title: Variété (algèbre)
text: # Variété (algèbre)
  
  En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe).
  
  ## Exemple
  
  Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées :
  
      (x * y) * z = x * (y * z)
      x * e = x
      e * x = x
  
  De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde. Ainsi, la classe des monoïdes est une variété, puisqu'elle est définie par ces trois équations.
  
  ## Théorème HSP
  
  D'après la définition, toute variété K vérifie :
  
  * (H) toute image par homomorphisme d'un élément de K est dans K ;
  * (S) toute sous-structure d'un élément de K est dans K ;
  * (P) tout produit direct d'éléments de K est aussi dans K.
  
  Le théorème HSP de Garrett Birkhoff $(1935)^,$ énonce que la réciproque est vraie : toute classe stable par homomorphismes, sous-structures et produits est équationnelle.
  
  ## Article connexe
  
  Théorème des variétés d'Eilenberg
  
  