Tabla de Cayley
# Tabla de Cayley

La tabla de Cayley de un grupo finito es una tabla que describe cómo es la operación de dicho grupo. Presenta una estructura muy similar a la famosa tabla pitagórica.
Fueron introducidas por Arthur Cayley en un artículo de 1854 («On The Theory of Groups, as depending on the symbolic equation θ$^n$ = 1»), en el que describe cualquier grupo en término de permutaciones.

# Tabla de Cayley
## Estructura de la tabla

Dado el grupo finito G={g$_1$, g$_2$, ..., g$_n$}, su tabla de Cayley tendrá n filas y n columnas. En la fila i, columna j, aparece el resultado de la operación g$_i$*g$_j$ (donde * es la operación del grupo).

# Tabla de Cayley
## Ejemplos

* Tomamos G={0,1,2} con la operación suma módulo 3. Entonces su tabla de Cayley es:
| + | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |
* El grupo simétrico S$_3$ tiene los siguientes elementos:
$id,\ g_{2}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&1&3\end{array}}\right),\ g_{3}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\1&3&2\end{array}}\right),g_{4}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&2&1\end{array}}\right),g_{5}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\end{array}}\right),g_{6}=\left({\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&1&2\end{array}}\right)$.
La tabla de Cayley para (S$_3$, $\circ$) es:
| $\circ$ | id | g$_2$ | g$_3$ | g$_4$ | g$_5$ | g$_6$ |
| id | id | g$_2$ | g$_3$ | g$_4$ | g$_5$ | g$_6$ |
| g$_2$ | g$_2$ | g$_1$ | g$_5$ | g$_6$ | g$_3$ | g$_4$ |
| g$_3$ | g$_3$ | g$_6$ | g$_1$ | g$_5$ | g$_4$ | g$_2$ |
| g$_4$ | g$_4$ | g$_5$ | g$_6$ | g$_1$ | g$_2$ | g$_3$ |
| g$_5$ | g$_5$ | g$_4$ | g$_2$ | g$_3$ | g$_6$ | g$_1$ |
| g$_6$ | g$_6$ | g$_3$ | g$_4$ | g$_2$ | g$_1$ | g$_5$ |

# Tabla de Cayley
## Propiedades básicas

* Un grupo es abeliano si y solo si su tabla de Cayley es simétrica.
* En la tabla de Cayley, cada elemento del grupo aparece una y solo una vez en cada fila y cada columna. O sea que cada fila y columna es una permutación de los elementos del grupo.