title: Matriz nilpotente
text: # Matriz nilpotente
  
  En álgebra lineal, una matriz $N\in M_{n.n}(K)$ se dice que es nilpotente si existe $k\in \mathbb {N}$ tal que $N^{k}=0\,$. Se llama índice de nilpotencia o se dice que $N$ es de índice (o de orden) $k$ y se define como $min\{k\in \mathbb {N} /N^{k}=0\}$.
  
  # Matriz nilpotente
  ## Teorema
  
  Si $A\,$ es una matriz nilpotente, entonces su determinante es cero. Que el determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.
  
  # Matriz nilpotente
  ## Teorema
  ### Demostración
  
  Si A es una matriz nilpotente de orden k, se sigue que $A^{k}=0\,$. Por lo tanto, $\det(A^{k})=0\,$. Luego, $\det(A)^{k}=0\,$ por lo que $\det(A)=0\,$.
  El recíproco no es cierto; por ejemplo, la matriz
     $S={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$
  tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga autovalores diferentes de cero, en ese caso la matriz es nilpotente.
  
  # Matriz nilpotente
  ## Ejemplos
  
  La matriz
      $M={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$
  es nilpotente, ya que M$^2$ = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal es nilpotente. Por ejemplo, la matriz
      $N={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$
  es nilpotente, con
      $N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$
  Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de ceros en las entradas, no todas las matrices nilpotentes lo tienen. Por ejemplo, las matrices
      ${\begin{bmatrix}6&-9\\4&-6\end{bmatrix}}\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}$
  ambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.
  
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  ## Propiedades adicionales
  
  * Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de orden n (n × n). El inverso viene dado por:
         $(I+N)^{-1}=I-N+N^{2}-N^{3}+\cdots ,$
      donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
  * Si N es nilpotente, entonces
         $\det(I+N)=1,\!\,$
      donde I es de nuevo la matriz identidad de orden n. Recíprocamente, si A es una matriz y
         $\det(I+tA)=1\!\,$
      para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.
  * Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matrices nilpotentes.
  
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  ## Generalizaciones
  
  Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que
         $T^{k}(v)=0.\!\,$
  Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia local equivale a la nilpotencia convencional.