title: Notación gráfica de Penrose
text: # Notación gráfica de Penrose
  
  En matemáticas y física, la notación gráfica de Penrose o notación de diagrama tensorial es una forma de escribir (generalmente a mano) funciones multilineales o tensores propuesta por Roger Penrose en 1971. Un diagrama en esta notación consiste en varias formas unidas entre sí por líneas. La notación ha sido estudiada extensivamente por Predrag Cvitanović, quien la usó para clasificar los grupos de Lie clásicos. También ha sido generalizada usando la teoría de representación para redes de espín en física.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Interpretaciones
  ### Álgebra multilineal
  
  En el lenguaje del álgebra multilineal, cada forma representa una función multilineal. Las líneas que salen de estas formas representan las entradas y salidas de la función. De esta forma es posible representar la composición de funciones enlazando varias figuras entre sí.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Interpretaciones
  ### Tensores
  
  En el lenguaje del álgebra tensorial, se asocia un tensor particular con una forma con varias líneas proyectadas hacia arriba y hacia abajo, correspondientes a las índices abstractos superiores e inferiores de los tensores respectivamente. Conectar estas líneas entre dos figuras corresponde con la contracción de índices. Una ventaja de esta notación es que no es necesario inventar nuevas letras para nuevos índices. Esta notación es explícitamente independiente de la base escogida.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Interpretaciones
  ### Matrices
  
  Cada figura representa una matriz, el producto tensorial se realiza horizontalmente y el producto matricial en vertical.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Representación de tensores especiales
  ### La métrica
  
  La métrica se representa por un bucle con forma de U o su imagen invertida, dependiendo del tipo de tensor utilizado.
  | métrica $g^{ab}$ | métrica $g_{ab}$ |
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Representación de tensores especiales
  ### Tensor de Levi-Civita
  
  El tensor asimétrico de Levi-Civita se representa por una línea gruesa horizontal con pequeños segmentos que apuntan hacia arriba o hacia abajo dependiendo del tipo de tensor utilizado.
  | $\varepsilon _{ab\ldots n}$ | $\epsilon ^{ab\ldots n}$ | $\varepsilon _{ab\ldots n}\,\epsilon ^{ab\ldots n}$$=n!$ |
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Representación de tensores especiales
  ### Constante de estructura
  
  Las constantes de estructura (${\gamma _{ab}}^{c}$) de un álgebra de Lie se representan por pequeños triángulos con una línea vertical que sale del vértices superior dos líneas de los vértices inferiores hacia abajo.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Operaciones tensoriales
  ### Contracción de índices
  
  LA contracción de índices se representa mediante la unión de los líneas de índice.
  | Delta de Kronecker$\delta _{b}^{a}$ | Producto escalar$\beta _{a}\,\xi ^{a}$ | $g_{ab}\,g^{bc}=\delta _{a}^{c}=g^{cb}\,g_{ba}$ |
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Operaciones tensoriales
  ### Simetrización
  
  La simetrización de índices se representa mediante una línea gruesa quebrada o una barra ondulada cruzando las líneas de índice horizontalmente.
  * Simetrización $Q^{(ab\ldots n)}$ (con $_{Q^{ab}=Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}$)
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Operaciones tensoriales
  ### Antisimetrización
  
  La antisimetrización de índices se representa mediante una línea gruesa que atraviesa las líneas de índice horizontalmente.
  * Antisimetrización $E_{[ab\ldots n]}$ (con $_{E_{ab}=E_{[ab]}+E_{(ab)}}$)
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Determinante
  
  El determinante se forma antisimetrizando los índices.
  | $\det \mathbf {T} =\det \left(T_{\ b}^{a}\right)$ | Inverse of matrix $\mathbf {T} ^{-1}=\left(T_{\ b}^{a}\right)^{-1}$ |
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Determinante
  ### Derivada covariante
  
  La derivada covariante ($\nabla$) se representa por un círculo alrededor del tensor(es) que se quieren derivar y una línea desde el círculo descendente que representa el índice inferior de la derivada.
  * derivada covariante $12\nabla _{a}\left(\xi ^{f}\,\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}\right)$
  * $=12\left(\xi ^{f}(\nabla _{a}\lambda _{fb[c}^{(d})\,D_{gh]}^{e)b}+(\nabla _{a}\xi ^{f})\lambda _{fb[c}^{(d}\,D_{gh]}^{e)b}+\xi ^{f}\lambda _{fb[c}^{(d}\,(\nabla _{a}D_{gh]}^{e)b})\right)$
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Manipulación tensorial
  
  La notación diagramática es útil en la manipulación del álgebra tensorial. Normalmente implica algunas «identidades» para manipulaciones tensoriales.
  Un ejemplo de una identidad común es $\varepsilon _{a...c}\varepsilon ^{a...c}=n!$, donde n es el número de dimensiones.
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Manipulación tensorial
  ### Tensor de curvatura de Riemann
  
  Las identidades de Ricci y Bianchi dadas en términos del tensor de curvatura de Riemann ilustran el poder de esta notación
  | Notación para el tensor de curvatura del Riemann | Tensor de Ricci$R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}$ | Identidad de Ricci $(\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}$$=R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}$ | Identidad de Bianchi$\nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0$ |
  
  # Notación gráfica de Penrose
  ## Extensiones
  
  Esta notación ha sido ampliada para comprender espinores y twistores.