title: Producto notable
text: # Producto notable
  
  Se le llama identidad notable, producto notable, producto especial, producto de interés práctico o fórmula de multiplicación abreviada a un cierto producto que cumple reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación.
  Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados. Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas las cuales sobresalen de las demás. Son llamados "notables" ya que se presentan con frecuencia en matemática.
  
  # Producto notable
  ## Factor común
  
  El resultado de multiplicar un binomio $a+b$ por un término $c$ se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
      $c\cdot (a+b)=c\cdot a+c\cdot b\,$
  En la figura adjunta se observa que el área del rectángulo es $c(a+b)\,$, es decir, el producto de la base $a+b\,$ por la altura $c\,$, también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas: $ca\,$ y $cb\,$.
  
  # Producto notable
  ## Cuadrado de un binomio
  
  Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término más el doble del producto de ellos, dando:
      $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,$
  * Demostración
  * $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot (a+b)=(a+b)\cdot a+(a+b)\cdot b$ $=a\cdot a+b\cdot a+a\cdot b+b\cdot b$ $=a^{2}+2\cdot a\cdot b+b^{2}$
  La expresión siguiente: $a^{2}+2ab+b^{2}\;$ se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
  Cuando el segundo término es negativo, la igualdad que se obtiene es:
      $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,$
  * Demostración
  * $(a-b)^{2}=(a+(-b))^{2}$ $=a^{2}+2\cdot a\cdot (-b)+(-b)^{2}$ $=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$
  * Fórmula no recomendable cuando no se omite el caso $b=-7$ en $(x-7)^{2}$ induciendo en abundantes errores.
  * El caso $(-a+b)^{2}=((-a)+b)^{2}$ $=a^{2}-2\cdot a\cdot b+b^{2}$.
  * Finalmente $(-a-b)^{2}=(-(a+b))^{2}=(a+b)^{2}$.
  Ejemplo:
      $(2x-3y)^{2}=(2x)^{2}-2(2x)(3y)+(3y)^{2}\,$
  Simplificando:
      $(2x-3y)^{2}=4x^{2}-12xy+9y^{2}\,$
  
  # Producto notable
  ## Producto de binomios con un término común
  ### Dos binomios con un término común
  
  Para efectuar un producto de dos binomios con término común se tiene que identificar el término común, en este caso x, luego se aplica la fórmula siguiente:
      $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab\,$
  * Demostración
  * $(x+a)\cdot (x+b)=(x+a)x+(x+a)b=(x\cdot x+a\cdot x)+(x\cdot b+a\cdot b)=$ $x\cdot x+a\cdot x+x\cdot b+a\cdot b=$ $x^{2}+(a+b)x+a\cdot b$
  Ejemplo:
      $(x+4)(x-7)=x^{2}-3x+(-28)\,$
      $(2y-1)(2y-3)=(2y)^{2}+(-1-3)(2y)+((-1)(-3))=4y^{2}-8y+3$
  
  # Producto notable
  ## Producto de binomios con un término común
  ### Tres binomios con término común
  
  Fórmula general:
      $(x+a)(x+b)(x+c)=x^{3}+(a+b+c)x^{2}+(ab+ca+cb)x+abc$
  
  # Producto notable
  ## Producto de binomios con un término común
  ### Binomios con un término común
  
  Fórmula general:
      $(x+a_{1})\cdot ...\cdot (x+a_{n})=$ $x^{n}+(a_{1}+...+a_{n})x^{n-1}+$ $((a_{1}a_{2}+a_{1}a_{3}+...+a_{1}a_{n})+$ $(a_{2}a_{3}+...+a_{2}a_{n})+$ $...+$ $(a_{n-1}a_{n}))x^{n-2}+$ $...+$ $(a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}).$
  
  # Producto notable
  ## Producto de dos binomios conjugados
  
  Dos binomios conjugados se diferencian solo en el signo de la operación. Para su multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.
      $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}\,$
  Ejemplo:
      $(3x+5y)(3x-5y)=\,$
      $(3x)(3x)+(3x)(-5y)+(5y)(3x)+(5y)(-5y)\,$
  Agrupando términos:
      $(3x+5y)(3x-5y)=9x^{2}-25y^{2}\,$
  A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.
  * En el caso $(p-a+b+c)(p-a-b-c)=(p-a)^{2}-(b+c)^{2}$, aparecen polinomios.
  
  # Producto notable
  ## Cuadrado de un polinomio
  
  Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
      $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc)\,$
      $(a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)\,$
  Ejemplo:
      $(3x+2y-5z)^{2}=(3x+2y-5z)(3x+2y-5z)\,$
  Multiplicando los monomios:
      $(3x+2y-5z)^{2}=3x\cdot 3x+3x\cdot 2y+3x\cdot (-5z)\,$
      $+2y\cdot 3x+2y\cdot 2y+2y\cdot (-5z)\,$
      $+(-5z)\cdot 3x+(-5z)\cdot 2y+(-5z)\cdot (-5z)\,$
  Agrupando términos:
      $(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+2(6xy-15xz-10yz)\,$
  Luego:
      $(3x+2y-5z)^{2}=9x^{2}+4y^{2}+25z^{2}+12xy-30xz-20yz\,$
  
  # Producto notable
  ## Cuadrado de un polinomio
  ### Romper moldes
  
      $x(x+1)(x+2)(x+3)+1=(x^{2}+3x+1)^{2}$.
  
  # Producto notable
  ## Cubo de un binomio
  
  Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
  * El cubo del primer término.
  * El triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  * El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  * El cubo del segundo término.
      $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,$
  Identidades de Cauchy:
      $(a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)\,$
  Ejemplo:
      $(x+2y)^{3}=x^{3}+3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}+(2y)^{3}\,$
  Agrupando términos:
      $(x+2y)^{3}=x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}\,$
  Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
  * El cubo del primer término.
  * Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
  * Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
  * Menos el cubo del segundo término.
      $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,$
  Identidades de Cauchy:
      $(a-b)^{3}=a^{3}-b^{3}-3ab(a-b)\,$
  Ejemplo:
      $(x-2y)^{3}=x^{3}-3(x)^{2}(2y)+3(x)(2y)^{2}-(2y)^{3}\,$
  Agrupando términos:
      $(x-2y)^{3}=x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}\,$
  
  # Producto notable
  ## Identidad de Argand
  
      $(x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1\,$
  
  # Producto notable
  ## Identidades de Gauss
  
      $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ac)\,$
      $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}]\,$
  
  # Producto notable
  ## Identidades de Legendre
  
      $(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2})\,$
      $(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab\,$
      $(a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2})\,$
  
  # Producto notable
  ## Identidades de Lagrange
  
      $(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}\,$
      $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}\,$
  
  # Producto notable
  ## Otras identidades
  
  Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique a cuáles productos se les puede considerar notables, y a cuáles no. A otras fórmulas, aunque menos usadas que las anteriores, en ciertos contextos se les puede calificar de productos notables. Entre ellas se destacan:
  Adición de cubos:
      $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,$
  Diferencia de cubos:
      $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,$
  Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).
      $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}\,$
      $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}\,$
  La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: x$^n$).
  Suma de dos cuadrados
      $a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,$
  Dónde i es la unidad imaginaria (√-1)
  * Demostración
  * $(a+bi)(a-bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}-(b^{2}\cdot i^{2})=a^{2}-(b^{2}(-1))=a^{2}-(-b^{2})=a^{2}+b^{2}$
  Suma de potencias enésimas:
      Si –sólo si– n es impar, $a^{n}+b^{n}=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}-\cdots +b^{n-1})\,$
  Diferencia de potencias enésimas:
      $a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\cdots +b^{n-1})\,$
  Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
  Para representar el cubo de un monomio, como diferencia de dos cuadrados, existe la siguiente fórmula:
      $a^{3}=\left({\frac {(a+1)a}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {(a-1)a}{2}}\right)^{2}$