title: Factorial exponencial
text: # Factorial exponencial
  
  El factorial exponencial es un entero positivo n elevado a la potencia n-1, el cual a su vez está elevada a la potencia n-2, y así sucesivamente. Se suele usar como notación el símbolo identificativo del factorial en el lugar del exponente $n^{!}$. Se define:
      $a_{n}=n^{\left(n-1\right)^{\left(n-2\right)^{\cdots }}}\,$
  También puede definirse mediante la siguiente relación de recurrencia:
      $a_{0}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}\,$
  Los primeros factoriales exponenciales son:
  | $n$ | $n^{!}$ |
  | 0 | 1 |
  | 1 | 1 |
  | 2 | 2 |
  | 3 | 9 |
  | 4 | 262.144 |
  | 5 | 6,2... × 10$^{183230}$ |
  Su crecimiento es mayor que el de los factoriales e incluso que el de los hiperfactoriales. El factorial exponencial de n=5 tiene 183.231 dígitos.
  La suma infinita de los inversos de los factoriales exponenciales es:
      $S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{262144}}+\cdots =1,6111149258083767361111\ldots$
  cuyo resultado es un número de Liouville, y por tanto irracional.