title: Théorème de Leibniz
text: # Théorème de Leibniz
  
  Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :
  
     Soient dans le plan euclidien deux points A et B. On considère le lieu des points M tels que a $AM^2$ + b $BM^2$ = cste. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b). Alors le lieu, s'il est non vide, est un cercle de centre G.
  
  ## Démonstration
  
  On développe l'équation en introduisant G.
  
      $aAM^{2}+bBM^{2}=a(AG+GM)^{2}+b(BG+GM)^{2}=(aAG^{2}+bBG^{2})+2(aAG+bBG)\cdot GM+(a+b)GM^{2}=(aAG^{2}+bBG^{2})+(a+b)GM^{2}$
  
  L'égalité se réduit donc à $(a+b)GM^2$ = cste, qui doit être positive.
  
  Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
  
  Le théorème se généralise aisément à un n-uplet de points.
  
  ## Rapport avec l'analysis situs
  
  Leibniz, dans sa Caractéristique géométrique, représente l'écriture du cercle de la manière suivante : ABC γ ABY qui peut se lire « ABC pareil que ABY ». Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B ? On peut traduire encore de cette manière : AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B — distances égales).
  
  