title: Théorème de Gordan
text: # Théorème de Gordan
  
  Le théorème de Gordan donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans $\mathbb {R}$. C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».
  
  Théorème de Gordan (1873) — Soit $f_{1},\ldots ,f_{k}$ des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie. Alors :
  
      $\{y\in E\,\mid \,f_{1}(y)>0,f_{2}(y)>0,\ldots ,f_{k}(y)>0\}$ est vide
  
  (si et) seulement si
  
      0 appartient à l'enveloppe convexe de $\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}$.
  
  ## Note
  
  * ↑ (de) P. A. Gordan, « Ueber die Auflösung linearer Gleichungen mit reellen Coefficienten », Math. Ann., vol. 6,‎ 1873, p. 23-28 (lire en ligne).
  