title: Théorème de Hadwiger
text: # Théorème de Hadwiger
  
  Le théorème de Hadwiger est un théorème de géométrie intégrale (aussi appelée théorie des probabilités géométriques). Il caractérise les valuations sur les volumes convexes dans $\mathbb {R} ^{n}$. Le théorème a été prouvé par Hugo Hadwiger.
  
  ## Préliminaires
  
  ### Valuations
  
  Soit $K^{n}$ la famille de tous les ensembles convexes et compacts dans $\mathbb {R} ^{n}$. Une valuation est une fonction $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ telle que $v(\emptyset )=0$ et
  
      $v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~.$
  
  pour tous $S,T\in K^{n}$ tels que $S\cup T\in K^{n}$.
  
  Une valuation est dite continue si elle est continue pour la métrique de Hausdorff. Une valuation est dite invariante par déplacements si $v(\phi (S)=v(S)$ pour $S\in K^{n}$ et pour toute fonction $\phi$ qui est une translation ou une rotation de $\mathbb {R} ^{n}$.
  
  ### Intégrales quermass
  
  Les intégrales quermass $W_{j}:K^{n}\to \mathbb {R}$ sont définies via la formule de Steiner :
  
      $\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~,$
  
  où $B$ est la boule euclidienne. Par exemple, $W_{0}$ est le volume, $W_{1}$ est proportionnel à la mesure de surface, $W_{n-1}$ est proportionnel à la largeur moyenne et $W_{n}$ est la constante $\mathrm {Vol} _{n}(B)$. $W_{j}$ est une valuation homogène de degré $n-j$, c'est-à-dire
  
      $W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.$
  
  ## Énoncé
  
  Théorème de Hadwiger —  Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ qui est invariante par déplacements peut être représentée sous la forme
  
      $v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}W_{j}(S)~.$
  
  ## Corollaire
  
  Toute valuation continue $v$ sur $K^{n}$ invariante par déplacements et homogène de degré $j$ est un multiple de $W_{n-j}$.
  
  