title: Involución (matemática)
text: # Involución (matemática)
  
  En matemática, una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:
  Definida la función:
      ${\begin{array}{rccl}f:&A&\longrightarrow &A\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}$
  Esta función cumple la propiedad involutiva si:
      $\forall x\in A\;:\quad f(f(x))=x$
  para todo x de A, se cumple que la función de la función de x es x.
  O, de otra manera:
      $f(x)=y\,$ ;
      $f(y)=x\,$
  
  # Involución (matemática)
  ## Propiedades
  
  Toda involución es una aplicación biyectiva. La función identidad es un ejemplo trivial de involución:
      ${\begin{array}{rccl}id:&A&\longrightarrow &A\\&a&\longmapsto &b=id(a)\quad \equiv \quad b=a\end{array}}$
  esto es:
      $\forall a\in A\;:\quad id(id(a))=a$
  para todo a de A, se cumple que la identidad de la identidad de a es a.
  El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia:
      $a_{0}=a_{1}=1\,$
      $a_{n}=a_{n-1}+(n-1)\,a_{n-2}\quad (si\quad n>1)$
  Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.
  
  # Involución (matemática)
  ## Ejemplos
  
  Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:
      ${\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=-x\end{array}}$
  dado que:
      $\forall x\in \mathbb {R} \;:\quad -(-x)=x$
  Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x.
  El inverso multiplicativo de números reales sin el cero:
      ${\begin{array}{rccl}f:&R^{*}&\longrightarrow &R^{*}\\&x&\longmapsto &y={\cfrac {1}{x}}\end{array}}$
  si vemos que:
      $\forall x\in \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}\;:\quad {\cfrac {1}{\cfrac {1}{x}}}=x$
  El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos:
      ${\begin{array}{rccl}^{c}:&\mathbb {U} &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&A&\longmapsto &B=A^{c}\end{array}}$
  dado que:
      $\forall A\in \mathbb {U} \;:\quad {(A^{c})}^{c}=A$
  Los complejos conjugados (${\bar {z}}$) en variable compleja; la inversión geométrica; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius.