title: Théorème des deux séries de Kolmogorov
text: # Théorème des deux séries de Kolmogorov
  
  En théorie des probabilités, le théorème des deux séries de Kolmogorov est un résultat sur la convergence des séries aléatoires. Il résulte de l'inégalité de Kolmogorov et est utilisé dans une preuve de la loi forte des grands nombres .
  
  ## Énoncé du théorème
  
  Soit $\left(X_{n}\right)_{n=1}^{\infty }$ une suite de variables aléatoires indépendantes d'espérance $\mathbf {E} \left[X_{n}\right]=\mu _{n}$ et de variance $\mathbf {Var} \left(X_{n}\right)=\sigma _{n}^{2}$, tel que $\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}$ et $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ convergent dans ℝ. Alors $\sum _{n=1}^{\infty }X_{n}$ converge dans ℝ presque sûrement .
  
  ## Preuve
  
  Supposons sans perte de généralité que $\mu _{n}=0$ . Posons $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}$. Nous allons voir que $\limsup _{N}S_{N}-\liminf _{N}S_{N}=0$ presque sûrement
  
  Pour chaque $m\in \mathbb {N}$ ,
  
  $\limsup _{N\to \infty }S_{N}-\liminf _{N\to \infty }S_{N}=\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\leq 2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|$
  
  Ainsi, pour chaque $m\in \mathbb {N}$ et $\epsilon >0$ ,
  
  ${\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\limsup _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)-\liminf _{N\to \infty }\left(S_{N}-S_{m}\right)\geq \epsilon \right)&\leq \mathbb {P} \left(2\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq \epsilon \ \right)\\&=\mathbb {P} \left(\max _{k\in \mathbb {N} }\left|\sum _{i=1}^{k}X_{m+i}\right|\geq {\frac {\epsilon }{2}}\ \right)\\&\leq \limsup _{N\to \infty }4\epsilon ^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\\&=4\epsilon ^{-2}\lim _{N\to \infty }\sum _{i=m+1}^{m+N}\sigma _{i}^{2}\end{aligned}}$
  
  Alors que la deuxième inégalité est due à l'inégalité de Kolmogorov .
  
  En supposant que $\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{n}^{2}$ converge, il s'ensuit que le dernier terme tend vers 0 lorsque $m\to \infty$, pour chaque $\epsilon >0$ .
  
  