title: Théorème de Dunford-Schwartz
text: # Théorème de Dunford-Schwartz
  
  En analyse fonctionnelle (mathématique), le théorème de Dunford-Schwartz, nommé d'après Nelson Dunford et Jacob T. Schwartz, établit que les moyennes des puissances de certains opérateurs bornés sur $L^1$ convergent, en un sens approprié.
  
     Soit T un opérateur linéaire de $L^1$ dans $L^1$ tel que $‖T‖_1$ ≤ 1 et $‖T‖_∞$ ≤ 1 (au sens : ∀g ∈ $L^1∩L^∞,$ $‖Tg‖_∞$ ≤ $‖g‖_∞).$ Alors, pour tout f ∈ $L^1,$
     $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}T^{k}f$
     est définie presque partout.
  
  L'hypothèse $‖T‖_∞$ ≤ 1 ne peut être affaiblie en $‖T‖_∞$ ≤ 1 + ε.
  
  