Función indicatriz de Jordan
# Función indicatriz de Jordan

En teoría de números, la función indicatriz de Jordan $J_{k}(n)$ de un entero positivo n es el número de k-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales a n que forman una (k + 1)-tupla coprima junto con n. Esta es una generalización de la función φ de Euler, que es J$_1$. La función se llaman en honor de Camille Jordan.

# Función indicatriz de Jordan
## Definición

La función indicatriz de Jordan es una función multiplicativa y puede ser evaluada como
    $J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right).\,$

# Función indicatriz de Jordan
## Propiedades

* $\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}.\,$
La cual puede ser escrita en el lenguaje de convoluciones de Dirichlet como
    $J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,$
y utilizando inversión de Möbius como
    $J_{k}(n)=\mu (n)\star n^{k}$.
Puesto que la función generadora de Dirichlet de μ es 1/ζ(s) y la función generadora de n$^k$ es ζ(s-k), las series para J$_k$ se convierten en
    $\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-k)}{\zeta (s)}}$.
* The orden medio de J$_k$(n) es c n$^k$ para algún c.
* La función psi de Dedekind es
    $\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)}}$,
y mediante inspección de la definición (reconociendo que cada factor en el producto sobre los números primos es un polinomio ciclotómico de p$^{-k}$), las funciones aritméticas definidas mediante ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)}}$ o ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)}}$ pueden mostrarse que son funciones multiplicativas evaluadas en los números enteros.
* $\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)$

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## Orden del grupo de matrices

El grupo general lineal de matrices de orden m sobre Z$_n$ tienen orden
    $|\operatorname {GL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{k}(n).$
El grupo especial lineal de matrices de orden m sobre Z$_n$ tiene orden
    $|\operatorname {SL} (m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=2}^{m}J_{k}(n).$
El grupo simpléctico de matrices de orden m sobre Z$_n$ tiene orden
    $|\operatorname {Sp} (2m,\mathbf {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}(n).$
Las dos primeras fórmulas fueron descubiertas por Jordan.

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## Ejemplos

Listas explícitas en OEIS son J$_2$ en A007434, J$_3$ en A059376, J$_4$ en A059377, J$_5$ en A059378, J$_6$ hasta J$_{10}$ en A069091 hasta A069095.
Funciones multiplicativas definidas por sus relaciones son J$_2$(n)/J$_1$(n) in A001615, J$_3$(n)/J$_1$(n) in A160889, J$_4$(n)/J$_1$(n) in A160891, J$_5$(n)/J$_1$(n) in A160893, J$_6$(n)/J$_1$(n) in A160895, J$_7$(n)/J$_1$(n) in A160897, J$_8$(n)/J$_1$(n) in A160908, J$_9$(n)/J$_1$(n) in A160953, J$_{10}$(n)/J$_1$(n) in A160957, J$_{11}$(n)/J$_1$(n) in A160960.
Ejemplos de relaciones J$_{2k}$(n)/J$_k$(n) son J$_4$(n)/J$_2$(n) en A065958, J$_6$(n)/J$_3$(n) en A065959, y J$_8$(n)/J$_4$(n) en A065960.