title: Théorème de König-Huygens
text: # Théorème de König-Huygens
  
  En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.
  
  ## Énoncé en probabilités
  
  Le théorème de König-Huygens s'énonce de la façon suivante :
  
  Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X qui admet un moment d'ordre 2, on a :
  
      $\operatorname {Var} (X)\equiv \mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} [X])^{2}\right]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}$.
  
  La démonstration est relativement simple et algébrique. Trois points sont à rappeler :
  
  * le développement du binôme de Newton ;
  * la linéarité de l'espérance en fonction de la variable aléatoire ;
  * l'espérance d'une constante vaut cette constante.
  
  Ces trois propriétés rappelées impliquent :
  
      ${\begin{aligned}\mathbb {E} \left[(X-\mathbb {E} [X])^{2}\right]&=\mathbb {E} \left[X^{2}-2X\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\right]\\&=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} \left[2X\mathbb {E} [X]\right]+\mathbb {E} \left[\mathbb {E} [X]^{2}\right]\\&=\mathbb {E} [X^{2}]-2\mathbb {E} [X]\mathbb {E} [X]+\mathbb {E} [X]^{2}\\&=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}\end{aligned}}$
  
  ## Énoncé en statistiques
  
  Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique.
  
  Théorème — On a : ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)-{\overline {x}}^{2}$
  
  ${\begin{aligned}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-2x_{i}{\bar {x}}+{\overline {x}}^{2}\right)&\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}2x_{i}{\bar {x}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\frac {2{\bar {x}}}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\frac {1}{n}}n{\bar {x}}^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-2{\bar {x}}^{2}+{\bar {x}}^{2}\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\bar {x}}^{2}\\\end{aligned}}$
  
  ### Généralisation
  
  Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale.
  
  Identité — On a : ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}+({\bar {X}}-a)^{2}$
  
  ${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2}&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}}+{\bar {X}}-a)^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left((X_{i}-{\bar {X}})+({\bar {X}}-a)\right)^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[(X_{i}-{\bar {X}})^{2}+2(X_{i}-{\bar {X}})({\bar {X}}-a)+({\bar {X}}-a)^{2}\right]\\&=\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+2({\bar {X}}-a)(\sum X_{i}-n{\bar {X}})+n({\bar {X}}-a)^{2}\\&=\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+2({\bar {X}}-a)(\sum X_{i}-n{\frac {1}{n}}\sum X_{i})+n({\bar {X}}-a)^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}+n({\bar {X}}-a)^{2}\end{aligned}}$
  
  N.B. : la démonstration est tirée de Mood et al. (2001, p. 229)
  
  En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a = 0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut :
  
      ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-a)^{2}-({\bar {X}}-a)^{2}$
  
  Et donc si a = 0, ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i})^{2}-({\bar {X}})^{2}$
  
  ### Relation avec la fonction de Leibniz
  
  Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.
  
  En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré $\{(x_{i},n_{i})\}_{i=1...k}$. La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système $\{(A_{i},a_{i})_{i=1...k}\}$ de barycentre G :
  
      $\sum _{i=1}^{k}a_{i}AA_{i}^{2}=\sum _{i=1}^{k}a_{i}GA_{i}^{2}+\left(\sum _{i=1}^{k}a_{i}\right)GA^{2}$
  
  En remplaçant G par m, A par m', $a_i$ par $n_i$ et $A_i$ par $x_i,$ on obtient
  
      $\sum _{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-m')^{2}=\sum _{i=1}^{k}n_{i}(x_{i}-m)^{2}+n(m'-m)^{2}$
  
  Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.
  
  ## Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)
  
  Soit un système de k points matériels $A_i,$ de masses respectives $m_i,$ de masse totale M , de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne $J_A$ le moment d'inertie du système par rapport à A en fonction de $J_G$ le moment d'inertie du système par rapport à $G$ :
  
  $J_{A}=J_{G}+M\cdot d^{2}$
  
  avec
  
      $J_{A}=\sum _{i=1}^{k}m_{i}AA_{i}^{2},\quad J_{G}=\sum _{i=1}^{k}m_{i}GA_{i}^{2},\quad M=\sum _{i=1}^{k}m_{i},\quad d^{2}=GA^{2}.$
  
  ## Référence
  
  (en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill, 2001 (ISBN 978-0-07-042864-5, LCCN 73000292), p. 564
  
  