Seno hiperbólico
# Seno hiperbólico

El seno hiperbólico es una función real de variable real $x$, que se designa con $\sinh(x)$ está definida mediante la siguiente ecuación:
   $\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
donde $e^{x}$ es la función exponencial. Esta función, junto con el coseno hiperbólico y la tangente hiperbólica, conforman unas identidades como las trigonométricas circulares, pero con algunas excepciones. Entre ellas:
       ${\cosh }^{2}{x}-{\sinh }^{2}{x}=1\,$
       $\tanh(x)={\frac {{\sinh }(x)}{\cosh(x)}}$
Su relación con el seno está dada por:
    $\sin(x)=-i\sinh(ix)$

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## Propiedades

* Las funciones circulares seno y coseno están vinculadas con el círculo unitario de frontera x$^2$ + y$^2$ = 1, mediante la ecuación sen$^2$ α + cos$^2$α =1; de igual manera, las hiperbólicas están vinculadas con la hipérbola x$^2$ - y$^2$ = 1, por medio de cosh$^2$ t -sinh$^2$ t = 1 donde t = 2 áreas de OCA, O = origen de coordenadas, A punto de la hipérbola, C vértice de la misma.
* La función sinh(x) es una función impar, ya que para todo valor de x, se cumple que
   $\sinh(-x)=-\sinh(x)$
* La función senh x es creciente, puesto que su derivada es mayor que 0, en todo su campo de definición.
* El punto (0; 0) es punto de inflexión, pues la segunda derivada varía de signo al pasar la función de valores negativos a valores positivos. Además es cóncava hacia abajo para x <0; y convexa hacia arriba para x > 0.

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## Derivadas

       ${{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\sinh }(x)={\cosh }(x)$
       ${{\mathrm {d} } \over {\mathrm {d} x}}{\cosh }(x)={\sinh }(x)$

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## Referencias y notas

* ↑ Granville. Cálculo diferencial e integral. Diversas ediciones en español.
* ↑ A. I. Markushévich: Curvas maravillosas ... Editorial Mir Moscú 1984, pág 103
* ↑ Basta aplicar el criterio de primera derivada para función creciente
* ↑ Sólo hay que emplear el criterio de la segunda derivada