title: Théorème de Frisch-Waugh
text: # Théorème de Frisch-Waugh
  
  Le théorème de Frisch-Waugh ou théorème de Frisch-Waugh-Lovell est un théorème en économétrie nommé en référence à Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh et Michael C. Lovell.
  
  ## Formalisation
  
  Soit le modèle de régression linéaire suivant :
  
  $Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!$
  
  avec $X_{1}$ et $X_{2}$ deux matrices de taille $n\times k_{1}$ et $n\times k_{2}$.
  
  D'après le théorème de Frisch-Waugh, l'estimation du vecteur de coefficients $\beta _{2}$ sera la même que dans le modèle linéaire suivant :
  
  $M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,$
  
  avec $M_{X_{1}}$ la matrice de projection orthogonale sur le complément orthogonal de l'espace vectoriel engendré par les colonnes de $X_{1}$ :
  
  $M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'.\!$
  
  