title: Matriz de diagonal estrictamente dominante
text: # Matriz de diagonal estrictamente dominante
  
  En matemáticas, y concretamente en álgebra lineal, una matriz es de diagonal estrictamente dominante, cuando lo es por filas o por columnas.
  * Lo es por filas cuando, para todas las filas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa fila es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa fila.
  * Lo es por columnas cuando, para todas las columnas, el valor absoluto del elemento de la diagonal de esa columna es estrictamente mayor que la norma del resto de elementos de esa columna.
  Formalmente, se dice que la matriz A de n x n es estrictamente diagonal dominante por filas cuando se satisface:
  $|a_{i,i}|>\sum _{j=1,j\neq i}^{n}|a_{i,j}|,\forall i\in \mathbb {N} :1\leq i\leq n$
  
  # Matriz de diagonal estrictamente dominante
  ## Lema de Hadamard
  ### Enunciado
  
  Si $A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!]})$ es una matriz de diagonal estrictamente dominante, entonces $A$ es invertible.
  
  # Matriz de diagonal estrictamente dominante
  ## Lema de Hadamard
  ### Demostración
  
  Por Contrarrecíproco. Supongamos que $A$ no es invertible, entonces su núcleo no se reduce a cero existe entonces un vector : $X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\neq 0$ tal que $AX=0$ . Entonces, se tiene que: $\forall i\in [\![1,n]\!],\ \sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0.$ Como $X\neq 0$, existe $x_{i_{0}}\neq 0$ tal que $|x_{i_{0}}|=\max \left\{{|x_{i}|,i\in [\![1,n]\!]}\right\}$. Tenemos : $-a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}a_{i_{0},j}x_{j}$ , de donde $|a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}x_{j}|$ , y como : $\forall j\in [\![1,n]\!],\ {\frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}\leqslant 1$ , se obtiene $|a_{i_{0},i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|{\frac {|x_{j}|}{|x_{i_{0}}|}}\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|$ Finalmente, $|a_{i_{0},i_{0}}|\leqslant \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|$ , con lo que culmina la demostración.
  Podemos enunciar a partir de esta definición el siguiente teorema de convergencia aplicable a los procesos iterativos de Jacobi y Gauss Seidel:
  * Sea A una matriz cuadrada, si A es diagonal dominante, los métodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel convergen a la solución del sistema de ecuaciones Ax=b.
  * Datos: Q27212903