title: Plano de Fano
text: # Plano de Fano
  
  En geometría proyectiva, el plano de Fano (cuyo nombre se debe a Gino Fano) es el plano proyectivo finito con el menor número posible de puntos y líneas: solo 7 de cada uno.
  
  # Plano de Fano
  ## Definiciones formales
  ### Coordenadas homogéneas
  
  Está construido sobre el espacio vectorial $Z_{2}^{3}$ y sus siete puntos pueden representarse como coordenadas homogéneas utilizando una codificación binaria de números distintos de cero, de la siguiente manera:
      (0,0,1)
      (0,1,0)
      (1,0,0)
      (0,1,1)
      (1,0,1)
      (1,1,0)
      (1,1,1)
  
  # Plano de Fano
  ## Definiciones formales
  ### Definición axiomática
  
  Otra manera de definir el plano de Fano es mediante los siguientes axiomas:
  * Cada línea del plano tiene al menos tres puntos.
  * Por cada punto del plano pasan al menos tres líneas.
  * Por cada par de puntos pasa una y solo una línea.
  * Cada par de líneas se une exactamente en un punto.
  * Cada línea del plano tiene un máximo de tres puntos.
  * Por cada punto del plano pasan a lo más tres líneas.
  Los dos últimos axiomas son los que realmente determinan un plano de Fano.
  
  # Plano de Fano
  ## Definiciones formales
  ### Matriz de incidencia
  
  Sea A={1,2,3,4,5,6,7} el conjunto de vértices que conforman el Plano de Fano, entonces este también puede representarse como el hipergrafo conformado por las hiperaristas {1,2,3}, {1,4,7}, {1,5,6}, {2,4,5}, {2,6,7}, {3,4,6} y {3,5,7}. Una tercera manera de definir el Plano de Fano es, entonces, a través de la matriz de incidencia de este hipergrafo. Es decir, como la matriz booleana:
  * 1 2 3 4 5 6 7
  * 1 1 1 0 0 0 0
  * 1 0 0 1 0 0 1
  * 1 0 0 0 1 1 0
  * 0 1 0 1 1 0 0
  * 0 1 0 0 0 1 1
  * 0 0 1 1 0 1 0
  * 0 0 1 0 1 0 1