title: Surface minimale de Catalan
text: # Surface minimale de Catalan
  
  En géométrie différentielle, une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855.
  
  La surface a pour équations paramétriques :
  
      ${\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-\sin(2u)\cosh(2v))\\y(u,v)&=a(1-\cos(2u)\cosh(2v))\\z(u,v)&=4a\sin(u)\sinh(v).\end{aligned}}$
  
  Si l'on pose $r=\sinh(v)$ dans la paramétrisation ci-dessus, on obtient :
  
      ${\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-(1+2r^{2})\sin(2u))\\y(u,v)&=a(1-(1+2r^{2})\cos(2u))\\z(u,v)&=4ar\sin(u).\end{aligned}}$
  * Les lignes avec le paramètre $r=r_{0}$ fixé, se projettent sur le plan $xOy$ en des trochoïdes.
  * Les lignes avec le paramètre $u=u_{0}$ fixé, sont des paraboles.
  * La section de la surface par le plan $xOy$ (c'est-à-dire $r=0$) est une cycloïde.
  