title: Álgebra de Lie ortogonal generalizada
text: # Álgebra de Lie ortogonal generalizada
  
  Un álgebra de Lie ortogonal generalizada es un álgebra de Lie asociada a un grupo ortogonal generalizado. Este tipo de álgebras se caracterizan por dos números enteros n y m de tal manera que para cada par de enteros positivos con m < n se tiene un tipo de álgebra ortogonal generalizada, el álgebra: ${\mathfrak {so}}(n,m)$. La dimensión vectorial de estas álgebras de Lie viene dada por:
     $\dim({\mathfrak {so}}(n,m))={\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}$
  Una segunda generalización discutida en este artículo explica como construir las álgebras denominadas ${\mathfrak {so}}(n,m)$ a partir de las anteriores.
  
  # Álgebra de Lie ortogonal generalizada
  ## Representación y ejemplos
  ### Álgebras so(n,m)
  
  Existe una manera obvia de representar álgebras de Lie para valores de n y m en términos de álgebras de dimensionalidad inferior. Por ejemplo:
  * ${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\-V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n) y V es un n-vector (columna).
  * ${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es ${\mathfrak {so}}$(n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).
  
  # Álgebra de Lie ortogonal generalizada
  ## Representación y ejemplos
  ### Álgebras so(n,m,l)
  
  La construcción anterior puede generalizarse un poco más mediante la siguiente notación:
      ${\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, 1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es ${\mathfrak {so}}$(n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es ${\mathfrak {so}}$(n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio R$^{n+m}$ con SO(n, m) que tiene a ${\mathfrak {so}}$(n, m) como su álgebra de Lie.
  Notación Nueva: ${\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, l+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.
  En particular: ${\begin{pmatrix}A&V&X\\0&0&t\\0&0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m,2) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$(n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es ${\mathfrak {so}}$(n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).
  Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo ${\mathfrak {g}}$ es expandida por T, X$_i$, V$_i$ y A$_{ij}$ (tensor antisimétrico) conforme a:
  * [X$_i$, T] = 0
  * [X$_i$, X$_j$] = 0
  * [A$_{ij}$, T] = 0
  * [V$_i$, V$_j$] = 0
  * [A$_{ij}$, A$_{kl}$] = δ$_{ik}$ A$_{jl}$ - δ$_{il}$ A$_{jk}$ - δ$_{jk}$ A$_{il}$ + δ$_{jl}$ A$_{ik}$
  * [A$_{ij}$, X$_k$] = δ$_{ik}$ X$_j$ - δ$_{jk}$ X$_i$
  * [A$_{ij}$, V$_k$] = δ$_{ik}$ V$_j$ - δ$_{jk}$ V$_i$
  * [V$_i$, X$_j$] = 0
  * [V$_i$,T]=X$_i$