title: Théorème de Koecher-Vinberg
text: # Théorème de Koecher-Vinberg
  
  En algèbre d'opérateurs, le théorème de Koecher-Vinberg est un théorème de reconstruction pour les algèbres de Jordan réelles. Il a été prouvé indépendamment par Max Koecher en 1957 et Ernest Vinberg en 1961. Il permet d'établir une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et des objets appelés « domaines de positivité ».
  
  ## Énoncé
  
  Un cône convexe $C$ est dit :
  
  * régulier si $a=0$ quand $a$ et $-a$ sont dans l'adhérence ${\overline {C}}$ ;
  * autodual (dans un espace euclidien) s'il est égal à son cône dual $C^{*}$ ;
  * homogène si pour tout couple de points $a,b\in C$ il existe une application linéaire $T\colon A\to A$ dont la restriction à $C$ est une bijection $C\to C$ et qui vérifie $T(a)=b$.
  
  Le théorème de Koecher-Vinberg énonce que ces précédentes propriétés caractérisent précisément les cônes positifs d'algèbres de Jordan.
  
  Théorème — Il existe une bijection entre les algèbres de Jordan formellement réelles et les cônes convexes ayant les propriétés suivantes :
  
  * ouvert ;
  * régulier ;
  * homogène ;
  * autodual.
  
  Les cônes convexes vérifiant ces quatre propriétés sont appelés « domaines de positivité » ou « cônes symétriques (en) ». Le domaine positivité d'une algèbre de Jordan formellement réelle $A$ est l'intérieur de son cône « positif » $A_{+}:=\{a^{2}\mid a\in A\}$.
  
  ## Preuve
  
  Voir Koecher 1999 ou Faraut et Korányi 1994.
  
  