title: Angle de transport
text: # Angle de transport
  
  On appelle angle de transport d'une ligne le déphasage qu'elle crée entre la tension à son entrée et à sa sortie.
  
  La puissance active transmise par une ligne électrique sans perte est égale à :
  
      $P={\frac {V_{1}\cdot V_{2}}{X}}\cdot \sin(\delta )$
  
  Où $V_1$ et $V_2$ sont les tensions aux bornes de la ligne, X la réactance de la ligne, et $\delta$ l'angle de transport, autrement dit le déphasage entre $V_1$ et $V_2.$ Faire varier cet angle permet donc de faire varier la puissance.
  
  ## Relation angle de transport/puissance
  
  En considérant une ligne électrique simplifiée en une simple réactance X. On a donc $immédiatement^,:$
  
      $V_{2}=V_{1}-jXI$
  
  En introduisant l'angle : $\delta$ entre V1 et V2 et l'angle $\varphi$ entre I et V2. On obtient :
  
      $XIcos(\varphi )=V_{1}sin(\delta )$
  
  Comme la puissance est :
  
      $P_{2}=V_{2}\cdot I\cdot cos(\varphi )$
  
  D'où :
  
      $P_{2}={\frac {V_{1}\cdot V_{2}}{X}}\cdot sin(\delta )$
  
  ## Calcul de l'angle de transport
  
  ### Solution générale de l'équation des télégraphistes
  
  En notant R' la résistance linéique de la ligne, L' son inductance linéique, G' sa conductance linéique, C' sa capacitance linéique, V la tension et I le courant. En partant des équations des télégraphistes et en considérant un régime stationnaire, on obtient le système d'équations suivant dans le domaine complexe:
  
      ${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=-Z'\cdot {\frac {\partial I}{\partial x}}$
  
  ou
  
      ${\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}V=Z'\cdot Y'\cdot V$
  
  La solution de cette dernière équation différentielle est la somme d'une onde se propageant dans une direction et une dans l'autre :
  
      $V=A\cdot e^{-\gamma x}+B\cdot e^{\gamma x}$
  
  Avec :
  
      $\gamma =\alpha +j\mathrm {B} ={\sqrt {Z'\cdot Y'}}$
  
  La dérivée de la tension est :
  
      ${\frac {\partial }{\partial x}}V=-\gamma \cdot A\cdot e^{-\gamma x}+\gamma \cdot B\cdot e^{\gamma x}$
  
  L'équation liant la tension et le courant peut être reformulée en :
  
      $I=-{\frac {1}{Z'}}\cdot {\frac {\partial }{\partial x}}V$
  
  En introduisant la solution :
  
      $I={\frac {\gamma }{Z'}}\cdot A\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {\gamma }{Z'}}\cdot B\cdot e^{\gamma x}$
  
  On introduit la variable $\Gamma ={\frac {Z'}{\gamma }}={\frac {Z'}{\sqrt {Z'\cdot Y'}}}={\sqrt {\frac {Z'}{Y'}}}$, l'impédance de la ligne :
  
      $I={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma x}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma x}$
  
  ### Solution particulière pour une ligne électrique
  
  La connaissance des conditions aux limites permet de déterminer A et B. Soit une ligne de longueur l, la tension V1 et le courant I1 sont placés à la position x=0, tandis que la tension V2 et le courant I2 sont placés à x=l.
  
      $V_{1}=V(x=0)=A+B$
      $I_{1}=I(x=0)={\frac {A}{\Gamma }}-{\frac {B}{\Gamma }}$
      $V_{2}=V(x=l)=A\cdot e^{-\gamma l}+B\cdot e^{\gamma l}$
      $I_{2}=I(x=l)={\frac {A}{\Gamma }}\cdot e^{-\gamma l}-{\frac {B}{\Gamma }}\cdot e^{\gamma l}$
  
  On peut en déduire A et B, puis reformuler en :
  
      ${\begin{pmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}cosh(\gamma \cdot l)&\Gamma sinh(\gamma \cdot l)\\{\frac {1}{\Gamma }}sinh(\gamma \cdot l)&cosh(\gamma \cdot l)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{2}\\I_{2}\end{pmatrix}}$
  
  On a donc entre autres :
  
      $V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+I_{2}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)$
  
  ### Cas particuliers de la puissance naturelle
  
  Dans le cas où une charge égale à $\Gamma$ est connectée à la tension V2, il y a adaptation d'impédances. Concrètement :
  
      $V_{2}=\Gamma \cdot I_{2}$
  
  On a également :
  
      $P_{2}={\frac {V_{2}^{2}}{\Gamma }}$, la puissance naturelle
  
  D'où
  
      $V_{1}=V_{2}cosh(\gamma \cdot l)+{\frac {V_{2}}{\Gamma }}\Gamma sinh(\gamma \cdot l)=V_{2}(cosh(\gamma \cdot l)+sinh(\gamma \cdot l))=V_{2}\cdot e^{\gamma \cdot l}$
  
  Dans le cas d'une ligne sans pertes, on revient au cas :
  
      $V_{1}=V_{2}\cdot e^{j\mathrm {B} \cdot l}$
  
  Il n'y a donc pas de chute de tension, seulement un déphasage égal à $\mathrm {B} \cdot l$ qui est donc l'angle de transport.
  
  Pour une ligne aérienne, $\mathrm {B}$ vaut environ 6° / 100 km pour une longueur inférieur à 200 km. Pour un câble, $\mathrm {B}$ vaut environ 12° / 100 km pour une longueur inférieure à 100 km.
  
  ## Intérêt de la notion
  
  Le réglage de cet angle est le principe de fonctionnement de certains types de FACTS, comme les UPFC, et des transformateurs déphaseurs.
  
  L'angle de transport a également une influence sur la stabilité du réseau. Un angle de transport grand limite la bande d'angle interne possible pour les générateurs électriques synchrones.
  
  