title: Matrice unimodulaire
text: # Matrice unimodulaire
  
  En algèbre linéaire, une matrice unimodulaire sur l'anneau des entiers relatifs est une matrice carrée à coefficients entiers dont le déterminant vaut +1 ou –1. Plus généralement, une matrice unimodulaire sur un anneau commutatif A est une matrice inversible à coefficients dans A, dont l'inverse est aussi à coefficients dans A. Le groupe général linéaire $GL_n(A)$ des matrices unimodulaires de taille n sur l'anneau A est donc constitué des matrices dont le déterminant est inversible dans A.
  
  ## Propriétés des matrices unimodulaires
  
  Les matrices unimodulaires d'ordre n forment un groupe pour le produit, c'est-à-dire que les matrices suivantes sont unimodulaires :
  
  * la matrice unité ;
  * l'inverse d'une matrice unimodulaire ;
  * le produit de deux matrices unimodulaires.
  
  De plus, le produit de Kronecker de deux matrices unimodulaires est unimodulaire.
  
  ## Matrice totalement unimodulaire
  
  Une matrice totalement unimodulaire (TUM) est une matrice (non nécessairement carrée) à coefficients entiers dont chaque sous-matrice carrée de déterminant non nul est unimodulaire. On déduit de cette définition que les éléments d'une TUM peuvent uniquement être –1, 0 ou +1.
  
  ### Exemple de matrice totalement unimodulaire
  
  La matrice suivante est totalement unimodulaire :
  
  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\\\end{pmatrix}}$
  
  ### Condition suffisante pour être totalement unimodulaire
  
  Une condition suffisante mais pas nécessaire pour qu'une matrice A soit totalement unimodulaire :
  
  Soit A une matrice rectangulaire dont les lignes sont partitionnées en 2 ensembles disjoints B et C avec les propriétés suivantes :
  
  * chaque colonne de A contient au plus 2 éléments non nuls ;
  * chaque élément de A vaut –1, 0 ou +1 ;
  * si 2 éléments d'une colonne de A ont le même signe, alors la ligne de l'un est dans B, l'autre dans C ;
  * si 2 éléments d'une colonne de A ont des signes opposés, alors les lignes des 2 éléments sont dans B ou toutes les 2 dans C ;
  
  alors les déterminants des sous-matrices de A sont –1, 0 ou +1.
  
  ## Matrices unimodulaires classiques
  
  Les matrices issues des modélisations par programme linéaire du problème de flot maximum et du problème du flot de coût minimum, sont unimodulaires.
  
  