title: Suite à divisibilité faible ou forte
text: # Suite à divisibilité faible ou forte
  
  En mathématiques, la notion de suite à divisibilité faible ou forte est une notion concernant une suite d'entiers $(a_{n})_{n\geqslant 1}$ reliant la divisibilité de ses termes à celle de ses indices.
  
  ## Définitions et premiers exemples
  
  La suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible si pour tous entiers n, k > 0, $a_{kn}$ est un multiple de $a_{n}$, ou, autrement dit :
  
      ${\text{si }}n\mid m\,{\text{ alors }}\,a_{n}\mid a_{m}$.
  
  Le concept peut être généralisé à des suites à valeurs dans un anneau.
  
  En notant $n\land m=\operatorname {pgcd} (n,m)$, une telle suite vérifie donc pour tous n, m :
  
  $a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$.
  
  Un exemple simple en est la suite $(a^{n}-b^{n})$ avec a et b entiers, car $a^{kn}-b^{kn}=(a^{n})^{k}-(b^{n})^{k}$ est divisible par $a^{n}-b^{n}$ d'après la formule de Bernoulli.
  
  La suite $(a_{n})$ est à divisibilité forte si pour tous entiers n, m > 0,
  
      $a_{n}\land a_{m}=|a_{n\land m}|$.
  
  Dans le cas où l'application $n\mapsto a_{n}$ est à valeurs positives, cela signifie que cette application est un morphisme pour la loi pgcd.
  
  Toute suite à divisibilité forte est à divisibilité faible car $n\mid m$ si et seulement si $\operatorname {pgcd} (n,m)=n$.
  
  En plus de l'exemple trivial des suites constantes, un exemple simple est donné par les suites du type $a_{n}=kn,$ car $kn\land km=k(n\land m)$.
  
  ## Propriété permettant de passer de la divisibilité faible à la forte
  
  Théorème — Si la suite $(a_{n})$ est à divisibilité faible et vérifie $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}$ pour $n>m$, alors elle est à divisibilité forte.
  
  * D'après la divisibilité faible, $a_{n\land m}\mid a_{n}\land a_{m}$.
  * D'après la propriété supposée, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n-m}\land a_{m}$ pour $n>m$ donc par anthyphérèse, $a_{n}\land a_{m}\mid a_{n\land m}$.
  * Nous en concluons que $a_{n\land m}=a_{n}\land a_{m}$.
  
  ## Exemples
  
  Toute suite de Lucas du premier type U(P,Q) est à divisibilité faible, et à divisibilité forte si et seulement si P et Q sont premiers entre eux. Une démonstration se trouve dans la page sur les suites de Lucas.
  
  En particulier sont à divisibilité forte :
  
  * La suite de Fibonacci $(F_{n})=U(1,-1)$.
  * La suite de Pell $(P_{n})=U(2,-1)$.
  * La suite des nombres de Mersenne $(2^{n}-1)=U(2,1)$.
  * Plus généralement la suite des répunit en base b $(R_{n}^{b})=U(b+1,b)$.
  * Encore plus généralement la suite $\left({\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}\right)=U(a+b,ab)$ avec a et b entiers premiers entre eux.
  