title: Variété cotangente
text: # Variété cotangente
  
  En topologie différentielle, une variété cotangente est l'espace total du fibré cotangent d'une variété différentielle M. Le fibré cotangent $T^{*}M\rightarrow M$ est le fibré dual du fibré tangent de M. Ses sections sont les 1-formes différentielles de M.
  
  ## Variétés cotangentes et géométrie riemannienne
  
  Une métrique riemannienne g sur la variété différentielle M définit un isomorphisme de fibrés vectoriels $g:TM\rightarrow T^{*}M$. Il existe une unique métrique riemannienne, abusivement notée g, sur le fibré cotangent $T^{*}M\rightarrow M$ telle que :
  
      $g(gv,gw)=g(v,w)$
  
  De même, l'isomorphisme g permet de transporter la connexion de Levi-Civita en une connexion de Koszul sur $T^{*}M\rightarrow M$.
  
  Le fibré vertical est le sous-fibré vectoriel ${\mathcal {V}}$ de $TT^{*}M$ défini par :
  
      ${\mathcal {V}}=kerd\pi$
  
  Le fibré horizontal est le sous-fibré vectoriel ${\mathcal {H}}$ correspondant à l'espace des variations premières du transport parallèle.
  
      ${\mathcal {H}}_{v}={{\dot {y}}(0),y:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow T^{*}M,y(0)=v,\nabla _{t}y=0}$
  
  Dans les notations ci-dessus, l'application $y:(-\epsilon ,\epsilon )\rightarrow T^{*}M$ est regardée comme un champ de covecteurs le long de l'arc $x=\pi \circ y$. Les fibrés horizontal et vertical permettent une description agréable du fibré tangent de la variété cotangente $T^{*}M$ :
  
      $TT^{*}M={\mathcal {H}}\oplus {\mathcal {V}}\simeq \pi ^{*}TM\oplus \pi ^{*}T^{*}M$
  
  Les fibrés vectoriels $\pi ^{*}TM$ et $\pi ^{*}T^{*}M$ sont naturellement munis de métriques riemanniennes, abusivement notées g. Leur somme orthogonale définit une métrique riemannienne sur la variété cotangente $T^{*}M$, appelée métrique de Sasaki :
  
      $g(v\oplus v^{*},w\oplus w^{*})=g(v,v^{*})+g(w,w^{*})$
  
  ## Variétés cotangentes et géométrie symplectique
  
  Elle porte une structure symplectique naturelle, la forme de Liouville.
  
  ## Variétés cotangentes et physique
  
  Elle constitue l'espace des phases d'un grand nombre de systèmes dynamiques physiques comme la toupie.
  
  