title: Conjetura de Andrica
text: # Conjetura de Andrica
  
  La conjetura de Andrica (planteada por el matemático rumano Dorin Andrica) es una proposición sobre las diferencias entre números primos consecutivos.
  La conjetura establece que la desigualdad
      ${\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1$
  se cumple para todo $n$, donde $p_{n}$ es el $n$-ésimo número primo.
  Si $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ denota la n-ésima diferencia entre primos consecutivos, la conjetura de Andrica puede expresarse como
      $g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.$
  
  # Conjetura de Andrica
  ## Evidencia empírica
  
  Imran Ghory usó datos de espacios entre primos muy grandes para mostrar que la conjetura es cierta para valores de $n$ menores a 1.3002 x 10$^{16}$.
  El comportamiento de la función discreta $A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}$ se muestra en las gráficas de la derecha. Los valores más altos de $A_{n}$ se producen para n = 1, 2, y 4, con
      $A_{4}\approx$ 0,670873 ...,
  sin que se produzca un valor más grande entre los primeros 10$^5$ primos. Dado que la función de Andrica decrece asintóticamente a medida que $n$ crece, es necesario que se vayan produciendo diferencias entre primos consecutivos cada vez mayores para generar valores altos de $A_{n}$ cuando $n$ se hace grande. Por lo tanto parece muy probable que la conjetura sea verdad.
  
  # Conjetura de Andrica
  ## Generalizaciones
  
  Como una generalización de la conjetura de Andrica, puede considerarse la siguiente ecuación:
      $p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,$
  donde $p_{n}$ es el $n$-ésimo primo y n puede ser cualquier entero positivo.
  Es fácil ver que la solución más grande posible $x$ se tiene para $n=1$, cuanto x$_{máx}$=1. Para la solución más pequeña posible $x$ se ha conjeturado que es x$_{mín}$ $\approx$ 0.567148 ... , que se produce cuando $n=30$.
  Esta conjetura puede considerarse como una conjetura de desigualdad, la generalización de la conjetura de Andrica:
      $p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1$ para $x<x_{\min }.$