title: Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie
text: # Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie
  
  El teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie es un teorema en la topología simpléctica que generaliza el teorema de Darboux.
  
  # Teorema de Carathéodory-Jacobi-Lie
  ## Enunciado
  
  El enunciado es el que sigue. Sea M una variedad simpléctica de dimensión 2n con forma simpléctica ω. Sean
      $f_{1},f_{2},\ldots ,f_{r}(r\leq n)$
  funciones diferenciables en un entorno abierto V de a cuyas diferenciales son linealmente independientes en cada punto, o equivalentemente
      $df_{1}(p)\wedge \ldots \wedge df_{r}(p)\neq 0,$
  donde
      {f$_i$, f$_j$} = 0.
  (En otras palabras, están en involución dos a dos.) Aquí {-,-} es el paréntesis de Poisson. Entonces existen funciones
      $f_{r+1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$
  definidas en un entorno abierto $U\subset V$ de a tales que
      (f$_i$, g$_i$)
  es una carta simpléctica de M, es decir, ω se expresa en U como
      $\omega =\sum _{i=1}^{n}df_{i}\wedge dg_{i}$.