title: Dodécaèdre tronqué
text: # Dodécaèdre tronqué
  
  En géométrie, le dodécaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Il possède 12 faces décagonales régulières, 20 faces triangulaires régulières, 60 sommets et 90 arêtes.
  
  ## Relations géométriques
  
  Ce polyèdre peut être formé à partir d'un dodécaèdre par troncature des coins, donc les faces pentagonales deviennent des décagones et les coins deviennent des triangles.
  
  ## Coordonnées cartésiennes
  
  Les coordonnées cartésiennes suivantes définissent les sommets d'un dodécaèdre tronqué centré à l'origine :
  
      $(0,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ))\,$
      $(\pm (2+\varphi ),0,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,$
      $(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm (2+\varphi ),0)\,$
      $(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,\pm 2\varphi )\,$
      $(\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi )\,$
      $(\pm \varphi ,\pm 2\varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }})\,$
      $(\pm \varphi ,\pm 2,\pm \varphi ^{2})\,$
      $(\pm \varphi ^{2},\pm \varphi ,\pm 2)\,$
      $(\pm 2,\pm \varphi ^{2},\pm \varphi )\,$
  
  où $\varphi ={\frac {(1+{\sqrt {5}})}{2}}$ est le nombre d'or. En utilisant $\varphi ^{2}=\varphi +1$, on vérifie que tous les sommets sont sur une sphère, centrée à l'origine. R rayon de la sphère circonscrite et a longueur de chaque arête sont liés par la relation :
  
      ${\frac {a}{R}}=2{\sqrt {\frac {7-4\varphi }{17+\varphi }}}$
  