title: Théorème de van Kampen
text: # Théorème de van Kampen
  
  En topologie algébrique, le théorème de van Kampen, également appelé théorème de Seifert-van Kampen, est un résultat permettant de calculer le groupe fondamental d'un espace topologique qui se décompose en deux espaces plus simples dont les groupes fondamentaux respectifs sont déjà connus.
  
  ## Énoncé
  
  Soient $U_1,$ $U_2$ des ouverts connexes par arcs ainsi que leur intersection, alors le groupoïde fondamental de $U_1∪U_2$ est égal à la somme $amalgamée^,$ de ceux respectifs de $U_1$ et $U_2$ au-dessus de celui de leur intersection :
  
  $\pi (U_{1}\cup U_{2})=\pi (U_{1})*_{\pi (U_{1}\cap U_{2})}\pi (U_{2}),$
  
  et de même pour les groupes $fondamentaux^,$ en un point $x$ commun à ces deux ouverts connexes:
  
  $\pi _{1}(U_{1}\cup U_{2},x)=\pi _{1}(U_{1},x){\underset {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x)}{\bigstar }}\pi _{1}(U_{2},x).$
  
  Un cas particulier essentiel est celui où $U_1∩U_2$ est simplement connexe : $π_1(U_1∪U_2,x)$ est alors le produit libre $π_1(U_1,x)∗π_1(U_2,x)$ des groupes fondamentaux de $U_1$ et $U_2.$
  
  Par exemple, un tore percé d'un trou est homéomorphe à la réunion de deux cylindres d'intersection simplement connexe. Le théorème de van Kampen montre que son groupe fondamental est ℤ∗ℤ, c'est-à-dire le groupe libre sur deux générateurs. De façon similaire, le groupe fondamental du plan projectif est le groupe à deux éléments.
  
  ## Cas de deux sous-espaces fermés
  
  Le théorème énoncé ci-dessus reste valide si $U_1,$ $U_2$ et $U_1∩U_2$ sont des sous-espaces fermés connexes par arcs.
  
  Soient $V_1,$ $V_2$ des sous-espaces fermés connexes par arcs qui admettent des revêtements simplement connexes, ainsi que leur intersection, et soit x un point commun à ces deux fermés. Alors le groupe fondamental de $V_1∪V_2$ en x est égal à la somme amalgamée des groupes fondamentaux de $V_1$ et $V_2$ en x au-dessus de celui de leur intersection :
  
  $\pi _{1}(V_{1}\cup V_{2},x)=\pi _{1}(V_{1},x)*_{\pi _{1}(V_{1}\cap V_{2},x)}\pi _{1}(V_{2},x).$
  
  