title: Tangente hiperbólica
text: # Tangente hiperbólica
  
  La tangente hiperbólica de un número real $x$ se designa mediante $\tanh x$ y se define como el cociente entre el seno hiperbólico y el coseno hiperbólico del número real $x$.
  La fórmula es entonces
      $\tanh x={\cfrac {\sinh x}{\cosh x}}$
  Si se sustituye de acuerdo con las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico, se obtiene una fórmula más directa para la tangente hiperbólica, a saber:
      $\tanh x={\cfrac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$
  
  # Tangente hiperbólica
  ## Derivada
  
     * ${\frac {d}{dx}}\tanh x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}$
     * ${\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x$
  
  # Tangente hiperbólica
  ## Inversa
  
      ${\mbox{arg tanh }}x=\ln \left({\sqrt {\frac {1+x}{1-x}}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$