title: Matrices anticirculantes
text: # Matrices anticirculantes
  
  En mathématiques, les matrices anticirculantes sont un cas particulier de matrices de Hankel ou de Toeplitz. Le mot peut désigner plusieurs types de matrices.
  
  ## Anticirculantes standard
  
  Une matrice anticirculante standard de taille n à coefficients complexes est de la forme générale :
  
  $C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &c_{n-1}\\c_{1}&&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}\\c_{2}&&c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&c_{1}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\c_{n-1}&c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &c_{n-2}\end{pmatrix}}$
  
  où les coefficients $c_i$ sont des complexes. La valeur des coefficients demeure constante sur les diagonales secondaires de la matrice et leur somme en ligne, comme celle en colonne demeure constante.
  
  ## Anticirculantes de Hankel
  
  Une autre définition donne les matrices anticirculantes de Hankel (g-circulant ou H-skew-circulant) en opposition aux matrices circulantes de Hankel (ou f-circulant), comme les matrices de Hankel « antisymétriques » par rapport à la seconde diagonale de la matrice.
  
  Elles sont de la forme :
  
  $C={\begin{pmatrix}c_{0}&c_{1}&c_{2}&\dots &\ldots &0\\c_{1}&&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}\\c_{2}&&c_{n-2}&0&-c_{n-2}&-c_{n-3}\\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &\dots \\\dots &&&\dots &&-c_{1}\\0&-c_{n-2}&-c_{n-3}&\dots &-c_{1}&-c_{0}\end{pmatrix}}.$
  
  On montre que toute matrice de Hankel est somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.
  
  ## Anticirculante de Toeplitz
  
  On appelle parfois matrices anticirculantes de Toeplitz, les matrices de la forme :
  
  $C={\begin{pmatrix}c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\dots &-c_{n-1}\\c_{n-1}&c_{0}&-c_{1}&&-c_{n-2}\\c_{n-2}&c_{n-1}&c_{0}&&-c_{n-3}\\\vdots &&&\ddots &\vdots \\c_{1}&c_{2}&c_{3}&\dots &c_{0}\end{pmatrix}}.$
  
  Elles sont également appelées matrices circulantes gauche (skew en anglais) et entrent dans la décomposition des matrices de Toeplitz.
  
  ## Quelques propriétés des anticirculantes de type standard
  
  Elles forment un sous-espace vectoriel de l'espace des carrés magiques.
  
  Elles ne forment pas une sous-algèbre de l'algèbre des matrices carrées de taille n.
  
  Elles sont diagonalisables dans ℂ (voir matrice de Hankel).
  
  Cas particulier de la dimension 3
  
  On montre que tout carré magique s'écrit comme somme d'une matrice circulante et d'une matrice anticirculante.
  
  Cette décomposition n'est pas unique et n'a plus lieu dans les dimensions supérieures.
  
  