title: Serie de Bertrand
text: # Serie de Bertrand
  
  Sean α y β dos números reales. Llamamos serie de Bertrand (en honor al matemático Joseph Bertrand) a la serie de términos reales positivos siguiente :
  $\sum _{n\geq 2}{1 \over n^{\alpha }\,(\ln n)^{\beta }}.$
  
  # Serie de Bertrand
  ## Condición de convergencia
  ### Enunciado
  
  * Teorema de Bertrand
  * La serie de Bertrand asociada a α y β converge si y sólo si α > 1 o (α = 1 y β > 1).
  Esta condición necesaria y suficiente se resume en la expresión: (α, β) > (1, 1), donde el orden del par ordenado de reales es el orden alfabético (tomando primero α y, si α = 1, miramos β).
  
  # Serie de Bertrand
  ## Condición de convergencia
  ### Demostración por el criterio de comparación
  
  La serie de Bertrand se comporta igual que la integral en +∞ de la función
  $f:x\mapsto {\frac {1}{x^{\alpha }(\ln x)^{\beta }}}$
  (positiva en (1,+∞)),siempre y cuando $f$ sea decreciente a partir de un cierto valor de $x$.
  Cuando esta hipótesis (monotonía decreciente) no se cumple, es decir cuando α < 0 o (α = 0 y β < 0), tenemos una serie creciente a partir de un $x$ y, por no cumplir la condición necesaria de convergencia es divergente.
  Cuando se cumple, es decir cuando (α = 0 y β ≥ 0) o α > 0, la convergencia de la serie equivale a la integrabilidad en +∞ de la función anterior o, por cambio de variable $y=ln(x)$, de la función
  $y\mapsto {\rm {e}}^{(1-\alpha )y}y^{-\beta }.$
  * Si 1 – α < 0, esta función de $y$ es integrable en +∞ ya que es está acotada por otra exponencial: $f\in O({\rm {e}}^{-\gamma y})$ para todo γ ∈ ]0, α – 1[.
  * Si α = 1, es integrable en +∞ si y sólo si β > 1.
  * Si 1 – α > 0, no es integrable en +∞ pues tiende hacia +∞.