title: Théorème de Kronecker-Weber
text: # Théorème de Kronecker-Weber
  
  Le théorème de Kronecker-Weber établit en théorie algébrique des nombres le résultat suivant : toute extension abélienne finie du corps ℚ des rationnels, c'est-à-dire tout corps de nombres dont le groupe de Galois sur ℚ est abélien, est un sous-corps d'une extension cyclotomique, i.e. d'un corps obtenu en adjoignant une racine de l'unité aux nombres rationnels.
  
  Ce théorème a été énoncé par Kronecker en 1853. Sa proposition de preuve était incomplète. Weber en 1886 proposa une nouvelle preuve, qui présentait encore une lacune. Hilbert le montra en 1896 en utilisant des méthodes différentes de celles de ses prédécesseurs, et posa le problème de sa généralisation (voir l'article Kronecker Jugendtraum, qui concerne le douzième problème de Hilbert). Le théorème est aujourd'hui habituellement démontré comme une conséquence de la théorie des corps de classes. Cependant, il peut aussi être déduit de l'assertion analogue sur les corps de nombres p-adiques : si p est un nombre premier, et $K/ℚ_p$ est une extension abélienne finie, alors K est inclus dans une extension cyclotomique de $ℚ_p.$
  
  Pour déduire le théorème global du théorème local, on considère pour chaque nombre premier p ramifié dans l'extension K/ℚ, un entier $n_p$ tel que K soit inclus dans $ℚ_p(ζ_{np}),$ où $ζ_{np}$ est une racine primitive $n_p-ième$ de l'unité. Considérant alors, $p^{(ep)}$ la plus grande puissance de p divisant $n_p,$ on montre alors que K est inclus dans $ℚ(ζ_n),$ pour n le produit des $p^{(ep)},$ et $ζ_n$ une racine primitive n-ième de l'unité. En effet, l'extension $K(ζ_n)/ℚ$ n'est ramifiée qu'en les nombres premiers ramifiés dans K, et n'admet aucune sous-extension partout non ramifiée (ce résultat est classiquement démontré comme conséquence d'une estimation du discriminant par le théorème de Minkowski en géométrie des nombres), donc son groupe de Galois est engendré par ses sous-groupes d'inertie en les nombres premiers p. Le cardinal de ce groupe est donc majoré par le produit des cardinaux des groupes d'inertie locaux correspondants, qu'on trouve être égal au degré de l'extension $ℚ(ζ_n)/ℚ,$ ce qui conclut la démonstration.
  
  La démonstration du cas local du théorème demande de bien connaître les propriétés de ramification des extensions cyclotomiques locales, puis de se ramener au cas d'extensions cycliques d'ordre une puissance d'un nombre premier q, et de discuter suivant que q = p ou non, le cas p = 2 devant être traité encore à part.
  
  Pour une extension abélienne donnée K de ℚ, il existe en fait un corps cyclotomique minimal qui la contient. Le théorème permet de définir le conducteur de K, comme le plus petit entier naturel n tel que K soit inclus dans le corps engendré par les racines n-ièmes de l'unité. Par exemple, les corps quadratiques ont comme conducteur la valeur absolue de leurs discriminants, un fait généralisé en théorie des corps de classes.
  
  