title: Lemme des tresses
text: # Lemme des tresses
  
  En algèbre linéaire, le lemme des tresses énonce une condition suffisante pour qu'une fonction trilinéaire soit la fonction nulle.
  
  ## Énoncé
  
  Soient E, F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif de caractéristique différente de 2. Soit f : $E^3$ → F une fonction trilinéaire, antisymétrique par rapport à ses deux premières variables et symétrique par rapport à ses deux dernières variables. Alors f est la fonction nulle sur $E^3.$
  
  ## Preuve
  
  Soit (u, v, w) appartenant à $E^3.$ $f(u,v,w)=f(u,w,v)=-f(w,u,v)=-f(w,v,u)=f(v,w,u)=f(v,u,w)=-f(u,v,w)$ donc f est la fonction nulle.
  
  ## Application
  
  Ce lemme permet de montrer que pour tout ouvert connexe U d'un espace euclidien E, une application de U dans E de classe $C^2$ dont la différentielle en tout point est une isométrie vectorielle ne peut être qu'une isométrie affine (restreinte à U).
  
  