title: Théorème de von Staudt-Clausen
text: # Théorème de von Staudt-Clausen
  
  En théorie des nombres, le théorème de von Staudt-Clausen est un résultat sur la partie fractionnaire des nombres de Bernoulli non entiers.
  
  Précisément, si n = 2k est un entier pair non nul et si l'on ajoute $^1⁄_p$ à $B_n$ pour tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n, on obtient un nombre entier :
  
  $B_{2k}+\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}\quad \in \mathbb {Z} .$
  
  La propriété est également vérifiée pour n = 1 : $B_1$ + $^1⁄_2$ = 0. (Pour les autres nombres de Bernoulli d'indice impair, on obtient $^1⁄_2.)$
  
  Par conséquent, les nombres de Bernoulli non nuls de rang pair $B_{2k}$ (k ≥ 1) s'écrivent :
  
  $B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}$
  
  où $A_{2k}$ est un nombre entier.
  
  Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli $B_n$ non entiers comme le produit de tous les nombres premiers p tel que p – 1 divise n ; par conséquent, les dénominateurs sont sans carré et, si n est pair, divisibles par 6.
  
  Le résultat fut nommé ainsi en l'honneur de Karl von Staudt et Thomas Clausen, qui l'ont découvert indépendamment en 1840.
  
  ## Exemples
  
  $b_{1}=0-{\frac {1}{2}}$
  
  $b_{2}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}$
  
  $b_{4}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}=-{\frac {1}{30}}$
  
  $b_{6}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}={\frac {1}{42}}$
  
  $(b_{8}=b_{4})$
  
  $b_{10}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{11}}={\frac {5}{66}}$
  
  $b_{12}=1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {691}{2\;730}}$
  
  $b_{14}=2-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{6}}$ $(b_{14}=b_{2}+1)$
  
  $b_{16}=-6-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{17}}=-{\frac {3\;617}{510}}$
  
  $b_{18}=56-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{19}}={\frac {43\;867}{798}}$
  
  $b_{20}=-528-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{11}}=-{\frac {174\;611}{330}}$
  
  $b_{22}=6\;193-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{23}}={\frac {854\;513}{138}}$
  
  $b_{24}=-86\;579-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{13}}=-{\frac {236\;364\;091}{2\;730}}$
  
  $(b_{24}=-86\;580+b_{12})$
  
  