title: Lemme de Zassenhaus
text: # Lemme de Zassenhaus
  
  En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun.
  
  Lemme — Soient $G$ un groupe, $A$ et $C$ deux sous-groupes de $G$, $B$ un sous-groupe normal de $A$, et $D$ un sous-groupe normal de $C$. Alors $B(A\cap D)$ est normal dans $B(A\cap C$), $(B\cap C)D$ est normal dans $(A\cap C)D$, et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :
  
      $(B~\triangleleft ~A\leq G\quad$ et $\quad D~\triangleleft ~C\leq G)\quad \Rightarrow \quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq (A\cap C)D/(B\cap C)D.$
  
  Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934.
  
  