title: Teorema de Tunnell
text: # Teorema de Tunnell
  
  En teoría de números, el teorema de Tunnel da una resolución parcial al problema de los números congruentes, y bajo la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, una resolución completa. Debe su nombre al matemático estadounidense Jerrold B. Tunnell (1950-2022).
  
  # Teorema de Tunnell
  ## Problema de los números congruentes
  
  El problema de los números congruentes pregunta qué número natural puede ser el área de un triángulo rectángulo con los tres lados racionales. El teorema de Tunnell relaciona esta cuestión con el número de soluciones enteras de algunas ecuaciones diofánticas bastante simples.
  
  # Teorema de Tunnell
  ## Teorema
  
  Para un entero libre de cuadrados n dado, se define
      ${\begin{aligned}A_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+32z^{2}\},\\B_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=2x^{2}+y^{2}+8z^{2}\},\\C_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+64z^{2}\},\\D_{n}&=\#\{(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}\mid n=8x^{2}+2y^{2}+16z^{2}\}.\end{aligned}}$
  El teorema de Tunnell establece que suponiendo que n es un número congruente, si n es impar entonces 2A$_n$ = B$_n$ y si n es par entonces 2C$_n$ = D$_n$. Por el contrario, si la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer se cumple para las curvas elípticas de la forma $y^{2}=x^{3}-n^{2}x$, estas igualdades son suficientes para concluir que n es un número congruente.
  
  # Teorema de Tunnell
  ## Historia
  
  El teorema lleva el nombre de Jerrold B. Tunnell, un teórico de números en Universidad Rutgers, que lo demostró en Tunnell (1983).
  
  # Teorema de Tunnell
  ## Importancia
  
  La importancia del teorema de Tunnell es que el criterio que da es comprobable mediante un cálculo finito. Por ejemplo, para un $n$ dado, los números $A_{n},B_{n},C_{n},D_{n}$ se pueden calcular buscando exhaustivamente en $x,y,z$ en el rango $-{\sqrt {n}},\ldots ,{\sqrt {n}}$.