Máquinas de vectores de soporte
# Máquinas de vectores de soporte

Las máquinas de vectores de soporte o máquinas de vector soporte (del inglés support-vector machines, SVM) son un conjunto de algoritmos de aprendizaje supervisado desarrollados por Vladimir Vapnik y su equipo en los laboratorios de AT&T Bell.
Estos métodos están propiamente relacionados con problemas de clasificación y regresión. Dado un conjunto de ejemplos de formación (de muestras) podemos etiquetar las clases y formar una SVM para construir un modelo que prediga la clase de una nueva muestra. Intuitivamente, una SVM es un modelo que representa a los puntos de muestra en el espacio, separando las clases a 2 espacios lo más amplios posibles mediante un hiperplano de separación definido como el vector entre los 2 puntos, de las 2 clases, más cercanos al que se llama vector soporte. Cuando las nuevas muestras se ponen en correspondencia con dicho modelo, en función de los espacios a los que pertenezcan, pueden ser clasificadas a una o la otra clase.
Más formalmente, una SVM construye un hiperplano o conjunto de hiperplanos en un espacio de dimensionalidad muy alta (o incluso infinita) que puede ser utilizado en problemas de clasificación o regresión. Una buena separación entre las clases permitirá una clasificación correcta.

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## Idea básica

Dado un conjunto de puntos, subconjunto de un conjunto mayor (espacio), en el que cada uno de ellos pertenece a una de dos posibles categorías, un algoritmo basado en SVM construye un modelo capaz de predecir si un punto nuevo (cuya categoría desconocemos) pertenece a una categoría o a la otra.
Como en la mayoría de los métodos de clasificación supervisada, los datos de entrada (los puntos) son vistos como un vector p-dimensional (una lista ordenada de p números).
La SVM busca un hiperplano que separe de forma óptima a los puntos de una clase de la de otra, que eventualmente han podido ser previamente proyectados a un espacio de dimensionalidad superior.
En ese concepto de "separación óptima" es donde reside la característica fundamental de las SVM: este tipo de algoritmos buscan el hiperplano que tenga la máxima distancia (margen) con los puntos que estén más cerca de él mismo. Por eso también a veces se les conoce a las SVM como clasificadores de margen máximo. De esta forma, los puntos del vector que son etiquetados con una categoría estarán a un lado del hiperplano y los casos que se encuentren en la otra categoría estarán al otro lado.
Los algoritmos SVM pertenecen a la familia de los clasificadores lineales. También pueden ser considerados un caso especial de la regularización de Tikhonov.
En la literatura de las SVM, se llama atributo a la variable predictora y característica a un atributo transformado que es usado para definir el hiperplano. La elección de la representación más adecuada del universo estudiado, se realiza mediante un proceso denominado selección de características.
Al vector formado por los puntos más cercanos al hiperplano se le llama vector de soporte.
Los modelos basados en SVM están estrechamente relacionados con las redes neuronales. Usando una función kernel, resultan un método de formación alternativo para clasificadores polinomiales, funciones de base radial y perceptrón multicapa.

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## Idea básica
### Ejemplo en 2–dimensiones

En el siguiente ejemplo idealizado para 2-dimensiones, la representación de los datos a clasificar se realiza en el plano x-y. El algoritmo SVM trata de encontrar un hiperplano 1-dimensional (en el ejemplo que nos ocupa es una recta) que une a las variables predictoras y constituye el límite que define si un elemento de entrada pertenece a una categoría o a la otra.
Existe un número infinito de posibles hiperplanos (líneas) que realicen la clasificación pero, ¿cuál es la mejor y cómo la definimos?
La mejor solución es aquella que permita un margen máximo entre los elementos de las dos categorías.
Se denominan vectores de soporte a los puntos que conforman las dos líneas paralelas al hiperplano, siendo la distancia entre ellas (margen) la mayor posible.

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## Idea básica
### Soft margin: Errores de formación

Idealmente, el modelo basado en SVM debería producir un hiperplano que separe completamente los datos del universo estudiado en dos categorías. Sin embargo, una separación perfecta no siempre es posible y, si lo es, el resultado del modelo no puede ser generalizado para otros datos. Esto se conoce como sobreajuste (overfitting).
Con el fin de permitir cierta flexibilidad, las SVM manejan un parámetro C que controla la compensación entre errores de formación y los márgenes rígidos, creando así un margen blando (soft margin) que permita algunos errores en la clasificación a la vez que los penaliza.

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## Función Kernel

La manera más simple de realizar la separación es mediante una línea recta, un plano recto o un hiperplano N-dimensional.
Desafortunadamente los universos a estudiar no se suelen presentar en casos idílicos de dos dimensiones como en el ejemplo anterior, sino que un algoritmo SVM debe tratar con a) más de dos variables predictoras, b) curvas no lineales de separación, c) casos donde los conjuntos de datos no pueden ser completamente separados, d) clasificaciones en más de dos categorías.
Debido a las limitaciones computacionales de las máquinas de aprendizaje lineal, éstas no pueden ser utilizadas en la mayoría de las aplicaciones del mundo real. La representación por medio de funciones Kernel ofrece una solución a este problema, proyectando la información a un espacio de características de mayor dimensión el cual aumenta la capacidad computacional de la máquinas de aprendizaje lineal. Es decir, mapearemos el espacio de entradas X a un nuevo espacio de características de mayor dimensionalidad (Hilbert):
          F = {φ(x)|x ∈ X}
             x = {x1, x2, · · ·, xn} → φ(x) = {φ1(x), φ2(x), · · ·, φn(x)}

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## Función Kernel
### Tipos de funciones Kernel (Núcleo)

* Polinomial-homogénea: K(x$_i$, x$_j$) = (x$_i$·x$_j$)$^n$
* Perceptron: K(x$_i$, x$_j$)= || x$_i$-x$_j$ ||
* Función de base radial Gaussiana: separado por un hiperplano en el espacio transformado.
          $K(x_{i},x_{j})=e^{-{\frac {||x_{i},x_{j}||}{2\cdot \sigma ^{2}}}}$
* Sigmoid: K(x$_i$, x$_j$)=tanh(x$_i$· x$_j$−θ)

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## SVR. Regresión

Una nueva versión de SVM para regresión fue propuesta en 1996 por Vladimir Vapnik, Harris Drucker, Chris Burges, Linda Kaufman y Alex Smola.[nota].
La idea básica de SVR consiste en realizar un mapeo de los datos de formación x ∈ X, a un espacio de mayor dimensión F a través de un mapeo no lineal φ: X → F, donde podemos realizar una regresión lineal.

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## SVM Multiclase

Hay dos filosofías básicas para resolver el problema de querer clasificar los datos en más de dos categorías:
* a) cada categoría es dividida en otras y todas son combinadas.
* b) se construyen k(k-1) / 2 modelos donde k es el número de categorías.