title: Derivada ordinaria
text: # Derivada ordinaria
  
  Se da
      y = f(x),
  una función definida en un cierto intervalo abierto, que se va a considerar su dominio. A cualquier valor de x en tal intervalo le corresponde un valor determinado de la función y = f(x).
  Se admite que x$_0$ sea un valor fijo del intervalo, al cual le corresponde el valor f(x$_0$). De modo que hay una variación de los valores de la función f(x) -f(x$_0$) y la variación en los valores de dominio: x - x$_0$.
  se considera la razón de la variación de la función a la de los elementos del dominio:
         ${\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$
  Se halla el límite de esta razón cuando $\lim _{x\rightarrow x_{0}}$. En caso de existir este límite se llama derivada ordinaria de la función dada f(x) en x$_0$ y se denota $\displaystyle f^{\prime }(x_{0})$
  o sea formalmente
  
  # Derivada ordinaria
  ## Definición
  
  Al límite
     ${\frac {df(x)}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$,
  , en caso de existir, se llama derivada ordinaria de f en x$_0$.. A esta fórmula se conoce como la Notación de Leibniz
  
  # Derivada ordinaria
  ## Definición
  ### Notaciones
  
  * $f'(x_{0})$
  * ${\frac {df(x_{0})}{dx}}$
  * $D_{x}f(x_{0})$
  * ${\dot {y}}={\frac {dy}{dx}}$ , se suprimió su uso en 1915 en Gran Bretaña
  
  # Derivada ordinaria
  ## Definición
  ### Ejemplo
  
      Sea la función definida por $f(x)={\sqrt {x}}$
      evaluación en x$_0$ da: ${\sqrt {x_{0}}}$
      diferencia ${\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}$, racionalizando ${\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x_{0}}}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}\cdot ({\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}})={\frac {x-x_{0}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}$
      cociente ${\frac {x-x_{0}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}\cdot {\frac {1}{x-x_{0}}}={\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x_{0}}}}}$
      finalmente el límite: ${\frac {df(x_{0})}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x_{0}}}}}$
  
  # Derivada ordinaria
  ## Interpretaciones
  
  * En la física la velocidad instantánea se considera como la derivada del espacio con respecto al tiempo en un instante dado.
  * En la geometría analítica, la derivada se considera el valor de la pendiente de una recta tangente a una curva considerando que las secantes se acercan como posición límite a dicha tangente.
  * En química la velocidad de disolución de sal en relación con la concentración en un instante dado.
  * Se considera que la capacidad calórica es la derivada de la capacidad de calor respecto a la temperatura.
  
  # Derivada ordinaria
  ## Propiedades
  
  * Dada una función a la operación de hallar su función derivada se denomina derivación, algunas veces diferenciación.
  * Si la función y = f(x) tiene derivada ordinaria en el valor x$_0$ se dice que la función f es derivable en dicho valor. La función $f(x)={\sqrt {x}}$ está definida en el conjunto de los números reales no negativos, pero su función derivada $f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$ está definida sólo para los números reales positivos.
  * Si una función y = f(x) es derivable en cada punto de un intervalo I, se puede definir la función derivada de I en R.
  * Se considera el conjunto de funciones en I y también el conjunto de funciones derivables. Se puede considerar la derivada como una aplicación que a f le hacer corresponde f'. En tal caso la derivada es una aplicación lineal. Esto es
            $D_{x}(\alpha f+\beta g)=\alpha D_{x}f+\beta D_{x}g$
  
  # Derivada ordinaria
  ## Propiedades
  ### Proposición
  
  Si la función y = f(x) es derivable en x$_0$ será continua para dicho valor.
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  
  Hay funciones de variable real que son continuas en un determinado punto, pero no tiene derivada en dicho punto; en esta situación ayuda aclarar el caso, los conceptos de derivadas unilaterales.
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### Primer caso
  
  Al límite
     ${\frac {df_{+}(x_{0})}{dx}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$
  se llama derivada por la derecha de la función f en el punto $x_{0}$
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### Segundo caso
  
  Al límite
     ${\frac {df_{-}(x)}{dx_{0}}}=\lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},$
  se llama derivada por la izquierda de la función f en el punto $x_{0}$
  A la derivada por la derecha y a la derivada por la izquierda se llaman derivadas unilaterales
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### Ejemplo
  
  Sea da la función y = |cos x| hallar las derivadas unilaterales en $x={\frac {\pi }{2}}$
  Para 0 <x < π/2, se tiene |cos x|= cosx; para π/2 < x < π, resulta |cos x| = -cosx además $cos{\frac {\pi }{2}}=0$
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### Derivada por la izquierda
  
  Se tiene que calcular el límite de
     ${\frac {cos{x}-0}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$
  cuando $x\rightarrow {\frac {\pi }{2}}^{-}$ que es igual a hallar el límite por la izquierda de
     ${\frac {-sen(x-{\frac {\pi }{2}})}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$
  que resulta $f_{-}^{\prime }({\frac {\pi }{2}})=-1$
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### La derivada por la derecha
  
  En este caso hay que calcular el límite de
     ${\frac {-cos{x}-0}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$
  cuando $x\rightarrow {\frac {\pi }{2}}^{+}$ que es igual a hallar el límite por la derecha de
     ${\frac {sen(x-{\frac {\pi }{2}})}{x-{\frac {\pi }{2}}}}$
  que resulta $f_{+}^{\prime }({\frac {\pi }{2}})=1$
  Esta función es continua en ${\frac {\pi }{2}}$ pero no es derivable en tal punto, al no ser iguales sus derivadas unilaterales.
  
  # Derivada ordinaria
  ## Derivadas unilaterales
  ### Proposición
  
  Es una consecuencia inmediata de la definición de límites unilaterales que existe la derivada ordinaria en x$_0$ si y sólo si existen y son iguales las derivadas unilaterales en x$_0$ . En caso de cumplimiento de tales condiciones es cierta la igualdad
            $f'(x_{0})=f_{+}'(x_{0})=f'_{-}(x_{0})$