title: Théorème de Mahler
text: # Théorème de Mahler
  
  Le théorème de Mahler offre un analogue du développement en série de Taylor pour les fonctions continues à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques. Le théorème a été démontré par Kurt Mahler.
  
  En combinatoire, le symbole de Pochhammer représente la factorielle indexée :
  
      $(x)_{k}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)\,$.
  
  On note $\Delta$ l'opérateur de différence défini par
  
      $(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)\,$.
  
  Alors nous avons
  
      $\Delta (x)_{n}=n(x)_{n-1}\,$
  
  c’est-à-dire que le lien de parenté entre l'opérateur $\Delta$ et cette suite de polynômes est analogue au lien entre la différentiation réelle et la suite dont le n-ième terme est $x^{n}$.
  
  Énoncé — Si $f$ est une fonction continue à valeurs p-adiques et dont la variable prend des valeurs p-adiques, alors
  
      $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\Delta ^{k}f)(0)}{k!}}(x)_{k}\,$.
  
  Contrairement au cas des séries à valeurs complexes où les conditions sont très contraignantes (cf. théorème de Carlson), on a seulement besoin de la continuité.
  
  Si $f$ est un polynôme à coefficients dans n'importe quel corps commutatif de caractéristique nulle, l'identité reste valable.
  
  