title: Fonction bêta de Dirichlet
text: # Fonction bêta de Dirichlet
  
  En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.
  
  Elle est définie, pour tout complexe s de partie réelle strictement positive, par la série :
  
         $\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}$,
  
  ou par l'intégrale
  
      $\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx$.
  
  Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes :
  
      $\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)$.
  
  Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :
  
      $\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)$,
  
  qui est aussi valable pour tous nombres complexes.
  
  Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.
  
  ## Équation fonctionnelle
  
  L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.
  
      $\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)$
  
  où Γ est la fonction gamma d'Euler.
  
  ## Valeurs spéciales
  
  On peut noter les valeurs particulières suivantes :
  
  * $\beta (0)={\frac {1}{2}}$,
  * $\beta (1)={\frac {\pi }{4}}$,
  * $\beta (2)=$ la constante de Catalan,
  * $\beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}$,
  * $\beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}$, où $\psi _{3}$ est la fonction polygamma d'indice 3,
  * $\beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$,
  * $\beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$.
  
  Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.
  
  * $\beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}$,
  
      où les $E_{2k}$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :
  * $\beta (-k)={{E_{k}} \over 2}$.
  
  Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.
  
  