title: Ecuación de Allen-Cahn
text: # Ecuación de Allen-Cahn
  
  La ecuación de Allen-Cahn, por John W. Cahn y Sam Allen, es una ecuación de reacción-difusión de física matemática que describe el proceso de separación de fases en sistemas de aleaciones de varios componentes, incluidas las transiciones de orden-desorden.
  La ecuación describe la evolución temporal de una variable de estado escalar-valorada $\eta$ en un dominio $\Omega$ durante un intervalo de tiempo ${\mathcal {T}}$, y está dado por:
  | Ecuación | En |
  | ${{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]$ | $\Omega \times {\mathcal {T}}$ |
  | $\eta ={\bar {\eta }}$ | $\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}}$ |
  | $-(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q$ | $\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}}$ |
  | $\eta =\eta _{o}$ | $\Omega \times \{0\}$ |
  | Símbolo | Nombre |
  | $M_{\eta }$ | Movilidad |
  | $f$ | Densidad de energía libre |
  | ${\bar {\eta }}$ | Control de la variable de estado en la parte del límite $\partial _{\eta }\Omega$ |
  | $q$ | Control de fuente en $\partial _{q}\Omega$ |
  | $\eta _{o}$ | Condición inicial |
  | $m$ | Normal al exterior $\partial \Omega$ |
  es el flujo de gradiente L$^2$ de la energía libre de Ginzburg – Landau – Wilson funcional. Está estrechamente relacionado con la ecuación de Cahn-Hilliard. En una dimensión espacial, Xinfu Chen da una descripción muy detallada de un artículo.