title: 10-cage de Balaban
text: # 10-cage de Balaban
  
  La 10-cage de Balaban (ou (3,10)-cage de Balaban) est, en théorie des graphes, un graphe régulier possédant 70 sommets et 105 arêtes.
  
  Il porte le nom du mathématicien A. T. Balaban qui en a publié la description en 1972.
  
  ## Propriétés
  
  ### Propriétés générales
  
  La 10-cage de Balaban est une (3,10)-cage, c'est-à-dire un graphe minimal en nombres de sommets ayant une maille de 10 et étant régulier de degré 3. Il s'agit de la première cage de ce type à avoir été découverte, mais elle n'est pas unique. La liste complète des (3-10)-cages a été donnée par O'Keefe et Wong en 1980. Il en existe trois distinctes, les deux autres étant le graphe de Harries et le graphe de Harries-Wong.
  
  La 10-cage de Balaban est un graphe hamiltonien. Elle possède 91 440 cycles hamiltoniens distincts.
  
  Le diamètre de la 10-cage de Balaban, l'excentricité maximale de ses sommets, ainsi que son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, sont tous deux égaux à 6. Cela entraîne que tous ses sommets appartiennent à son centre. Il s'agit par ailleurs d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté, il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes. Comme il est régulier de degré 3, ce nombre est optimal. La 10-cage de Balaban est donc un graphe optimalement connecté.
  
  ### Coloration
  
  Le nombre chromatique de la 10-cage de Balaban est 2, c'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est (évidemment) minimal.
  
  L'indice chromatique de la 10-cage de Balaban est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes, et ce nombre est minimal.
  
  ### Propriétés algébriques
  
  Le groupe d'automorphismes de la 10-cage de Balaban est d'ordre 80.
  
  Le polynôme caractéristique de la matrice d'adjacence de la 10-cage de Balaban est : $(x-3)(x-2)(x-1)^{8}x^{2}(x+1)^{8}(x+2)(x+3)(x^{2}-6)^{2}(x^{2}-5)^{4}(x^{2}-2)^{2}(x^{4}-6x^{2}+3)^{8}$.
  
  ## Représentations
  
  * Représentation du nombre chromatique de la 10-cage de Balaban : 2.
  * Représentation de l'indice chromatique de la 10-cage de Balaban : 3.
  * Représentation alternative du graphe.
  