ_{m}g}{\theta _{v}}}\right)^{\frac {1}{3}}$
  
  On obtient donc :
  
  $q={\frac {\overline {{\theta }_{v}}}{Z_{m}g}}w_{\ast }^{3}$
  
  En remplaçant q dans l'expression de L, l'on obtient simplement :
  
  $L=-{Z_{m}u_{\ast }^{3} \over w_{\ast }^{3}}$
  
  On utilise couramment le paramètre de stabilité, $\zeta$ défini comme z/L, où z est la hauteur de mesure :
  
  $\zeta ={\frac {z}{L}}=-{\frac {kgz\ {\left({\frac {H}{\rho C_{p}}}\right)}}{u_{\ast }^{3}\ {\overline {{\theta }_{v}}}}}$
  
  ## Rues de nuages
  
  Pour déterminer si une rue de nuages va se former ou non, on doit évaluer $Z_{m}/L$ et on doit donc évaluer $\left({w_{\ast } \over u_{\ast }}\right)^{3}$.
  
  ## Interprétation
  
  Une interprétation physique de L est donnée par la théorie de la similitude de Monin-Obukhov : en conditions instables, -L est l'altitude à laquelle la production d'énergie cinétique turbulente par flottabilité égale celle par cisaillement du vent.
  
  Le paramètre de stabilité est utilisé comme échelle pour caractériser le degré d'instabilité ou de stabilité de la couche limite. $\zeta$ est nul en conditions neutres, négatif en conditions instables (typiquement pendant la journée) et positif en conditions stables (typiquement pendant la nuit). $\zeta$ est d'autant plus grand (en valeur absolue) que la stabilité ou l'instabilité sont importantes.
  
  