Teorema de Zsigmondy
# Teorema de Zsigmondy

En teoría de números , el teorema de Zsigmondy, llamado así por Karl Zsigmondy, establece que si a > b > 0 son enteros coprimos, entonces para cualquier entero n ≥ 1, hay un número primo p (llamado divisor primo primitivo) que divide a$^n$ - b$^n$ y no divide a$^k$-b$^k$ por ningún entero positivo k<n, con las siguientes excepciones:
* n = 1, a − b = 1; entonces a$^n$ − b$^n$ = 1 que no tiene divisores primos
* n = 2, a + b una potencia de dos; entonces cualquier factor primo impar de a$^2$ - b$^2$ = (a + b)(a$^1$ - b$^1$) debe estar contenido en a$^1$ - b$^1$, que también es par
* n = 6, a = 2, b = 1; entonces a$^6$ − b$^6$ = 63 = 3$^2$×7 = (a$^2$ − b$^2$)$^2$(a$^3$ − b$^3$)
Esto generaliza el teorema de Bang, que establece que si n > 1 y n no es igual a 6, entonces 2$^n$ − 1 tiene un divisor primo que no divide ningún 2$^k$ − 1 con k < n.
De manera similar, a$^n$ + b$^n$ tiene al menos un divisor primo primitivo con la excepción de 2$^3$ + 1$^3$ = 9.
El teorema de Zsigmondy es a menudo útil, especialmente en la teoría de grupos, donde se usa para demostrar que varios grupos tienen órdenes distintos, excepto cuando se sabe que son iguales.

# Teorema de Zsigmondy
## Historia

El teorema fue descubierto por Zsigmondy trabajando en Viena desde 1894 hasta 1925.

# Teorema de Zsigmondy
## Generalizaciones

Sea $(a_{n})_{n\geq 1}$ una secuencia de enteros distintos de cero. El conjunto de Zsigmondy asociado a la secuencia es el conjunto
${\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ no tiene divisores primos primitivos}}\}.$
es decir, el conjunto de índices $n$ tal que cada primo dividiendo $a_{n}$también divide algunos $a_{m}$ para algunos $m<n$. Por tanto, el teorema de Zsigmondy implica que ${\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}$, y el teorema de Carmichael dice que el conjunto Zsigmondy de la secuencia de Fibonacci es $\{1,2,6,12\}$, y el de la secuencia de Pell es $\{1\}$. En 2001 Bilu, Hanrot y Voutier demostraron que, en general, si $(a_{n})_{n\geq 1}$ es una sucesión de Lucas o una sucesión de Lehmer, entonces ${\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}$ (ver OEIS: A285314, solo hay 13 $n$, a saber 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Las secuencias de Lucas y Lehmer son ejemplos de secuencias de divisibilidad.
También se sabe que si $(W_{n})_{n\geq 1}$ es una secuencia de divisibilidad elíptica, entonces su conjunto Zsigmondy ${\mathcal {Z}}(W_{n})$ es finito. Sin embargo, el resultado es ineficaz en el sentido de que la prueba no da un límite superior explícito para el elemento más grande en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$, aunque es posible dar un límite superior efectivo para el número de elementos en ${\mathcal {Z}}(W_{n})$.