title: Théorème du sous-espace
text: # Théorème du sous-espace
  
  En mathématiques, le théorème du sous-espace indique que les points de petite hauteur dans l'espace projectif se trouvent dans un nombre fini d'hyperplans. C'est un résultat obtenu par Wolfgang M. Schmidt en 1972.
  
  ## Énoncé
  
  Le théorème du sous-espace énonce que si $L_1$ ,. . ., $L_n$ sont des formes linéaires linéairement indépendantes à n variables à coefficients algébriques et si ε>0 est un nombre réel donné, alors les points entiers non nuls x tels que
  
      $|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$
  
  sont inclus dans un nombre fini de sous-espaces propres de $Q^n.$
  
  Une forme quantitative du théorème, dans laquelle le nombre de sous-espaces contenant toutes les solutions, a également été obtenue par Schmidt, et le théorème a été généralisé par Schlickewei (1977) pour permettre des valeurs absolues plus générales sur les corps de nombres.
  
  ## Applications
  
  Le théorème peut être utilisé pour obtenir des résultats sur des équations diophantiennes telles que le théorème de Siegel sur les points entiers et la solution de l'équation des S-unité.
  
  ### Un corollaire sur l'approximation diophantienne
  
  Le corollaire suivant du théorème du sous-espace est souvent appelé théorème du sous-espace. Si $a_1$ ..., $a_n$ sont algébriques tels que 1, $a_1$ ..., $a_n$ sont linéairement indépendants sur Q et ε>0 est un nombre réel donné, alors il n'y a qu'un nombre fini de n-uplets rationnels $(x_1/y...,x_n/y)$ avec
  
      $|a_{i}-x_{i}/y|<y^{-(1+1/n+\epsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.$
  
  La spécialisation n = 1 donne le théorème de Thue-Siegel-Roth. On peut aussi noter que l'exposant 1+1/ n +ε est optimal par le théorème de Dirichlet sur l'approximation diophantienne.
  
  