title: Juniper Green (jeu)
text: # Juniper Green (jeu)
  
  Juniper Green (aussi appelé "Jeu des multiples et des diviseurs") est un jeu mathématique opposant deux joueurs.
  
  ## Origines
  
  Le jeu a été créé par Richard Porteous, enseignant à l’école de Juniper Green, auquel il doit son nom. Il s'est réellement fait connaitre grâce à Ian Stewart, qui en décrit les règles dans la revue Pour la science, n° de juillet 97.
  
  ## Règles du jeu
  
  Le jeu se veut simple et ne possède que trois règles:
  
  * Le Joueur 1 choisit un nombre entre 1 et Nmax (généralement 100)
  * À tour de rôle, chaque joueur doit choisir un nombre parmi les multiples ou les diviseurs du nombre choisi précédemment par son adversaire et inférieur à Nmax.
  * Un nombre ne peut être joué qu'une seule fois.
  
  Le perdant étant le joueur qui ne trouve plus de multiples ou de diviseurs communs au nombre précédemment choisi.
  
  Une quatrième règle souvent utilisée dit que le premier nombre choisi doit être pair (ou plus simplement, ne doit pas être premier). Elle est souvent utilisée, car le premier joueur pouvait facilement bloquer son adversaire en jouant un nombre N : nombre premier supérieur à Nmax/2, obligeant son adversaire à jouer 1, puis en rejouant un nombre premier supérieur à Nmax/2 ; ainsi il était sûr de gagner.
  
  L'utilisation du nombre "1" est devenu plus symbolique qu'autre chose, car en le jouant, la victoire est assurée pour l'adversaire (qui n'a plus qu'à utiliser la stratégie expliquée ci-dessus). Plus simplement, jouer le nombre "1" amène à une défaite assurée, on peut le considérer comme un signe d'abandon.
  
  ## Exemples de parties
  
  Voici une partie fictive du jeu qui n'inclut pas la 4e règle et qui a 20 pour nombre maximal :
  
  Partie de Juniper Green :
  
  | Joueur 1 | Joueur 2 |
  | - | - |
  | 19 | |
  | | 1 |
  | 17 | |
  | | Perdu |
  
  La partie devient plus intéressante lorsque l'on inclut la 4e règle (on garde 20 pour nombre maximal) :
  
  Partie de Juniper Green :
  
  | Joueur 1 | Joueur 2 |
  | - | - |
  | 6 | |
  | | 3 |
  | 9 | |
  | | 1 |
  | 11 | |
  | | Perdu |
  
  Une fois de plus, le joueur 1 a gagné, mais le joueur 2 ne fut pas totalement bloqué, il aurait pu jouer 18, 12 ou 2 à la place de 3, cela aurait pu changer le résultat final.
  
  ## Résolution
  
  Comme le jeu implique deux joueurs seulement et qu'il n'y a pas de partie infinie ou nulle, il existe une stratégie optimale pour l'un des deux joueurs. Dans le cas où l'on ajoute la quatrième règle, le premier joueur peut forcer le gain lorsque Nmax est supérieur ou égal à 119, ainsi que pour soixante-seize valeurs différentes de Nmax inférieures à 119. En particulier, une stratégie gagnante consiste à utiliser, lorsqu'ils existent, trois nombres premiers p, q et r compris entre Nmax/4 et Nmax/3 et à entamer avec 2p.
  
  