title: Fonction d'appui
text: # Fonction d'appui
  
  En analyse mathématique, et plus spécialement en analyse convexe, la fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé réel E est la fonction convexe qui à toute forme linéaire continue s sur E associe la borne supérieure de s(P) dans ℝ.
  
  ## Définition
  
  La fonction d'appui d'une partie P d'un espace normé E est la fonction notée $σ_P$ et définie par
  
  $\sigma _{P}:E'\to {\overline {\mathbb {R} }}:s\mapsto \sigma _{P}(s)=\sup _{x\in P}\,\langle s,x\rangle ,$
  
  où E' est le dual topologique de E et $\langle s,x\rangle$ est la valeur de la forme linéaire continue s en x.
  
  En particulier, $\sigma _{\varnothing }(s)=-\infty$ (sup(∅) = –∞).
  
  ## Exemples
  
  La fonction d'appui se présente naturellement dans un certain nombre de constructions en analyse et en analyse convexe.
  
  * La fonction conjuguée de la fonction indicatrice d'une partie P de E est la fonction d'appui de P.
  * La fonction d'appui de la boule unité de E est la norme canonique du dual E'.
  * Si E est un espace euclidien et si f est une fonction convexe propre définie sur E à valeurs dans $\mathbb {R} \cup \{+\infty \}$, sa dérivée directionnelle $f'(x;\cdot )$ en un point x dans l'intérieur relatif de son domaine est la fonction d'appui du sous-différentiel de f en x (voir « Formule du max »).
  
  ## Propriétés
  
  * La fonction d'appui d'une partie quelconque est convexe car sous-linéaire.
  * Elle est de plus « fermée », c'est-à-dire semi-continue inférieurement.
  * Toute partie P a même fonction d'appui que son enveloppe convexe fermée co(P). Plus précisément :$\sigma _{P}\leqslant \sigma _{Q}\Leftrightarrow {\overline {\operatorname {co} }}(P)\subset {\overline {\operatorname {co} }}(Q)$.
  * A fortiori, toute partie a même fonction d'appui que son adhérence et que son enveloppe convexe :$\sigma _{P}=\sigma _{\overline {P}}=\sigma _{\operatorname {co} (P)}$.
  
  ## Règles de calcul
  
  ### Somme pondérée d'ensembles
  
      Pour toutes parties P,Q de E et tous réels positifs α,β,
  
  $\sigma _{\alpha P+\beta Q}=\alpha \sigma _{P}+\beta \sigma _{Q}$
  
  ### Transformation par une application linéaire
  
      Soient F un autre espace normé, $A:E\to F$ une fonction linéaire continue, $A^{*}:F'\to E'$ son adjointe et P une partie de E.
      Alors $\sigma _{A(P)}:F'\to {\overline {\mathbb {R} }}$ s'écrit$\sigma _{A(P)}=\sigma _{P}\circ A^{*}$.
  
  ## Référence
  
  * ↑ Aliprantis et Border 2007, p. 288 et 291.
  