title: Somme de Ramanujan
text: # Somme de Ramanujan
  
  En théorie des nombres, une branche des mathématiques, une somme de Ramanujan, habituellement notée $c_q(n),$ est une fonction de deux variables entières q et n, avec q ≥ 1, définie par la formule :
  
      $c_{q}(n)=\sum _{a=1 \atop {\rm {pgcd}}(a,q)=1}^{q}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}$,
  
  où le pgcd est le plus grand commun diviseur. La somme est donc effectuée sur les classes de congruence inversibles modulo q.
  
  Srinivasa Ramanujan fit une publication sur le sujet en 1918. Les sommes de Ramanujan interviennent de façon récurrente en théorie des nombres, par exemple dans la preuve du théorème de Vinogradov sur les sommes de trois nombres premiers.
  
  ## Notations
  
  Pour 2 nombres entiers a et b, $a\mid b$ se lit "a divise b", et signifie qu'il existe un entier c tel que b = ac. De même, $a\nmid b$ se lit "a ne divise pas b".
  
  Le symbole de sommation
  
      $\sum _{d\,\mid \,m}f(d)$
  
  signifie que d passe par tous les diviseurs positifs de m, par ex.
  
      $\sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).$
  
  $(a,\,b)$ est le plus grand diviseur commun,
  
  $\phi (n)$ est l'indicatrice d'Euler,
  
  $\mu (n)$ est la fonction de Möbius et
  
  $\zeta (s)$ est la fonction zêta de Riemann.
  
  ## Des formules pour $c_q(n)$
  
  ### Formules trigonométriques
  
  Ces formules proviennent de la formule d'Euler et des identités trigonométriques élémentaires.
  
      ${\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi =(-1)^{n}\\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi =j^{n}+j^{2n}\\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi =i^{n}+(-i)^{n}\\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}$
  
  et ainsi de suite ( A000012,  A033999,  A099837,  A176742,  A100051...). Cela montre que $c_q(n)$ est toujours un nombre réel (algébrique, comme somme de racines de l'unité).
  
  ### Formule de Kluyver
  
  Posons $\zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.$ $ζ_q$ est donc une solution de l'équation $x^q$ − 1 = 0. Chacune de ses puissances $ζ_q,$ $ζ_q^2,$ ... $ζ_q^q$ = $ζ_q^0$ = 1 est également une solution, et puisque ces q nombres sont distincts, ce sont toutes les solutions de l'équation. Les $ζ_q^n$ où 1 ≤ n ≤ q sont appelées les racines q-èmes de l'unité. $ζ_q$ est appelée une racine primitive, parce que la plus petite valeur de n telle que $ζ_q^n$ = 1 est q. Les autres racines primitives sont les $\zeta _{q}^{a}$, où a et q sont premiers entre eux. Donc, il y a φ(q) racines primitives q-ièmes de l'unité.
  
  La somme de Ramanujan $c_q(n)$ est somme de puissances n-ièmes des racines primitives q-ièmes de l'unité.
  
  Exemple. Supposons q = 12. Alors
  
      $ζ_{12},$ $ζ_{12}^5,$ $ζ_{12}^7,$ et $ζ_{12}^{11}$ sont les racines primitives douzièmes de l'unité,
      $ζ_{12}^2$ et $ζ_{12}^{10}$ sont les racines primitives sixièmes de l'unité,
      $ζ_{12}^3$ = i et $ζ_{12}^9$ = −i sont les racines primitives quatrièmes de l'unité,
      $ζ_{12}^4$ et $ζ_{12}^8$ sont les racines primitives troisièmes de l'unité.
  
  Par conséquent, si
  
      $\eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}$
  
  est la somme de la n-ième puissance de toutes les racines primitives et imprimitives,
  
      $\eta _{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}c_{d}(n),$
  
  on a par la formule d'inversion de Möbius,
  
      $c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).$
  
  Il résulte de l'identité $x^q$ − 1 = (x − $1)(x^{q-1}$ + $x^{q-2}$ + ... + x + 1) que
  
      $\eta _{q}(n)={\begin{cases}0&\;{\mbox{ si }}q\nmid n\\q&\;{\mbox{ si }}q\mid n\\\end{cases}}$
  
  et cela conduit à la formule
  
      $c_{q}(n)=\sum _{d\,\mid \,(q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d$,
  
  publiée par Kluyver en 1906.
  
  Cela montre que $c_q(n)$ est toujours un entier ; cette formule est analogue à la formule classique sur l'indicatrice d'Euler :
  
      $\phi (q)=\sum _{d\,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.$
  
  ### Fonction arithmétique de Von Sterneck
  
  Il est facile de démontrer à partir de la définition que $c_q(n)$ est multiplicative, lorsqu'elle est considérée comme une fonction de q pour une valeur fixe de n, c'est-à-dire que :
  
      ${\mbox{si }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ alors }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).$
  
  À partir de la définition (ou de la formule de Kluyver), il est facile de prouver que, si p est un nombre premier,
  
      $c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ if }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ if }}p\mid n\\\end{cases}},$
  
  et si $p^k$ est un nombre premier élevé à la puissance k où k > 1, alors :
  
      $c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ if }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ if }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ and }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ if }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.$
  
  Ce résultat et la propriété multiplicative peuvent être utilisés pour montrer que
  
      $c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.$
  
  Cette expression est appelée la fonction arithmétique de von Sterneck. L'équivalence de cette fonction et de celle de Ramanujan est due à $Hölder^,.$
  
  ### Autres propriétés de $c_q(n)$
  
  Pour tous les entiers positifs q,
  
      $c_{1}(q)=1,\;\;c_{q}(1)=\mu (q),\;{\mbox{ et }}\;c_{q}(q)=\phi (q).$
      ${\mbox{si }}m\equiv n{\pmod {q}}{\mbox{ alors }}c_{q}(m)=c_{q}(n).$
  
  Pour q fixé, les valeurs absolues des termes de la suite $c_q(1),$ $c_q(2),$ ... sont majorées par φ(q), et pour n fixé, les valeurs absolues des termes de la suite $c_1(n),$ $c_2(n),$ ... sont majorées par n.
  
  Si q > 1
  
      $\sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.$
  
  Posant m = $ppcm(m_1,$ $m_2),$ les sommes de Ramanujan satisfont une propriété d'orthogonalité :
  
      ${\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}$
  
  Supposez n, k > 0. Alors
  
      $\sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},$
  
  connu comme l'identité Brauer-Rademacher.
  
  Si n > 0 et a est un entier, on a aussi
  
      $\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a).$
  
  ## Table
  
  Somme de Ramanujan $c_s(n)$ :
  
  | | | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n | n |
  | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - | - |
  | | | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
  | s | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
  | s | 2 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 |
  | s | 3 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 | −1 | −1 | 2 |
  | s | 4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 |
  | s | 5 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 | −1 | −1 | −1 | −1 | 4 |
  | s | 6 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 | 1 | −1 | −2 | −1 | 1 | 2 |
  | s | 7 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 6 | −1 | −1 |
  | s | 8 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 |
  | s | 9 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | −3 |
  | s | 10 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 | 1 | −1 | 1 | −1 | −4 | −1 | 1 | −1 | 1 | 4 |
  | s | 11 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 10 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 10 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 12 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 4 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 4 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −4 |
  | s | 13 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 12 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 12 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 14 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −6 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 6 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −6 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 6 | 1 | −1 |
  | s | 15 | 1 | 1 | −2 | 1 | −4 | −2 | 1 | 1 | −2 | −4 | 1 | −2 | 1 | 1 | 8 | 1 | 1 | −2 | 1 | −4 | −2 | 1 | 1 | −2 | −4 | 1 | −2 | 1 | 1 | 8 |
  | s | 16 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
  | s | 17 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 16 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 18 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −6 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | 6 | 0 | 0 | 3 | 0 | 0 | −3 | 0 | 0 | −6 | 0 | 0 | −3 |
  | s | 19 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 18 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 20 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −8 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 8 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −8 |
  | s | 21 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | −6 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | 1 | −6 | −2 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | 12 | 1 | 1 | −2 | 1 | 1 | −2 | −6 | 1 | −2 |
  | s | 22 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −10 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 10 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 |
  | s | 23 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 22 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 |
  | s | 24 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | −8 | 0 | 0 | 0 | −4 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 0 | 8 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 |
  | s | 25 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 20 | 0 | 0 | 0 | 0 | −5 |
  | s | 26 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | −12 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | −1 | 1 | 12 | 1 | −1 | 1 | −1 |
  | s | 27 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | −9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 18 | 0 | 0 | 0 |
  | s | 28 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | −12 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | −2 | 0 | 2 | 0 | 12 | 0 | 2 |
  | s | 29 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | −1 | 28 | −1 |
  | s | 30 | −1 | 1 | 2 | 1 | 4 | −2 | −1 | 1 | 2 | −4 | −1 | −2 | −1 | 1 | −8 | 1 | −1 | −2 | −1 | −4 | 2 | 1 | −1 | −2 | 4 | 1 | 2 | 1 | −1 | 8 |
  
  ## Développements de Ramanujan
  
  Si f(n) est une fonction arithmétique (c'est-à-dire une valeur complexe de la fonction des entiers ou des nombres naturels), alors une série infinie convergente de la forme :
  
      $f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)$
  
  ou de la forme:
  
      $f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)$
  
  où le $a_k$ ∈ C, est appelé un développement de Ramanujan de f(n).
  
  Ramanujan a trouvé les développements de beaucoup de fonctions bien connues de la théorie des nombres. Tous ces résultats sont prouvés de manière très "élémentaires" (c'est-à-dire uniquement à l'aide des manipulations de séries et de résultats simples sur la $convergence)^,^,.$
  
  Le développement de la fonction nulle dépend d'un résultat de la théorie analytique des nombres premiers, à savoir que la série semi-convergente
  
      $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}$
  
  a pour valeur 0, et les résultats pour r(n) et r'(n) dépend de théorèmes publiés dans un document antérieur.
  
  Toutes les formules présentées dans cette section sont tirées de la publication de Ramanujan de 1918.
  
  ### Séries génératrices
  
  Les séries génératrices des sommes de Ramanujan sont des séries de Dirichlet :
  
      $\zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}$
  
  est une série génératrice de la séquence $c_q(1),$ $c_q(2),$ ... où q est maintenue constante, et
  
      ${\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}$
  
  est une fonction génératrice de la séquence $c_1(n),$ $c_2(n),$ ..., où n est maintenu constant.
  
  Il y a aussi la double série de Dirichlet
  
      ${\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.$
  
  ### $σ_k(n)$
  
  $σ_k(n)$ est la somme de la k-ème puissance des diviseurs de n, y compris 1 et n. $σ_0(n),$ le nombre de diviseurs de n, est généralement écrit d(n) et $σ_1(n),$ la somme des diviseurs de n, est généralement écrit σ(n).
  
  Si s > 0,
  
      $\sigma _{s}(n)=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right)$
  
  et
  
      $\sigma _{-s}(n)=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\dots \right).$
  
  Mettons s = 1, nous avons alors
  
      $\sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\dots \right).$
  
  Si l'hypothèse de Riemann est vraie, et
  
      $\sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\dots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\dots \right).$
  
  ### d(n)
  
  d(n) = $σ_0(n)$ est le nombre de diviseurs de n, y compris 1 et n lui-même.
  
      ${\begin{aligned}-d(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\dots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}$
  
  où γ = 0.5772... est la constante d'Euler-Mascheroni.
  
  ### φ(n)
  
  L'indicatrice d'Euler φ(n) est le nombre de nombres entiers positifs inférieurs à n et premiers entre eux à n. Ramanujan définit une généralisation si
  
      $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots$
  
  est la factorisation premier de n, et s est un nombre complexe. Supposez
  
      $\phi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,$
  
  alors $φ_1(n)$ = φ(n) est l'indicatrice d'Euler.
  
  Il prouve que
  
      ${\frac {\mu (n)n^{s}}{\phi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}$
  
  et il s'en sert pour montrer que
  
      ${\frac {\phi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\phi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\phi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\phi _{s+1}(3)}}+\dots .$
  
  Supposez s = 1,
  
      $\phi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)-{\frac {c_{2}(n)}{2^{2}-1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{2}-1}}-{\frac {c_{5}(n)}{5^{2}-1}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{2}-1}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\dots \right).$
  
  Remarquez que la constante est l'inverse de un dans la formule pour σ(n).
  
  ### Λ(n)
  
  La fonction de Von Mangoldt Λ(n) = 0 sauf si n = $p^k$ est une puissance d'un nombre premier, auquel cas c'est le logarithme naturel log p.
  
      $-\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\dots$
  
  ### Zéro
  
  Pour tout n > 0,
  
      $0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\dots .$
  
  C'est l'équivalent du théorème des nombres $premiers^,.$
  
  ### $r_{2s}(n)$ (somme des carrés)
  
  $r_{2s}(n)$ est le nombre de manière de représenter n comme somme de 2s carrés, en comptant les différents ordres et signes (par ex., $r_2(13)$ = 8, 13 = $(±2)^2$ + $(±3)^2$ = $(±3)^2$ + $(±2)^2.)$
  
  Ramanujan définit une fonction $δ_{2s}(n)$ et la référence dans une publication , dans lequel il prouve que $r_{2s}(n)$ = $δ_{2s}(n)$ pour s = 1, 2, 3, et 4. Pour s > 4, il montre que $δ_{2s}(n)$ est une bonne approximation de $r_{2s}(n).$
  
  s = 1 a une formule spéciale:
  
      $\delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-\dots \right).$
  
  Dans les formules suivantes, les signes se répète avec une période de 4.
  
  Si s ≡ 0 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Si s ≡ 2 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Si s ≡ 1 (mod 4) et s > 1,
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  Si s ≡ 3 (mod 4),
  
      $\delta _{2s}(n)={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\dots \right)$
  
  et donc,
  
      ${\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}}-{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}-{\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}}-{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}-{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}-{\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}}-{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}-{\frac {c_{4}(n)}{8}}-{\frac {c_{3}(n)}{27}}-{\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}}-{\frac {c_{12}(n)}{216}}-{\frac {c_{7}(n)}{343}}-{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}$
  
  ### $r'_{2s}(n)$ (sommes de nombres triangulaires)
  
  $r'_{2s}(n)$ est le nombre de façons de n peut être représenté comme la somme de 2s nombres triangulaires (c'est-à-dire le nombre 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; le n-ième nombre triangulaire est donnée par la formule n(n + 1)/2.)
  
  L'analyse ici est similaire à celle pour les carrés. Ramanujan se réfère à la même publication qu'il a écrit sur les carrées, où il a montré qu'il existe une fonction $δ'_{2s}(n)$ tel que $r'_{2s}(n)$ = $δ'_{2s}(n)$ pour s = 1, 2, 3, et 4, et que pour s > 4, $δ'_{2s}(n)$ est une bonne approximation de $r'_{2s}(n).$
  
  Encore une fois, s = 1, il faut une formule spéciale:
  
      $\delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right).$
  
  Si s est un multiple de 4,
  
      $\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\dots \right).$
  
  Si s est le double d'un nombre impair,
  
      $\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\dots \right).$
  
  Si s est un nombre impair et s > 1,
  
      $\delta '_{2s}(n)={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}-{\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}}-\dots \right).$
  
  Par conséquent,
  
      ${\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}}-{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\dots \right)\\r'_{4}(n)&=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\dots \right)\\r'_{6}(n)&={\frac {({\tfrac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\tfrac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}-{\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}}-\dots \right)\\r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {1}{2}}\pi )^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\dots \right)\end{aligned}}$
  
  ### Sommes
  
  Supposez
  
      ${\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\dots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}$
  
  Ensuite, pour s > 1,
  
      ${\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\dots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)-{\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=-{\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}}-{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}}-{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots ,\\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=-{\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}}-{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}-{\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}}-\cdots ,\\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n-{\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}}-{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right).\end{aligned}}$
  