title: Théorème du sandwich (variante)
text: # Théorème du sandwich (variante)
  
  Ceci est un théorème qui concerne les dérivées (ou différentielles) de fonctions à valeurs réelles, et qui se déduit du théorème du sandwich usuel — ou théorème des gendarmes — de passage à la limite dans un encadrement.
  
  ## Énoncé
  
  ### Cas d'une fonction d'une variable réelle
  
  Théorème — Soit $I$ un intervalle contenant le réel $a$. Soient $f$, $m$ et $M$ trois fonctions réelles définies sur $I$.
  
  On suppose que :
  
  * $\forall x\in I\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)$ ;
  * $m(a)=f(a)=M(a)$ ;
  * $m$ et $M$ sont dérivables en $a$ et $m'(a)=M'(a)$.
  
  Alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=m'(a)\ (=M'(a))$.
  
  ### Cas général
  
  Théorème — Soit $V$ un voisinage d'un vecteur $a$ d'un espace vectoriel normé. Soient $f$, $m$ et $M$ trois fonctions réelles définies sur $V$.
  
  On suppose que :
  
  * $\forall x\in V\quad m(x)\leq f(x)\leq M(x)$ ;
  * $m(a)=f(a)=M(a)$ ;
  * $m$ et $M$ sont différentiables en $a$ et ${\rm {d}}m_{a}={\rm {d}}M_{a}$.
  
  Alors $f$ est différentiable en $a$ et ${\rm {d}}f_{a}={\rm {d}}m_{a}\ (={\rm {d}}M_{a})$.
  
  ## Démonstration (du cas général)
  
  Pour $h$ suffisamment petit,
  
      $m(a+h)\leq f(a+h)\leq M(a+h)$
  
  d'où (par les hypothèses 2 et 3)
  
      $m(a+h)-m(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)\leq f(a+h)-f(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)\leq M(a+h)-M(a)-{\rm {d}}M_{a}(h)$
  
  donc
  
      $f(a+h)-f(a)-{\rm {d}}m_{a}(h)=o(\lVert h\rVert )$,
  
  d'où le résultat.
  
  