title: Señal analítica
text: # Señal analítica
  
  La señal analítica de Gabor correspondiente a una señal temporal real, es una señal compleja cuyo espectro de frecuencias es nulo para frecuencias negativas, y cuya parte real es igual a la señal original.
  
  # Señal analítica
  ## Definición
  
  La señal analítica $x_{a}(t)$ se construye a partir de una señal real.
  Sea $x(t)$ una señal real cuya transformada de Fourier es $X(\omega )$. Construyamos ahora la siguiente función:
      $X_{a}(\omega )=\left\{{\begin{array}{rl}2X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega >0\\X(\omega )&{\textrm {si}}\;\omega =0\\0&{\textrm {si}}\;\omega <0\end{array}}\right.$
  La señal analítica correspondiente a $x(t)$ es la transformada de Fourier inversa de $X_{a}(\omega )$:
      $x_{a}(t)={\mathcal {F}}^{-1}\{X_{a}(\omega )\}$
  
  # Señal analítica
  ## Construcción alternativa
  
  La señal analítica se puede construir también a partir de la transformada de Hilbert de $x(t)$.
  Sea $x_{h}(t)={\mathcal {H}}\{x(t)\}$ la transformada de Hilbert de $x(t)$. Ahora podemos construir la señal analítica de la siguiente manera:
      $x_{a}(t)=x(t)+ix_{h}(t)\,\!$
  donde «i» es la unidad imaginaria.
  
  # Señal analítica
  ## Propiedades
  
  La primera propiedad evidente de la señal analítica $x_{a}(t)$ es que su parte real es igual a la señal correspondiente:
      $\operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}=x(t)$
  
  # Señal analítica
  ## Aplicación
  
  La señal analítica de Gabor permite separar una señal temporal en sus componentes de amplitud y fase instantáneas. Es decir, para cada tiempo $t$, podremos calcular una función $A(t)$ y una función $\phi (t)$ tales que
      $x(t)=A(t)\cos(\phi (t))$
  Para esto basta calcular
      $A(t)={\sqrt {\operatorname {Re} \{x_{a}(t)\}^{2}+\operatorname {Im} \{x_{a}(t)\}^{2}}}$
  y
      $\phi (t)=\arg(x_{a}(t))$
  donde arg es el argumento de un número complejo.