title: Loi de Tukey-lambda
text: # Loi de Tukey-lambda
  
  En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.
  
  ## Différents paramétrages
  
  La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles:
  
      $G(p)\equiv F^{-1}(p)={\begin{cases}\left[p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\right]/\lambda ,&{\mbox{si }}\lambda \neq 0\\\operatorname {logit} (p),&{\mbox{si }}\lambda =0\end{cases}}$
  
  avec la fonction logit.
  
  Le paramètre $\lambda$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.
  
  | λ = −1 | approximativement une loi de Cauchy |
  | - | - |
  | λ = 0 | exactement une loi logistique |
  | λ = 0,14 | approximativement une loi normale |
  | λ = 0,5 | strictement concave |
  | λ = 1 | exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[ |
  
  La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.
  
  ### Lois de Tukey-lambda généralisées
  
  * La version de Ramberg et Schmeiser
  
  $G(p)=\lambda _{1}+{p^{\lambda _{3}}-(1-p)^{\lambda _{4}} \over \lambda _{2}}$
  
  * La version de Freimer, Mudholkar, Kollia et Lin
  
  $G(p)=\lambda _{1}+{{{\frac {p^{\lambda _{3}}}{\lambda _{3}}}-{\frac {(1-p)^{\lambda _{4}}}{\lambda _{4}}}} \over \lambda _{2}}$
  
  