title: Matrice unitaire
text: # Matrice unitaire
  
  En algèbre linéaire, une matrice carrée U à coefficients complexes est dite unitaire si elle vérifie les égalités :
  
  $\mathrm {U} ^{*}\times \mathrm {U} =\mathrm {U} \times \mathrm {U} ^{*}=\mathrm {I}$
  
  où la matrice adjointe de U est notée U* (ou $U^†$ en physique, et plus particulièrement en mécanique quantique) et I désigne la matrice identité.
  
  L'ensemble des matrices unitaires de taille n forme le groupe unitaire U(n).
  
  Les matrices unitaires carrées à coefficients réels sont les matrices orthogonales.
  
  ## Propriétés
  
  Toute matrice unitaire U vérifie les propriétés suivantes :
  
  * son déterminant est de module 1 ;
  * ses vecteurs propres sont orthogonaux ;
  * U est diagonalisable :$\mathrm {U} =\mathrm {V} \mathrm {D} \mathrm {V} ^{*}$ où V est une matrice unitaire et D est une matrice diagonale et unitaire ;
  * U peut s'écrire sous la forme d'une exponentielle d'une matrice :$\mathrm {U} =\exp(\mathrm {i} \mathrm {H} )$ où i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne.
  * U est normale.
  
  ## Propositions équivalentes
  
  Soit U une matrice carrée de taille n à coefficients complexes ; les cinq propositions suivantes sont équivalentes :
  
  * U est unitaire ;
  * U* est unitaire ;
  * U est inversible et son inverse est U* ;
  * les colonnes de U forment une base orthonormale pour le produit hermitien canonique sur $ℂ^n$ ;
  * U est normale et ses valeurs propres sont de module 1.
  
  ## Cas particuliers
  
  Les matrices unités sont des matrices unitaires.
  
  