title: Espiral dorada
text: # Espiral dorada
  
  La Espiral dorada (denominada también espiral áurea) es una espiral logarítmica asociada a las propiedades geométricas del rectángulo dorado. La razón de crecimiento es Φ, es decir la razón dorada o número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras de la naturaleza (planta, galaxias espirales), así como en el arte.
  
  # Espiral dorada
  ## Desarrollo matemático
  
  La ecuación polar que describe la espiral dorada es la misma que cualquier otra espiral logarítmica, pero con el factor de crecimiento (b) igual Φ, esto es:
      $r=ae^{b\theta }\,$
  o, de la misma forma casa
      $\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$
  Siendo e la base del logaritmo natural, a es una constante real positiva y b es tal que cuando el ángulo θ es un ángulo recto:
      $e^{b\theta _{\mathrm {recto} }}\,=\phi$
  Por lo tanto, b se encuentra determinado por
      $b={\ln {\phi } \over \theta _{\mathrm {recto} }}.$
  El valor numérico de b depende de si el ángulo θ es medido en grados o radianes; como b puede tomar valores positivos o negativos según el signo de θ lo más sencillo es indicar su valor absoluto:
      $|b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,$ para θ en grados;
      $|b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,$ para θ en radianes.
  Una fórmula alternativa para la espiral dorada se obtiene en:
      $r=ac^{\theta }\,$
  donde la constante c está determinada por:
      $c=e^{b}\,$
  para la espiral dorada los valores de c son:
      $c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611$
  si θ se mide en grados sexagesimales, y
      $c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.$
  si θ se mide en radianes.
  
  # Espiral dorada
  ## Aproximaciones a la espiral dorada
  
  Existen aproximaciones a la espiral dorada, que no son iguales. Este tipo de espirales, a menudo se confunden con la espiral dorada. Un ejemplo es la espiral de Fibonacci que resulta ser una aproximación a la espiral dorada.
  
  # Espiral dorada
  ## Generación
  
  Espirales doradas :
  * Mediante convolución de rectas
  * Mediante convolución de rectas
  * La cáscara de un Nautilus
  * La cáscara de un Nautilus
  * Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci
  * Espiral en el triángulo y su serie de Fibonacci