title: Matriz diagonal dominante
text: # Matriz diagonal dominante
  
  En matemáticas, se dice que una matriz cuadrada es diagonal dominante (por filas) si el valor absoluto de la entrada en la diagonal principal de una fila es mayor o igual a la suma de los valores absolutos de todas las demás entradas (no diagonales) de esa fila.
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Definición
  
  * Una matriz cuadrada $A=(a_{ij})\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$ es diagonal dominante (por filas) si:
  * $\vert a_{ii}\vert \geq \sum _{j\neq i}\vert a_{ij}\vert \quad \forall i\in \{1,..,n\}$
  De forma análoga se define una matriz diagonal dominante por columnas.
  En el caso de que la desigualdad sea estricta, se dice que la matriz es estrictamente diagonal dominante.
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Ejemplos
  ### Ejemplo 1
  
  La matriz
      $A={\begin{pmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}$
  es diagonal dominante porque
  ${\begin{cases}|3|&\geq &|-2|+|1|\\|-3|&\geq &|1|+|2|\\|4|&\geq &|-1|+|2|\end{cases}}$
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Ejemplos
  ### Ejemplo 2
  
  La matriz
      $B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}$
  no es diagonal dominante porque
  ${\begin{cases}|-2|&<&|2|+|1|\\|3|&\geq &|1|+|2|\\|0|&<&|1|+|-2|\end{cases}}$
  Es decir, la primera y la tercera fila no cumplen la condición.
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Ejemplos
  ### Ejemplo 3
  
  La matriz
      $C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}$
  es estrictamente diagonal dominante porque
  ${\begin{cases}|-4|&>&|2|+|1|\\|6|&>&|1|+|2|\\|5|&>&|1|+|-2|\end{cases}}$
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Lema de Hadamard
  
  * Si $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$ es estrictamente diagonal dominante, entonces $A$ es invertible.
  * Demostración
  * Por contrarrecíproco, supongamos que $A$ no es invertible. Entonces su núcleo no es trivial, es decir, existe un vector $x=(x_{1},x_{2},...,x_{n})\in \mathbb {K} ^{n}$ no nulo tal que $Ax=0$.
  * Entonces, se tiene que:
  * $\sum _{j}{a_{ij}x_{j}}=0\quad \forall i=1,...,n$.
  * Como $x\neq 0$, podemos tomar $x_{i}\neq 0$ tal que $\vert x_{i}\vert =\max\{\vert x_{k}\vert :k=1,...,n\}$ . Entonces:
  * $-a_{ii}x_{i}=\sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\Longrightarrow \vert a_{ii}x_{i}\vert =\left\vert \sum _{j\neq i}{a_{ij}x_{j}}\right\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}x_{j}\vert }$.
  * Dividiendo por $\vert x_{i}\vert$, y teniendo en cuenta que $\left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert \leq 1\quad \forall j=1,...,n$:
  * $\vert a_{ii}\vert \leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert \left\vert {\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right\vert }\leq \sum _{j\neq i}{\vert a_{ij}\vert }$.
  * Por tanto $A$ no es estrictamente diagonal dominante.
  
  # Matriz diagonal dominante
  ## Bibliografía
  
  * Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996). Matrix Computations. ISBN 0-8018-5414-8.
  * Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (Paperback edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2.