title: Méthode des variables instrumentales
text: # Méthode des variables instrumentales
  
  En statistique et en économétrie, la méthode des variables instrumentales est une méthode permettant d'identifier et d'estimer des relations causales entre des variables. Cette méthode est très souvent utilisée en économétrie.
  
  ## Modèle de régression linéaire à variables instrumentales
  
  Le modèle de régression linéaire simple fait l'hypothèse que les variables explicatives sont statistiquement indépendantes du terme d'erreur.
  
  Par exemple, si on pose le modèle
  
      $y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+u_{i}$
  
  avec $x_i$ la variable explicative et $u_i$ le terme d'erreur, on suppose généralement que $x_i$ est exogène, c'est-à-dire que $\mathbb {E} (u_{i}|x_{i})=0$.
  
  Lorsque l'hypothèse d'exogénéité n'est pas vérifiée, les estimateurs standards de β comme l'estimateur des moindres carrés ordinaires sont biaisés et le coefficient $β_1$ ne peut pas être interprété comme l'effet causal de x sur y. On dit alors que la variable explicative $x_i$ est endogène.
  
  Un instrument ou variable instrumentale est une variable (par exemple $z_i)$ telle qu'elle est corrélée à $x_i$ mais n'est pas corrélée à $u_i.$ Autrement dit, une variation de $z_i$ a un effet sur $x_i$ mais pas d'effet sur $u_i.$ En étudiant les variations de $y_i$ et $x_i$ liées aux variations de $z_i,$ on peut obtenir l'effet causal de x sur y.
  
  On a alors un système d'équations :
  
      ${\begin{cases}y_{i}&=\beta _{0}+\beta _{1}x_{i}+u_{i}\\x_{i}&=\gamma _{0}+\gamma _{1}z_{i}+v_{i}\end{cases}}$
  
  On peut alors estimer les paramètres de ce système d'équations et obtenir une estimation sans biais du paramètre $β_1.$
  
  ### Estimation
  
  Il existe de nombreuses méthodes pour estimer un modèle linéaire à variables instrumentales. Parmi ces méthodes, l'estimateur des doubles moindres carrés, la méthode des moments généralisés ou encore l'estimateur de Wald sont souvent employées.
  
  