title: H-cuadrado
text: # H-cuadrado
  
  En matemáticas y teoría de control, H $^2$, o H-cuadrado es un espacio de Hardy con la norma del cuadrado. Es un subespacio del espacio L$^2$, y por lo tanto es un espacio de Hilbert. En particular, es un kernel de reproducción de espacio de Hilbert.
  
  # H-cuadrado
  ## En el círculo unitario
  
  En general, los elementos de L$^2$ en el círculo unitario están dados por
      $\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }$
  mientras que los elementos de H$^2$ están dadas por
      $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{in\varphi }.$
  La proyección de L$^2$ a H$^2$ (estableciendo a$_n$ = 0 cuando n < 0) es ortogonal.
  
  # H-cuadrado
  ## En el semiplano
  
  La transformada de Laplace ${\mathcal {L}}$dada por
      $[{\mathcal {L}}f](s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)dt$
  se puede entender como un operador lineal
      ${\mathcal {L}}:L^{2}(0,\infty )\to H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right)$
  donde $L^{2}(0,\infty )$es el conjunto de funciones cuadradas-integrables en la recta numérica real positiva, y $\mathbb {C} ^{+}$es la mitad derecha del plano complejo. Es más; es un isomorfismo, en que es invertible, y es isométrico , en que satisface
      $\|{\mathcal {L}}f\|_{H^{2}}={\sqrt {2\pi }}\|f\|_{L^{2}}.$
  La transformada de Laplace es "la mitad" de una transformada de Fourier; de la descomposición
      $L^{2}(\mathbb {R} )=L^{2}(-\infty ,0)\oplus L^{2}(0,\infty )$
  uno entonces obtiene una descomposición ortogonal de $L^{2}(\mathbb {R} )$en dos espacios resistentes
      $L^{2}(\mathbb {R} )=H^{2}\left(\mathbb {C} ^{-}\right)\oplus H^{2}\left(\mathbb {C} ^{+}\right).$
  Este es esencialmente el teorema de Paley-Wiener .