title: Masse réduite
text: # Masse réduite
  
  En physique, la masse réduite est la masse attribuée à l'objet fictif mis en œuvre dans la simplification des problèmes d'interaction de deux corps de la mécanique newtonienne.
  
  On note habituellement la masse réduite par la lettre grecque μ et ses unités SI sont les mêmes que celles de la masse : les kilogrammes (kg).
  
  ## Équations
  
  ### Problème à deux corps
  
  Soit deux particules en interaction mutuelle, l'une de masse $m_{1}$ et l'autre de masse $m_{2}$, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse (réduite) $\mu$ :
  
  $\mu ={1 \over {{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}}}={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ .$
  
  La force appliquée sur cette masse est la résultante des forces entre les masses initiales. Le problème est alors résolu mathématiquement en remplaçant les masses comme suit:
  
  $m_{1}\rightarrow \mu$
  
  et
  
  $m_{2}\rightarrow 0$
  
  ### Problème à N corps
  
  La définition de masse réduite peut être généralisée au Problème à N corps:
  
  $\mu =\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{m_{i}}}\right)^{-1}$
  
  ### Approximation
  
  Lorsque la masse $m_{1}$ est très supérieure à la masse $m_{2}$ la masse réduite est approximativement égale à la plus faible des masses :
  
  $\mu ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\ ={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}}({1+{{m_{2}} \over {m_{1}}})}}\ ={{m_{2}} \over {1+{{m_{2}} \over {m_{1}}}}}\ \approx m_{2}$
  
  ## Dérivation
  
  Les équations de la mécanique sont dérivées comme suit.
  
  ### Mécanique newtonienne
  
  La deuxième loi de Newton permet d'exprimer la force exercée par la particule 2 sur la particule 1 comme
  
      $\mathbf {F} _{12}=m_{1}\mathbf {a} _{1}.\!\,$
  
  La force exercée par la particule 1 sur la particule 2 est
  
      $\mathbf {F} _{21}=m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$
  
  La troisième loi de Newton prévoit que le force exercée par la particule 2 sur la particule 1 est égale et opposée à la force exercée par la particule 1 sur la particule 2
  
      $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}.\!\,$
  
  Ainsi,
  
      $m_{1}\mathbf {a} _{1}=-m_{2}\mathbf {a} _{2}.\!\,$
  
  et
  
      $\mathbf {a} _{2}=-{m_{1} \over m_{2}}\mathbf {a} _{1}.\!\,$
  
  L'accélération relative $a_{rel}$ entre les deux corps est donnée par
  
      $\mathbf {a} _{\rm {rel}}=\mathbf {a} _{1}-\mathbf {a} _{2}=\left(1+{\frac {m_{1}}{m_{2}}}\right)\mathbf {a} _{1}={\frac {m_{2}+m_{1}}{m_{2}}}\mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {F} _{12}}{\mu }}.$
  
  Ceci permet de conclure que la particule 1 se déplace par rapport à la position de la particule 2 comme s'il s'agissait d'un corps de masse équivalente à la masse réduite.
  
  ### Mécanique lagrangienne
  
  Le problème à deux corps est décrit en mécanique lagrangienne par le lagrangien suivant
  
      $L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {\dot {r}} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {\dot {r}} _{2}^{2}-V(|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|)\!\,$
  
  où $r_i$ est le vecteur de position de la particule $i$ (de masse $m_i)$ et V est une fonction d'énergie potentielle, qui ne dépend que de la distance entre les particules (condition nécessaire pour conserver l'invariance translationnelle du système). On définit
  
      $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}$
  
  et on positionne l'origine du système de coordonnées utilisé afin qu'il coïncide avec le centre de masse, ainsi
  
      $m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}=0$.
  
  De cette manière,
  
      $\mathbf {r} _{1}={\frac {m_{2}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}},\mathbf {r} _{2}={\frac {-m_{1}\mathbf {r} }{m_{1}+m_{2}}}.$
  
  En substituant ceci dans le lagrangien on obtient
  
      $L={1 \over 2}\mu \mathbf {\dot {r}} ^{2}-V(r),$
  
  un nouveau lagrangien pour une particule de masse réduite :
  
      $\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.$
  
  Nous avons donc réduit le problème initial à deux corps à un problème simplifié à un corps.
  
  