title: Cuerpo de descomposición
text: # Cuerpo de descomposición
  
  En álgebra abstracta, se puede considerar el cuerpo de descomposición de un polinomio (o familia de polinomios) o de un cuerpo.
  
  # Cuerpo de descomposición
  ## Cuerpo de descomposición de un polinomio
  
  Dado un cuerpo $K$, y un polinomio no constante $p(X)\in K[X]$ (con coeficientes en $K$) de grado $n>0$, se define el cuerpo de descomposición de $p$ como un cuerpo $E_{p}$ que cumple:
  * Que el polinomio $p(X)$ descompone completamente en $E_{p}$, es decir, que se puede expresar $p(X)$ como
         $p(X)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(X-\alpha _{i})$, con $\alpha \in K,\alpha _{i}\in E_{p}.$
  * Que el cuerpo sea minimal con la propiedad anterior.
  Es decir, el cuerpo de descomposición es el que resulta de adjuntar a $K$ todas las raíces del polinomio $p(X)$:
      $E_{p}=K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$.
  
  # Cuerpo de descomposición
  ## Cuerpo de descomposición de un polinomio
  ### Cuerpo de descomposición de una familia de polinomios
  
  El cuerpo de descomposición de una familia de polinomios $T\subseteq K[X]$ es, análogamente a lo anteriormente expuesto, el cuerpo minimal en el que descomponen completamente todos los polinomios $p(X)\in T\subseteq K[X]$.
  
  # Cuerpo de descomposición
  ## Cuerpo de descomposición de un cuerpo
  
  Dado un cuerpo $K$, el cuerpo de descomposición de $K$ es el cuerpo de descomposición de la familia de polinomios $K[X];$ es decir, el cuerpo que contiene todas las raíces de todos los polinomios con coeficientes en $K.$
  En este caso se le llama clausura algebraica de $K$ y se le denota por ${\bar {K}}$.
  Se cumple que cualquier cuerpo Ω algebraicamente cerrado que contenga a $K$, también contiene a ${\bar {K}}$:
      $\forall \,\Omega {\mbox{ algebr. cerrado, }}K\subseteq \Omega \Rightarrow K\subseteq {\bar {K}}\subseteq \Omega$