title: Théorème de Darmois
text: # Théorème de Darmois
  
  ## Énoncé
  
  Soit une variable X dont le domaine de définition ne dépend pas de $\theta$
  
  * Une condition nécessaire et suffisante pour que l'échantillon $(X_{1},...,X_{n})$ admette une statistique exhaustive est que la forme de la densité soit :
  
  $f(x,\theta )=\exp(a(x)\cdot \alpha (\theta )+b(x)+\beta (\theta ))$ (famille exponentielle)
  
  * Si la densité est de cette forme et si de plus l'application $x_{1}\to \sum _{i=1}^{n}a(x_{i})$ est bijective et continûment différentiable pour tout i,
  
  alors $T=\sum _{i=1}^{n}a(X_{i})$ est une statistique exhaustive particulière.
  
  v · mIndex du projet probabilités et statistiques :
  
  