title: Mesure sigma-finie
text: # Mesure sigma-finie
  
  Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite $(E_n)_{n∈ℕ}$ d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec
  
  $X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.$
  
  ## Exemples
  
  * Mesure finie
  * Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
  * Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles $[k,k+1)$ pour tous les nombres entiers $k\in \mathbb {Z}$ est un recouvrement dénombrable de $\mathbb {R}$, et chacun des intervalles est de mesure 1.
  * Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact
  
  ## Propriétés
  
  * En remplaçant $E_n$ par $F_n$ = $E_0$ ∪ … ∪ $E_n,$ on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim $μ(F_n).$
  * En remplaçant $F_n$ par $G_n$ = $F_n\F_{n–1},$ on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que $(E_n)_{n∈ℕ}$ et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc μ(X) = $∑_{n∈ℕ}$ $μ(G_n).$
  * Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.
  
  ## Usages
  
  * Théorème d'extension de Carathéodory
  * Unicité d'une mesure produit
  * Théorème de Fubini
  * Théorème d'Egoroff
  * Cas extrémal de l'inégalité de Hölder
  * Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
  * Lien entre mesure complétée et mesure extérieure
  