title: Théorème de Fenchel-Moreau
text: # Théorème de Fenchel-Moreau
  
  En analyse convexe, le théorème de Fenchel–Moreau (nommé d'après Werner Fenchel et Jean-Jacques Moreau) ou théorème de biconjugation de Fenchel (ou juste théorème de biconjugation) est un théorème qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction soit égale à sa biconjuguée. Ce résultat est à mettre en contraste avec l’inégalité $v^,.$ Ce théorème peut être vu comme une généralisation du théorème bipolaire. Il est utilisé pour prouver la dualité forte (en) (à l'aide de fonction de perturbation).
  
  ## Énoncé du théorème
  
  Soit $(X,\tau )$ un espace de Hausdorff localement convexe, pour toute fonction $f:X\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ à valeur dans la droite réelle achevée, on a $f=f^{**}$ si et seulement si l'une des conditions suivantes est vraie
  
  * $f$ est une fonction semi-continue inférieure convexe propre,
  * $f\equiv +\infty$, ou
  * $f\equiv -\infty$$^,^,.$
  