title: Operación externa
text: # Operación externa
  
  Se dice que esta Operación matemática es una operación externa en una operación binaria si la aplicación entre los conjuntos es de la forma:
  * $\star :\;B\times A\to A\;$, ley de composición externa a la izquierda
  * $\star :\;A\times B\to A\;$, ley de composición externa a la derecha
  * $\star :\;A\times A\to B\;$
  * $\star :\;A\times B\to C\;$,
  siendo $\star$ la operación binaria, que representamos:
      $a\star b\;\to \;c\;,\quad \star (a,b)\;\to \;c\;,\quad (a,b)\;{\xrightarrow {\star }}\;c$
  por oposición a la forma de la aplicación:
      ${\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}$
  Donde a cada par ordenado (a,b) le corresponde un c, siendo a, b y c elementos de A. Que se denomina Operación interna o ley de composición interna.
  
  # Operación externa
  ## Primer caso
  
  Dada una Operación binaria de la forma:
      ${\begin{array}{rccl}\star :&B\times A&\longrightarrow &A\\&(k,a)&\longmapsto &b=k\star a\end{array}}$
  donde a cada par ordenado:
      $(k,a)\in B\times A\;$
  se le asocia un elemento
      $b\in A$
  En este caso se denomina ley de composición externa a la izquierda; los elementos de B, son para los elementos de A,operadores o multiplicadores a la izquierda.
  
  # Operación externa
  ## Primer caso
  ### Ejemplo
  
  Tomando el conjunto R de números reales, y el conjunto V3 de los vectores de tres dimensiones, y la operación del producto de un escalar por un vector:
      ${\begin{array}{rccl}\cdot :&\mathbb {R} \times V_{3}&\longrightarrow &V_{3}\\&(k,{\vec {a}})&\longmapsto &{\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}\end{array}}$
  donde un vector:
      ${\vec {a}}=(x,y,z)$
  multiplicado por un escalar k de R:
      ${\vec {b}}=k\cdot {\vec {a}}=k\cdot (x,y,z)=(kx,ky,kz)$
  
  # Operación externa
  ## Tercer caso
  
  Dada una operación binaria de la forma:
      ${\begin{array}{rccl}\star :&A\times A&\longrightarrow &B\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\star b\end{array}}$
  donde a cada par ordenado:
      $(a,b)\in A^{2}\;$
  le corresponde un elemento:
      $c\in B$
  también es una operación externa.
  
  # Operación externa
  ## Tercer caso
  ### Ejemplo
  
  Dado el conjunto V3 de vectores en el espacio y el conjunto R de números reales, y la aplicación Producto escalar de vectores:
      ${\begin{array}{rccl}\circ :&V_{3}\times V_{3}&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&({\vec {a}},{\vec {b}})&\longmapsto &c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}\end{array}}$
  Cuya operación representamos:
      ${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=c$
  dados los vectores:
      ${\vec {a}}=(a_{x},a_{y},a_{z})$
      ${\vec {b}}=(b_{x},b_{y},b_{z})$
  el producto escalar de los dos vectores es:
      $c={\vec {a}}\circ {\vec {b}}=(a_{x},a_{y},a_{z})\circ (b_{x},b_{y},b_{z})=a_{x}\cdot b_{x}+a_{y}\cdot b_{y}+a_{z}\cdot b_{z}$
  que es un valor real.
  La diferencia de números naturales es una operación externa, dado que los operandos naturales el resultado siempre será un entero.
      ${\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {Z} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}$
  En la forma de la operación:
      $c=a-b\;$
  Para todo par ordenado (a,b) de números naturales, a su diferencia le corresponde un número c, entero, siendo c = a-b, es una aplicación matemática.