title: Théorème de Meyers-Serrin
text: # Théorème de Meyers-Serrin
  
  En analyse fonctionnelle, le théorème de Meyers (de)-Serrin concerne l'équivalence de deux définitions des espaces de Sobolev.
  
  ## Définitions préalables
  
  Les notations sont celles de l'article espace de Sobolev.
  
  Soit Ω un ouvert quelconque (non vide) de $ℝ^n.$ Deux concepts qui sont souvent utilisés dans la théorie des équations aux dérivées partielles et le calcul des variations sont les espaces H et les espaces W.
  
  Plus précisément, si m est un entier naturel, p un réel tel que 1 ≤ p < ∞ et α est un multi-indice
  
  * $W^{m,p}(Ω)$ est l'espace de Sobolev :
  
  $\{u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega );D^{\alpha }u\in \mathrm {L} ^{p}(\Omega ),\forall \alpha \in \mathbb {N} ^{n}:|\alpha |\leq m\ \}$
  
  muni de la norme :
  
  où $D^αu$ est une dérivée partielle de u au sens des distributions et $\|.\|_{\mathrm {L} ^{p}}$ désigne la norme de l'espace de Lebesgue $L^p(Ω).$
  
  * $H^{m,p}(Ω)$ est l’adhérence dans $W^{m,p}(Ω)$ de $C^∞(Ω)$ ∩ $W^{m,p}(Ω)$ ou encore le complété de l'espace vectoriel normé
  
  $\{u\in C^{\infty }(\Omega );\|u\|_{H^{m,p}}<\infty \}$
  
  avec
  
  $\|u\|_{H^{m,p}}:=\left(\sum _{|\alpha |\leqslant m}\|D^{\alpha }u\|_{\mathrm {L} ^{p}}^{p}\right)^{1/p}$
  
  où $D^αu$ est une dérivée partielle de u au sens classique (u ∈ $C^∞(Ω)).$
  
  ## Énoncé
  
  $W^{m,p}(\Omega )=H^{m,p}(\Omega )$
  
  ## Remarque
  
  Avant la publication de ce théorème, l'égalité H = W était démontrée pour des ouverts Ω particuliers (satisfaisant à certaines propriétés de régularité).
  
  