title: Spirale sinusoïdale
text: # Spirale sinusoïdale
  
  En géométrie, les spirales sinusoïdales sont une famille de courbes planes, regroupant de multiples courbes usuelles.
  
  ## Définitions
  
  Une spirale sinusoïdale peut se définir par son équation polaire :
  
      $r^{n}=2a^{n}\cos(n\theta )$
  
  où a est un réel positif et n un réel.
  
  ## Propriétés
  
  La courbe est bornée et formée d'un motif de base symétrique défini entièrement pour |θ|≤ π/2n {\textstyle |\theta |\leq {\frac {\pi }{2n}}}, fermé si n est positif, à asymptotes si n est négatif. On reconstruit la spirale entière par rotations successives du motif pour les angles 2kπ/n {\textstyle {\frac {2k\pi }{n}}}, avec k entier.
  
  La spirale sinusoïdale est une courbe algébrique si et seulement si n est un nombre rationnel.
  
  Si n est un entier positif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points dont la moyenne géométrique des distances aux sommets d'un polygone régulier est égale au rayon de ce polygone.
  
  Si n est un entier négatif, la spirale sinusoïdale correspondante représente les points M tels que la moyenne des angles des droites joignant les sommets d'un polygone régulier à M avec une direction fixe est constante.
  
  La longueur de la courbe vaut :
  
      $2a{\sqrt[{n}]{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{{\frac {1}{n}}-1}\theta \,\mathrm {d} \theta =a{\sqrt[{n}]{2}}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2n}}\right)=a{\sqrt[{n}]{2}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n+1}{2n}}\right)}},$
  
  où B désigne la fonction bêta. L'aire contenue par la courbe vaut :
  
      $4a^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \,\mathrm {d} \theta =2a^{2}\,\mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)=2a^{2}{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}}.$
  
  La podaire de la spirale sinusoïdale de paramètre n par rapport à son centre est la spirale sinusoïdale de paramètre $^n⁄_{n+1}.$
  
  ## Cas particuliers
  
  Pour certaines valeurs bien choisies de n, on reconnait des courbes planes usuelles :
  
  * $n=^1⁄_3$ : sextique de Cayley
  * $n=^1⁄_2$ : cardioïde
  * n=1 : cercle
  * n=2 : lemniscate de Bernoulli
  * n=3 : courbe de Kiepert
  * $n=-^1⁄_3$ : cubique de Tschirnhausen
  * $n=-^1⁄_2$ : parabole
  * n=-1 : droite
  * n=-2 : hyperbole équilatère
  * n=-3 : cubique de Kiepert
  