Axioma de elección numerable
# Axioma de elección numerable

El axioma de elección numerable o axioma de elección contable, denotado AC$_ω$, es un axioma de teoría de conjuntos que afirma que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección. Esto es, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de los números naturales) tal que A(n) es un conjunto no vacío para todo n ∈ N, entonces existe una función f con dominio N tal que f(n) ∈ A(n) para todo n ∈ N.
El axioma de elección numerable (AC$_ω$) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), Plantilla:Cita harvard que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). Paul Cohen demostró que el AC$_ω$, no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección (Potter, 2004). AC$_ω$ se cumple en el modelo de Solovay.
ZF + AC$_ω$ es suficiente para probar que la unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables es numerable. También es suficiente para probar que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind (equivalentemente, que tiene un subconjunto infinito numerable).
AC$_ω$ es particularmente útil para el desarrollo del análisis, donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección numerable de conjuntos de números reales. Por ejemplo, para probar que todo punto de acumulación x de un conjunto S ⊆ R es el límite de una sucesión de elementos de S \ {x}, se necesita una forma débil del axioma de elección numerable. Al formularse para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios, esta afirmación es equivalente al AC$_ω$. Se pueden encontrar otras afirmaciones equivalentes a AC$_ω$ en los trabajos de Herrlich (1997) y Howard y Rubin (1998).
Un error habitual es pensar que la elección numerable tiene una naturaleza inductiva y se puede por tanto probar como un teorema (en ZF, o incluso en sistemas más débiles) por inducción. Sin embargo, no es el caso; este error es el resultado de confundir elección numerable con elección finita para un conjunto finito de tamaño n (para n arbitrario), y es este último resultado (que es un teorema elemental en combinatoria) el que se puede probar por inducción. Sin embargo, se puede probar que algunos conjuntos infinitos numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Estos incluyen V$_ω$− {Ø} y el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números naturales con extremos racionales.

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## Uso

Como ejemplo de aplicación de AC$_ω$, se muestra una prueba (partiendo de ZF + AC$_ω$) de que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind:
    Sea X un conjunto infinito. Para cada número natural n, sea A$_n$ el conjunto de todos los subconjuntos de X de 2$^n$ elementos. Dado que X es infinito, cada A$_n$ es no vacío. Una primera aplicación de AC$_ω$ lleva a una sucesión (B$_n$ : n = 0,1,2,3,...) donde cada B$_n$ es un subconjunto de X con 2$^n$ elementos.
    Los conjuntos B$_n$ no son necesariamente disjuntos, pero se puede definir
       C$_0$ = B$_0$
       C$_n$ = la diferencia de B$_n$ y la unión de todos los C$_j$, j < n.
    Claramente, cada conjunto C$_n$ tiene al menos 1 y como mucho 2$^n$ elementos, y los conjuntos C$_n$ son disjuntos dos a dos. Una segunda aplicación de AC$_ω$ lleva a una sucesión (c$_n$: n = 0,1,2,...) con c$_n$ ∈ C$_n$.
    Luego los c$_n$ son todos diferentes, y por tanto X contiene un conjunto numerable. La función que lleva cada c$_n$ a c$_{n+1}$ (y deja el resto de elementos de X fijos) es una aplicación inyectiva de X en X que no es suprayectiva, probando que X es infinito-Dedekind.